专题04 二次函数的图象、性质与应用（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次函数的图象、性质与应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的图像与性质 题型02 二次函数图像与系数的关系 题型03 二次函数与一元二次方程 题型04 二次函数与不等式 题型05 待定系数法求二次函数解析式 题型06 二次函数与一次函数、反比例函数图像共存问题 题型07 由二次函数图像判断代数式符号 题型08 二次函数的实际应用 题型09 二次函数的综合应用：线段周长问题 题型10 二次函数的综合应用：面积问题 题型11 二次函数的综合应用：特殊三角形存在性问题 题型12 二次函数的综合应用：特殊四边形存在性问题 题型13 二次函数的综合应用：相似三角形问题 题型14 二次函数的综合应用：角度问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图像与性质 典例引领 【典例01】（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 【典例02】（2025·广东汕尾·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确； 故选：C． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值、与坐标轴交点，侧重基本性质的直接应用。 方法技能 ①定开口，对称轴，顶点； ②按对称轴划分增减区间，结合自变量范围求最值； ③令求轴交点，令求轴交点。 变式演练 【变式01】（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选：A． 【变式02】（2025·广东惠州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴关于对称轴的对称点为， 当时，随的增大而减小， ， 故选：D． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 题型02 二次函数图像与系数的关系 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）如图已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；其中错误的有（ ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； 抛物线的顶点为，对称轴为， ， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； 抛物线经过点， ∴，即，故③正确； 抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，故④正确． 故选：A． 【典例02】（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 方法透视 考向解读 高频易错题，选择/填空为主，由图像推等符号，或由系数符号判图像位置，侧重数形结合与系数逻辑推理。 方法技能 ①看开口，依“左同右异”（对称轴与轴关系）定，看轴交点； ②定与轴交点数； ③特殊值辅助判断系数组合特征。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·二模）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向以及与y轴的交点可以对A进行判断；观察图象，根据对称轴的位置，可对B C D进行判断． 【详解】解：A、抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 故A正确，本选项不符合题意； B、观察图象，当时，y随x的增大而增大．故B正确，本选项不符合题意； C、观察图象，二次函数图象与x轴有两个交点，故C正确，本选项不符合题意； D、观察图象，二次函数的最大值为n，故D错误，本选项符合题意． 故选：D． 【变式02】（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的判断，根据可得出抛物线开口向下，再根据，可得出对称轴在y轴左侧．再根据可得出抛物线交y轴的正半轴，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴直线， ∴对称轴在y轴左侧． ∵， ∴抛物线交y轴的正半轴， 故选：B． 题型03 二次函数与一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）已知函数与轴的一个交点坐标为 （1）若方程其中一个根为，则另一个根为___________． （2）的最小值是___________． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，配方法的应用、以及偶次方的非负性，根据一元二次方程的解找出是解题的关键． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系求解； （2）将代入原方程即可得出，将代入中利用配方法将其变形为，再根据偶次方程的非负性即可得出的最小值． 【详解】解：（1）函数与轴的一个交点坐标为 ∴方程有一个根为， ∵方程其中一个根为， ∴另一个根为； （2）为方程的一根， ，即． ． ． ， ． 的最小值是2． 故答案为：，2． 【典例02】（2025·广东佛山·二模）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴有两个不相同的交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 方法透视 考向解读 核心衔接题，选择/解答均有，考查二者数形关联，方程根为函数与轴交点横坐标，结合判别式、韦达定理应用，是综合题基础。 方法技能 ①方程根函数与轴交点横坐标； ②判定交点个数，韦达定理求交点横坐和与积； ③结合图像分析根的取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ∵抛物线与x轴交点处， ∴令，即． ∴或， 解得：∴，， ， 故答案为：3． 【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点， 令，则， ， ， ， 故答案为：． 【变式03】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 题型04 二次函数与不等式 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答． 【详解】解：根据图象：当时的取值范围为， 故选：C． 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解． 【详解】解： ∵二次函数与一次函数的图象相交于点及， ∴能使成立的x的取值范围即使得的取值范围，结合图象得：． 故选：D． 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查由图像求的解集，或由解集分析图像，侧重“图像在轴上下方的范围”。 方法技能 ①求函数与轴交点横坐标为分界点； ②时，上方为两根外侧，下方为两根之间，则反之； ③含参数时结合图像分类讨论。 变式演练 【变式01】（2025·广东肇庆·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 【变式02】（2025·广东中山·模拟预测）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，根据题意列出不等式、再画出对应函数的图像成为解题的关键． 根据题意可得，则x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围；再求得函数的图像与x轴的交点的横坐标为0、1，最后画出函数图像即可解答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围， ∵， ∴函数的图像与x轴的交点的横坐标为0，1， 画出函数图像如下： ∴不等式的x取值范围为：0或． 故选B． 【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（    ） A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 【答案】A 【分析】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当或时，抛物线在双曲线上方， 所以不等式的解集为或． 故选：A． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和c的方程组，然后求解方程组即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 【典例02】（2025·广东珠海·模拟预测）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 【详解】∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 方法透视 考向解读 必考基础题，解答题为主，根据点坐标、对称轴、顶点、与轴交点等条件求解析式，是二次函数综合题前置核心步骤。 方法技能 ①一般式：已知3个普通点，列方程组求解； ②顶点式：已知顶点/对称轴+1个点，求； ③交点式：已知与轴两交点+1个点，求。 变式演练 【变式01】（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式02】（2025·广东佛山·模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，观察数据发现规律是解决本题的关键 ． 观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，设出二次函数解析式将数值代入求解即可 ． 【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线解析式为，再代入即可得到答案. 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 题型06 二次函数与一次函数、反比例函数图像共存问题 典例引领 【典例01】（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧， A和B选项不正确； 时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点， C选项不正确； 时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点， D选项正确． 故选：D． 【典例02】（2025·广东江门·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过二、三、四象限， 故选：B． 方法透视 考向解读 基础综合题，选择为主，根据等系数符号，判断三函数图像能否共存在同一坐标系，侧重各函数系数与图像特征的综合推理。 方法技能 ①分别分析各函数系数与图像的对应关系； ②找系数符号的共性与矛盾点，无矛盾则可共存，有矛盾则不能。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 【变式03】（2025·广东揭阳·模拟预测）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 题型07 由二次函数图像判断代数式符号 典例引领 【典例01】（2025·广东湛江·二模）如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，结合题意，逐项判断即可求解． 