第03讲平面向量基本定理及坐标表示讲义（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，以基本定理为基础，衔接正交分解及坐标表示，延伸至线性运算的坐标表示，构建从定理到坐标化再到运算的递进式学习支架，帮助学生系统掌握向量坐标体系。 资料设计亮点在于题型“举一反三”，每个知识点匹配例题与变式题，强化训练涵盖选择、填空、解答等多样题型。通过问题情境培养数学思维，借助坐标运算训练数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

第03讲平面向量基本定理及坐标表示 知识清单 知识点01：平面向量基本定理 知识点02：平面向量的正交分解及坐标表示 知识点03：平面向量的线性运算的坐标表示 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量基本定理 题型2：平面向量的正交分解和坐标表示 题型3：平面向量的坐标运算 题型4：向量数量积的坐标表示 题型5：向量模的坐标运算 题型6：向量的夹角的坐标运算 题型7：向量垂直的坐标表示及应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 3. 向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 知识点三、平面向量的线性运算的坐标表示 1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 2．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 题型1：平面向量基本定理 【例1-1】（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【例1-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    【变式1-1】（24-25高一下·贵州·月考）已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 . 【变式1-3】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 题型2：平面向量的正交分解和坐标表示 【例2-1】（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【例2-3】已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式2-1】（24-25高一下·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】的三个顶点，，，则顶点的坐标为 . 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 题型3：平面向量的坐标运算 【例3-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 【例3-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【变式3-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知向量，，，则的值为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·上海宝山·期中）平面内给定三个向量 ， (1)求向量在上的投影向量的坐标 (2)若，求实数. 题型4：向量数量积的坐标表示 【例4-1】（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 【例4-2】（24-25高一下·上海·月考）已知，，则在方向上的数量投影为 ． 【例4-3】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【变式4-1】（24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 【变式4-2】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 . 【变式4-3】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 题型5：向量模的坐标运算 【例5-1】（24-25高一下·吉林长春·月考）向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．2 B． C． D． 【例5-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【例5-3】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知 (1)若，求实数m、n的值； (2)若，求的最小值. 【变式5-1】（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知，，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为 ．（用向量坐标表示） 【变式5-3】（24-25高一下·四川成都·期中）已知平面内三点. (1)求中边中线长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，试求点坐标. 题型6：向量的夹角的坐标运算 【例6-1】（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知非零向量，若与的夹角为，则 ． 【例6-3】．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，则当与的夹角为钝角时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 【变式6-2】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，BC，CD，上（包含端点），若，则（为，的夹角）的最大值是 ． 【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量． (1)求； (2)求向量与的夹角的大小； (3)若向量满足，求实数的值． 题型7：向量垂直的坐标表示及应用 【例7-1】（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D．1 【例7-2】（24-25高一下·河北·期末）已知向量，，若，则 . 【例7-3】（24-25高一下·山东菏泽·期末）已知点，向量，，． (1)若，求的值； (2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 【变式7-1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，且，则 ，向量在向量方向上的投影向量坐标为 . 【变式7-3】（24-25高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州遵义·月考）若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 5．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 6．（24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 二、多选题 9．（23-24高一下·云南迪庆·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C． D．与方向相同 10．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）向量，下列叙述正确的是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 11．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 三、填空题 12．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 13．（2025高一·全国·专题练习）已知是内一点，，若，则 ． 14．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    四、解答题 15．（24-25高一下·贵州遵义·月考）设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 16．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 18．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 19．（24-25高一下·广东深圳·期末）在中，，边上的两条中线，相交于点，若. (1)用表示； (2)求； (3)若，求四边形的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲平面向量基本定理及坐标表示 知识清单 知识点01：平面向量基本定理 知识点02：平面向量的正交分解及坐标表示 知识点03：平面向量的线性运算的坐标表示 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量基本定理 题型2：平面向量的正交分解和坐标表示 题型3：平面向量的坐标运算 题型4：向量数量积的坐标表示 题型5：向量模的坐标运算 题型6：向量的夹角的坐标运算 题型7：向量垂直的坐标表示及应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． 3. 向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 知识点三、平面向量的线性运算的坐标表示 1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 2．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 题型1：平面向量基本定理 【例1-1】（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 【例1-2】设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【答案】③ 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 【例1-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，的角平分线与相交于点，利用向量证明．    【答案】证明见解析 【分析】结合角平分线的向量表示和定比分点公式可证． 【详解】设， 根据定比分点公式有， 而利用单位向量和共线定理，可得， 所以， 可得，， 两式相除可得． 【变式1-1】（24-25高一下·贵州·月考）已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算、共线向量基本定理及圆的性质推理计算即得. 【详解】当与不共线时，如图设AC中点为D，由， 因，则B，O，D三点共线，由圆的性质知， 故. 当与共线时，由和可得, 但此时是圆的直径，则,与题设不符. 综上，可得. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 . 【答案】1 【分析】根据平面向量共线定理将变形为，即可根据平面向量基本定理得，即可求出的值. 【详解】因为，且不共线， 所以，整理可得. 又因为， 所以由平面向量基本定理可得， 所以. 故答案为：1 【变式1-3】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 题型2：平面向量的正交分解和坐标表示 【例2-1】（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 【例2-2】（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： 【例2-3】已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】由终点坐标减去起点坐标，即得所求向量的坐标. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为，， 所以，. （3）因为，， 所以，. （4）因为，， 所以，. 【变式2-1】（24-25高一下·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 【变式2-2】的三个顶点，，，则顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】由可求出结果. 【详解】设，在中，， 又，， 解得 所以顶点的坐标为. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】应用基底表示向量再结合向量的坐标表示得出向量的坐标即可. 【详解】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 题型3：平面向量的坐标运算 【例3-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 【例3-2】（24-25高一下·福建宁德·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 【例3-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【详解】（1） ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 【变式3-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 【变式3-2】（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知向量，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示建立方程组，解之可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：-14 【变式3-3】（24-25高一下·上海宝山·期中）平面内给定三个向量 ， (1)求向量在上的投影向量的坐标 (2)若，求实数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的运算公式结合向量的坐标运算求解即可； （2）根据向量坐标的线性运算与平行向量的坐标关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】（1）因为 所以向量在上的投影向量为； （2）因为，， 又，所以，解得. 题型4：向量数量积的坐标表示 【例4-1】（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】以为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到，代入计算即可. 【详解】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3， 所以，所以， 所以. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一下·上海·月考）已知，，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】由数量投影计算公式可得答案. 【详解】在方向上的数量投影为：． 故答案为： 【例4-3】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行的坐标关系得出的值，代入差角的正切表达式求得结果； （2）利用向量点积的坐标运算列等式，整理后转化为正弦函数形式，结合角度范围求解. 【详解】（1）由，得，即，故. . （2），整理得， 即，变形为，故. 因，则，解得， 即. 【变式4-1】（24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解. 【详解】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，则，故A正确； 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以点为原点，建立平面直接坐标系，得直线的方程为，设点，利用数量积的坐标运算得，最后由二次函数即可求解. 【详解】由题意：以点为原点，建立平面直接坐标系，则， 所以直线的方程为，设点， 所以， 所以， 当时，的最小值为：. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【分析】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 题型5：向量模的坐标运算 【例5-1】（24-25高一下·吉林长春·月考）向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求得，，利用投影向量的计算公式可得向量在向量上的投影向量为，根据向量数乘的几何意义即可求解. 【详解】∵向量，，∴，，. ∴向量在向量上的投影向量为， ∴向量在向量上的投影向量的模为. 故选：A. 【例5-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义计算即得. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 【例5-3】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知 (1)若，求实数m、n的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等列式求解. （2）设，利用向量共线的坐标表示建立关系，再利用模的坐标表示求出最小值. 【详解】（1）由，得， 而，，则，即， 所以. （2）设，则，而， 由，得，即， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式5-1】（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知，，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以在方向上的投影数量为. 故选：D. 【变式5-2】已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为 ．（用向量坐标表示） 【答案】 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】因为，所以， 因为平面向量、的夹角为，且， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一下·四川成都·期中）已知平面内三点. (1)求中边中线长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，试求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：先求出中点为，再根据两点间的距离公式求解即可； 解法二：设中点为，根据，结合平面向量数量积、模的坐标表示计算求解即可. （2）设点，由代值计算求解即可. 【详解】（1）解法一：设中点为，则点，即， 所以边上的中线. 解法二：由， 则， 所以， ， 设中点为，则， 则， 则，即边中线长为. （2）因为点是线段上靠近点的三等分点，所以， 设点，则， 所以，解出，即.    题型6：向量的夹角的坐标运算 【例6-1】（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【例6-2】（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知非零向量，若与的夹角为，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式求出的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，解得. 故答案为：1. 【例6-3】．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，则当与的夹角为钝角时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意有且与不共线，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有且， 故选：C． 【变式6-2】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，BC，CD，上（包含端点），若，则（为，的夹角）的最大值是 ． 【答案】 【分析】构建直角坐标系，设，，，令，则，应用向量夹角的坐标表示求最大值. 【详解】构建如下图的直角坐标系，设，，， 所以，则，， 令，则， 所以，，且，即， 所以，即，故， 由题设 ， 由， 所以，当时，取最大值. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量． (1)求； (2)求向量与的夹角的大小； (3)若向量满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标公式计算即得； （2）利用向量的夹角公式计算即得； （3）利用向量相等构造方程求得，即得结果. 【详解】（1）由向量，得. （2）由向量，得， 又，于是， 而，所以. （3）依题意，即， 于是，解得. 题型7：向量垂直的坐标表示及应用 【例7-1】（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 故选：B. 【例7-2】（24-25高一下·河北·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】6 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】，，解得. 故答案为：6. 【例7-3】（24-25高一下·山东菏泽·期末）已知点，向量，，． (1)若，求的值； (2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求得的坐标，根据数量积为0列方程求解即可； （2）设，由题意，由此即可列方程求解. 【详解】（1）， 因为，所以， 得； （2）设，因为点在线段的延长线上且， 所以， 所以，解得：， 所以点的坐标为. 【变式7-1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B 【变式7-2】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，且，则 ，向量在向量方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用垂直的坐标表示，可得，即可求得，从而有，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，且，所以，解得， 所以，则，又，， 所以向量在向量方向上的投影向量坐标为， 故答案为：；. 【变式7-3】（24-25高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出； （2）利用得到，再利用线性运算得出坐标最后应用模长公式的坐标形式求解. 【详解】（1）若，则， 即 即或； （2）因为，则，则， 所以，得 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示直接得解. 【详解】由已知，， 则， 故选：C. 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，. 故选：C 3．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值，再由向量数量积的运算律及模长的坐标运算求结果. 【详解】由，得，所以． 故选：D 4．（24-25高一下·贵州遵义·月考）若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 5．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 6．（24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合已知条件列式计算求解. 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 8．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】解法1应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出即可求解；解法2应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解. 【详解】解法1：根据题意可知，所以， 故 ，所以， 所以． 解法2：因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，所以． 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高一下·云南迪庆·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C． D．与方向相同 【答案】AC 【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得. 【详解】对于A，因为，，可得，则，A正确； 对于B，平面内不共线的两个向量可以作为基底，可知两向量共线，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，与方向相反，D错误； 故选：AC. 10．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）向量，下列叙述正确的是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】ACD 【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AC，再由向量垂直的坐标表示可判断选项BD，可得答案. 【详解】对于A，当时，即或时，，可知A正确； 对于B，若，可得, 显然此方程无解，即不存在，使得，因此B错误； 对于C，易知，若，可得； 解得或，满足题意，因此C正确； 对于D，若，可得； 显然当满足题意，因此D正确； 故选：ACD 11．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算及向量相等求解. 【详解】因为，，， 所以， 设，则， 所以，即， 所以, 故答案为： 13．（2025高一·全国·专题练习）已知是内一点，，若，则 ． 【答案】4 【分析】法一：设，得，，则，即可得；法二：由题设得，进而有，即可得. 【详解】法一：设，，以为邻边作平行四边形， 如图，则，， 因为，所以． 法二：因为， 所以，所以， 所以， 所以． 故答案为：4 14．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正六边形的性质以及向量的线性运算和共线问题，通过向量关系建立等式求解线段比值. 【详解】解法1：如图，连接．    因为三点共线， 所以 ． 因为点在的中线上， 所以，解得，则，所以． 解法2： ， 化简得， 即，解得，所以． 四、解答题 15．（24-25高一下·贵州遵义·月考）设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，先求出和的坐标，然后利用列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，所以，设，又，所以， 因为，所以，解得，所以点D坐标为； （2），， 所以，， 因为与平行， 所以，解得. 16．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量投影的定义列式求解； （2）由题可得且与不共线，列式运算得解. 【详解】（1）由题可得，解得. （2）由向量与的夹角为锐角，可得且与不共线， ，所以， 又，即，此时可得 所以实数的取值范围为. 17．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先由垂直的坐标表示求出，再根据投影向量的定义：在上的投影向量为求解即可； （2）由向量夹角为钝角，则，且向量与不共线，列出式子求解即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 由，可得， 即，解得， 所以， 又与同方向的单位向量，， 故在上的投影向量为. （2），， 向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与 不共线，即， 解得且， 故m的取值范围是. 18．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】（1）由向量数量积的运算结合模长的运算可得； （2）利用垂直的向量表示和数量积的运算律可得； （3）利用向量共线的条件列方程组可得. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 所以. （2）因为，所以， 解得. （3）因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. 19．（24-25高一下·广东深圳·期末）在中，，边上的两条中线，相交于点，若. (1)用表示； (2)求； (3)若，求四边形的面积. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)由，为，边上的中线即可得出答案 （2）由，两边平方，设，化简计算后即可得出答案 （3）由是重心，得出，再由（2）即可得出答案 【详解】（1）因为为边上的中线，所以 因为为边上的中线，所以 （2）因为 所以 因为 所以设 所以 所以 又因为 所以 （3） 已知，设，结合， ，代入得： 解得 则 因为是重心,则 所以，同理 1 学科网（北京）股份有限公司 $