第 3 讲 微积分定理讲义-2026年高中数学竞赛

第 3 讲 微积分定理 1. 微积分基本定理: 牛顿一莱布尼兹公式 (1) 如果 是区间 上的连续函数，并且 ，则 . 牛顿 — 莱布尼兹公式沟通了导数与定积分之间的关系,由此求定积分问题可转化为求原函数问题. (2) 常用的还有分部积分公式: ，简单记作 . 2. 洛必达法则 (1) 当 时，函数 及 都趋于零. (2) 在点 的某去心邻域内， 及 都存在且 . (3) 若 存在(或为无穷大)，则 . 也就是说当 存在时, 也存在且等于 ; 当 无穷大时, 也是无穷大,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定值的方法称为洛必达法则. 热点课堂 【例 1】求值: . 【分析】显然原函数并不能容易得到, 需要通过分部积分来实现求解. 【解答】 , 由分部积分可知 所以 . 【例 2】设函数 ,若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【分析】要解决恒成立问题可以利用分离参数结合洛必达法则, 也可以考虑直接求导分类讨论, 或者使用必要条件来缩小范围. 解法一: 当 时,因为 ,所以 “对任意 恒成立” 的必要条件是 “ ”,即 ,下一步证明当 时满足条件. 因为 ,当 时,显然 , 即得 为增函数,所以 ,得证. 解法二: 由已知可得对任意 恒成立. 令 ,则 , 再令 , 当 时, , 所以当 时, ,即 ,则 为增函数, 所以 . 【解答】A 【例 3】设函数 . (1) 求函数 的单调区间； (2) 若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围. 【分析】利用导数求单调区间与最值, 进而解决恒成立问题. 【解答】 , 当 时, 的单调减区间为 ,单调增区间为 ; 当 时, 的单调减区间为 ,单调增区间为 ; 当 时， 的单调增区间为 ； 当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ， . (3) 当 时， 在 上单调递增，只要 即可，显然成立； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ,解得 . 综上可得 . 【例 4】已知 . (1) 求证: ； (2) 已知 是正整数，求使得 恒成立的 的最大值. 【分析】本题侧重于三角函数的导数问题,其中寻找必要条件成为解题的切入点. 【解答】(1) 记 , 则 , 所以 在 上为增函数,可得 , 所以 . (3) 解法一:记 ，则 ， 1 当 时，因为 ，所以 ， ， 所以当 时, , 所以 为增函数,所以 , 即 为增函数,故 ,即 成立. 2 当 时，则当 时有 ,而 , 故当 时, , 所以 为减函数,所以 , 即 为减函数，故 ， 即当 时， 成立，所以 不符合， 所以 ,则 的最大值为 2 . 解法二: 因为条件中的 为正整数,采用特殊值探路寻找必要条件. 因为 在 时恒成立, 故令 ,得 ,所以 . 又因为 为正整数,故 ,所以当 时,记 , 则 , 即 为增函数,故 , 即得 成立，所以 的最大值为 2 . 【例 5】设 是正整数， ，求证: 有且仅有唯一解 . 【分析】因为是关于自然数的命题, 所以可尝试用数学归纳法证明, 然后利用导数得到单调性. 【解答】先证 为奇数时,有 成立,当且仅当 时有 . (下面用数学归纳法证明) 1 当 时， ，所以 ，可得 在 上为减函数， 在 上为增函数,故 成立,当且仅当 时有 ; 2 假设当 时有 成立; 则当 时,又因为 ,所以 为增函数, 而 ,所以当 时, ,当 时, ,所以 在 上为减函数,在 上为增函数,故 , 综合①②可得当 为奇数时有 ,当且仅当 时有 . 当 为偶数时, 显然成立; 当 时,设 ,则有 成立,故 为增函数,且有 ,所以 有且仅有唯一解 ; 综上所述， 有且仅有唯一解 . 【例 6】已知罗尔中值定理: 若函数 满足: 在区间 上连续; ② 在区间 上可导; ③ ，则存在 ，使得 . (1) 试证明拉格朗日中值定理:若函数 满足:① 在区间 上连续；② 在区间 上可导,则存在 ,使得 ; (2) 设 的定义域与值域均为 在其定义域上连续且可导,求证: 对任意正整数 ,存在互不相同的 ,使得 【分析】(1) 构造函数 , 显然有 成立,且 在区间 上连续. 对函数 使用罗尔中值定理: 存在 ,使得 . 又因为 , 所以 ,即得 . (3) 将区间 划分为 个区间 ,对 在每个区间 应用拉格朗日中值定理可得存在 ,使得 成立,其中 ,把这 个等式相加即得 . 学科网（北京）股份有限公司 $