第五部分 第4节  用二次函数解决问题-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

第五部分二次函数 第4节用二次函数解决问题 ○练习1 难度：容易☐中等☑难■ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某旅馆有100间客房，每间客房的日租金为120元时，每天都客满，经市场调查发现，如 果每间客房的日租金增加10元，那么每天租出的房间会减少5间，不考虑其他因素，设 每间客房的日租金提高10x元， (1)求每天租出的房间数y与x之间的表达式 (2)旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入 是多少？ 2.某商店销售一种商品，已知该商品每件的成本价为40元，当该商品每件的售价为50元 时，每天可以售出100件.市场调研表明，每件的售价每上涨5元，每天的销售量就会减 少10件.设该商品每件的售价为x元，每天的销售量为y件，每天的总利润为W元. (1)求销售量y与售价x之间的函数表达式. (2)当售价x为多少元时，每天的总利润W最大？最大利润是多少元？ 37 、初中数学计算能力强化训练九年级+中考 O练习2 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m.问：水面下降1m 后，水面的宽长多少？ 2.如图是一座抛物线型拱桥，拱顶C离水面4m,水面宽度AB=10m.现有一竹排运送 只货箱欲从桥下经过，已知货箱长10m,宽6m,高2.4m(竹排与水面持平).问：货箱能 否顺利通过该桥？ 38 第五部分 二次函数 ◎练习3 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为12m,现将它放在如图所 示的平面直角坐标系xOy中. (1)求这个抛物线的函数表达式， (2)一艘宽为4m,高出水面3m的货船能否从此桥洞通过？通过计算说明理由. 2.一座拱形桥，桥下水面宽度AB=16m,拱高CD=4m,大雨过后，桥下水面宽度EF= 12m,求水面上涨了多少米？若把它看作是抛物线的一部分，在平面直角坐标系中（如 图)，可设抛物线的表达式为y=ax2十c,求出此时水面上涨了多少米. D E O(C) 39 、初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ◎练习4 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土 地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50m.不考虑墙体长度，则 长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？最大值是多少？ M 2.如图，某校劳动实践基地用总长80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长38m 栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：)，与墙 平行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：m) (1)直接写出y与x,S与x之间的函数表达式（不要求写x的取值范围）. (2)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 38m 墙 试验田 公 40 第五部分 二次函数 O练习5 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.2024年9月沈阳马拉松在沈阳奥体中心开赛，为了迎接这场城市马拉松盛宴，某商店购 进了一批进价为20元/个的纪念品进行销售，经市场调查发现：当纪念品销售单价不低 于进价时，日销量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)之间满足如图所示的一次函数 关系 (1)根据图像，求y关于x的函数表达式 (2)纪念品销售单价定为多少时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ /个 80 4 0 3040x/(元/个) 2.“麻辣拌”是抚顺的一种地方特色小吃，香辣利口，含口飘香，深受抚顺游客和当地老百姓 喜爱.某店销售“麻辣拌”，每份成本价为10元，通过分析销售情况发现，“麻辣拌”的日销 量y(单位：份)与销售单价x(单位：元/份)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于 成本价且不高于20元/份，每天销售“麻辣拌”的固定损耗为50元.日销量、销售单价的 部分对应数据如下表所示 销售单价x/(元/份) … 16 14 12 日销量y/份 200 300 400 (1)求y关于x的函数表达式. (2)当“麻辣拌”的销售单价定为多少时，该店每天出售这种“麻辣拌”所获的利润最大？ 最大利润为多少元？ 41(0,3);当y=0时，x2-4x十3=0，解得x=1或 x=3,.抛物线与x轴的交点为(1,0)，(3,0). 2.由题意可知，方程x2十x一2025=0的两根分别 为m,n,∴.m+n= -}=-1,mm=-2,025- 1 -2025,.1+1=m+n= -1 mnmn-20252025 3.(1)令x=0,得y=-3,∴.C(0,-3);令y=0,得 x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴.A(-1,0), B(3,0).(2)A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), ∴AB=4,0C=3,5e=2AB·0C=2× 2 4×3=6. 4.,抛物线y=x2一2018x十2019与x轴的两个 交点为(m,0)与(n,0),.m2-2018m十2019= 0,n2-2018n+2019=0,mn=2019,∴.(m2 2019m+2019)(n2-2019n+2019)=-m· (-n)=mn=2019. 练习2 1.令y=0,得2x2+x+1=0,∴.b2-4ac=12-4×2× 1=一7<0，.此函数的图像与x轴没有公共点. 2.,抛物线与x轴有两个交点，.方程2x2+2x十 k一2=0有两个不同的实数根，∴.b2一4ac=22 4×2×(k-2)=-8k+20>0,解得k<2.5. 3.证明：，b2-4ac=(-m)2-4×1×2(m-3)= m2-8m+24=m2-8m+16+8=(m-4)2+8> 0,.不论m为何实数，这个抛物线与x轴总有 两个交点. 4.(1)证明：b2-4ac=(-2m)2-4×1×(2m2+ 1)=-4m2-4<0,∴.不论m为何值，该函数的 图像与x轴没有公共点.(2)，y=x2-2mx+ 2m2+1=(x一m)2+m2+1,∴.抛物线的顶点坐 标为(m,m2十1).，把该函数图像沿y轴向下平 移3个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有 一个公共点，.m2十1=3，解得m1=√2，m2= 一√2，即m的值为士√2. 练习3 1.,抛物线y=a.x2+4ax+c的对称轴为直线x= -4=一2，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是 2a (1,0),∴.一2×2-1=一5，即抛物线与x轴的另 一个交点的坐标是（一5,0） 2.由题意可知，一名-1，即6=-2a,设方程的另 一个根为m,则6十m=一b=一二2a=2,解得 a m=一4，即方程a.x2十bx+十c=0的另一个根为 x=-4. 3.由题意可得BC=|x一2=√（十x2)2-4x2= √(m2+8)2-8(m2+6)=√/(m2+4)2=m2+4, ∴Sa=号BC,0A=2m+0·(2m2+12)= m4+10m2+24.又.S△ABc=48,.m4+10m2+ 24=48,整理，得(m2一2)·（m2+12)=0. m2+12>0,.m2-2=0,解得m=土√2. 第4节用二次函数解决问题 练习1 1.(1)根据题意，得y=100-5x.(2)设客房日租金 的总收入为P元，则P=(120+10x)(100-5x)= 一50(x-4)2+12800,∴.当x=4时，P取得最大 值，最大值为12800，此时每间客房的日租金为 120十10×4=160（元）.答：旅馆将每间客房的日 租金提高到160元时，客房日租金的总收人最 高，最高总收人是12800元. 2.(1)根据题意，得y=100-10.一50=一2z十 5 200.(2)根据题意，得W=(x一40)（一2x+ 200)=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+ 1800.-2<0,.当x=70时，W最大，W最大= 1800.答：当售价定为70元时，每天的总利润最 大，最大利润是1800元. 练习2 1.建立如图所示的 VA 平面直角坐标系 xOy,则点A的坐 标为(2，一2).设 抛物线的函数表达 式为y=ax2,将点 A2,-2)的坐标代入，得4如=-2，解得a=一 抛物线的函数表达式为y=一2.当y=一3 时，有-3=-，解得x=士6,6 (-√6)=2√6(m).答：水面下降1m后，水面的 宽度为2√6m. 2.建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则C(0, 4),A(一5,0)，B(5,0).设抛物线的函数表达式 为y=ax2十c,根据题意，得4=C: 解得 {0=25a+c, 4 云'：抛物线的函数表达式为y=一会十 c=4, 4 4当y=2.4时有2.4=一252+4，解得= 69 -√10，x2=√10，∴.√10-(-√10)=2√10(m). .2√10>6，∴.货箱能顺利通过该桥。 练习3 1.(1)由图像可知，这个抛物线的顶点坐标为(6， 4),且经过点(12,0).设这个抛物线的函数表达 式为y=a(x-6)2+4,则0=a×(12-6)2+4, 解得a=一号，这个抛物线的函数表达式为 y=- x-6+4.(2)当x=号×12-40=4 时y=一日×(4-6F+4=号>3货船能从 此桥洞通过. 2.由题意可知，抛物线的顶点为(0,4).设抛物线的 函数表达式为y=ax2十4，将点B(8,0)的坐标代 入，得64a2十4=0，解得a=一6该抛物线的函 数表达式为y=一高2十4.当x=6时，y= 一品×36十4-子，即水面上涨了子m 练习4 1.设AB=xm,则BC=(50一2x)m,长方形的面 积为ym.则=x(50-2)=-2(x-}+ 25.”-2<0当x=罗时y-625此时 B0=50-2×空=25(m.答：当AB-空m,BC 2 25m时，长方形的面积最大，最大面积是625m。 2.(1)根据题意，得2x十y=80,.y=-2x+80, ∴.S=x(-2x+80)=-2x2+80x.(2)S= -2x2+80x=-2(x-20)2+800.,0<y≤38， .0<-2x+80≤38，.21≤x<40.a=-2< 0,对称轴为直线x=20,∴.当x=21m时，矩形 实验田的面积S最大，最大面积是798m 练习5 1.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b.,图像 经过(30,80)和(40,40)两点，.306士6-80，解得 140k+b=40, k=一4y关于x的函数表达式为y=一4x十 1b=200, 200.(2)设日销售利润为元，则@=(x一 20)(-4x+200)=-4(x-35)2+900..a= 一4<0，.当x=35时，w有最大值，此时最大= 900(元).答：纪念品销售单价定为35元/个时， 70 所获日销售利润最大，最大利润是900元. 2.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b.根据 题意，得200=16士：解得-一50，y关 1300=14k+b, 1b=1000, 于x的函数表达式为y=-50x十1000(10≤ x≤20).(2)设日销售利润为w元，根据题意， 得w=(-50x+1000)(x-10)-50=-50(x- 15)2+1200..a=-50<0,10≤x≤20， ∴.当x=15时，w有最大值，此时大=1200（元）. 答：当销售单价定为15元/份时，日销售利润最 大，最大利润为1200元. 第六部分锐角三角函数 第1节锐角三角函数值 练习1 (1)W2 (2)4(3)82(4+1(5) 2 60)2 (7)0(8)0(9)0(10)W2 练习2 )-1(2)1+2(3)是4号(5) 4 (6)2-巨()2(8)23 练习3 15(21(3)1(4)-1(5)0(6)号 2 (7)33+8 (8)33 2 2 练习4 1.20°2.80°3.∠A=60°，∠B=45°，∠C=75° 41-95 3 第2节解直角三角形 练习1 1.在Rt△ABC中，：tanA=BC=23=3 AC 6 31 ∴∠A=30°.∠A+∠B=90°，.∠B=60°. ,AB=AC+BC,∴.AB=W62+(2W3)2=43. 2.,∠C=90°，c=10,a=5V2,.b=√c2-a2= 5√2，.△ABC是等腰直角三角形，∴.∠A= ∠B=45°. 3.∠A=30°，∠C>∠B,△ABC是直角三角形， ∠C=90°，∠B=90°-∠A=60°.BC=2, AB=4,∴AC=√AB2-BC=√4-2=2√3. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，.∠A= 90°-∠B=30°.a=8,.c=2a=16,.b= √c2-a2=√162-82=8√5. 5.在△ABC中，∠C=90°，.∠A+∠B=90°.又