培优01 锐角三角函数（10种题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

培优01 锐角三角函数 题型1 理解正弦、余弦、正切的概念 正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，与直角三角形两边长的大小无关. 1．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 题型2 求角的正弦、余弦、正切值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 5．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，若的中点C到弦的距离，，结合尺规作图的痕迹，计算的值为 ． 6．（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 7．（2025·江西抚州·二模）如图，在矩形中，，把矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ． 8．（2025·四川绵阳·一模）如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为 ． 9．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 10．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 题型3 由正弦、余弦、正切值求边长 11．（2025·江苏南京·二模）如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为 ． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 13．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 15．（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 16．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 17．（2024·湖北·一模）计算： ． 18．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）计算： ． 19．（2024·湖南·模拟预测）计算： 20．（24-25九年级下·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2) ． 题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 21．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 22．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 23．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 24．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 题型6 求特殊角的三角函数值 25．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，则锐角的度数为 ． 27．（2023九年级·湖南怀化·竞赛）为锐角，当无意义时，则 ． 28．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知是锐角，且． 求的值． 题型7 比较三角函数值的大小 29．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·广东·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 32．（20-21九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若三个锐角满足，则由小到大的顺序为 ． 题型8 由三角函数值判断锐角的取值范围 33．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 34．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若为锐角，且，则的取值范围是 ． 37．（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 题型9 锐角的三角函数中的新定义问题 38．（22-23九年级上·山东济南·期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 39．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ． 40．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 41．（2022·湖南湘潭·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，． 例：． (1)试仿照例题，求出的值； (2)若已知锐角α满足条件，求的值． 42．（2025九年级上·全国·专题练习）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例互相唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以互相转化类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图，在中，，顶角的正对记作容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) (2)对于的正对值的取值范围是___________ (3)如图，已知，其中为锐角，试求的值． 43．（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 题型10 同角(互余)两角的三角函数关系 44．