【详解】解： 由图象可知，抛物线的对称轴为， 所以，得到，故①正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为， 所以， 又因为， 所以，故②正确； 因为， 所以，故③错误； 当时，， 将图象向上平移2个单位后，此点为， 所以抛物线与直线有4个交点，故④正确； 综上，①②④正确． 故选：C． 【典例02】（2025·广东清远·二模）如图，函数的图象过点和．有以下结论：①；②；③关于x的方程必有两个不相等的实数根．其中正确结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．①利用图象信息确定a，b，c的取值即可判断；②根据二次函数图象与性质可得出，两式相减可得出再把结论变形即可判断；③根据直线与抛物线有两个交点，即可判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵的图象过点， ∴，① ∴， ∵的图象过点， ∴， ∴② 得，， 整理得，， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴，故②正确； ∵方程， ∴， ∵， ∴， 由图象可知当，直线与抛物线有两个交点， ∴关于x的方程必有两个不等的实数根．故③正确， ∴3个结论正确； 故选：D． 方法透视 考向解读 难点易错题，选择/填空为主，判断等复杂代数式符号，侧重系数关系、特殊值代入、图像特征综合运用。 方法技能 ①基础系数按题型02判断； ②看对称轴与的位置关系； ③代入求函数值； ④最值、判别式辅助判断分式/根式类代数式。 变式演练 【变式01】（2025·广东惠州·一模）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 利用二次函数图象的性质，对称轴，顶点坐标等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A.根据抛物线的图象可知，开口向下，，对称轴位于轴的左侧，，交轴于正半轴，， ∴，该选项错误，故该选项不符合题意； B.由抛物线的图象可知，交轴于点和， ∴该抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴，则，该选项错误，故该选项不符合题意； C.当时，，根据抛物线图象可知，该点的纵坐标大于零， ∴，该选项错误，故该选项不符合题意； D. 由抛物线的图象可知顶点坐标为，为最高点， ∴， 即，该选项正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式02】（2025·广东中山·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故②错误；根据对称轴求出，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴，故②错误； ∵中，， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵图像与轴交于点， ∴将图象向上平移2个单位后图像与轴交于点，且对称轴为直线， ∴将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点，故④错误； 故选：D． 【变式03】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据对称轴为，即，判断①；时，，判断②；开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断③；根据函数图象可以判断④，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性． 【详解】解：根据对称轴为，即，，故①正确； 根据图象可得，当时，， 即，故②正确； 开口向下，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故③正确； 由图象可的点， 或中，，故④不正确． 故正确的个数为3个， 故选：C． 题型08 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为 (2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴，     ∴， ∵， 解得， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 答：矩形田地的面积的最大值为； （2）根据（1）可得， 令， 解得，，     ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，     ∴当时，，     ∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为． 【典例02】（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)建立平面直角坐标系如图， 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数是解题的关键． （1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，求出坐标，再由待定系数法求直线的解析式； （3）根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为， 当时，， ， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得 ； （3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 方法透视 考向解读 中档应用题，解答题为主，考查利润、面积、抛体、最值优化等实际场景建模，侧重用二次函数表示数量关系并求实际最值/范围。 方法技能 ①设自变量，根据实际数量关系列解析式； ②化简求对称轴和顶点； ③结合自变量实际取值范围（正、整数等）求最值，验证结果符合实际。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据原销售件数减去减少的件数列出函数关系式即可； （2）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：因为进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元， 所以 由题意得，； 所以y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W， 根据题意得，则， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∴当时，W 随x的增大而增大， ∴时，W取得最大值， ∴，解得：． 【变式02】（2025·广东江门·三模）综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据如下表格内容完成任务． 课题 设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构 材料1 如图是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为．两边是与地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为，连廊的宽度为． 材料2 半圆形的顶部设计在跨度小（不超过）时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相比较抛物线，其模板简单（固定半径），施工简捷，成本较低． 任务1 确定连廊形状 如图为连廊的横截面示意图，其中为连廊顶部的抛物线段，点E为最高点，，为两边的支撑柱，以所在的直线为x轴，以过点E且垂直于的直线为y轴，单位长度为建立平面直角坐标系，则的函数解析式为 ． 任务2 探索最优方案 如图，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁，利用某种材料搭建成一个矩形脚手架（其中，，用到材料），所用材料单价为100元/m．为了做好充分的预算，请你计算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？ 任务3 优化连廊结构 工程师决定将顶部抛物线改为半圆弧，其中圆弧顶端E到地面的距离仍为，宽为．现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为，求货架顶部到地面的最大允许高度． 【答案】任务1：；任务2： 元；任务3： 【分析】任务1：由题意得，，，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求解即可； 任务2：由于P、N两点都在抛物线上，且P、N两点关于y轴对称， 设，则．列出关于n的函数表达式，根据抛物线的顶点坐标即可求出的最大值，进而可得搭建这个脚手架最多需要花费多少元． 任务3：连接，设半圆的圆心为O点，矩形货架为，，、分别交于G、H，当N点在半圆上时，货架最高．根据勾股定理求出 的长，再加上的长，即可得货架顶部到地面的最大允许高度． 【详解】解：任务1： 由题知，，，， ∴，，， 设抛物线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 任务2： ∵P、N两点都在抛物线上，且P、N两点关于y轴对称 ∴设， 则， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为16， ∴搭建这个脚手架最多需要花费元； 任务3： 如图，连接，设半圆的圆心为O点，矩形货架为，，、分别交于G、H，当N点在半圆上时，货架最高． 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴货架顶部到地面的最大允许高度为． 【变式03】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 题型09 二次函数的综合应用：线段周长问题 典例引领 【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12． ①求点D的坐标； ②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)①；②的最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况：点在上方和点在下方分别进行解答即可； （3）①根据求出即可得到答案；②在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得．证明，得到．得到，此时最小（两点间线段最短，共线时），即可求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ，解得． 抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴， ①当点在上方时，如图2， ， ∵点的纵坐标相等， 点的纵坐标为4，令，则， 解得：（舍）或， ； ②当点在下方时，如图3， 设交轴于点， ， ． 设， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． ． ， 解得：（舍），， ． 综上：点的坐标为或． （3）解：①， ， ， ， ②如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得． ， ， ， 又， ， ． ． ， 此时最小（两点间线段最短，共线时）， 的最小值． 【典例02】（2025·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线过点．