第六部分 第2节  解直角三角形-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

初中数学计算能力强化训练九年级+中考 第2节 解直角三角形 ◎练习1 难度：容易☑中等☐难□ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=2√3，解这个直角三角形 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若c=10,a=5√2，解这 个三角形 3.在Rt△ABC中，BC=2,∠A=30°，∠C>∠B,解这个直角三角形. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=8,∠B=60°，解这 个直角三角形. 5.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,∠C=90°.若∠A一∠B=30°，a+ b=4十4√3，解这个直角三角形. 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如果a=5,b=10, 解这个直角三角形.（角度精确到1°） 46 第六部分锐角三角函数 O练习2 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，在△ABC中，∠B=45,anC-,ADLBC,.垂足为D,AB=厄，求AC的长. 2.如图，AD是△ABC的商，cosB=号，simC=号，AC=10,求AB的长. B 3.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=105°，AC=√2.求BC的长. 4.如图，在△ABC中，BC=√6十√2，∠C=45°，AB=√2AC,求AC的长. 5在△A5C中，AB=10,simB=停，AC=5,求5C的长. 47 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习3 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.已知一个等腰三角形顶角的度数为150°，腰长为4cm,求该等腰三角形的面积. 2.如图，在△ABC中，∠A=120,BC=9,sinC-了求AB,AC的长. B 3.如图，CD是△ABC的高，AD=4,BD=9,anB=号，E是边BC上一点，且CE=2EB, 连接AE,求cos∠BAE的值. 4.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上， AB,CD相交于点P,求sin∠APD的值. 48-√10，x2=√10，∴.√10-(-√10)=2√10(m). .2√10>6，∴.货箱能顺利通过该桥。 练习3 1.(1)由图像可知，这个抛物线的顶点坐标为(6， 4),且经过点(12,0).设这个抛物线的函数表达 式为y=a(x-6)2+4,则0=a×(12-6)2+4, 解得a=一号，这个抛物线的函数表达式为 y=- x-6+4.(2)当x=号×12-40=4 时y=一日×(4-6F+4=号>3货船能从 此桥洞通过. 2.由题意可知，抛物线的顶点为(0,4).设抛物线的 函数表达式为y=ax2十4，将点B(8,0)的坐标代 入，得64a2十4=0，解得a=一6该抛物线的函 数表达式为y=一高2十4.当x=6时，y= 一品×36十4-子，即水面上涨了子m 练习4 1.设AB=xm,则BC=(50一2x)m,长方形的面 积为ym.则=x(50-2)=-2(x-}+ 25.”-2<0当x=罗时y-625此时 B0=50-2×空=25(m.答：当AB-空m,BC 2 25m时，长方形的面积最大，最大面积是625m。 2.(1)根据题意，得2x十y=80,.y=-2x+80, ∴.S=x(-2x+80)=-2x2+80x.(2)S= -2x2+80x=-2(x-20)2+800.,0<y≤38， .0<-2x+80≤38，.21≤x<40.a=-2< 0,对称轴为直线x=20,∴.当x=21m时，矩形 实验田的面积S最大，最大面积是798m 练习5 1.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b.,图像 经过(30,80)和(40,40)两点，.306士6-80，解得 140k+b=40, k=一4y关于x的函数表达式为y=一4x十 1b=200, 200.