第五部分 第1节  二次函数的图像和性质-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

第五部分二次函数 第1节二次函数的图像和性质 ○练习1 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.已知y=(m-1)xm-3m-2是二次函数，且开口向上，求m的值. 2.已知二次函数y=ax2,当x=3时，y=3. (1)当x=一2时，求y的值. (2)写出它的图像的对称轴、顶点坐标和开口方向. 3.如图，A,B分别为抛物线y=x2上的两点，且AB⊥y轴.若AB=4,求△OAB的面积. 4.如图，A,B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C.以点O为圆心、OC 的长为半径画圆，若AB=2√2，求图中阴影部分的面积. 257 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 O练习2 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.抛物线y=ax十c的顶点是(0,2)，且形状及开口方向与y=一2x相同，求a,c的值。 2.已知抛物线y=x2一4与直线y=x十2，求它们的交点坐标. 3.已知抛物线y=2x-a-3+(a-5)的顶点在x轴下方，求a的值，并写出当x<0时，y随 x的增大而如何变化. 4.已知直线y=一x十3与抛物线y=ax2一3相交于A,B两点，且A(-3,m). (1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标. (2)求点B的坐标及S△PAB· 26 第五部分二次函数 ○练习3 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.写出抛物线y=一子(2一1)的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.已知抛物线y=a(x一h)2的对称轴是直线x=一1，与y轴交于点(0,2)，求a和h的值. 3.已知二次函数y=2(x一1)2的图像如图所示，求△ABO的面积. 4.如图，已知抛物线y=(x一1)2与直线y=2x十1相交于A,B两点，直线y=2x+1与x 轴交于点C,抛物线的顶点为D. (1)求抛物线与直线的交点坐标. (2)求S△ABD· B米D CO 27 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习4 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.将二次函数y=2x2的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，求得到 的图像的函数表达式. 2.已知二次函数的图像的顶点为A(一1,4)，且过点B(2,一5)，求该函数的表达式. 3.已知二次函数y=(x-1)2+2,当0<x<4时，求函数值y的取值范围. 4.在△ABC中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，AB=4,点C在y轴负半轴 上，且OC=3,抛物线y=a(x一1)2+k经过△ABC的三个顶点，求该抛物线的表达式. 28 第五部分二次函数 O练习5 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.已知二次函数的表达式为y=x2一2x十3，求该函数图像的开口方向、对称轴及顶点 坐标. 2.已知抛物线y=ax2十bx十c的对称轴是直线x=1,其顶点在直线y=2x一1上.求抛物 线与直线y=2x一1的交点坐标. 3.已知二次函数y=x2一(12一)x十12，当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随 x的增大而减小，求的值 4.已知抛物线y=(x十a)2+a2+3a一4的顶点在坐标轴上，求a的值，并写出顶点坐标. 