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 45．（25-26九年级上·北京·课后作业）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 46．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 47．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $培优01 锐角三角函数 题型1 理解正弦、余弦、正切的概念 正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的,本质是两条线段的比,因此没有单位,只与角的大小有关,与直角三角形两边长的大小无关. 1.(24-25九年级下 山东日照 开学考试)在中,,所对的边分别为a、b、c,下列等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义,把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦,记作.锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦,记作.锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切,记作. 根据三角函数的定义逐项判断即可解答. 【详解】解:∵在中,,所对的边分别为a、b、c, ∴,故A选项成立,不符合题意; ,故B选项成立,不符合题意; ,故C选项成立,不符合题意; ,故D选项不成立,符合题意. 故选D. 2.(2025 吉林 二模)若把的各边长都扩大4倍,则锐角A的正弦值( ) A.扩大14倍 B.扩大4倍 C.缩小 D.无变化 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的意义,理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键.在中,各边都扩大4倍,其相应边长的比值不变,因此锐角A的正弦函数值也不会改变. 【详解】解:锐角三角函数值是随着角度的变化而变化,而角的大小与边的长短没有关系, 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化, 即若把的各边长都扩大4倍,则锐角A的正弦值无变化, 故选:D. 3.(2025 天津红桥 一模)如图,在中,,,垂足为D,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义,准确识图,根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案.熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键. 【详解】解:,, ,故A错误; ,故B错误; ,故C错误; ,故D正确, 故选:D. 4.(24-25九年级上 山东淄博 期中)在中,分别是的对边,若,则不正确的结论是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理,掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形,且,根据锐角三角函数的定义表示出、、、,问题即可解答. 【详解】解:∵, ∴是直角三角形,且, 由锐角三角函数的定义可知,,, ∴,,,, ∴选项B的结论不正确,符合题意. 故选:B. 题型2 求角的正弦、余弦、正切值 求锐角的三角函数值时,先确定锐角在哪个直角三角形中,若已知三边,则直接利用定义求解;如果已知两边,则利用勾股定理求出第三边,然后利用定义求解. 5.(24-25九年级下 河北邢台 期中)如图,若的中点C到弦的距离,,结合尺规作图的痕迹,计算的值为 . 【答案】/ 【分析】本题考查的是垂径定理、解直角三角形.根据垂径定理的推论得到, ,根据勾股定理列出方程,解方程求出的半径,再根据正弦的定义计算得到答案. 【详解】解:设的半径为r, 则, ∵点C是的中点, ∴,, 在中,,即, 解得:, ∴, 故答案为:. 6.(2025 广东广州 二模)在中,,,于点,则 . 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理,求正弦函数值,利用,在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解. 【详解】解:如图, ∵,, ∴, ∴, ∴; 由勾股定理得, ∴; 故答案为:. 7.(2025 江西抚州 二模)如图,在矩形中,,把矩形沿对角线翻折,点落在点处,交于点,则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题,勾股定理,余弦的定义,解题的关键是根据翻折变换的性质,勾股定理等几何知识,灵活进行判断、分析、推理或解答.令,则,由翻折可知,,结合矩形的性质推出,令,则 ,在中,利用勾股定理求出,,再利用余弦的定义即可求解. 【详解】解:令,则,由翻折可知,. ∵四边形是矩形, ,, , , . 令,则 , 在中,,即, 解得, ,, 在中,. 故答案为:. 8.(2025 四川绵阳 一模)如图,与切于点A,与弦相交于点C,.若,则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质,角的正切等知识.连接,如图,先根据切线的性质得到,再证明得到,设,则,,利用勾股定理得到,然后解方程即可,熟知切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键. 【详解】解:连接,如图, 与相切于点, , , , , , , ,, , , , , 设,则,, , , 解得,即, ∴ ∴. 故答案为:. 9.(2025 江苏无锡 中考真题)如图,与相切于点,连接,过点作的垂线,交于点,连接,交线段于点.若,则的值为 . 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明,再求得,再利用直角三角形的边角关系解答即可. 【详解】解:∵与相切于点B, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴. ∴. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质,圆的切线的性质定理,平行线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,直角三角形的边角关系,熟练掌握上述定理与性质是解题的关键. 10.(24-25九年级下 全国 期末)如图,点A,B,C是正方形网格中的格点,则的值为 . 【答案】2 【分析】连接,设格点正方形的边长为1,根据勾股定理,得,,,且,故,解答即可. 本题考查了勾股定理及其逆定理,正切的定义,熟练掌握勾股定理及其逆定理,正切的定义是解题的关键. 【详解】解:如图,连接, 设格点正方形的边长为1,根据勾股定理,得 ,,, 故, 故, 故, 故答案为:2. 题型3 由正弦、余弦、正切值求边长 11.(2025 江苏南京 二模)如图,将一张宽为的矩形纸片折叠,若,则折痕的长为 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据正弦值求边长,根据平行线的性质求角的度数,折叠的性质,过点F作矩形纸片的一边与H,则,由平行线的性质得出,由折叠的性质和平角的定义得出,再根据正弦的定义即可求出. 【详解】解:过点F作矩形纸片的另一边于H,如下图: 则, ∵矩形纸片两边平行, ∴, 由折叠的性质可知:, ∴, 故答案为:2 12.(24-25九年级上 上海 期中)如果是边长为10的菱形的一个锐角,,那么这个菱形的面积是 . 【答案】80 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质,掌握正弦的定义是解题的关键.先画出符合题意的菱形,作交于点,利用正弦的定义求出,再利用菱形的面积公式即可解答. 【详解】解:如图,菱形的边长为10,,作交于点, 在中,, , 菱形的面积. 故答案为:80. 13.(24-25九年级下 安徽亳州 开学考试)如图,的直角顶点在坐标原点上,顶点在反比例函数的图象上,斜边轴,若的面积是,,则 . 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合,掌握相似三角形的判定和性质,余弦值的计算方法,几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键. 如图所示,过点作轴于点,可证,,根据余弦值得到相似比,由此得到,求出的面积,根据,结合图象即可求解. 【详解】解:如图所示,过点作轴于点, ∴, ∵轴, ∴, ∴, ∴, 在中,, ∴,即, 解得,, ∵顶点在反比例函数的图象上, ∴, 解得,, ∵反比例函数经过第二象限, ∴, ∴, 故答案为: . 14.(2024 广东 模拟预测)如图,折叠矩形的一边,使点D落在边的点F处,已知,且,则折痕长是 . 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质,折叠的性质,勾股定理,正切函数;能熟练,勾股定理,正切函数进行求解是解题的关键.结合矩形的性质和折叠的性质,由正切函数得 ,由勾股定理得,,即可求解. 【详解】解:由折叠的性质得:,, 四边形为矩形, ,,, , , 由勾股定理得, , , 设,则, 在中, , , 解得:, , 在中, (); 故答案为:. 15.(2025 四川广元 中考真题)四边形中,与交于点O,O是的中点,,已知,,,则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质,解题的关键是通过作垂线构造直角三角形,利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系.自点B,D分别作的垂线段,利用得到,再利用,推出,进而得到,设,结合O是的中点则可推出,由可表示,在勾股定理建立方程即可求解x,则可求. 【详解】如图,过D作于E,过B作于F, ∵, ∴,则, 设 ,则, ,, , , , 即, , ∵O是的中点, , , , , , 在中,, 由勾股定理:,即, 解得:, . 故答案为:. 题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型,解这类问题时,要熟记30 、45 60 角的三种三角函数值,并能准确地把值代入算式,结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 16.(2025 山东青岛 模拟预测)计算: . 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、零次幂及二次根式,熟悉相关运算是解题的关键. 根据代入计算即可. 【详解】解:原式. 故答案为:1. 17.(2024 湖北 一模)计算: . 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题的关键. 根据绝对值化简,特殊角三角函数值,零指数幂,负整数指数幂,然后根据实数的运算,即可得答案. 【详解】原式, 故答案为:. 18.(2024九年级下 湖北黄冈 竞赛)计算: . 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算题,准确掌握每一个知识点的运算规则,考查乘方运算、根式运算、负指数幂运算、零指数幂运算以及绝对值运算;需要分别根据它们各自的运算法则进行计算,然后再进行加减运算. 【详解】解: 故答案为:. 19.(2024 湖南 模拟预测)计算: 【答案】3 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算,负整数指数幂、零指数幂等知识点,正确计算是解题的关键. 分别计算有理数乘方,零指数幂、化简绝对值,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,再进行加减计算. 【详解】解:原式= . 20.(24-25九年级下 全国 期末)计算下列各题: (1); (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角函数的计算,二次根式的性质,零指数幂;熟练掌握特殊角的三角函数值以及零次幂的意义是解决本题的关键. (1)根据特殊角的三角函数值代入计算即可; (2)根据特殊角的三角函数值代入并化简,零指数幂,化简二次根式,然后求值即可. 【详解】(1)解: ; (2)解: . 题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 利用题目条件中已知的三角函数值,求出其中的特殊角,待求出三角形的所有内角后,即可判断三角形的形状. 21.(2025九年级下 全国 专题练习)在中,满足:,则的形状为 . 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,三角形的分类,先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数,再根据三角形的内角和定理求出的度数,最后根据三个内角的关系判断出其形状. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴是等边三角形. 故答案为:等边三角形. 22.(22-23九年级上 江苏盐城 期末)在中,、都是锐角,且,则的形状是 三角形(填“等腰”、“等边”或“直角”). 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性,结合特殊角的三角函数值求得、的度数,从而作出判断. 【详解】解:∵,且, ∴, ∴, ∴、, ∴在中,, ∴是直角三角形, 故答案为:直角. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,理解绝对值和偶次幂的非负性,掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 23.(25-26九年级上 全国 课后作业)已知中的与满足. (1)试判断的形状. (2)求的值. 【答案】(1)是锐角三角形. (2) 【分析】(1)根据绝对值的性质求出及的值,再根据特殊角的三角函数值求出及的度数,进而可得出结论; (2)根据(1)中及的值求出的度数,再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可. 【详解】解:(1), , 是锐角三角形. (2), 原式. 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 24.(24-25九年级上 河南濮阳 阶段练习)已知中,与满足 (1)试判断.的形状; (2)求的值. 【答案】(1)是等腰直角三角形,详见解析 (2) 【分析】(1)根据绝对值的性质求出及的值,再根据特殊角的三角函数值求出与的度数,进而可得出结论; (2)根据与的三角函数值代入进行计算即可. 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用,准确分析计算是解题的关键. 【详解】(1)解:∵,,, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形. (2)由(1)可知:,, ∴原式. 题型6 求特殊角的三角函数值 25.(2024九年级上 山东青岛 专题练习)如果的、满足,那么的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识,掌握以上的知是解答本题的关键;本题根据特殊角的三角函数值求得,,然后根据三角形内角和定理的知识,即可求解. 【详解】解:∵, ∴,, ∴,, ∵、是的内角, ∴,, 由三角形内角和定理,得, 故选:D. 26.(25-26九年级上 江苏苏州 期中)在中,,则锐角的度数为 . 【答案】80 【分析】本题考查了正弦,熟练掌握特殊角的正弦值是解题关键. 先判断出也是锐角,再根据可得,由此即可得. 【详解】解:∵是锐角, ∴也是锐角, 由得:, ∴, ∴, 故答案为:80. 27.(2023九年级 湖南怀化 竞赛)为锐角,当无意义时,则 . 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件,特殊角三角函数值的应用,根据分式无意义可得,继而求得的值,再代入,最后根据二次根式的加法可得答案.掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 【详解】解:∵无意义, ∴,即, ∵为锐角, ∴, ∴ . 故答案为:. 28.(22-23九年级下 安徽安庆 期末)已知是锐角,且. 求的值. 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算,熟知特殊角的三角函数值是解题的关键; 先根据是锐角和得出,再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解:∵是锐角,且, ∴, ∴ . 题型7 比较三角函数值的大小 29.(25-26九年级上 重庆长寿 期中)比较,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较,掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键. 利用三角函数的关系将转化为,再根据余弦函数在锐角范围内的递减性,比较和,最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可. 【详解】解: , 又在锐角范围内,余弦函数递减,且, , 即. ,且正切函数在锐角范围内递增,, , 又∵(余弦函数递减,), , 综上,. 故选:D. 30.(2025 广东 三模)已知为锐角,当时,的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化,根据余弦函数在锐角范围内的角度越大,余弦值越小.因此,在到的区间内,当取最小值时,取得最大值. 【详解】解:在锐角范围内,余弦函数的值随角度的增大而减小.已知,当取最小值时,即,的值最大,即最大值为. 故选A. 31.(2025九年级下 全国 专题练习)已知为锐角,用“”或“”填空: (1)若,则 ; (2)若,则 . 【答案】 【分析】本题考查了正切函数,掌握正切函数的性质是解题的关键. 根据正切函数的增减性求解即可. 【详解】(1) 解:由正切函数随角增大而增大,得; (2)解:由正切函数随角减小而减小,得; 故答案为:(1);(2). 32.(20-21九年级上 陕西咸阳 阶段练习)若三个锐角满足,则由小到大的顺序为 . 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的性质解答 . 【详解】解:根据锐角三角函数的性质可得: cos48 =sin42 ,sin42 <sin48 <1,tan45 <tan48 ,tan45 =1, ∴cos48 <sin48 <1<tan48 , ∴ < < , 故答案为 < < . 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用,熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键. 题型8 由三角函数值判断锐角的取值范围 33.(24-25九年级上 全国 随堂练习)用计算器求、、、、、、、的值,研究的值随锐角变化的规律,根据这个规律判断:若,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律,解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质. 先找出特殊角的正弦值,再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围. 【详解】解:在锐角范围内,正弦函数值随着角度的增大而增大,. ∵, ∴, 则的取值范围是. 故选∶A. 34.(23-24九年级上 山东淄博 阶段练习)已知,那么锐角的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用,注意∶当角是锐角时,其正弦和正切随角度的增大而增大,余弦随角度的增大而减小;根据三角函数的增减性求解即可; 【详解】解: 是锐角, , ,,, , 故选:A; 35.(2024九年级 全国 竞赛)若锐角满足,则以下结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质,根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解,掌握锐角三角函数的性质是解题的关键. 【详解】解:∵ ∴正弦值随着角度(该角度是为锐角)的增大而增大,,, ∴, 故选:. 36.(25-26九年级上 重庆 开学考试)若为锐角,且,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数,解一元一次不等式,根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式,解不等式即可求解,理解锐角的正弦值的范围,从而转化为解不等式是解题的关键. 【详解】解:∵为锐角, ∴, ∴, 解得:, 故答案为:. 37.(24-25九年级下 上海长宁 期中)某小组同学对三角比展开主题研究活动,现在邀请你参加. 【问题提出】 (1)如果锐角的余弦值为,下列关于锐角的取值范围,正确的是_. A. B. C. D. 【问题分析】 (2)余弦值、、的三角比分别是_、_、_.你发现它们的分布特点是随着角度的_(选填“增大”或“减小”)而减小. 【综合运用】 (3)写出下列角度的正弦值的取值范围. ,. 【答案】(1)C;(2),,,增大;(3), 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. (1)根据特殊角的余弦值,即可判断锐角的取值范围; (2)熟记特殊角(、、)的余弦值即可得出它们的三角比,通过观察即可得出它们的分布特点; (3)根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解. 【详解】解:(1),,,, 又 且为锐角, ; 故选C. (2)由,,可得,它们的三角比分别为 ,,;通过观察可知,它们的三角比会随角度的增大而减小; 故答案为:,,,增大; (3)由锐角正弦函数的增减性可知,锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ,, 又,,, ,. 题型9 锐角的三角函数中的新定义问题 38.(22-23九年级上 山东济南 期末)定义一种运算:,.例如:当,时,,则的值为 . 【答案】 【分析】根据和新定义,代入计算即可. 【详解】解: , 故答案为:. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算,涉及新定义,解题的关键是掌握特殊角的三角函数值,能准确进行二次根式的计算. 39.(2022 黑龙江绥化 中考真题)定义一种运算;,.例如:当,时, ,则的值为 . 【答案】 【分析】根据代入进行计算即可. 【详解】解: = = = =. 故答案为:. 【点睛】此题考查了公式的变化,以及锐角三角函数值的计算,掌握公式的转化是解题的关键. 40.(2023 湖南娄底 一模)定义一种运算:,例如:当,时,,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据,可以计算出的值. 【详解】解:由题意可得, , 故选:B. 【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义,解答本题的关键是明确题意,利用新定义解答. 41.(2022 湖南湘潭 一模)同学们,在我们进入高中以后,还将学到下面三角函数公式:,;,. 例:. (1)试仿照例题,求出的值; (2)若已知锐角 满足条件,求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)把化为直接代入三角函数公式计算即可; (2)把化为直接代入三角函数公式计算即可. 【详解】(1)解:∵, ∴ ; (2)解:∵,, 为锐角, 解得, ∴ . 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用,属于新题型,解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解. 42.(2025九年级上 全国 专题练习)通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比例互相唯一确定,因此,边长与角的大小之间可以互相转化类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的关系我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图,在中,,顶角的正对记作容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述角的正对定义,解下列问题: (1) (2)对于的正对值的取值范围是_ (3)如图,已知,其中为锐角,试求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点,掌握“顶角的正对”的定义是解题的关键. (1)先说明是等边三角形可得,再根据“顶角的正对”的定义求解即可; (2)分别求得当无限接近 、无限接近两种情况,分别根据“顶角的正对”的定义求得的极值即可解答; (3)如图:在上取点,使,过点作于,连接,设,则、,再根据勾股定理可得,最后根据“顶角的正对”的定义求解即可. 【详解】(1)解:∵,, ∴是等边三角形, ∴, ∴. 故答案为:1. (2)解:当无限接近时,无限接近0,则无限接近0; 当无限接近时,等腰三角形的底无限接近于腰的二倍,故接近2. 所以的取值范围是. 故答案为. (3)解:如图:在上取点,使,过点作于,连接, 在中,, 设,则. , 在中,, . 43.(2025 广西南宁 三模)【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形,图和图是黄金三角形的两种分类. 【判定】()如图,在中,,点在边上,且,,请写出图中存在的黄金三角形并说明理由; 【性质】()在()的条件下,若,求的长度; 【应用】()如图,在中,,,求. 【答案】 和均为黄多三角形,理由见解析; ; . 【分析】设,根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出,又因为,,所以可知和均为黄多三角形; 因为,可证,根据相似三角形的性质可得:,解方程即可求出的长度; 过点作交于点,使,由可知,根据三角形内角和定理可得,可得:,根据余弦的定义即可求出的值. 【详解】 和均为黄多三角形; 理由如下: , , 设, , , 是的外角, , , , 在中,, , 解得:, 且,, 和均为黄多三角形; , , , , ,, , , 解得:或(不符合题意,舍去), 的长度是; 解:如下图所示,过点作交于点,使, 由可知,, 是的外角, , ,, , , , . 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、余弦的定义,解决本题的关键是作辅助线得到相似三角形,利用相似三角形的性质得到边之间的关系. 题型10 同角(互余)两角的三角函数关系 44.(24-25九年级上 安徽淮南 阶段练习)如图,在中,,,,分别是,,的对边. (1)求的值; (2)(填空)当为锐角时,_; (3)利用上述规律,求式子的值. 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系,熟记定义是解题的关键. (1)由三角函数的定义及勾股定理即可证明; (2)由(1)得出的结论解答即可; (3)由(1)得出的结论进行化简并求值即可. 【详解】(1)解:在中,,,; 所以:; (2)解:当为锐角时,, 故答案为 1; (3)解: = =(44个1相加) =. 45.(25-26九年级上 北京 课后作业)计算下列的三角函数值(写出计算过程,保留计算结果): . 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解. 【详解】解: 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 46.(25-26九年级上 福建漳州 阶段练习)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题: _ ;_;_. (1)观察上述等式,猜想:在中,,都有_ ; (2)如图④,在中,,,,的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明(1)中的猜想; (3)若,且,求的值. 【答案】(1)1,1,1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合,涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值,数形结合,灵活运用三角函数定义是解决问题的关键. (1)根据三角函数定义,数形结合,分别得到正弦函数值与余弦函数值,代入式子求解即可得到答案; (2)根据题意,由勾股定理及三角函数定义,得到正弦函数值与余弦函数值,代入式子求解即可得证; (3)由上述归纳及证明的结论知,结合,根据完全平方和公式恒等变形,由确定,代值求解即可得到答案. 【详解】(1)解:, , , 故答案为:1,1,1; 由上面运算结果即可猜想在中,,都有, 故答案为:1; (2)证明:在中,,,,的对边分别是,,, 由勾股定理即可得到, , ; (3)解:, , , , . 47.(2023九年级下 全国 专题练习)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题. (1) ; ; . (2)观察上述等式,猜想:在中,,都有 ; (3)如图④,在中,,,,的对边分别是,,,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想; (4)若,且,求的值. 【答案】(1)1,1,1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】(1)根据三角函数定义,数形结合,分别得到正弦函数值与余弦函数值,代入式子求解即可得到答案; (2)由(1)中运算结果即可得到答案; (3)根据题意,由勾股定理及三角函数定义,得到正弦函数值与余弦函数值,代入式子求解即可得证; (4)由上述归纳及证明的结论知,结合,根据完全平方和公式恒等变形,由确定,代值求解即可得到答案. 【详解】(1)解:, , , 故答案为:1,1,1; (2)解:由(1)中运算结果即可猜想在中,,都有, 故答案为:1; (3)证明:在中,,,,的对边分别是,,, 由勾股定理即可得到, , ; (4)解:, , , , . 【点睛】本题考查三角函数计算综合,涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值,数形结合,灵活运用三角函数定义是解决问题的关键. 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $