第六部分 第3节  用锐角三角函数解决问题-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

第六部分 锐角三角函数 第3节用锐角三角函数解决问题 ○练习1 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC 的坡比为4：3，大坝高DE=20m,坝顶宽CD=45m,求大坝横截面的面积. D 2.如图，扶梯AB的坡比为1：1，现保持高度BC不变，将其改造为坡比为1：√3的滑梯 BD.已知C,A,D三点共线，AD=6m.求滑梯的高度BC.(精确到0.1m,参考数据： √3≈1.73) 3.端午节期间，小优与小翼相约攀登武当山附近的一座小山.如图，他们先由山脚A处步行 300m到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处步行480m到达山顶D处. 已知点A,B,D,F在同一平面内，山坡AB的坡度i=1：√3，山坡BD与水平线的夹角为 53°，求A,D两地的垂直高度DF.(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) B53 49 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 O练习2 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平 距离为18√3m的地面上.若测角仪的高度为1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为 30°，求教学楼的高度 30° 2.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶， 测得仰角为30°，再往楼的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，求这栋楼的高度.（结 果保留两位小数，参考数据：√2≈1.41,3≈1.73，√6≈2.45) ,个60° B C 3.如图，某数学兴趣小组在电视塔AB附近一建筑物楼顶D处测得塔顶A处的仰角为 45°，塔底B处的俯角为30°.已知建筑物CD的高约为90m,求电视塔AB的高.（结果精 确到1m,参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) D45 50 4.如图，某数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度AB,无人机在空中点C处，点C距地 面70m,测得楼底A的俯角为63.5°，楼顶B的俯角为30°，求大楼的高度AB.（结果精 确到0.1m,参考数据：sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，√3≈1.73) 063.59 B 50 第六部分 锐角三角函数 ○练习3 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，点C与某建筑物AB底端B相距75m,某同学从点C出发，沿斜坡CD行走52m 至坡顶点D处，斜坡CD的坡度i=5:12,在点D处测得该建筑物顶端的俯角为30°，求 建筑物AB的高度. 2.山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组想知道山上 信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得信号钢支架顶端A的仰角为45°，沿着斜坡从 点D走到点E处，测得信号钢支架顶端A的仰角为70°，已知DE的坡度为3：4.学习小 组画出如图的示意图，AC⊥DC于点C,EB⊥AC于点B,DE=50m,图中所有点均在同 一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架AB的高度.（在测量的过程中，测量者和 工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75) 3.如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡1的坡底点A的俯角为60°，乙在楼房顶端点M处测 得斜坡1上的点B处的俯角为45°，AP=10m,AB=8m,点B到地面m的距离为4m (1)求斜坡1的坡度. (2)求点M与点N的高度差. M 45 60 N P 51 、初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ◎练习4 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，湖心岛上有一凉亭B,在凉亭B的正东湖边有一棵大树A,在湖边的C处测得B在 西北方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A,C之间的距离为100m,则A与B之 间的距离是多少？ 45 309 D 2.如图，小明同学在东西方向的环海公路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处东面500m的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到环海路的距离. 衣 430 3.如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B,然后沿南偏西 37°方向步行到书店C,最后前往电影院D.已知电影院D位于书店C的正东方向，且电 影院D在商场A的正南方向.若从咖啡厅B到书店C的距离为400m,从书店C到电影 院D的距离为700m,求商场A到电影院D的距离.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.75) 北 东 D 52 第六部分 锐角三角函数 O练习5 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，一艘小船从A处出发向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东30°方向，航行 2h后到达B处，测得灯塔C在南偏东45°方向，A处与灯塔C的距离AC为40 n mile, 求小船航行的平均速度. 45 》尔 309 2.一艘轮船自西向东以每小时10 n mile的速度航行，上午9：00，轮船在A处测得小岛C 在北偏东60°方向上，11：00到达B处，测得此时小岛C在北偏东30°方向上.已知以小岛 为中心，半径为15 n mile的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危 险？请通过计算说明.（参考数据：√2≈1.41,3≈1.73) 东 309 60 M A B 3.如图，在东西方向的海岸线L上，有一长为1km的码头MN,在距码头西端M的正西方 向59.5km处有一观察站O.现测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西37°方向， 且与O相距60km的A处，经过一段时间，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相 距30k的B处，如果该轮船不改变航向继续航行，判断该轮船能否行至码头MN靠 岸，请通过计算进行说明.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） MN东 53BC2=169,AB2=(AD+BD)2=169,.AC2+ BC2=AB2,∴.△ACB为直角三角形，且∠ACB= 90°.，BC=CE+EB,CE=2EB,.CE=2√13， EB=√I3,∴.AE=√AC十CE=2√26. amB8-号，ER+BF=EB,BF=3, EF=2,∴.AF=AB-BF=10,∴.cos∠BAE= AF_10=5√26 AE2√26 26 B (第3题) (第4题) 4.如图，过点B作BE∥CD,连接AE.由网格和勾 股定理，得BE=√2+1严=√2，AB=√+3 √10，AE=√22+22=2√2.，BE+AE2= AB2,∴.△ABE是直角三角形且∠AEB=90°.在 RAAEB中，sin∠ABE=AS=22=25 AB/10 5 .BE∥CD,∴.∠APD=∠ABE,.sin∠APD= sin∠ABE=25 5 第3节用锐角三角函数解决问题 练习1 1R-号DE-20mAE=0m需-台， CF=DE=20 m,.'FB=15 m,.AB=AE+ EF+FB=AE+CD+FB=30+45+15= 90(m),5=号×(45+90)×20=1350(m2). 答：大坝横截面的面积为1350m2. 2.设滑梯的高度BC为xm.,扶梯AB的坡比为 1:1,.BC:AC=1:1,即AC=xm.:滑梯 BD的坡比为1：3，.BC:CD=1:√3，即CD= 3x m.'AD+AC=CD,AD=6 m,..6+x= 解得zg33十3≈8.2(m.答温 梯的高度BC约为8.2m. 3.如图，过点B分别作BC⊥ AF于点C,BE⊥DF于 点E,则四边形BCFE为矩 形，.EF=BC.山坡AB B53 的坡度i=1:√5，tanA= 府-原∠A=m A ∴BC=2AB=号×300=150(m.在R△DEB 72 中，BD=480m,∠DBE=53°，则DE=BD· sin∠DBE≈480×0.80=384(m),.DF=DE+ EF=DE+BC=384+150=534(m).答：A,D 两地的垂直高度DF约为534m. 练习2 1.如图，过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE 为矩形，∴.EB=DC=1.5m.在Rt△ADE中， am∠ADE-能∠ADE=30,AE=DE· tam∠ADE-18×号-18(m),AB-=AE+ EB=18+1.5=19.5(m).答：教学楼的高度是 19.5m. D45° .E D 309 30 B C B (第1题) (第3题) 2.设CD=xm.在Rt△ACD中，∠A=30°，.tan30°= 是-号AC=5zm:在R△BCD中， ∠DBC-60m60-误-E,BC- 3 x m. AB-20 m::.AC-BC-20 m,3= 20,解得x=10√3≈17.30.答：这栋楼的高度约 为17.30m. 3.如图，过点D作DELAB于点E,则四边形BCDE 是矩形，∴.BE=CD=90m,∠AED=∠BED= 9O,在Rt△BED中，DE=BE =90= tan30°-3 3 90√3(m).在Rt△AED中，AE=DE·tan45°= 90W3X1=90W3(m),.AB=BE+AE=90+ 90√3≈246(m).答：电视塔AB的高约为246m. 4.如图，延长AB交CD于点 E,则AE⊥CD.根据题意， -063.5° -D 得AE=70m.在Rt△ACE 中，∠ACE=63.5°，∴.CE= am银*四-5(m.在 AE Rt△BCE中，∠BCE=30°， ∴.BE=CE·tan30°= 35×5-35,3(m), 3 3 AB=AE-BE=70-35,5≈49.8(m).答：大 3 楼的高度AB约为49.8m. 练习3 1.如图，过点D作DE⊥CB,垂足为E,延长BA交 DF于点G,则四边形BEDG为矩形，∴.DE= BG,DG=BE,BG⊥DF.,斜坡CD的坡度i= 512,8E-是设DE=5xm,则cE 12xm.在Rt△CED中，CD=√CE+DE= 13x(m),.13x=52,解得x=4,.DE=BG= 20 m,CE=48 m,..DG=BE=CB-CE=75- 48=27(m).在Rt△AGD中，∠ADG=30°， :.AG-DG.tan 30-27X3-9/3(m),:.AB- 3 BG-AG=(20一9√3)m.答：建筑物AB的高度为 (20-9W3)m. G---F 2.如图，过点E作EF⊥DC于点F.AC⊥DC, EB⊥AC,∴四边形EBCF是矩形，.BE=CF, EF=BCDE=50m8器-景EF=30m, DF=40m.设AB=xm,在Rt△ABE中， m∠AEB0∠AEB=70,则am70=品： tan7om.·BE=CF,∴DC-DF+CF= 即BE=t (40+am7D）m在R△ACD中，∠ADC=45, 则AC=DC,40十an70=x十30，解得x入 15.7.答：信号钢支架AB的高度约为15.7m 457 60 H B (第2题) (第3题) 3.(1)如图，过点B作BE⊥AP于点E.在 Rt△ABE中，，AB=8m,BE=4m,.AE= √AB2-BE=√82-4=4√5(m),∴.斜坡l的 坡度=BE:AE=4:4√3=1：√5.(2)如图， 过点B作BF⊥MP于点F,则BF=EP=AE十 AP=(4√5+10)m,PF=BE=4m.,∠MBF= 45°，∴.MF=BF=(4√3+10)m..∠ANP= 90°-60°=30°，AP=10m,.PN=√3AP= 103m,.NF=PN-PF=(10√3-4)m, ,.MN=MF-NF=(4W3+10)-10/3+4= (14-6√3)m.答：点M与点N的高度差为 (14-6√3)m. 练习4 1.如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC 中，：∠ACD=30°，AC=100m,∴.AD=100· Sin∠ACD=100×号=50(m),CD=100 os∠ACD=100×5=505(m.在Rt△BDC 2 中，：∠BCD=45°，.BD=CD=50V3m.∴.AB= AD+BD=(50√3+50)m.答：A与B之间的距离 为(50√5+50)m. 0 北 309 4309 459 90. A (第1题) (第2题) 2.如图，过点P作PC⊥AB于点C.根据题意，得 ∠PAC=30°，∠PBC=60°.在Rt△ACP和 R△BCP中，iam∠PAC--号a∠PBC= AC-5PC.BCPC.AB-AC- 3 BC=25pC=50m,PC=2503m.答：灯塔 3 P到环海路的距离为250√5m. 3.如图，过点B作 BE⊥CD于点E, BF⊥AD于点F. 