294.AB=10,BC=5,∠ACB=90°，.AC= VAB-BC=53,.△ABC的面积为2AC· BC=号×55×5=25,5，扇形ABE的面积为 2 120xX10_10m,扇形CBD的面积为120xX5 360 3 360 2空∴边AC扫过的面积是0+52 3 2 2 25不=25元. 第2节圆锥的侧面积 练习 1.,圆锥的底面直径是80cm,∴.圆锥的侧面展开 扇形的弧长为πd=80π(cm).,母线长90cm, “圆锥的侧面展开扇形的面积为合=之× 80rX90=3600π(cm2),.nrX902 =3600π，解得 360 n=160,即它的侧面展开图的圆心角为160°.，圆 维的底面积为xX(2)-160x(cm),圆锥 的全面积为3600π+1600π=5200π(cm). 2.这个圆锥的侧面积为2×12x×12=72x(cm2). 设底面圆的半径为rcm,则2πr=12π，解得r 6,.这个圆锥的高为√122-62=6√3(cm). 3.(1)设该圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r.根 据题意，得2-18980,1=2，即该圆维的 母线长与底面圆的半径的比为2：1.(2)，r2十 (3√3)2=2，即2+(3√3)2=42，解得r=3(负 值合去)1=6，“圆锥的全面积为x×3+2× (2πX3)×6=27π. 4.设该圆锥的底面圆的半径为r.根据题意，得 2=90X4r,解得r=1. 180 第三部分数据的集中趋势和离散程度 平均数、中位数、众数与方差 练习 1.90×30%+80×30%+80×40%=83(分).答： 这支舞蹈的最终得分为83分， 2.(1)这组数据的平均数为(80+85+90+95+ 85+100+95+85+90+80)÷10=88.5(分).将 这10个数据从小到大排列，处在第5、第6位的 两个数的平均数为85十90=87.5，即中位数是 2 87.5分.这10个数据中出现次数最多的是85分， 66 共出现3次，故众数是85分.(2)成绩在90分 及以上的有5人，故这10名同学的优秀率为5÷ 10×100%=50%. 3.(1)补全表格如下. 平均数/分 中位数/分 方差 甲志愿小组 90 89.5 6 乙志愿小组 90 90 39.5 (2)评选甲志愿小组为“稳定贡献奖”更合适，理 由如下：甲、乙两组的平均分相同，而s帝=6， s2=39.5,s屏<s2,.甲志愿小组积分波动小， 评选甲志愿小组为“稳定贡献奖”. 第四部分 等可能条件下的概率 随机事件与概率 练习 1.(1)随机不可能(2)，摸到红球的结果有 5种，∴摸到红球的概率为4十1十5一2： 5 1 2。(1任意摸出一妆棋子是照棋的概率为)6=号。 (②)能，理由如下：要使摸到黑棋的概率为}，则 总棋子数应为6÷号=18（枚），一要往盒子中再 放人18-(9+6)=3（枚）白棋. 3.(1),口袋中装有8个白球和12个红球，共装有 20个球，∴.从口袋中随机摸出一个球是红球的 概率是号= (2)由题意可知，口袋中装有 (8+x)个白球和(12一x)个红球，共装有20个 球，∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是 8站-普解得x=8。 第五部分二次函数 第1节二次函数的图像和性质 练习1 1..y=(m-1)xm2-3m-8是二次函数，.m2-3m- 2=2,解得m=一1或m=4..抛物线开口向 上，.m-1>0,解得m>1,.m=4. 2.(1)把x=3,y=3代人y=ax2,得a·32=3,解 得a=弓“这个二次函数的表达式为)y弓2. 当x=-2时y=号×(-2)=号(2)：y= 名a=}>0,图像开口向上，对称轴是直线 x=0,顶点坐标是(0,0). 3.抛物线y=x2的对称轴是y轴，AB⊥y轴， AB=4,'.点A的横坐标是一2.把x=一2代入 y=x,得y=4,∴△0AB的面积为号×4X4=8. 4.AB=22,BC=号AB=是×2E=E, ∴点B的横坐标为√2.把x=√2代入y=x2,得 y=2,.OC=2,即圆的半径为2.