第3章 第13讲 一次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（福建专用）

该初中数学中考复习课件聚焦一次函数实际应用核心考点，覆盖费用利润、行程问题及弹簧问题等中考高频题型，通过典例解析、信息提取和思路点拨，精准对接中考说明，分析各题型考查权重，归纳最优方案、函数图象分析等常考类型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于中考真题训练与分类讨论技巧指导，如2025福建弹簧题结合胡克定律培养模型意识，行程问题中通过函数图象分析提升推理意识，例1利润问题示范含参数函数关系式建立及最值求解，帮助学生掌握分类讨论和函数增减性应用，教师可依此制定冲刺计划，有效提升学生应试得分率。

数 学 福建 课堂精讲册 1 第三章　函数及其图象 第13讲　一次函数的实际应用 典例讲方法 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件①，其中甲商品的进价为60 元，售价为80元②；乙商品的进价为90元，售价为120元③.设购进甲商品x 件④，商场售完这100件商品的总利润⑤为y元. (1)写出y与x的函数关系式； 解：根据题意，得y＝(80－60)x＋(120－90)(100－x)＝－10x＋3000， ∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋3000. ②→每件甲商品的利润为 元； ③→每件乙商品的利润为 元； ①④→购进乙商品 件； ⑤→总利润＝每件甲商品的利润× ＋ ⁠ ⁠； 80－60　 120－90　 100－x　 甲商品的件数　 每件乙商品的利 润×乙商品的件数　 (2)该商场计划最多投入8400元购买⑥甲、乙两种商品，若销售完这些商 品，则商场可获得的最大利润⑦是多少元？ 解：∵商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品， ∴60x＋90(100－x)≤8400，解得x≥20， 在y＝－10x＋3000中，y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y取得最大值为－10×20＋3000＝2800， ∴商场可获得的最大利润是2800元. ⑥→购入的费用＝甲商品进价× ＋ ⁠ ≤8400； ⑦→(1)中y的最大值，利用函数的增减性求解； 甲商品的件数　 乙商品进价×乙商 品的件数　 (3)商场实际进货时，生产厂家对甲商品的出厂价下调a元⑧(0＜a＜15)出 售，且限定商场最多购进甲商品60件⑨.在(2)的条件下，若商场获得最大 利润为3120元⑩，求a的值. 解：根据题意，得y＝(80－60＋a)x＋(120－90)(100－x)， 即y＝(a－10)x＋3000，其中20≤x≤60， ①当0＜a＜10时，a－10＜0，y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y有最大值， ∴20(a－10)＋3000＝3120， 解得a＝16(不符合题意，舍去)， ∴这种情况不存在； ②当a＝10时，a－10＝0，y＝3000，不符合题意； ③当10＜a＜15时，a－10＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值， ∴60(a－10)＋3000＝3120， 解得a＝12， 综上所述，a的值为12. ⑧→总利润y发生变化； ⑨→x 60； ⑩→y的关系式中一次项系数含有参数a，要利用其增减性，需对一次项 系数的正负进行 ⁠. ≤　 分类讨论　 在解决最优方案问题时： ①若给定y值，比较哪个方案可以得到的量更多，直接将y值分别代入两 个解析式，比较x值的大小；(如第(3)问) ②若给定x值，比较哪个方案更合算(或优惠或省钱或花费最少)，直接将x 值分别代入两个解析式，比较y值的大小；(如变式设问1) ③当x，y的值均未给定，求解哪个方案更合算时，分别令y1＝y2，y1＞ y2，y1＜y2，并计算出x的取值范围，再根据结果选取方案.(如变式设问2) 直击考点 1. 【最优方案问题】有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在 生长旺季，两家均推出优惠方案，甲园的优惠方案是：采摘的草莓不超过 4 kg时，按原价销售；若超过4 kg，超过部分6折优惠；乙园的优惠方案 是：游客进园需购买20元门票，采摘的草莓直接降价出售.已知在甲园、 乙园采摘草莓14 kg时，所需费用相同. 在乙采摘园所需费用y乙(元)与草莓采摘量x(千克)满足一次函数关系，如 下表： 数量x/千克 0.5 1 1.5 2 … 费用y乙/元 y1 y2 50 60 … (1)求y乙与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； 解：设y乙与x的函数关系式为y乙＝kx＋b(k≠0)， 依题意有 解得 ∴y乙＝20x＋20. (2)求两个采摘园的草莓在生长旺季的销售价格，并求在甲采摘园所需费 用y甲(元)与草莓采摘量x(千克)的函数关系式(x＞4)； 解：设草莓在生长旺季前的销售价格为a元/千克， 依题意，得4a＋0.6×(14－4)a＝20×14＋20， 解得a＝30， ∴y甲＝30×4＋0.6×30(x－4)＝18x＋48(x＞4). (3)若阳阳准备花费200元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量 的草莓？说明理由. 解：去乙园采摘可以得到更多数量的草莓.理由如下： 当y乙＝200时，有200＝20x＋20，解得x＝9； 当y甲＝200时，∵200＞4×30， ∴200＝18x＋48，解得x＝ . ∵9＞ ，∴去乙园采摘可以得到更多数量的草莓. 变式设问1若阳阳准备采摘5千克草莓，去哪个园采摘更划算？ 解：当x＝5时，y甲＝18×5＋48＝138，y乙＝20×5＋20＝120. ∵138＞120，∴去乙采摘园采摘更划算. 变式设问2当采摘量x超过4千克时，去哪个园采摘更划算？解：由题意可 知，当y甲＝y乙时，x＝14； 令y甲＞y乙，即18x＋48＞20x＋20，解得x＜14； 令y甲＜y乙，即18x＋48＜20x＋20，解得x＞14. 综上所述，当4＜x＜14时，去乙采摘园更划算；当x＝14时，去两个采摘 园一样划算；当x＞14时，去甲采摘园更划算. 解：由题意可知，当y甲＝y乙时，x＝14； 行程问题的关键是分析判断函数图象，根据题意求函数关系式，注意是否 需要分类、分段讨论. 典例讲方法 贝贝、欢欢利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个玩具小飞机， 甲、乙两个玩具小飞机分别从地面和距地面10 m高处同时出发，匀速上 升.如图是甲、乙两个玩具小飞机所在位置的高度y(单位：m)与飞机上升 时间x(单位：分)的函数图象. (1)求甲、乙两个玩具小飞机在上升过程中y关于x的函数解析式； 解：设甲飞机的函数解析式为y＝kx(k≠0)， 将(20，20)代入y＝kx，得20＝20k，解得k＝1， ∴甲飞机的函数解析式为y＝x， 设乙飞机的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 把(0，10)，(20，20)代入y＝mx＋n， 得 解得 ∴乙飞机的函数解析式为y＝ x＋10. (2)当甲、乙两个玩具小飞机的高度相差5 m时，求飞机上升的时间. 解：当这两个玩具小飞机的高度相差5 m时，｜x－( x＋10)｜＝5， 整理得｜ x－10｜＝5，解得x＝10或x＝30. 故当这两个玩具小飞机的高度相差5 m时，上升的时间为 10分或30分. 直击考点 2. 已知A，B两地相距100 km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲 先出发，中途加油休息了一段时间，然后以原来的速度继续前进，两人离 A地的距离y(km)与甲出发时间x(h)的关系式如图所示，请结合图象解答下 列问题. (1)甲加油前的行驶速度是 km/h，途中休息的时间为 h； 50　 0.5　 (2)求甲加油后y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：甲加油结束的时间为1＋0.5＝1.5(h)， 当1.5≤x≤2.5时，y＝50－50(x－1.5)＝ －50x＋125， ∴甲加油后y与x的函数关系式为y＝－50x＋ 125(1.5≤x≤2.5). (3)甲出发多少小时两人恰好相距15 km？ 解：乙的速度为100÷(5－1)＝25(km/h)， 则乙离A地的距离y与甲出发时间x的关系式为y＝25(x －1)＝25x－25， 当1≤x≤1.5时，当两人恰好相距15 km时，得50－ (25x－25)＝15， 解得x＝2.4(舍去)， 当1.5＜x≤2.5时，当两人恰好相距15 km时，得｜－ 50x＋125－(25x－25)｜＝15， 解得x＝1.8或2.2， ∴甲出发1.8 h或2.2 h两人恰好相距15 km. 3. (2025福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量 的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的 长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m 的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹 簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹 簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量 为 千克. 0.8　 4. 综合实践课上，某小组进行了“弹簧的长度与外力的变化关系”的探究 活动，步骤如下： 第一步：实验测量 多次改变砝码的质量x(克)，测量弹簧的长度y(厘米)，其中0≤x≤250. 第二步：整理数据 砝码的质量x(克) 0 50 100 150 200 250 弹簧的长度y(厘米) 2 3 4 5 5.5 7 第三步：画函数y关于x的图象 (1)在进行数据分析时，组长发现统计表中有一个弹簧的长度是错误的，重 新测量后修改了表中这个数据，则表中错误的数据是 ，应修改 为 ⁠； 解：【解法提示】由表格可知，砝码每增加50克，弹簧的长度增加1厘 米，∴砝码为200克时，弹簧的长度为6厘米，∴表中错误的数据是5.5， 应修改为6. 6　 5.5 (2)写出y关于x的函数表达式； 解：由数据规律可知，y与x满足一次函数关系. 设y＝kx＋B. 将(0，2)和(50，3)分别代入，得 解得 ∴y与x的函数表达式为y＝ x＋2. (3)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； 解：作图如解图. (4)当弹簧的长度为4.5厘米时，悬挂砝码的质量是多少克？并在图象上描 出这个点. 解：设这个点为P，则P点的纵坐标为4.5. 令y＝4.5，则 x＋2＝4.5，解得x＝125， ∴P(4.5，125). 如图，当弹簧的长度为4.5厘米时， 悬挂砝码的质量是125克， 点P即为所求的点. 31 $