(2)设日销售利润为元，则@=(x一 20)(-4x+200)=-4(x-35)2+900..a= 一4<0，.当x=35时，w有最大值，此时最大= 900(元).答：纪念品销售单价定为35元/个时， 70 所获日销售利润最大，最大利润是900元. 2.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b.根据 题意，得200=16士：解得-一50，y关 1300=14k+b, 1b=1000, 于x的函数表达式为y=-50x十1000(10≤ x≤20).(2)设日销售利润为w元，根据题意， 得w=(-50x+1000)(x-10)-50=-50(x- 15)2+1200..a=-50<0,10≤x≤20， ∴.当x=15时，w有最大值，此时大=1200（元）. 答：当销售单价定为15元/份时，日销售利润最 大，最大利润为1200元. 第六部分锐角三角函数 第1节锐角三角函数值 练习1 (1)W2 (2)4(3)82(4+1(5) 2 60)2 (7)0(8)0(9)0(10)W2 练习2 )-1(2)1+2(3)是4号(5) 4 (6)2-巨()2(8)23 练习3 15(21(3)1(4)-1(5)0(6)号 2 (7)33+8 (8)33 2 2 练习4 1.20°2.80°3.∠A=60°，∠B=45°，∠C=75° 41-95 3 第2节解直角三角形 练习1 1.在Rt△ABC中，：tanA=BC=23=3 AC 6 31 ∴∠A=30°.∠A+∠B=90°，.∠B=60°. ,AB=AC+BC,∴.AB=W62+(2W3)2=43. 2.,∠C=90°，c=10,a=5V2,.b=√c2-a2= 5√2，.△ABC是等腰直角三角形，∴.∠A= ∠B=45°. 3.∠A=30°，∠C>∠B,△ABC是直角三角形， ∠C=90°，∠B=90°-∠A=60°.BC=2, AB=4,∴AC=√AB2-BC=√4-2=2√3. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，.∠A= 90°-∠B=30°.a=8,.c=2a=16,.b= √c2-a2=√162-82=8√5. 5.在△ABC中，∠C=90°，.∠A+∠B=90°.又 ∠A-∠B=30°，∠A=60°，∠B=30°，.c 2弘.：tanA=号a=tanA·6=tan60,b= √3b.,a+b=4+43,√3b+b=4+4√3，解得 b=4,则a=4√3，∴.c=2b=2×4=8. 6.∠C=90°，a=5,b=10,.c=√a2+b= TW=65aA=兰是得m8 会号一2，由计算器可以求得∠A2,侧 ∠B≈63°. 练习2 1.AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°.在 Rt△ADB中，∠B=45°，AB=√2，AD= AB·snB=×号=1.在△ADC中， 1=2, amC-安AD=1CD=dc= 2 ∴.AC=√AD+CD=√/1+22=√5. 2.在R1△ADC中，snC=光=号，AC=10, AD=6.在R△ADB中，：osB=号∠B= 45°，∴.∠BAD=∠B=45°，.BD=AD=6, AB=√AD2+BD=√62+62=6√2. 3.如图，过点A作边BC 的垂线，垂足为M ∠B=30°，AM1 BC,∴.∠BAM=60°. B M :∠BAC=105°，∴.∠MAC=∠BAC-∠BAM= 105°-60°=45°，∴.∠C=90°-∠MAC=90° 45=45在R△Mc中，smC-兴AM sinC·AC=in45°X2=2x2=1,:CM= 2 AM-1在R△AMB中，amB-:BM- AM 1 anB-tan30°- 1=3,:.BC=BM+CM= 3 3+1. 4.如图，过点A作AD⊥BC于 点D,则∠ADC=∠ADB= 90°.∠C=45°，.∠DAC=B∠ 45°，AD=CD.设AC=x,AD+CD=AC, AD-CD-AB-AC BD=VAB-AD=kE-() 海：BC=BD+CD=6+2,9x+ 2 2x=√6+V2,解得x=2,即AC的长为2. 5.如图，过点A作AD⊥BC于点D.AB=10, sin B5AD-AB sin B-10x 5=25,·BD=VAB-AD= √102-(2√5)2=4√5.当点C在点C1的位置 时，CD=√JAC-AD=√52-(25)2=√5， .BC1=BD-CD=4√5-√5=35；当点C在 点C2的位置时，CD=√AC-AD= √52-(2W5)2=V5,∴.BC2=BD+C2D=4V5+ √5=5√5.综上所述，BC的长为35或5W5. B C C 练习3 1.