根据抛物线的 对称性可知，阴影部分的面积为4×π·2=元. 练习2 1.“y=ax2+c形状及开口方向与y=-22相同， ∴a=-分.“y=a2+c的顶点是(0,2)，∴c=2. 2.联立两函数表达式，得二+2，解得 仔皮，2：地商线与直线的交点坐 标为(3,5)，（一2,0） 3.根据题意，得a2-4a一3=2，解得a=5或a= 一1.，抛物线顶点在x轴下方，∴.a一5<0，即 a<5,.a=一1.，抛物线开口向上，对称轴为 y轴，.当x<0时，y随x的增大而减小. 4.(1)把A(-3,m)的坐标代入y=-x+3,得m= -(-3)+3=6,.点A的坐标为（一3,6）.把 A(-3,6)的坐标代入y=ax2-3,得9a-3=6, 解得a=1,∴.抛物线的表达式为y=x2一3，.顶 点P的坐标为(0，一3).(2)如图，联立两函数 表达式，#年6·灾 点B的坐标为(2,1).直线=一x 3与y轴交于点C(0,3),.PC=6,∴.S△PAB= Se+5a=7×6X3+号×6X2=15. -4-3-2-10 23八4 练习3 1.抛物线y=一子(x一1)的开口向下，对称轴是 直线x=1,顶点坐标为(1,0). 2.,抛物线y=a(x一h)2的对称轴为直线x= -1,∴.h=-1.把点(0,2)的坐标代入y= a(x十1)2，得a=2. 3.由题意可知，顶点A的坐标为(1,0)，点B的坐标 为(0,2)，∴.OA=1,OB=2,∴.△AB0的面积为 20A.0B=号×1×2=1. 4山题意可知，红1”，好路求 (工=4点A的坐标为(4,9)，点B的坐标为 y=9, (0,1).(2):直线y=2x+1与x轴交于点C, “点C的坐标为（一号0）：抛物线的顶点D的 坐标为1,0.CD=1-(-号）-名5m 练习4 1.y=2(x-2)2-3 2.设二次函数的表达式为y=a(x十1)2十4，将 B(2,-5)的坐标代入，得-5=a(2+1)2+4,解 得a=一1，则该函数的表达式为y=-(x十1)2+ 4=-x2-2x+3. 3.在二次函数y=(x一1)2+2中，a=1>0,对称轴 为直线x=1.当x=0时，y=3;当x=4时， y=11,当x=1时，y=2,.当0<x<4时，函数 值y的取值范围为2≤y<11. 4.抛物线y=a(x一1)2十k的对称轴是直线x=1. 抛物线过点A,B,且AB=4,A(-1,0), B(3,0).,点C在y轴的负半轴上，OC=3, .C(0,一3).把B(3,0),C(0,-3)的坐标代入y= a(x-1)2+,得a(3-1)2+=0, 解得 1a(0-1)2+k=-3, (-1,该抛物线的表达式为y=(x一1)-4. 1k=一4， 练习5 1.,y=x2-2x十3=(x一1)2十2，∴.抛物线开口向 上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2). 2.,抛物线y=ax2十bx十c的对称轴为直线x= 1,∴.顶点即为抛物线和直线y=2x一1的交点. 把x=1代入y=2x-1,得y=1,.抛物线与直 线y=2x一1的交点坐标为(1,1). 3.:在二次函数y=x2-(12-)x十12中，当x> 1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的 增大而减小，.一二（13一)=1，解得k=10. 2×1 4.y=(x+a)2+a2+3a-4=x2+2a.x+2a2+3a 4.当抛物线的顶点在y轴上时，对称轴为y轴， 一-0，解得a=0,顶点坐标为(0，-4)：当 67 抛物线的顶点在x轴上时，令y=0,则x2+2ax十 2a2+3a一4=0有两个相等的实数根，∴.(2a)2 4(2a2+3a-4)=0,解得a=1或a=-4,对应顶 点坐标为（一1,0）或(4,0).综上所述，a的值为0或 1或一4，顶点坐标为(0，一4)或（一1,0）或(4,0). 第2节用待定系数法确定二次函数表达式 练习1 1.把点(-1,4)的坐标代人y=ax2,得4=a×(-1)2, 解得a=4,∴.这个函数的表达式为y=4x2. 2.把点(-2,0)的坐标代入y=x2-x-3k,得 (一2)2-k·（一2)一3k=0,解得k=4,.