第2章 第8讲 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦一元二次方程及其应用核心考点，覆盖定义判断、解法（配方法、因式分解、求根公式）、根的判别式、根与系数关系及实际应用（面积、增长率、利润问题），对接中考说明，分析近3年福建中考该板块占比约15%，归纳选择、填空、解答三大常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于分层训练与中考真题结合，一阶巩固基础如2025漳州一检配方法题，二阶提升能力如2023福建增长率应用题，通过真题解析培养运算能力和模型意识，指导学生掌握根的判别式应用、实际问题建模等技巧，助力学生高效突破考点，教师可依此制定精准复习计划，提升中考冲刺效果。

数 学 福建 分层练习册 1 第二章　方程（组）与不等式（组） 第8讲　一元二次方程及其应用 一阶　基础巩固 二阶　能力提升 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是(　D　) A.2x＋1＝0 B.x3＋x＝3 C. ＋x2＝1 D.x2－2x－3＝0 D 返回目录 2. (2025漳州一检)用配方法解方程x2＋2x＝2，变形后结果正确的是 (　C　) A.(x＋1)2＝1 B.(x－1)2＝1 C.(x＋1)2＝3 D.(x－1)2＝3 C 返回目录 3. (2025扬州)关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确 的是(　A　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 A 返回目录 4. (2025南平一检)已知某个一元二次方程的两根是x1＝－2，x2＝3，则这 个方程可以是下列四个方程中的(　A　) A.(x＋2)(x－3)＝0 B.(x－2)(x＋3)＝0 C.(x＋2)(x＋3)＝0 D.(x－2)(x－3)＝0 A 返回目录 变式一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的 是(　D　) A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3 D 返回目录 5. (2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米 的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜 地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程 (　C　) A.5x2＝6 B.5(1＋x2)＝6 C.x(5－x)＝6 D.5(1＋x)2＝6 C 返回目录 6. (2023福建)根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为 43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省 地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(　B　) A.43903.89(1＋x)＝53109.85 B.43903.89(1＋x)2＝53109.85 C.43903.89x2＝53109.85 D.43903.89(1＋x2)＝53109.85 B 返回目录 变式某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率 为(　B　) A.10％ B.20％ C.22％ D.44％ B 返回目录 7. (2025漳州一检)若关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的 实数根，则m的取值范围是(　A　) A.m＜ B.m≤ C.m＜－ D.m＞ A 返回目录 8. (2025北京)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数 根，则实数a的值为(　C　) A.－4 B.－1 C.1 D.4 C 返回目录 9. (2025南平一检)已知x＝1是关于x的方程x2－a＝0的一个根，则常数a 的值是 ⁠. 1　 返回目录 10. (2025眉山)已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，则(x1＋1)(x2 ＋1)的值为 ⁠. －2　 返回目录 11. (2025漳州一检)解方程：(x－1)2－4(x－1)＝0. 解：∵(x－1)2－4(x－1)＝0， ∴(x－1)[(x－1)－4]＝0， ∴(x－1)(x－5)＝0， ∴x－1＝0或x－5＝0， ∴x1＝1，x2＝5. 返回目录 12. (2025齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12. 解：∵x2－7x＝－12， ∴x2－7x＋12＝0， 整理得，(x－4)(x－3)＝0， ∴x－4＝0或x－3＝0， ∴x1＝4，x2＝3. 返回目录 13. (2025泉州一检)解方程：2x2＋2x－3＝0. 解：∵2x2＋2x－3＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝－3， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4×2×(－3)＝4＋24＝28＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 返回目录 14. (2025漳州一检)新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选.某停车 场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行 改造.如图，将矩形停车场的长和宽分别减少相等的长度，减少的这部分 区域(阴影部分)用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米， 求减少的长度是多少？ 解：设减少的长度是x米. 根据题意，得(120－x)(80－x)＝4500， 解得x1＝170(不合题意，舍去)，x2＝30. 答：减少的长度是30米. 返回目录 15. 某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了 扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查 发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套. (1)当每套运动服降价x(x是偶数)元时，商场每天可售出运动服 ⁠ 套(用含x的代数式表示)； (2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？ 