东 5 在Rt△BEC中， ∠CBE=37°，BC= 400m,∴.BE= BC·cos37°≈ 379 400×0.80=C E 320(m),CE=BC·sin37°≈400×0.60= 240(m),..DF=BE=320 m,BF=DE=CD- CE=700-240=460(m).在Rt△AFB中， ∠BAF=45°，∴.AF=BF=460m,∴.AD= AF+DF=460十320=780(m).答：商场A到电 影院D的距离约为780m. 练习5 1.如图，过点C作CH⊥AB于点H.∠CAH= 30,∴CH=号AC=2×40=20(nmle),AH= AC.cos30°=40×Y9=20V3(n mile)?. 2 .∠HBC=45°，.BH=CH=20 n mile, 73 ∴.AB=AH+BH=(203+20)n mile,又t= 2,∴小船航行的平均速度为=AB=(105十 10)n mile/,h.答：小船航行的平均速度为 (10√3+10)n mile/h. 北 B 459 E北 F北 东 30 209 60 (第1题) (第2题) 2.如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意可知， ∠EAC=60°，∠FBC=30°，AB=10×(11-9)= 20(n mile),∴.∠CAB=30°，∠CBD=60°， ∴.∠ACB=30°，∴.BC=AB=20 n mile..,∠CBD= 60,∠BCD=30,BD=7BC=号×20 10(n mile),.CD=√JBC2-BD=√202-102= 10√3≈17.3(n mile).17.3>15,∴.轮船继续 向东航行没有触礁的危险， 3.该轮船能行至码头 MN靠岸.理由如 下：如图，过点A作 AC⊥OB,交OB的 延长线于点C,延 东 长AB交海岸线L MDN 于点D.由题意可知，OA=60km,∠AOC=37°， ∴.在Rt△OAC中，AC=OA·sin∠AOC=60X sin37°≈36(km),OC=OA·cos∠AOC=60X cos37°=60×0.8=48(km).,OB=30km, .BC=0C-OB=48-30=18(km)..AC∥ OD,△ABC∽△DB0,∴S-S即 DO 30,'.DO=60 km.OM=59.5 km,MN= 1km,.ON=60.5km..59.5<60<60.5, ∴.该轮船能行至码头MN靠岸. 第七部分统计和概率的简单应用 第1节货比三家 练习 1.(1)A品牌面巾纸的主要竞争优势是质量.理由如 下：①对A品牌面巾纸的质量满意的最多；②对A 品牌面巾纸的价格满意的不是最多；③对A品牌 面巾纸的广告满意的不是最多，故A品牌面巾纸 靠的是质量优势.(2)宣传对用户选择品牌有 影响.理由如下：由图表可知，虽然B品牌面巾纸 在质量和价格上与C品牌相差不大，但由于B品 牌面巾纸宣传比C品牌好，从而销量比C品牌大 (3)首先要提高质量，其次加大宣传力度，最后注 意合理的定价. 2.(1)该校初中学生总数为480÷40%=1200（人）. (2)该校八年级学生人数所占的比例为1一28%一 40%=32%,八年级学生人数为1200×32%= 384(人)，其扇形的圆心角度数为360°×32%= 115.2°. (3)喜欢数学实验教材的人数为1200 600一100=500（人），补全统计表如下. 喜欢程度 非常喜欢 喜欢 不喜欢 人数 600人 500人100人 (4)不喜欢数学实验教材的学生频率为100÷ 1200= 难议略 第2节抽签方法合理吗 练习 1.画树状图如图所示，共有 开始 9种等可能的结果，其中两 次摸到的球颜色不同的结 白 白 红 果有4种，.两次摸到的 白白红白白红白白红 球颜色不同的概率为号： 2.画树状图如图所示，共有12种等可能的结果，其 中两次获得的奖品都是纸巾的结果有2种，两 次获得的奖品都是纸巾的凝率为品-行 开始 牙刷 纸巾 纸巾 太阳伞 纸巾纸巾太阳伞牙刷纸巾太阳伞牙刷纸巾太阳伞牙刷纸巾纸巾 3.不公平.理由如下：画树状图如图所示，共有 16种等可能的结果，其中小明抽取的牌面数字 大于小华抽取的牌面数字的结果有7种，小华抽 取的牌面数字大于小明抽取的牌面数字的结果有 9种，P小明当选“阅谈领貔员)=石P(小华 当选“阅读烦较质)=最“品<品班长设 计的这种方式不公平. 开始 小明 小华2489248924892489 第3节概率帮你做估计 练习 1.(1)0.15(2)60×0.15=9(个). 2.(1)0.59116(2)0.6(3)15÷0.6-15=10(个). 3.(1)黄球有80×0.125=10（个），∴.黑球有80 42-10=28(个).(2)设取出了x个黑球.根据题 意，得10=言解得=6答取出了6个展球 80