与抛物线交于、两点，且，． (1)求抛物线的对称轴； (2)求，，的值； (3)点是下方抛物线上一点，过作轴交抛物线于点，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)，， (3)的值最大为 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）由题意可得，，解直角三角形得出，即，再利用待定系数法求解即可； （3）求出，作轴交于，则，得出，则，设，则，表示出，，从而可得，再分情况并结合二次函数的性质讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：根据题意画出图如图： ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入直线可得：， 解得：， 将代入可得， 解得； （3）解：由（2）可得：抛物线的解析式为，直线的解析式为，，， 由（1）可得抛物线的对称轴为直线， ∴， 在中，当时，，即， ∴， ∴， ∴， 如图，作轴交于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵过作轴交抛物线于点， ∴， ∴， 当时，， 此时当时，的值最大为， 当时，， 此时当时，的值最大为， 综上所述，的值最大为． 方法透视 考向解读 压轴中档题，解答题为主，考查函数上动点与定点构成的线段长、周长的最值/定值，常结合轴对称，侧重坐标求线段长与几何定理结合。 方法技能 ①设动点坐标（用一个未知数表示）； ②水平/竖直线段用坐标差求，斜线段用两点间距离公式； ③周长最值转化为线段最值，用轴对称法（将军饮马）找最短路径，列表达式求最值。 变式演练 【变式01】（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 【变式02】（2025·广东惠州·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段． (1)求该抛物线的解析式； (2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式； （2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨； （3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 当时，， ， ∵， ， 过和， 则， 解得： 抛物线的解析式为： （2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为， 即点的坐标， 又点在直线上， 解得（舍去），， 的坐标为． （Ⅰ）当为直角顶点时， 过作交轴于点，设， ∵直线与x轴交于点D， 令，则 ∴点坐标为， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ， ． （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于， 同理可证， ∴， ∵点坐标为，的坐标为 ∴ 即， ， ， ， ∴点坐标为． （Ⅲ）当为直角顶点时，设， 由，得， ∴， 由得， 解得，， 此时的点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或； （3）抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴直线的解析式为 由，得， ． 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； (2)点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 【答案】(1)，直线，， (2)①点M是线段的中点，理由见解析；② 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用． （1）将点代入中，求出b的值，再根据二次函数的性质确定对称轴和对称点即可； （2）①设直线的表达式为，从而求出M的坐标为，根据二次函数解析式，求出点P的坐标为，进而判断即可； ②将的长度表示出来，根据二次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， 点C关于对称轴的对称点的坐标为； （2）解：①点M是线段的中点，理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 此时点M的坐标为， 当时，，即点P的坐标为，， 点M为线段的中点； ②设，，则， ， ， 当时，最长， 将代入，得，即， 当线段最长时，点M的坐标为 题型10 二次函数的综合应用：面积问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，顶点B不在第四象限． (1)用含a的式子表示b； (2)连接，求面积的最小值及此时点B的坐标； (3)经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当时，都成立，结合图象，求t的最大值． 【答案】(1) (2)面积的最小值为2，此时 (3)t的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， （1）将点代入关系式，整理得出答案； （2）根据顶点B不在第四象限可得a的取值范围，再作轴交于点H，接下来求出直线的解析式，可得点，进而表示出，然后根据，最后结合a的取值范围得出答案； （3）由（2）知,再分两种情况：①当，可得，进而得，然后根据a的取值范围可得，即可得出最大值； ②当，即时，结合得出最大值，最后比较得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴； （2）解：， ∴． ∵顶点B不在第四象限， ∴， 解得， 过点B作轴交于点H， 设直线的解析式为，代入点， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴面积的最小值为2，此时； （3）解：由（2）知； ①当，即时， ， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当时，； ②当，即时， ， 即当时，； ∵， ∴t的最大值为． 【典例02】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图：抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，若点P是线段上的一动点（不与A、B重合），分别以为一边，在直线的同侧作等边三角形和，连接相交于点E，连接．回答以下问题 (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)求三角形的最大面积，并写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先根据等边三角形的性质证明可得，进而得到，然后根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解答； （3）如图，过点M作轴于点G，过点N作轴于点H，易得；设，则，；再根据用x表示出三角形的面积，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意把点代入， 得，，解得， 抛物线解析式为：． （2）解：∵与为等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ∴， ． （3）解：如图，过点M作轴于点G，过点N作轴于点H， 令代入中，解得， ，则, ∵， ∴ 设，则， ∵是等边三角形，， ∴,, ∴ 同理：， ， ， 当时，S有最大值是, 的最大面积是，此时点P的坐标是． 方法透视 考向解读 压轴高频题，解答题为主，考查动点与定点围成的三角形、四边形面积的最值/定值，核心为割补法，侧重坐标转线段长的几何计算。 方法技能 ①设动点坐标，求关键定点/交点坐标； ②割补法拆分不规则图形，或用铅锤法求三角形面积（水平宽铅锤高）； ③用未知数表示面积，转化为二次函数求最值，或按定值列方程求解。 变式演练 【变式01】（2025·广东梅州·二模）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数表达式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由点在第二象限得到．依题意，得，即可得出，求出，再建立一元二次方程，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为； （2）解：设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． ∴， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 【变式02】（2025·广东广州·一模）已知一条抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)当时，求这条抛物线的解析式： (2)当时，在这条抛物线上取一点（不与点重合），当时，求点的横坐标： (3)若过点的直线与的边交于点（不包括端点），设四边形的面积为，的面积为，若，求点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，作的外接圆，设交抛物线x轴上方（除点C）于点P，连接，过点P作轴垂线，交轴于点H，过点C作轴垂线，交点过点P垂线轴的垂线于点G，此时，点P，在上，即，证明，推出，设，求出，建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，求出，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意点， ∵，， ∴设这条抛物线的解析式为， 将点代入抛物线得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为； （2）解：当时，由（1）知这条抛物线的解析式为， 如图，作的外接圆，设交抛物线x轴上方（除点C）于点P，连接，过点P作轴垂线，交轴于点H，过点C作轴垂线，交点过点P垂线轴的垂线于点G， 此时，点P，在上，即， 则， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴点的横坐标的取值范围为． 【变式03】（2025·广东河源·一模）已知点是抛物线上的两个不同点． (1)当m为何值时，； (2)直线l经过A，B两点，且与y轴交于点，试问b是否存在最小值，若存在，请求出b的最小值；若不存在，请说明理由； (3)点D是抛物线的顶点，点O是坐标原点，连接，当m为何值时，． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，求一次函数解析式，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由题意可得两点关于对称轴对称，即可解答； （2）求得直线的解析式，再求得的值即可解答； （3）分类讨论，分在的同侧或异侧，列方程即可解答． 【详解】（1）解： 当时，两点关于对称轴对称， 对称轴为直线， ， 解得； （2）解：存在，理由如下： 当时，直线与轴平行，此时； 当时，设直线的解析式为， 把代入可得， ， 解得， ， 当时，取最小值为， 综上，的最小值为； （3）解：当在同侧时，如图， 当时，， ， ， 设直线的解析式为， 代入解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 当当在异侧时，如图， ， 点到直线的距离相等， 点的中点经过直线， ，， 点的中点为， 代入直线，可得， 解得， 当时，重合，故舍去， 综上所述，当时，或． 