如图，△ABC是等腰三角 形，∠ACB=150°，AC= C BC=4cm.过点B作A一 BD⊥AC交AC的延长线于点D,则∠BCD= 30,BD=BC.sim30°=4×合=2(cm ∴SaAe=号AC,BD=2X4X2=4(cm2). 2.如图，过点B作BD⊥CA,交CA的延长线于点D. 在R△cDB中，mC-误-日，BC-9,0- BD-3..CD-/BC-BD 6√2.∠BAC=120°，.∠BAD=60°.在 R:AADB中，n∠RAD-器-号AB 25,.AD=√AB2-BD=√(2W3)2-32= √3，∴.AC=CD-AD=6W2-3. D C 3.如图，过点E作EF⊥AB于点F.CD是 △ABC的高，∴.∠ADC=∠BDC=90°.，BD= 9nB-号品-号cD=6hC= √AD+CD=√42+62=2√/13，BC= √/BD2+CD=√92+62=3√13.AC2+ 71 BC2=169,AB2=(AD+BD)2=169,.AC2+ BC2=AB2,∴.△ACB为直角三角形，且∠ACB= 90°.，BC=CE+EB,CE=2EB,.CE=2√13， EB=√I3,∴.AE=√AC十CE=2√26. amB8-号，ER+BF=EB,BF=3, EF=2,∴.AF=AB-BF=10,∴.cos∠BAE= AF_10=5√26 AE2√26 26 B (第3题) (第4题) 4.如图，过点B作BE∥CD,连接AE.由网格和勾 股定理，得BE=√2+1严=√2，AB=√+3 √10，AE=√22+22=2√2.，BE+AE2= AB2,∴.△ABE是直角三角形且∠AEB=90°.在 RAAEB中，sin∠ABE=AS=22=25 AB/10 5 .BE∥CD,∴.∠APD=∠ABE,.sin∠APD= sin∠ABE=25 5 第3节用锐角三角函数解决问题 练习1 1R-号DE-20mAE=0m需-台， CF=DE=20 m,.'FB=15 m,.AB=AE+ EF+FB=AE+CD+FB=30+45+15= 90(m),5=号×(45+90)×20=1350(m2). 答：大坝横截面的面积为1350m2. 2.设滑梯的高度BC为xm.,扶梯AB的坡比为 1:1,.BC:AC=1:1,即AC=xm.:滑梯 BD的坡比为1：3，.BC:CD=1:√3，即CD= 3x m.'AD+AC=CD,AD=6 m,..6+x= 解得zg33十3≈8.2(m.答温 梯的高度BC约为8.2m. 3.如图，过点B分别作BC⊥ AF于点C,BE⊥DF于 点E,则四边形BCFE为矩 形，.EF=BC.山坡AB B53 的坡度i=1:√5，tanA= 府-原∠A=m A ∴BC=2AB=号×300=150(m.在R△DEB 72 中，BD=480m,∠DBE=53°，则DE=BD· sin∠DBE≈480×0.80=384(m),.DF=DE+ EF=DE+BC=384+150=534(m).答：A,D 两地的垂直高度DF约为534m. 练习2 1.如图，过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE 为矩形，∴.EB=DC=1.5m.在Rt△ADE中， am∠ADE-能∠ADE=30,AE=DE· tam∠ADE-18×号-18(m),AB-=AE+ EB=18+1.5=19.5(m).答：教学楼的高度是 19.5m. D45° .E D 309 30 B C B (第1题) (第3题) 2.设CD=xm.在Rt△ACD中，∠A=30°，.tan30°= 是-号AC=5zm:在R△BCD中， ∠DBC-60m60-误-E,BC- 3 x m. AB-20 m::.AC-BC-20 m,3= 20,解得x=10√3≈17.30.答：这栋楼的高度约 为17.30m. 3.如图，过点D作DELAB于点E,则四边形BCDE 是矩形，∴.BE=CD=90m,∠AED=∠BED= 9O,在Rt△BED中，DE=BE =90= tan30°-3 3 90√3(m).在Rt△AED中，AE=DE·tan45°= 90W3X1=90W3(m),.AB=BE+AE=90+ 90√3≈246(m).答：电视塔AB的高约为246m. 4.如图，延长AB交CD于点 E,则AE⊥CD.根据题意， -063.5° -D 得AE=70m.在Rt△ACE 中，∠ACE=63.5°，∴.CE= am银*四-5(m.在 AE Rt△BCE中，∠BCE=30°， ∴.BE=CE·tan30°= 35×5-35,3(m), 3 3 AB=AE-BE=70-35,5≈49.8(m).答：大 3 楼的高度AB约为49.8m.