第2章 第8讲 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（福建专用）

该初中数学课件聚焦一元二次方程及其应用中考核心考点，系统梳理概念、解法、判别式、根与系数关系及实际应用，对接中考说明分析考点权重，归纳变化率、面积、利润等常考题型，通过“考点精讲+直击考点”强化备考针对性。 课件亮点在于“典例讲方法+真题实战”模式，如用因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程培养运算能力，结合象棋比赛、收纳盒制作等实际问题渗透模型意识，易错提醒规避漏解等问题，助力学生掌握解题技巧，为教师提供系统复习指导。

数 学 福建 课堂精讲册 1 第二章　方程（组）与不等式（组） 第8讲　一元二次方程及其应用 相关 概念 三个 条件 (1)整式方程；(2)只含有① 个未知数；(3)未知数的最高次数 是② ⁠ 一　 2　 【特别提醒】(1)若题目中有“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0”说法，则必 然隐含着a≠0这一条件； (2)若未说明方程类型，则需分类讨论a＝0时是一次方程和a≠0时是一元 二次方程两种情况. 直击考点 1. 下列方程是一元二次方程的是(　C　) A.y－2x＝0 B.x2＝ ＋1 C.2－y2＝0 D.4x－x2＝－x2＋1 C 2. (人教九上P4T1改编)已知关于x的方程(m＋1)x2－3x＋2＝0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ⁠； (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 ⁠； (3)若m＝0，则该方程的二次项是 ，二次项系数是 ，一次项 是 ，一次项系数是 ，常数项是 ⁠. m≠－1　 －1　 x2　 1　 －3x　 －3　 2　 →四种解法： (1)直接开平方法： 形如(x＋n)2＝p的根为x＝③ ⁠； (2)因式分解法：ax2＋bx＋c＝0 (x－p)(x－q)＝0，根为x1＝ ④ ，x2＝⑤ ⁠； (3)公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的解为x＝ ⑥ ⁠； ± －n　 p　 q　 　 (4)配方法：适用二次项系数化为1后一次项系数为偶数的方程.ax2＋bx＋ c＝0 x2＋2mx＋n＝0 (x＋m)2＝t. 解法选择(优先顺序)： 直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法 典例讲方法 求下列方程的解： (1)方程(x＋2)2＝8的根为 ⁠； (2)用三种方法解方程：x2＋4x－12＝0； 因式分解法：原方程可转化为(　 　)(　 　)＝0， 即 ＝0或 ＝0， x＝2 －2或x＝－2 －2　 x－2　 x＋6　 x－2　 x＋6　 解得 ⁠. 公式法：原方程中，a＝ ，b＝ ，c＝ . ←注意系 数符号 　b2－4ac＝ ， ←当Δ＜0时，方程无解；当Δ≥0时，用求根公 式 由求根公式，得x＝ ⁠， 即方程的解为 ⁠. 配方法：由原方程得x2＋4x＋ ＝ ⁠， 即 2＝ ，←配方(两边同加一次项系数一半的平方) x1＝2，x2＝－6　 1　 4　 －12　 64　 ＝－2±4　 x1＝2，x2＝－6　 4　 16　 (x＋2)　 16　 解得 ⁠. 【易错提醒】对于因式分解法，例如3x(x－2)＝2(x－2)应先移项再分解因 式，切勿直接约去公因式导致漏解. x1＝2，x2＝－6　 直击考点 3. 用配方法解一元二次方程x2－8x＋4＝0时，此方程可化为(　C　) A.(x－2)2＝0 B.(x＋2)2＝0 C.(x－4)2＝12 D.(x＋4)2＝20 C 4. 【多解法】解方程：x2－6x＋8＝0. 因式分解法：　　　　　　　　　　　　　　 解：原方程可以转化为 (x－2)(x－4)＝0， 即x－2＝0或x－4＝0， 解得x1＝2，x2＝4. 公式法： 解：a＝1，b＝－6，c＝8， Δ＝b2－4ac＝4，x＝ ， 解得x1＝2，x2＝4. 配方法： 解：由原方程得x2－6x＋9＝－8＋9， 即(x－3)2＝1， 解得x1＝2，x2＝4. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，用Δ表示. (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个⑦ 的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个⑧ 的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程⑨ 实数根. 不相等　 相等　 没有　 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字 母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 直击考点 5. 已知关于x的方程kx2－3x＋1＝0. (1)若k＝2，则该方程根的情况是 ⁠； (2)若该方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ⁠ ⁠； (3)若该方程有两个相等的实数根，则k的值是 ⁠； (4)若该方程没有实数根，则k的取值范围是 ⁠； (5)若该方程有实数根，则k的取值范围是 ⁠. 