题型11 二次函数的综合应用：特殊三角形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·广东江门·三模）综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； (3)如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2)点P的横坐标为1或 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，相似三角形判定与性质及圆内接四边形性质， （1）根据二次函数性质分别求出坐标即可； （2）分三种情况：当时或当时，分别根据相似三角形判定与性质求出，当时，此种情况不合题意； （3）连接，结合圆内接四边形性质得出，设，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】（1）解：二次函数，当时，， 解得：， ， 当时，， ； （2）解：设， 当时，如下图，过点P作轴于点Q， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是1； 当时，如下图，过点P作轴于点Q，过点B作轴交延长线于点M， 同理可证：， ，即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是； 当时，点P不在第四象限，舍去； 综上所述，点P的横坐标为1或； （3）连接， 由题意得：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， 设， ， ． 【典例02】（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为：． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，如图，过作轴交于，而直线轴，可得轴，则，证明，可得，求解，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，即． 当，， ∴， 一次函数过点和， 代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为2， ∴， 即有， 解得：（舍去）或， ∴． （3）解：∵面积为，面积为， ∴， 如图，过作轴交于，而直线轴， ∴轴，则， ∴， ∴， ∵，直线为， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点， ∴， 而，则有最大值， 当时，的最大值为：． 方法透视 考向解读 压轴难点题，解答题压轴小问，找动点使三点构成等腰/直角/等边三角形（以等腰、直角为主），侧重分类讨论与方程思想。 方法技能 ①设动点坐标，用未知数表示三边长度； ②分类讨论：等腰三角形分三边两两相等，直角三角形分三边分别为斜边； ③用勾股定理列方程，求解后检验点是否在函数图象上。 变式演练 【变式01】（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 【变式02】（2025·广东珠海·二模）如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变． ①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系； ②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想； (3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据旋转的性质可得，得出，进而根据四边形内角和得出，即可证明； ②根据旋转的性质可得，得出，进而根据四边形内角和得出，即可证明 （3）依题意重合，，轴，进而求得，根据勾股定理求得，即可得证． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①猜想，， ②证明：如图1，延长交于点， ∵， ∴ ∵，点关于对称轴的对称点为 ∴， ∴的中点为，在轴上，即，同理可得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， 又∵,分别为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即； （3）∵， ∴当点恰好落在上时，此时重合， ， 即，轴 ∵，当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【变式03】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】 抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E． 【构建联系】 （1）填空：______，______，点E的坐标为______． （2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【深入探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；3； （2） （3）能，点N的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求出b、c的值，联立方程组，解方程组即可求出点E的坐标； （2）过点P作轴，交于Q，设，则，，根据，得，解方程即可求解； （3）过作轴于H，过C作轴于G，证明，得出，，则，根据待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，设且，则，然后分；；三种情况讨论，根据两点间距离公式构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，2，； （2）过点P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时点P在x轴上，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴； （3）令，解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作轴于H，过C作轴于G， ∵点B沿的方向平移个单位长度，得到点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式， 又直线解析式为， ∴， ∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移， ∵平移， ∴ 设且，则， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； 综上，N的坐标为或． 题型12 二次函数的综合应用：特殊四边形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 【典例02】（2025·广东韶关·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点坐标为，， 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论． （1）利用直线解析式求出点、的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①作交于点，证，得比例线段，则取最大值时，求得的最大值； ②点在轴上时，过点作轴于，根据正方形的性质可证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用二次函数解析式求解即可；点在轴上时，作轴于，作轴于，同理可证得，可得，则点的横纵坐标互为相反数，可求出点坐标；点在轴上时，作轴于，作轴于，同理可证得，可得，则点的横纵坐标相等，可求出点坐标． 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于、两点， 当时，，时，， ，， 把，两点的坐标代入解析式得，， 解得，， 抛物线的解析式为 ； （2）①如图，作交于点， ， ， 为定值， 当取最大值时，有最大值， 设，其中，则， ， 且对称轴是直线， 当时，有最大值， 此时，； ②点， ， （i）如图2，点在轴上时，过点作轴于， 在正方形中，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点的纵坐标为， ， 解得，， ∴，， （ii）如图，点在轴上时，作轴于，作轴于， 同理可证得， ， 点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得：(舍去)，， ∴， 如图，点在轴上时，作轴于，作轴于， 同理可证得 ， 点的横纵坐标相等， ， 解得，舍去， ， 综合以上可得点坐标为，，． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题最后一问，找动点使四点构成平行四边形/矩形/菱形/正方形（以平行四边形为主），侧重分类讨论、中点坐标公式应用。 方法技能 ①设动点坐标，确定已知点坐标； ②平行四边形用中点坐标公式（对角线互相平分），矩形加勾股定理，菱形加邻边相等； ③分类讨论顶点不同组合方式，列方程求解并检验。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 【变式02】（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质． （1）设平移后的函数解析式为，将点和代入，即可求函数的解析式； （2）根据所给的条件求出，，再求出M、N与对称轴的距离的关系为，，即可得到； （3）设，则，，当时，当时，，求得；当时，，求得；当时，当时，，求得． 【详解】（1）解：设平移后的函数解析式为， 将点和代入， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，到对称轴距离越近值越大， ∵M、N与对称轴的距离的关系为，， ∴， ∴； （3）解：设，则，， 当时， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得或（舍）， ∴； 当时， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得，，不合题意； 综上所述：P点坐标为或． 【变式03】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 题型13 二次函数的综合应用：相似三角形问题 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)与相切，见解析； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查的是待定系数法求抛物线解析式，判定直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质；掌握切线的判定方法，作出合适的辅助线以及熟记相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）将点坐标代入表达式，求解即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，后过点作轴于点，证明即可； （3）由于相似三角形对应点尚不明确，所以分两种情况讨论，再根据相似三角形的性质即可求出坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 解得 抛物线的解析式为． （2）与相切， 理由：如图（1），令， 解得，． ， ， 又 ， ， 过点作轴于点． 抛物线的对称轴为直线，顶点． ， ， ， 又为直径， 与相切． （3）如图（2）：设抛物线对称轴与轴交于点，则． ，且点在抛物线对称轴上． 