解：设每套运动服应降价x元. 根据题意，得(100－x)(30＋ )＝3150， 整理，得x2－40x＋300＝0， 解得x1＝30，x2＝10(不符合题意，舍去). 答：每套运动服应降价30元. (30＋ )　 返回目录 16. (2025福州模拟)已知互不相等的实数a，b，c满足ab＋a2＝c2，ab＋ b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况为 (　C　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定根的存在情况 【解析】∵ab＋a2＝c2，ab＋b2＝c2，∴a2－b2＝0，∴(a＋b)(a－b)＝ 0，∵a≠b，∴a＋b＝0，∴c2＝ab＋a2＝a(a＋b)＝0，即c＝0， ∵ab≠0，∴a≠0，b≠0，∴b2－4ac＝b2＞0，∴一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0有两个不相等的实数根.故选：C. C 返回目录 17. (2025泸州)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α ＋3β的值为 ⁠. 【解析】∵一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，∴2α2－6α－1＝ 0，α＋β＝－ ＝3，∴2α2－6α＝1，∴2α2－3α＋3β＝2α2－6α＋3α＋3β ＝2α2－6α＋3(α＋β)＝1＋3×3＝10. 10　 返回目录 18. (2025龙岩二检)关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2－k＝0的两实 根m、n满足m2＋n2＝5，则k的值为 ⁠. 【解析】(2k－1)2－4(k2－k)＝1＞0，则方程x2－(2k－1)x＋k2－k＝0恒 有两个不相等的实数根，由题意得：m＋n＝2k－1，mn＝k2－k， ∵m2＋n2＝5，∴(m＋n)2－2mn＝5，∴(2k－1)2－2(k2－k)＝5，整理 得：k2－k－2＝0，解得：k1＝2，k2＝－1. 2或－1　 返回目录 19. (2025东营)若关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋ ＝0无实根，则k的取 值范围是 ⁠. 【解析】当k2－1＝0且k＋1≠0时，即k＝1时，原方程化为2x＋ ＝0， 这是一元一次方程，有实数根；当k＝－1时，原方程无实数根，当k2－ 1≠0，即k≠±1时，原方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋ ＝0是一元二次方程， 因为方程无实根，所以Δ＝(k＋1)2－4×(k2－1)× ＜0，即Δ＝2k＋2＜ 0，解得k＜－1.综上所述，k的取值范围是k≤－1. k≤－1　 返回目录 20. (2025泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件 的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下 降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，125(1－x)2＝80， 解得x＝0.2＝20％或x＝1.8(舍去). 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20％. 返回目录 (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲种商品. 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件. 由题意得， m＋80 ≤7800， ∴75m＋8000－80m≤7800，解得m≥40， ∴m的最小值为40. 答：最少购进甲种商品40件. 返回目录 21. (2025南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根. (1)当x1＝－1时，求x2及m的值. 解：把x1＝－1代入方程 ＝m2得m2＝6， ∴m＝± ， ∴ ＝6， 即x2－3x－4＝0， 解方程得，x1＝－1，x2＝4，故x2＝4，m＝± ； 返回目录 (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. 证明：方程 ＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0， ∵Δ＝4m2＋1＞0，∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2， ∴ ＝x1x2－ ＋1＝2－m2－3＋1＝－m2. ∵－m2≤0，∴ ≤0. 返回目录 22. (2025漳州一检)已知实数m、n满足m2＋bm＋4＝0，n2＋bn＋4＝0， 且m≠n. (1)试说明b2－16的值恒为正数； 解：∵实数m、n满足m2＋bm＋4＝0，n2＋bn＋4＝0且m≠n， ∴m、n是一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个不相等的实数根. ∴Δ＝b2－4×1×4＝b2－16＞0，即b2－16的值恒为正数. 返回目录 (2)求证： ＋ ＞ . 证明：∵m、n是一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个根， ∴m＋n＝－b，mn＝4， ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ . 由(1)得b2－16＞0， ∴b2＞16，∴ ＋ ＞ ＝ . 返回目录 23. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作长方体礼品盒，选择长为60 cm、宽 为40 cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形 和两个同样大小的长方形(阴影部分)，再把剩余部分沿虚线折起来得长方 体礼品盒. (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； 返回目录 解：设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是 (60－2x)＝30－x，宽为x，由题意得30－x＝4x，解得x＝6， ∴长为24，宽为6，高为40－2×6＝28， ∴体积为：24×6×28＝4032(cm3). 返回目录 (2)当礼盒的侧面矩形ABCD的面积为750 cm2，求剪去的小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为m，根据题意可 得一元二次方程为： (30－m)(40－2m)＝750， 整理得m2－50m＋225＝0， 解得m＝5或m＝45(舍)， ∴剪去的小正方形的边长为5 cm. 返回目录 34 $