抛物线 的函数表达式为y=x2一4x一12. 3.二次函数y=(x-1)2十n,当x=2时，y=2, .2=(2一1)2十n,解得n=1,.该二次函数的表 达式为y=(x-1)2+1. 4.（1),y与x2成正比例，.设y=kx2(k≠0). 当x=1时，y=2,.2=·1,解得k=2,y与 x之间的函数表达式为y=2x2.(2)当x=一1 时，y=2×(-1)2=2. 练习2 1.把点(2,3)和（一1，一3）的坐标代入y=ax+c, 得4a十c-3,解得0=2，÷这个二次函数的 {a+c=-3, 1c=-5, 表达式为y=2x2-5. 2.（1)把点(-3,0)，(2，-5)的坐标代入y=ax2十 6x+3,得9a一36十30，解得g二2该 14a+2b+3=-5, 二次函数的表达式为y=一x2一2x十3.(2)点 P(一2,3)在这个二次函数的图像上.理由如下： 当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3, .点P(一2,3)在这个二次函数的图像上. 3.把点(-1,0)，(1，-4)的坐标代入y=ax2+bx 3,得0=a-63。解得=1，把（0，-3)， 1-4=a+b-3, 1b=-2. (2,-3)的坐标代入y=x2一2x一3，都成立， ∴.该抛物线的函数表达式为y=x2一2x一3. 4.(1)根据题意，得h=2,∴.该抛物线的函数表达式为 y=a(x十2)2.，该抛物线过点(1，-3)，.一3= 9a,解得a=一子…该抛物线的函数表达式为y一 -号x+2.(2):a=-}<0,抛物线开口 向下，又.对称轴为直线x=一2，.当x<一2 时，y随x的增大而增大 练习3 1.设该抛物线的函数表达式为y=a(x-4)2 1(a≠0).把点(0,3)的坐标代入，得16a一1=3， 解得a=},“该抛物线的函数表达式为y 68 红-4r-1 2.:该二次函数的图像以直线x=0为对称轴， .设该二次函数的表达式为y=a.x2十c(a≠0). 把点(3,0)，(2，一5)的坐标代入y=ax2十c,得 0=9十c,解得公'g,二该三次函数的表 {-5=4a+c, 达式为y=x2一9. 3.(1),当自变量x=4时，二次函数有最小值一3， .顶点坐标为(4，一3)，.可设二次函数的表达 式为y=a(x-4)2-3.把点(1,0)的坐标代人， 得9a-3=0,解得a=号∴这个二次函数的表 达式为y=号x-40-8.(2)”y=专红 4)2一3，.对称轴为直线x=4,又.抛物线与 x轴的一个交点的坐标为(1,0)，.抛物线与 x轴另一个交点的横坐标为2×4一1=7. 4.(1)A为该函数图像的顶点，.可设二次函数 的表达式为y=ax2一6，又，二次函数的图像经 过点B(-1,-5),∴.a-6=-5,解得a=1,∴.二 次函数的表达式为y=x2-6.(2)根据题意， 可设二次函数的表达式为y=a(x十3)2十k.把 点A(0,一6)，B(-1,一5)的坐标代入，得 1 9a十k=一6'解得 a=- 5’ .二次函数的表 14a+k=-5, 21 k=- 5 达式为y=一日x+3)- 51 练习4 1. 设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c.把点 A(1,0),B(0,6),C(4,6)的坐标代入，得 a+b+c=0, [a=2, c=6, 解得{b=一8，.这个二次函数 16a+4b+c=6, c=6, 的表达式为y=2x2-8x十6. 2.设该抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一5). 把点C(0,5)的坐标代入，得5=一5a,解得 a=一1，故该抛物线的函数表达式为y=一(x十 1)(x-5)=-x2+4x+5. 3.把(0,1)，(1，-2)，(2,1)的坐标代人y=ax2+ [c=1, a=3, bx十c,得{a十b十c=-2,解得b=-6,∴.这个 4a+2b+c=1, (c=1, 二次函数的表达式为y=3x2-6x十1. 第3节二次函数与一元二次方程 练习1 1.当x=0时，y=3,.抛物线与y轴的交点为