若与相似，则分以下两种情况： 当时，点与点重合， 当时，如图（2）， ， ， ． 点的坐标为或． 【典例02】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值； （3）当或时，和相似． 【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合． （1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解； （2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值． 选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值； （3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解∶ （1）顶点为， 设抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q， 抛物线的解析式为，交轴于点， 时，． ． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得 直线的解析式为． 设，则， ． ， ． ， ， 当时， 面积为最大值，最大值为． 选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q， 设，由“选择1”可得，， 轴， ． 又， ． ． ，， 当时，取得最大值，最大值为． (3)画出示意图如图3， ，直线的解析式为， ， ． 交抛物线于点E， 可设，其中． ， ． ． 轴平分． ∴点E关于x轴对称的点在直线上， ，其中， 解得， (舍去)，此时． 分类讨论如下∶设， 当时， ． ，顶点， ． ． 又， ，， ，解得，(舍去) ∴．此时； 当时 ， ，即． 解得， (舍去)， ∴此时． 综上，当或时，和相似． 方法透视 考向解读 压轴难点题，解答题为主，找动点使函数图象上的三角形与已知三角形相似，侧重相似判定定理与分类讨论。 方法技能 ①求关键点坐标，计算已知三角形的边长/角度； ②根据AA/SAS/SSS判定定理，分类讨论对应顶点； ③利用相似比例关系列方程，求解动点坐标，舍去不合题意的解。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·一模）已知抛物线经过点． (1)求抛物线G的解析式； (2)已知直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线G上一动点，点Q是直线l上一动点，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，问抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以点C、D、M组成的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）平移直线l至，使与抛物线唯一交点，令唯一交点坐标为，过点P作，交l于点Q，过点P作轴，与直线l相交于点，此时有最小值，先求出，则；再求出，，得到，证明，解直角三角形可得，； （3）可得，平移后的抛物线对称轴为直线则；再分，且时，有，，且时，有，时， 三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图所示：平移直线l至，使与抛物线有唯一交点，令唯一交点坐标为，过点P作，交l于点Q，过点P作轴，与直线l相交于点，此时有最小值， 设，联立方程组，整理得①， 当，得， 把代入①解得， ， ∴， 把代入直线l解析式得：，即， 把代入直线l解析式得：，即， ∴， ∵轴， ∴， ，即，， 解得， ； （3）解：∵原抛物线解析式为， 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D， ∴，平移后的抛物线对称轴为直线， ∴； ∵，， ∴当，且时，有， ∵， ∴， ∴， 解得或； 当，且时，有， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图所示，当时，设直线与y轴交于H， ∴此时有， ∵， ∴， ∴， ∴此时与相似，即有或， ∴或，即此时情形与时t的值相同． 综上所述：当与相似时，或或． 【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【变式03】（2025·广东佛山·模拟预测）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． (1)求b、c的值及的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； 则，∴， 当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形，∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，当时，与相似． 题型14 二次函数的综合应用：角度问题 典例引领 【典例01】（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【典例02】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题为主，考查函数图象上的角度相等/互余/特殊角（30°/45°/60°），侧重构造直角三角形、三角函数与相似结合。 方法技能 ①过点作坐标轴垂线，构造直角三角形，将角转化为直角三角形内角； ②用三角函数表示角度关系，列坐标等式； ③角度相等转化为三角形相似求解，特殊角直接结合三角函数值计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东清远·二模）抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将将、两点代入即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，，得到，，求出直线的解析式为；过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，可求出，，，可证明，则可求出，设与y轴的交点为S，可得，，求出直线解析式为，得到点D坐标为，根据，得到，解方程即可得到答案； （3）作轴，连接交x轴于点H，设，求出直线的表达式，由可表示，分别求，证，利用相似三角形的性质列出比例式即可求解； 【详解】（1）解：将、两点代入，得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵、， ∴，，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵∠， ∴，即为等腰直角三角形，， ∴，， 设直线的解析式为， 将、两点分别代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设与y轴的交点为S， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得： ∴点D坐标为 ∵， ∴ ∴ 解得：， ∵点P在第四象限， ∴， 将代入抛物线得：， ∴此时点P坐标为； （3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H， 设，直线的表达式为：， 将P，C的坐标代入得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 将代入得，，即， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 由题可知，， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 【变式02】（2025·广东揭阳·一模）【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． (1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ (2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： (3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，； (2) (3)存在，或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，即二次函数的解析式为； 当时，求x的值，当时求出y的值，进而确定点B、C的坐标；则求得 （2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，从而表示出N的坐标，进而表示出的关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）①如图1：在上截取，作，连接，先说明与抛物线的交点符合条件，再求出直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，由解得，进而确定点E的坐标；如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，易得直线的解析式为：；进而得到，即，设，则，解得：，即；由待定系数法可得直线BG的解析式为，则解得，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵在实数范围内与都有意义， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 令，即，解得：或， ∴， 令，即，即． 故答案为：1，． （2）解：设直线的表达式为， 代入，，得，解得： 直线的解析式为：， 设， 轴， ∴轴， ， ∵， ∴ ， ， ， 当时，． （3）解：①如图1：在上截取，作，连接， ， ， ， ， ， ， ， 与抛物线的交点符合条件， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 将点代入可得，解得：， 直线的解析式为：， 由，解得：（舍去）或， 当时，， ； ②如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于， ， ， ，即， 设，即，解得：． 运用待定系数法可得：直线的解析式为， ∴，解得：（舍去）或， 当时，， ． 综上所述：或． 题●型●训●练 1．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 2．（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 3．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2025·广东中山·模拟预测）已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图像和性质，利用抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴判断①；由抛物线与轴的一个交点为，结合对称轴得到另一个交点，由此判断②；根据一元二次方程与二次函数的关系判断③；将当时，有最大值，，时，，进行比较即可判断④． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论正确； ∵抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线， 由，得， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， ∴， ∴， ∴结论错误； ∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴多项式可因式分解为， ∴结论错误； ∵对称轴为直线，且函数开口向下， ∴当时，有最大值， 由得， 时，， 时，， ∴无论为何值时， ， ∴ ∴结论正确； 综上：正确的有． 