有两个不相等的实数根　 k＜ 且 k≠0　 　 k＞ 　 k≤ 　 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2 ＝⑩ 　－ 　，x1x2＝⑪ 　 　 . － 　 　 【拓展变形】根据完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和分式的性质填 空： (1) ＋ ＝(x1＋x2)2⑫ ⁠； (2)(x1－x2)2＝⑬ ⁠； (3) ＋ ＝⑭ 　 　 ； (4) ＋ ＝⑮  　 　 . －2x1x2　 (x1＋x2)2－4x1x2　 　 　 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a≠0； (2)Δ≥0. 直击考点 6. (1)已知方程x2＋ax－6＝0，若方程的一个根是6，则它的另一个根 是 ⁠； (2)若m，n分别为方程x2＋2x－2025＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n ＝ ⁠； (3)若x1，x2是一元二次方程x2－x－6＝0的两根，则 x2＋x1 的值 为 ⁠. －1　 2023　 －6　 常见 类型 等量关系 变化 率问 题 设a为原来的量，b为变化后的量. (1)若平均增长率为x，增长次数为2，则a(1＋x)2＝b； (2)若平均下降率为x，下降次数为2，则⑯ ⁠ a(1－x)2＝b　 面积 问题 在矩形ABCD中，设阴影部分的宽为x，则图1中S空白＝⑰ ⁠ ，图2中S空白＝⑱ ，图3中S空白＝ ⑲ ⁠ 图1 图2 图3 (a－ 2x)(b－2x)　 (a－x)(b－x)　 (a－x)(b－x)　 每每 问题 (1)常用公式：①每件利润＝⑳ －每件成本；②总利 润＝每件利润×销售量； (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的 数量为㉑ ⁠件 每件售价　 ·b　 传 播、 循 环、 互赠 礼物 问题 (1)病毒传播问题：若初始数据为a，每次传播x个，则第一轮后 共有a(1＋x)个，第二轮后共有㉒ 个； (2)握手、单循环赛问题：若共有n人，则握手(单循环赛)总次数 为㉓ ⁠； (3)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为㉔ ⁠ a(1＋x)2　 　 n(n－1)　 直击考点 7. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平 均每月增长率为x，则可列方程为 ⁠. 50(1＋x)2＝72　 8. 商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存， 商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平 均每天可多售出2件.若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品 应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程为 ⁠ ⁠. (50－x)(30＋ 2x)＝2100　 9. 某小区在宽为22 m，长为30 m的矩形地面上铺560 m2的草坪，并留出如 图所示的宽度相同的两条道路，则道路的宽度为 m. 2　 10. 象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化 底蕴.九年级(1)班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与 其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与 ⁠个选手比赛 一局，比赛总共有 局； (n－1)　 n(n－1)　 (2)这次比赛共有多少个选手参加？ 解：设这次比赛共有n个选手参加，则比赛总共有 n(n－1)局， 依题意，得 n(n－1)×2＝1980， 整理，得n2－n－1980＝0， 解得n1＝45，n2＝－44(不符合题意，舍去)， 答：这次比赛共有45个选手参加. 11. (2025福州模拟)综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示 的矩形硬纸板ABCD(规格：AB＝40 cm，BC＝100 cm)，要求大家利用它 制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开 图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好 重合且无重叠部分，如图3所示. (1)若收纳盒高是10 cm，则该收纳盒底面的边EF＝ cm，EH ＝ cm； 解：【解法提示】由题意得，EF＝40－2×10＝20(cm)，EH＝ ＝40(cm). 20　 40　 (2)如图3，若收纳盒的底面积是350 cm2，一个玩具机械狗的实物图和尺寸 大小如图4，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？(不考虑 倾斜放入且要盖上盖子) 解：设收纳盒高为x cm. 由题意得 (100－2x)(40－2x)＝350， ∴x1＝15，x2＝55(舍去)， ∴收纳盒长、宽、高分别为35 cm、10 cm、15 cm， ∵10 cm＜15 cm， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒. 36 $