第03讲空间向量的应用讲义（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第03讲空间向量的应用 知识清单 知识点01：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系 知识点02：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系 知识点03：空间向量法求空间中的距离 知识点04：空间向量法求空间中的角 题型讲解 （举三反三） 题型1：空间位置关系的向量证明 题型2：平面的法向量 题型3：向量法求线线角 题型4：向量法求线面角 题型5：向量法求面面角 题型6：点到线、面的距离 题型7：平行线、面间的距离 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01空间向量法求空间中直线、平面的平行关系 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 知识点02空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系 ①设分别是直线与的方向向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. ③设分别是直线与的法向量，则. 知识点03空间向量法求空间中的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 知识点04空间向量法求空间中的角 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 ②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. ③如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 题型1：空间位置关系的向量证明 【例1-1】（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【例1-2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【例1-3】在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【变式1-1】（24-25高二下·江苏常州·月考）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【变式1-2】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 【变式1-3】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 题型2：平面的法向量 【例2-1】若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二上·江苏南通·月考）已知，写出平面的一个法向量 . 【例2-3】在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【变式2-1】已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为（    ） A．(0，1，－1) B．(－1，0，1) C．(1，1，1) D．(－1，0，0) 【变式2-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 【变式2-3】已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1， AD＝，求平面SCD的一个法向量． 题型3：向量法求线线角 【例3-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C．0 D． 【例3-2】（24-25高二下·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 【例3-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 【变式3-3】（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且．    (1)以为基底表示向量，； (2)若，且．求直线与所成角的余弦值； 题型4：向量法求线面角 【例4-1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】在空间直角坐标系中，，若平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为 【例4-3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏南通·月考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 【变式4-3】）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； 题型5：向量法求面面角 【例5-1】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【例5-2】等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 【例5-3】（25-26高二上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式5-1】在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，在直三棱柱中，，，则二面角的大小为 ． 【变式5-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点. (1)证明： 平面； (2)若，且平面与平面所成角的余弦值为，求. 题型6：点到线、面的距离 【例6-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间中有三点，则A到直线的距离为 ． 【例6-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，已知四边形是矩形，，是正三角形，O是的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)已知点Q为线段靠近C的三等分点，直线与平面所成角为，求. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·月考）已知为直线的一个方向向量，点,则点到直线的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·江苏南通·月考）在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为 . 【变式6-3】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 题型7：平行线、面间的距离 【例7-1】（24-25高二下·江苏连云港·月考）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【例7-3】设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【变式7-1】在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【变式7-3】如图，在三棱锥中，，平面平面.    (1)求异面直线与间的距离； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·月考）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在棱长为的正方体中，为面的中心，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏连云港·月考）在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．（24-25高二下·江苏常州·期中）在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 10．（24-25高二下·江苏南京·月考）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（    ） A．若F是棱AD的中点，则平面 B．若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 C．点E到平面的距离为 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在棱长为2的正方体中，点是的中点，则下列说法正确的是（　　） A．与所成角的余弦值为 B．与平面所成角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．与平面的距离为 三、填空题 12．（23-24高二下·江苏南京·期末）平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 . 13．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 14．（24-25高二下·江苏淮安·期中）在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏镇江·月考）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中的三个点． (1)已知点，且，求实数的值； (2)求向量与的夹角． 17．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 18．（2025高二上·江苏南通·专题练习）如图，在平行六面体中，，，，，M为与的交点．若. (1)用表示 (2)求BM的长． (3)求BM与AC所成角的余弦值． 19．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第03讲空间向量的应用 ♪ 内容预览 知识清单 知识点01：空间向量法求空间中直线、平面的 知识点02：空间向量法求空间中直线、平面的 平行关系 垂直关系 知识点03：空间向量法求空间中的距离 知识点04：空间向量法求空间中的角 题型1：空间位置关系的向量证明 题型2：平面的法向量 题型讲解 题型3：向量法求线线角 题型4：向量法求线面角 (举三反三) 题型5：向量法求面面角 题型6：点到线、面的距离 题型7：平行线、面间的距离 强化训练 一、单选题(8) 二、多选题(3) 三、填空题(3) 四、解答题(5) 知识清单 知识点01空间向量法求空间中直线、平面的平行关系 ①设4，山2分别是直线与l的方向向量，则l12台4142台32∈R,使得41=元42 ②设u分别是直线I的方向向量，n是平面的法向量，则10台4⊥n台4·n=0. ③设n1,n2分别是直线与B的法向量，则aB台n1n2台3入∈R,使得n,=元n2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 知识点02空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系 ①设4,42分别是直线与l的方向向量，则1，⊥12台41上42台41·42=0 ②设u分别是直线I的方向向量，n是平面的法向量，则l⊥a台4n台32∈R,使得u=入n ③设n,n,分别是直线a与B的法向量，则a⊥阝台n1⊥n2台n1·n2=0 知识点03空间向量法求空间中的距离 己知平面a的法向量为n,A是平面oa内的定点，P是平面外一点，过点P作平面α的垂线1，交平面o于点Q,则 是直线1的方向向量，且点P到平面o的距离就是AP在直线1上的投影向量QP的长度，因此 n AP.n AP.n PO AP. n n n 知识点04空间向量法求空间中的角 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时， 其补角才是异面直线所成的角， a与b的夹角为B 1与12所成的角为8 avs4al col(0,\ 范围 [0, f(2)) a-b · 求法 cos B= cos0 cos B= 啊 ②设直线1的方向向量为e,平面a的法向量为n,直线1与平面o所成的角为0，两向量e与n的夹角为日，则有 e.n sin =cos0 2 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 e/0 n ③如图①，AB,CD是二面角a-kB两个半平面内与棱1垂直的直线，则二面角的大小为0=〈，广)； 如图②③，h，n2分别是二面角0-1B的两个半平面，B的法向量，则二面角的大小0满足 cos0=c0s(m1,n2或c0s0=-c0s(n,n2》 n ② ③ 888 题型讲解 题型1：空间位置关系的向量证明 【例1-1】(24-25高二下江苏常州期中)若平面a,B的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(1,2,1),则a与B的位 置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.无法确定 【答案】B 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得 【详解】由a·b=2×1+-1x2+0×1=2-2+0=0,得a1b, 所以平面a与B垂直. 3 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末一 故选：B 【例1-2】(24-25高二下·江苏扬州期中)己知直线1的方向向量为a=1,-1,2),平面a的一个法向量为i=(-2,2,1 ,若l上a,则2的值为 【答案】-5/-0.5 2 【分析】由线面垂直可得a/n，结合向量共线的坐标运算代入计算，即可得到结果 【详解】由1a可得a1n,即=_2， 1 之221，解得=-2 故答案为： 【例1-3】在正方体ABCD-A,B,C,D,中，已知E,F分别是BB,D,B,的中点，求证： (I)EF∥BD; (2)BD⊥AD 【答案】()证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)再正方体中建立空间直角坐标系，由正方体棱长，写出点的坐标，从而得到F和D的坐标，由坐标 得到2EF=BD,,从而证明两直线平行； (2)由(1)得点坐标和DA,BD,坐标，由向量的数量积为0，得到线线垂直， 【详解】(1)根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 4 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以E(2,2,1,F1,1,2),B2,2,0),D1(0,0,2), 所以EF=-1,-1,1),BD1=-2,-2,2)，所以2EF=BD,所以EF∥BD,, 所以EF∥BD (2)由(1)知B(2,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2,D(0,0,0). 所以DA1=2,0,2),BD1=-2,-2,2),所以DA·BD1=-2×2+0+4=0,即DA⊥BD,, 所以BD⊥AD 【变式1-1】(24-25高二下·江苏常州月考)已知点A1,0,1),点B(3,4,-1),平面a的一个法向量为n=(1,2,-1),则 直线AB与平面a的关系是() A.AB⊥a B.ABCa C.AB/la D.AB与a相交但不垂直 【答案】A 【分析】根据平面α的法向量与直线AB的方向向量的关系即可求解 【详解】因为直线1经过点AL,0,1),B(3,4,-1), 所以AB=(2,4,-2),又因为平面的一个法向量为n=(1,2,-1), 且2n=AB,所以平面的一个法向量与直线1的方向向量平行， 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 则1⊥a,AB⊥a; 故选：A 【变式12】(2425高二上四川眉山期中)已知%=(V5,x,2,%,=（-3,V5,-25分别是平面α，B的法向量， 若uB,则x=」 【答案】-1 【分析】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可 【详解】由a/B,可知n,∥n2, 则、x 2 -3V3-23 解得x=-1, 故答案为：-1. 【变式1-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1, E为PC上一点，且PE=PC.(请用空间向量法予以证明) 3 (I)求证：AE⊥平面PBC; (2)求证：PA/1平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)证明见解析 【分析】(1)以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明 AE⊥PC,AE⊥CB,原题即得证： (2)设平面BDE的法向量为i=(x,,z),证明PA⊥n即得证 【详解】(1)证明：如图，以A为原点，AB,AD,A心的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标 系， B 则A0,0,0),B2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2), 所以PC=1,1,-2),AP=0,0,2),CB=(1,-1,0), 因为E,所以P- 所以AE=AP+PE= 所以4EPC=名+名年0，AB,CB=22+0=0, 33 所以AE⊥PC,AE⊥CB,即AE⊥PC,AE⊥CB, 又因为PCOBC=C,PC,BCc平面PBC. 所以AE⊥平面PBC. a:由0路5=46-48传号)200-（号号引P4=Q息-2小，80-10 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 设平面BDE的法向量为i=(x,,1), BDn=0 -2x+y=0, 则 即{4,22 BEn=0 ++号=0令年=1，得%=2,90， 则i=(1,2,0)是平面BDE的一个法向量， 因为PAn=(0,0,-2)1,2,0)=0,所以PA1n, 因为PA￠平面BDE,所以PAI/平面BDE. 题型2：平面的法向量 【例21】若直线1的方向向量为(2Lm川，平面α的法向量为号2)， 且1∥a,则m=() 5 A. 4 B. C.4 D.-4 【答案】B 【分析】由题意可得直线l的方向向量为2,1，m)与平面α的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】：1∥a,则有直线1的方向向量为2，l,m与平面的法向量垂直， 即(2.m2 =2+二+2m=0, 5 解得m= 故选：B. 【例2-2】(24-25高二上江苏南通月考)已知AB=(1,L,0),AC=(0,1,2),写出平面ABC的一个法向量万= 【答案】(2，-2，)（答案不唯一，与共线的非零向量） 【分析】设出向量的坐标，再利用平面法向量的意义列式计算即得。 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 n⊥AB 【详解】设n=(x,yz),则 n⊥AC n·AB=x+y=0 故 取z=1,得n=(2,-2,1), n·AC=y+2z=0 所以平面ABC的一个法向量n=(2,-2,1) 故答案为：(2，-2,1) 【例2-3】在空间直角坐标系中，设平面a经过点P(-l,2,-2),平面a的一个法向量为n=（-1,l,2,M(x,y,z)是 平面α内任意一点，求x,y,z满足的关系式 【答案】x-y-2z-1=0 【分析】根据是平面的一个法向量可得PM·n=0,再由向量坐标运算可得答案。 【详解】由题得PM=x+1,y-2,z+2), 因为是平面a的一个法向量，所以PM⊥n，从而PM·n=0, 即(-1,1,2·x+1,y-2,z+2=0, 所以-x+1+y-2+2(z+2)=0, 整理可得x-y-2z-1=0,即为所求 【变式2-1】己知A(0,1,1),B(-1,1,1),C1,0,0),则平面ABC的一个法向量为() A.(0,1,-1) B.(-1,0,1) C.(1,1,1) D.(-1,0,0) 【答案】A 【分析】由坐标得平面ABC上两个不共线的向量，设法向量坐标，列方程解出坐标 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【详解】由题AB=(-1,0,0),AC=(1,-1,-1), 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), x=0 可得 1Bn=0,即=0 ACn=0’x-y-z=0’所以 y=-z 选项A中向量(0,1，-1)合题意 故选：A 【变式2-2】(24-25高二下·江苏南京期中)若平面的一个法向量n,=(x,-2,6)，平面阝的一个法向量 n2=(-1,1,z),且a/1B,则x+z= 【答案】-1 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解 【详解】因为a1/B,所以n/1n,,故存在实数k使得：n1=kn2, 即(x,-2,6)=k(-1,1,z, x=-k k=-2 所以 -2=k,解得x=2,所以x+z=2-3=-1 6=kz z=-3 故答案为：-1 【变式2-3】已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD,SM=AB=BC=1,AD=?,求平面SCD 的一个法向量. 【答案】n=（-2,l,-1) 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质进行求解即可 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-yz, 10