故答案为：B． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 7．（2025·广东广州·二模）已知点，在抛物线上，且，则_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物线表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向下，当时， y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（2025·广东潮州·模拟预测）把抛物线向左平移3个单位，得到的解析式为_______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得将抛物线向左平移3个单位，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 9．（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是__________． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据图象确定抛物线过点，将其代入解析式求出b，c的值即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）设m，n是非零自然数，并且，则的最小值是____． 【答案】102 【分析】根据，得，故，构造以为自变量的二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 本题考查了自然数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最小值，且为， ∵m，n是非零自然数， ∴，， ∴， ∴， ∴n的最小值为6， ∴，取得最小值，且为：． 故答案为：102． 三、解答题 11．（2025·广东韶关·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式 (2)当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为 (3)当时，正方形的最小面积为0.9，此时点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，图形的旋转； （1）根据题意得到点的坐标，设直线的解析式为；把点的坐标代入解析式计算即可；求出点的坐标为；设抛物线的解析式为；把点的坐标代入解析式，解得即可求出； （2）根据勾股定理求出，当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出，得到，得到，当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出；得到；得到；即可求出结果； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为；得到，得到；根据三角函数得到，；求出，，得到；结合勾股定理表示出，结合面积公式得到，得到当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9；根据，；即可求出结果． 【详解】（1）解：∵矩形的边， 且绕原点顺时针方向旋转，得到矩形； ∴点的坐标分别为；    设直线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：    解得： ∴直线的解析式为；           ∵点是直线与轴的交点，令； 解得：； ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于两点； ∴设抛物线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：； 解得：； ∴抛物线的解析式为； 即； （2）解：∵点的坐标为； ∴； ∴，； ∴在中，， 在中，；   当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                       ∴； ∴；                               当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                      ∴； ∴；                            ∴当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为； （3）解：由题意得：，其中； 过点分别作的垂线，垂足分别为； ∵； ∴； ∴； ∴， ； ∴，； ∴，； ∴；        ∴在中，； ∴；          ∵，且； ∴当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9； 此时，，；即点坐标为． ∴当时，正方形最小面积为0.9，此时点坐标为 12．（2025·广东深圳·二模）新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 【答案】（1）； （2）当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元； （3） 这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元 【分析】（1）依据题意，由每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，则可设降价为x元，故销量增加量为千克，从而总销量为千克，又此时售价变为元/千克，进而可以计算得解； （2）依据题意，结合，从而可以结合二次函数的性质判断得解； （3）依据题意，令，则或，又二次函数的图象开口向下，结合该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． 【详解】解：（1）由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克， 设降价为x元，则销量增加量为千克 总销量为千克． 又此时售价变为元/千克， 销售额y与x的函数关系式为： （2）由题意，结合 当时，y取最大值，最大销售额为720元． 答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元． （3）由题意，令， 或 二次函数的图象开口向下， ∴时，， ∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，， ∴， 对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元． 13．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 【答案】(1)， (2)喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为： (3)6； 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、直线与抛物线的位置关系，解题的关键是掌握并能灵活应用知识解决问题． （1）代入，求得的高度，利用二次函数顶点坐标公式求出的最大值即可； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，对称轴关于y轴对称，据此求出左侧抛物线的解析式； （3）①先求出新的过点的抛物线解析式，再求出它与轴正半轴的交点，结合整数要求确定水池半径； ②设过点的直线解析式为，射灯照射出的光线穿过三段水流，两个临界状态分别是直线过G点和直线与新抛物线相切时，求出临界状态时相应的正切值，进而得到正切值的范围． 【详解】（1）解：当时，； ， 故答案为：，； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，轴右侧的抛物线的解析式为：， ∴设轴左侧的抛物线的解析式为：， ∵两条抛物线关于轴对称， ∴两条抛物线对称轴关于y轴对称， ∴， ， 喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：； （3）根据题意，， 右侧原抛物线， ∵新抛物线与原抛物线形状大小相同， ∴设新抛物线为， ∵过点，且顶点纵坐标为， ∴ 解得：，（舍掉，与原抛物线重合）， 则， 故新抛物线解析式为： ， 令，得 解得：（舍）， 水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， 水池半径至少为6米； ②设过点的直线解析式为， 射灯照射出的光线穿过三段水流，则直线过G点和直线与新抛物线相切是两个临界状态， 设切点为，作轴，轴， 当直线过G点时，在中，， 当直线与新抛物线相切时， ， 即， ∵直线与新抛物线相切， ∴， （舍）， 此时抛物线与直线切点为， ∴此时，在中，， 射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是． 14．（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）由题意得可推出是等腰直角三角形，，求出直线的解析式；设，则，可得，根据 即可求解； （3）设，则，分别求出直线和的解析式，与抛物线方程联立可得，；据此即可求解； 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； ∵， ∴，， ∴． 15．（2025·广东惠州·三模）给出如下规定：两个图形和，点为上任一点，点为上任一点．如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离，在平面直角坐标系中，为坐标原点． (1)点的坐标为，则点和射线之间的距离为________，点和射线之间的距离为________． (2)如果直线和抛物线之间的距离为，那么________；（可在图中进行研究） (3)点的坐标为．将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形． ①请在图中画出图形，并描述图形的组成部分：（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ②将射线组成的图形记为图形，抛物线与图形的公共部分记为图形，请直接写出图形和图形之间的距离． 【答案】(1)，； (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）点与射线的距离就是点到的距离，点与的距离是长； （2）根据过点与平行的直线与抛物线只有一个公共点，则化简后的一元二次方程的左边的代数式是完全平方式，可得出点的横坐标的值，从而表示出点和点坐标，进而求得； （3）数形结合：y正半轴到和的距离相等，和在x轴下方上点和，的距离是直线上的点和点的距离是，它们之间的夹角内部和，的距离是该区域内的点和之间的线段的长． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴射线在轴上， ∴点和射线之间的距离为，点和射线之间的距离为， 故答案是：，； （2）如图1，设抛物线与直线之间的距离是点到的距离， 设过点与平行的直线为， 由，得， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴， 故答案是：； （3）①如图2，反向延长得射线， 则图形是轴的正半轴，射线及的内部， ②如图2， 与之间距离是抛物线与或的交点到点的长度， 由， 解得或（舍去）， ∴其中一个交点是， ∴图形和图形之间的距离． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的图象、性质与应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的图像与性质 题型02 二次函数图像与系数的关系 题型03 二次函数与一元二次方程 题型04 二次函数与不等式 题型05 待定系数法求二次函数解析式 题型06 二次函数与一次函数、反比例函数图像共存问题 题型07 由二次函数图像判断代数式符号 题型08 二次函数的实际应用 题型09 二次函数的综合应用：线段周长问题 题型10 二次函数的综合应用：面积问题 题型11 二次函数的综合应用：特殊三角形存在性问题 题型12 二次函数的综合应用：特殊四边形存在性问题 题型13 二次函数的综合应用：相似三角形问题 题型14 二次函数的综合应用：角度问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图像与性质 典例引领 【典例01】（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东汕尾·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空为主，考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值、与坐标轴交点，侧重基本性质的直接应用。 方法技能 ①定开口，对称轴，顶点； ②按对称轴划分增减区间，结合自变量范围求最值； ③令求轴交点，令求轴交点。 变式演练 【变式01】（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【变式02】（2025·广东惠州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 题型02 二次函数图像与系数的关系 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）如图已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；其中错误的有（ ）个． A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法透视 考向解读 高频易错题，选择/填空为主，由图像推等符号，或由系数符号判图像位置，侧重数形结合与系数逻辑推理。 方法技能 ①看开口，依“左同右异”（对称轴与轴关系）定，看轴交点； ②定与轴交点数； ③特殊值辅助判断系数组合特征。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·二模）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 【变式02】（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型03 二次函数与一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）已知函数与轴的一个交点坐标为 （1）若方程其中一个根为，则另一个根为___________． （2）的最小值是___________． 【典例02】（2025·广东佛山·二模）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为________． 方法透视 考向解读 核心衔接题，选择/解答均有，考查二者数形关联，方程根为函数与轴交点横坐标，结合判别式、韦达定理应用，是综合题基础。 方法技能 ①方程根函数与轴交点横坐标； ②判定交点个数，韦达定理求交点横坐和与积； ③结合图像分析根的取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则__________． 【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为________． 【变式03】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 题型04 二次函数与不等式 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查由图像求的解集，或由解集分析图像，侧重“图像在轴上下方的范围”。 方法技能 ①求函数与轴交点横坐标为分界点； ②时，上方为两根外侧，下方为两根之间，则反之； ③含参数时结合图像分类讨论。 变式演练 【变式01】（2025·广东肇庆·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式02】（2025·广东中山·模拟预测）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（    ） A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 题型05 待定系数法求二次函数解析式 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【典例02】（2025·广东珠海·模拟预测）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 方法透视 考向解读 必考基础题，解答题为主，根据点坐标、对称轴、顶点、与轴交点等条件求解析式，是二次函数综合题前置核心步骤。 方法技能 ①一般式：已知3个普通点，列方程组求解； ②顶点式：已知顶点/对称轴+1个点，求； ③交点式：已知与轴两交点+1个点，求。 变式演练 【变式01】（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【变式02】（2025·广东佛山·模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为：_______． 【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 题型06 二次函数与一次函数、反比例函数图像共存问题 典例引领 【典例01】（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东江门·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 方法透视 考向解读 基础综合题，选择为主，根据等系数符号，判断三函数图像能否共存在同一坐标系，侧重各函数系数与图像特征的综合推理。 方法技能 ①分别分析各函数系数与图像的对应关系； ②找系数符号的共性与矛盾点，无矛盾则可共存，有矛盾则不能。 变式演练 【变式01】（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·广东揭阳·模拟预测）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型07 由二次函数图像判断代数式符号 典例引领 【典例01】（2025·广东湛江·二模）如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③ 【典例02】（2025·广东清远·二模）如图，函数的图象过点和．有以下结论：①；②；③关于x的方程必有两个不相等的实数根．其中正确结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 方法透视 考向解读 难点易错题，选择/填空为主，判断等复杂代数式符号，侧重系数关系、特殊值代入、图像特征综合运用。 方法技能 ①基础系数按题型02判断； ②看对称轴与的位置关系； ③代入求函数值； ④最值、判别式辅助判断分式/根式类代数式。 变式演练 【变式01】（2025·广东惠州·一模）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．（为任意实数） 【变式02】（2025·广东中山·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 【变式03】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【典例02】（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 方法透视 考向解读 中档应用题，解答题为主，考查利润、面积、抛体、最值优化等实际场景建模，侧重用二次函数表示数量关系并求实际最值/范围。 方法技能 ①设自变量，根据实际数量关系列解析式； ②化简求对称轴和顶点； ③结合自变量实际取值范围（正、整数等）求最值，验证结果符合实际。 变式演练 【变式01】（2025·广东中山·模拟预测）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【变式02】（2025·广东江门·三模）综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据如下表格内容完成任务． 课题 设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构 材料1 如图是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为．两边是与地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为，连廊的宽度为． 材料2 半圆形的顶部设计在跨度小（不超过）时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相比较抛物线，其模板简单（固定半径），施工简捷，成本较低． 任务1 确定连廊形状 如图为连廊的横截面示意图，其中为连廊顶部的抛物线段，点E为最高点，，为两边的支撑柱，以所在的直线为x轴，以过点E且垂直于的直线为y轴，单位长度为建立平面直角坐标系，则的函数解析式为 ． 任务2 探索最优方案 如图，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁，利用某种材料搭建成一个矩形脚手架（其中，，用到材料），所用材料单价为100元/m．为了做好充分的预算，请你计算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？ 任务3 优化连廊结构 工程师决定将顶部抛物线改为半圆弧，其中圆弧顶端E到地面的距离仍为，宽为．现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为，求货架顶部到地面的最大允许高度． 【变式03】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 题型09 二次函数的综合应用：线段周长问题 典例引领 【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12． ①求点D的坐标； ②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 【典例02】（2025·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线过点．与抛物线交于、两点，且，． (1)求抛物线的对称轴； (2)求，，的值； (3)点是下方抛物线上一点，过作轴交抛物线于点，交于点，求的最大值． 方法透视 考向解读 压轴中档题，解答题为主，考查函数上动点与定点构成的线段长、周长的最值/定值，常结合轴对称，侧重坐标求线段长与几何定理结合。 方法技能 ①设动点坐标（用一个未知数表示）； ②水平/竖直线段用坐标差求，斜线段用两点间距离公式； ③周长最值转化为线段最值，用轴对称法（将军饮马）找最短路径，列表达式求最值。 变式演练 【变式01】（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【变式02】（2025·广东惠州·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段． (1)求该抛物线的解析式； (2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标． 【变式03】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； (2)点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 题型10 二次函数的综合应用：面积问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）平面直角坐标系中，抛物线G：过点，顶点B不在第四象限． (1)用含a的式子表示b； (2)连接，求面积的最小值及此时点B的坐标； (3)经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当时，都成立，结合图象，求t的最大值． 【典例02】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图：抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，若点P是线段上的一动点（不与A、B重合），分别以为一边，在直线的同侧作等边三角形和，连接相交于点E，连接．回答以下问题 (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)求三角形的最大面积，并写出此时点P的坐标． 方法透视 考向解读 压轴高频题，解答题为主，考查动点与定点围成的三角形、四边形面积的最值/定值，核心为割补法，侧重坐标转线段长的几何计算。 方法技能 ①设动点坐标，求关键定点/交点坐标； ②割补法拆分不规则图形，或用铅锤法求三角形面积（水平宽铅锤高）； ③用未知数表示面积，转化为二次函数求最值，或按定值列方程求解。 变式演练 【变式01】（2025·广东梅州·二模）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式02】（2025·广东广州·一模）已知一条抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)当时，求这条抛物线的解析式： (2)当时，在这条抛物线上取一点（不与点重合），当时，求点的横坐标： (3)若过点的直线与的边交于点（不包括端点），设四边形的面积为，的面积为，若，求点的横坐标的取值范围． 【变式03】（2025·广东河源·一模）已知点是抛物线上的两个不同点． (1)当m为何值时，； (2)直线l经过A，B两点，且与y轴交于点，试问b是否存在最小值，若存在，请求出b的最小值；若不存在，请说明理由； (3)点D是抛物线的顶点，点O是坐标原点，连接，当m为何值时，． 题型11 二次函数的综合应用：特殊三角形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·广东江门·三模）综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； (3)如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 【典例02】（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 方法透视 考向解读 压轴难点题，解答题压轴小问，找动点使三点构成等腰/直角/等边三角形（以等腰、直角为主），侧重分类讨论与方程思想。 方法技能 ①设动点坐标，用未知数表示三边长度； ②分类讨论：等腰三角形分三边两两相等，直角三角形分三边分别为斜边； ③用勾股定理列方程，求解后检验点是否在函数图象上。 变式演练 【变式01】（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【变式02】（2025·广东珠海·二模）如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变． ①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系； ②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想； (3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形． 【变式03】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】 抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E． 【构建联系】 （1）填空：______，______，点E的坐标为______． （2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【深入探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由． 题型12 二次函数的综合应用：特殊四边形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【典例02】（2025·广东韶关·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题最后一问，找动点使四点构成平行四边形/矩形/菱形/正方形（以平行四边形为主），侧重分类讨论、中点坐标公式应用。 方法技能 ①设动点坐标，确定已知点坐标； ②平行四边形用中点坐标公式（对角线互相平分），矩形加勾股定理，菱形加邻边相等； ③分类讨论顶点不同组合方式，列方程求解并检验。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【变式02】（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【变式03】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 题型13 二次函数的综合应用：相似三角形问题 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标． 【典例02】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 方法透视 考向解读 压轴难点题，解答题为主，找动点使函数图象上的三角形与已知三角形相似，侧重相似判定定理与分类讨论。 方法技能 ①求关键点坐标，计算已知三角形的边长/角度； ②根据AA/SAS/SSS判定定理，分类讨论对应顶点； ③利用相似比例关系列方程，求解动点坐标，舍去不合题意的解。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·一模）已知抛物线经过点． (1)求抛物线G的解析式； (2)已知直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线G上一动点，点Q是直线l上一动点，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，问抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以点C、D、M组成的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式03】（2025·广东佛山·模拟预测）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． (1)求b、c的值及的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 题型14 二次函数的综合应用：角度问题 典例引领 【典例01】（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【典例02】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 方法透视 考向解读 压轴难题，解答题为主，考查函数图象上的角度相等/互余/特殊角（30°/45°/60°），侧重构造直角三角形、三角函数与相似结合。 方法技能 ①过点作坐标轴垂线，构造直角三角形，将角转化为直角三角形内角； ②用三角函数表示角度关系，列坐标等式； ③角度相等转化为三角形相似求解，特殊角直接结合三角函数值计算。 变式演练 【变式01】（2025·广东清远·二模）抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 【变式02】（2025·广东揭阳·一模）【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． (1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ (2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： (3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 题●型●训●练 1．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 3．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 4．（2025·广东中山·模拟预测）已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 7．（2025·广东广州·二模）已知点，在抛物线上，且，则_______（填“”、“”或“”）． 8．（2025·广东潮州·模拟预测）把抛物线向左平移3个单位，得到的解析式为_______． 9．（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是__________． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）设m，n是非零自然数，并且，则的最小值是____． 11．（2025·广东韶关·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 12．（2025·广东深圳·二模）新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 13．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 14．（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 15．（2025·广东惠州·三模）给出如下规定：两个图形和，点为上任一点，点为上任一点．如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离，在平面直角坐标系中，为坐标原点． (1)点的坐标为，则点和射线之间的距离为________，点和射线之间的距离为________． (2)如果直线和抛物线之间的距离为，那么________；（可在图中进行研究） (3)点的坐标为．将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形． ①请在图中画出图形，并描述图形的组成部分：（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ②将射线组成的图形记为图形，抛物线与图形的公共部分记为图形，请直接写出图形和图形之间的距离． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $