第10讲 余弦定理、正弦定理的应用（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（苏教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

第10讲 余弦定理、正弦定理的应用 知识清单 知识点01：正、余弦定理在解三角形中的应用 知识点02：余弦定理、正弦定理在实际中的应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用正、余弦定理解决距离问题 题型2：利用正、余弦定理解决高度问题 题型3：利用正、余弦定理解决角度问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.正、余弦定理在解三角形中的应用 1. 选择合适的定理解三角形 三角形共有6个元素，当已知条件比较复杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题. 常见情况： (1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理； (2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择正弦定理； (3)当已知条件涉及角的余弦值、边的平方或者边的乘积时，选择余弦定理. 以上特征都不明显时，正弦定理和余弦定理可以交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 2. 利用正、余弦定理判断三角形的形状 (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状； (2)化角为边：根据正、余弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 要注意应用三角形内角的关系：如A+B+C=π⇒C=π-(A+B)， =-等. 知识点2.余弦定理、正弦定理在实际中的应用 1、测量距离的类型及解法 类型 图形 解法 A，B两点间不可达又不可视 测出两边及其夹角：BC=a，AC=b，角C，运用余弦定理得 AB= A，B两点间可视但不可达(如人与点B在河的同侧，点A在另一侧) 测出两角及其夹边：BC=a，B，C，根据正弦定理得 ====，则AB= A，B两点都不可达(如点A与B在河的同侧，人在另一侧) 先在△ADC和△BDC中分别求出AD，BD(或AC，BC)的长，再在△ABD(或△ABC)中运用余弦定理求解. 在△ADC中，由正弦定理可得AD=. 在△BDC中，由正弦定理可得BD=. 在△ABD中，由余弦定理可得AB= 2、测量高度的类型及解法 类型 图形 解法 底部可达   利用直角三角形的边角关系求解，则AB=atan C 底部不可达 在直角三角形ABD中，BD= ， 在直角三角形ABC中，BC= ， 则a=CD=BC-BD=-， ∴AB= 在△BCD中，BC=， ∵AB⊥CB，∴∠A=-∠ACB， ∴在△ABC中，AB==， ∴AB= 题型1：利用正、余弦定理解决距离问题 【例1-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 【例1-2】（24-25高一下·江苏徐州·月考）猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 【答案】100 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s）， 则，. 由题意得， 由余弦定理， 得， 解方程得或（舍去）. 故答案为：100. 【例1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离． 【答案】 【分析】 根据几何图形，再结合正弦定理，即可求解. 【详解】 ， 因为，所以， 在△ABD中，，， 所以， 所以 在Rt△DBC中，. 所以C，D之间的距离为. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求得. 【详解】由余弦定理，，解得. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____． 【答案】 【分析】由已知得，求得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解． 【详解】由，，得，， 所以， 在中，， 由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号）    【答案】 【分析】在中，根据正弦定理求出，在中，根据正切求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 又，由正弦定理，得 . 在中，，， 则. 在中，由余弦定理，得 . 所以. 答：，两点之间的距离为. 题型2：利用正、余弦定理解决高度问题 【例2-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求出，再在直角中即可求出. 【详解】在中，， 则由正弦定理可得，即，解得米， 在直角中，米. 故选：C. 【例2-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）某人在高出海面的山顶处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东的方向上，俯角为，若航标A、B间的距离为400米，则山的海拔高度为_____米． 【答案】 【分析】作出图形，设山在海平面处为，设山的海拔高度为，则可得出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，设山在海平面处为， 由题意可得， 设山的海拔高度为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 即山的海拔高度为米. 故答案为：. 【例2-3】某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73) 【答案】10.3 m. 【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，设AM＝EM＝x，据此表示出CN＝x＋6，EN＝x－0.25，在Rt△CNE中，根据tan∠ECN＝可求出x，于是旗杆的高EF＝EM＋MF. 【详解】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N， ∴MN＝0.25，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME， 设AM＝ME＝x， 则CN＝x＋6，EN＝x－0.25， ∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝， 解得：x＝≈8.8， 则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)． ∴旗杆的高EF约为10.3 m． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（   ） A． B．150m C． D． 【答案】B 【分析】根据题意在中可求，在中利用正弦定理求，再在中可直接求MN. 【详解】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，， 故选：B. 【变式2-2】中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内,南宋时期,寺里南北相向的两座宝塔,一名荐慈塔,一名荐寿塔,后双塔毁于火,明代重建该塔,当年值逢慈禧60大寿,地方官员以此塔作为贺礼进贺,故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心O在同一水平平面内的两个测量基点与,在A点测得,塔丁P的仰角为在A的北偏东处,B在A的正东方向100米处,且在B点测得O与A的张角为,则慈寿塔的高度约为___________米（参考数值:,结果四舍五入,保留整数）. 【答案】 【分析】由题意求出中的角和边，然后根据正弦定理求出AO的值. 【详解】题意可得在中所以, 利用正弦定理可得 化简得, 在中,可得. 故答案为：73 【变式2-3】如图，一座山其高为，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在处测得山顶的仰角为，经过后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且. （1）求这辆汽车的速度； （2）若汽车从往行驶5秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意得，，进而由勾股定理得，进而得答案； （2）由题知，，进而在中利用余弦定理求解即可得答案. 【详解】解：（1）根据题意得，，平面， 所以在中，，在中，， 所以在中，， 所以这辆汽车的速度为. （2）汽车从往行驶5秒时到达处，此时， 在中，， 所以在中，由余弦定理得， 即，故. 题型3：利用正、余弦定理解决角度问题 【例3-1】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造直角三角形的方法求得. 【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆， 过作圆的切线，，线段交圆于，如图， 则，，，， 则. 故选：B 【例3-2】在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为______． 【答案】/ 【分析】由题意画出示意图，易知,，在中，由正弦定理即可列出等式，即可解出角θ的度数. 【详解】如图， ∵，， ∴，∴． ∵，， ∴，∴． 在中，由， 得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 【例3-3】在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？    【答案】渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行． 【分析】根据题意，以AC为边，AB为对角线作，结合余弦定理可得，然后再由余弦定理即可得到，即可得到结果. 【详解】如图所示，船按方向开出，方向为水流方向， 以AC为边，AB为对角线作，其中，． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因此，船的航行速度为． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因此． 即渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行． 【变式3-1】如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 【变式3-2】如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小． 【答案】 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 【变式3-3】已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 【答案】缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船 【分析】设缉私艇在处截住该走私船，依题意可得，，，利用余弦定理求出，即可求出速度，再求出，即可得到方向. 【详解】设缉私艇在处截住该走私船， 依题意， 由余弦定理得， 所以缉私艇速度为海里/时， 又，为锐角，所以， 所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解. 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 在直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 【答案】C 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理求出，再由正切函数定义即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（    ） ①②③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意可知，，，过M作于C， 设，根据正弦定理可得，， 又因为时没有触礁危险， 即，故（1）正确， ，（4）正确， 故选：C 6．（24-25高一下·江苏镇江·期中）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（     ）（参考数据：） A．68m B．70m C．72m D．74m 【答案】C 【分析】结合几何图形，根据三角函数表示长度关系，即可求解. 【详解】令直线的延长线交于点，则． 依题意，，，而， 所以，解得， 又，所以， 而， 所以． 故选：C 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，根据正弦定理得，在直角中，由勾股定理得，即可得，再将代入方程，化简即可. 【详解】 在中，由正弦定理得：. 所以，又， 所以，又，即， 所以，化简得， 则，故塔顶距离地面高度必定可以表示为. 故选：A. 8．（24-25高一下·江苏·期中）镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 【答案】B 【分析】在中，根据题意可得.在中，利用正弦定理可求出的值，然后在中即可求解的值. 【详解】在中，，，∴. 在中，，， ，， ∴由正弦定理可得，∴. 在中，，，∴. 故选：B. 二、多选题 9．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理以及三角函数关系来求解线段长度（即的高度）的相关知识，通过分析不同条件下能否求出所需的边和角，进而判断能否求出的高度. 【详解】对于选项A：已知，，，在中，根据正弦定理（这里为三角形的三边，为三角形的三个内角），可以求出的长度. 又因为已知，在直角中，结合已求出的和等条件，就可以求出的高度，所以选项A正确. 对于选项B：已知，，，在中，依据正弦定理可以求出的长度. 再结合已知的，在直角中就可以求出的高度，所以选项B正确. 对于选项C：过点作，连接. 根据三角函数的关系，，， 可以推导出. 由于，已知，所以可以求得的大小. 在中，已知，和，利用正弦定理可求得的长度. 在中，已知和AC，就可以求得的长度，所以选项C正确. 对于选项D：在和中，都只知道一边一角， 根据三角形全等或求解的条件，仅一边一角无法确定三角形的形状和大小， 也就不能求出其他角或边，从而无法求出的高度，所以选项D错误. 故选：ABC. 10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 【答案】ABC 【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可. 【详解】在中，由已知得，， 则，． 由正弦定理得， 所以处与处之间的距离为 ，故A正确； 在中，由余弦定理得， ， 又， 解得． 所以灯塔与处之间的距离为 ，故B正确， ， ， 灯塔在处的西偏南，故C正确； 灯塔在的南偏东， 在灯塔的北偏西，故D错误； 故选：ABC． 11．甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（    ） A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为 C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为 【答案】AC 【分析】根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度. 【详解】   如图示， 在中，∠ABD=60°，BD=20m， ∴ 在中，设， 由余弦定理得：，即 解得： 则乙楼的高度分别为. 故选：AC 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏常州·月考）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为______. 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的体积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即该球体建筑物的体积为. 故答案为： 13．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 【答案】 【分析】通过作出两条垂线，利用解直角三角形求出,再利用等角证明等边求出，再利用解直角三角形求出，最后可得高度. 【详解】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏·月考）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 【答案】 【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 其中 ， 由正弦定理，得， 在中，，，则， 又，则， 又， 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．在小岛的正北方向有一补给点，某巡逻艇从出发沿北偏西方向航行，航行海里后到达点，此时，巡逻艇接到了位于正北方向50海里的抛锚渔船处发来的求救信号，同时观测到位于的北偏东方向．已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案： 方案一  为节省燃油、确保能到达抛锚渔船处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往； 方案二  巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时； 试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船处．（在实施两种方案时，均不考虑水流速度） 【答案】采用方案二可以更快的达到抛锚渔船处 【分析】根据题意，在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理求得，分别计算两个方案中的用时，即可求解. 【详解】因为点在的正北方，且在的北偏东的方向，所以， 在中，由正弦定理得，可得海里， 在中，由余弦定理得， 可得海里， 若采用方案一，需要小时， 若采用方案二，需要小时， 所以采用方案二可以更快的达到抛锚渔船处．    16．某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角(从正北方向顺时针转到方向所成的角)是，距离是；从到，方位角是，距离是；从到，方位角是，距离是 (1)求从到的方位角； (2)计算从到的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出图形，连接，即可求出，利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出，即可得解； （2）由（1）可得，即可得解. 【详解】（1）如图所示，    连接，在中，又， ， 由余弦定理可得， 在中，，， 由余弦定理得 ， 由正弦定理得：，即 又，，于是到的方位角为. （2）由（1）知，所以到的距离为. 17．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.    (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 【答案】(1)（海里） (2)救援船能够在1小时内到达救援地点，理由见解析 【分析】（1）在中，由正弦定理直接解出即可； （2）在中，由余弦定理解出即可. 【详解】（1）    如图：由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以（海里）； （2）在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里， 所以需要的时间为（分钟）（分钟） 答：点到点的距离为海里，且救援船能够在小时内到达救援地点. 18．（24-25高一下·江苏常州·期末）在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合余弦定理即可求解； （2）过点作于点，说明所求为线段的长度，解三角形即可得解. 【详解】（1）由题意，而，， 所以由余弦定理有，即，解得； （2）如图所示，过点作于点， 由题意平面，又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 故所求为线段的长度， 由（1）可知， 所以. 19．如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶． （1）求山的高度； （2）现山顶处有一塔．从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为．若点处高度为，则为何值时，视角最大？ 【答案】（1）；（2）当时，视角最大. 【分析】（1）解法一：计算出的值，然后在中，过作，垂足为，利用锐角三角函数的定义求出，然后在中利用锐角三角函数可求出； 解法二：过作于点，过作于点，计算出、，设，可得出，，由勾股定理可解出的值，即可得出山高； （2）过作于，计算出和，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立求出的值，即可得出该问题的解答. 【详解】（1）法一：因为，是锐角，所以，， 所以， 在中，过作，垂足为. 因为，所以. 在中，，所以山的高度为； 法二：过作于点，过作于点， 在中，，，所以，， 所以，. 设，在直角中，，， 由于，所以 因为，所以，所以山的高度为； （2）过作于，因为，所以， 因为在上，，所以， 所以，. 所以，. 令，所以， 则. 当且仅当，即时，即时取得最大值. 所以，当时，视角最大. 【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 余弦定理、正弦定理的应用 知识清单 知识点01：正、余弦定理在解三角形中的应用 知识点02：余弦定理、正弦定理在实际中的应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用正、余弦定理解决距离问题 题型2：利用正、余弦定理解决高度问题 题型3：利用正、余弦定理解决角度问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.正、余弦定理在解三角形中的应用 1. 选择合适的定理解三角形 三角形共有6个元素，当已知条件比较复杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题. 常见情况： (1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理； (2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择正弦定理； (3)当已知条件涉及角的余弦值、边的平方或者边的乘积时，选择余弦定理. 以上特征都不明显时，正弦定理和余弦定理可以交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 2. 利用正、余弦定理判断三角形的形状 (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状； (2)化角为边：根据正、余弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 要注意应用三角形内角的关系：如A+B+C=π⇒C=π-(A+B)， =-等. 知识点2.余弦定理、正弦定理在实际中的应用 1、测量距离的类型及解法 类型 图形 解法 A，B两点间不可达又不可视 测出两边及其夹角：BC=a，AC=b，角C，运用余弦定理得 AB= A，B两点间可视但不可达(如人与点B在河的同侧，点A在另一侧) 测出两角及其夹边：BC=a，B，C，根据正弦定理得 ====，则AB= A，B两点都不可达(如点A与B在河的同侧，人在另一侧) 先在△ADC和△BDC中分别求出AD，BD(或AC，BC)的长，再在△ABD(或△ABC)中运用余弦定理求解. 在△ADC中，由正弦定理可得AD=. 在△BDC中，由正弦定理可得BD=. 在△ABD中，由余弦定理可得AB= 2、测量高度的类型及解法 类型 图形 解法 底部可达   利用直角三角形的边角关系求解，则AB=atan C 底部不可达 在直角三角形ABD中，BD= ， 在直角三角形ABC中，BC= ， 则a=CD=BC-BD=-， ∴AB= 在△BCD中，BC=， ∵AB⊥CB，∴∠A=-∠ACB， ∴在△ABC中，AB==， ∴AB= 题型1：利用正、余弦定理解决距离问题 【例1-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·江苏徐州·月考）猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 【例1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（   ）    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则_____． 【变式1-3】如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号）    题型2：利用正、余弦定理解决高度问题 【例2-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）某人在高出海面的山顶处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东的方向上，俯角为，若航标A、B间的距离为400米，则山的海拔高度为_____米． 【例2-3】某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73) 【变式2-1】（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（   ） A． B．150m C． D． 【变式2-2】中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内,南宋时期,寺里南北相向的两座宝塔,一名荐慈塔,一名荐寿塔,后双塔毁于火,明代重建该塔,当年值逢慈禧60大寿,地方官员以此塔作为贺礼进贺,故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心O在同一水平平面内的两个测量基点与,在A点测得,塔丁P的仰角为在A的北偏东处,B在A的正东方向100米处,且在B点测得O与A的张角为,则慈寿塔的高度约为___________米（参考数值:,结果四舍五入,保留整数）. 【变式2-3】如图，一座山其高为，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在处测得山顶的仰角为，经过后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且. （1）求这辆汽车的速度； （2）若汽车从往行驶5秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离. 题型3：利用正、余弦定理解决角度问题 【例3-1】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为______． 【例3-3】在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？    【变式3-1】如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小． 【变式3-3】已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（    ） ①②③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 6．（24-25高一下·江苏镇江·期中）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（     ）（参考数据：） A．68m B．70m C．72m D．74m 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏·期中）镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 二、多选题 9．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 11．甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（    ） A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为 C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏常州·月考）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为______. 13．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 14．（24-25高一下·江苏·月考）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 四、解答题 15．在小岛的正北方向有一补给点，某巡逻艇从出发沿北偏西方向航行，航行海里后到达点，此时，巡逻艇接到了位于正北方向50海里的抛锚渔船处发来的求救信号，同时观测到位于的北偏东方向．已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案： 方案一  为节省燃油、确保能到达抛锚渔船处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往； 方案二  巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时； 试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船处．（在实施两种方案时，均不考虑水流速度） 16．某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角(从正北方向顺时针转到方向所成的角)是，距离是；从到，方位角是，距离是；从到，方位角是，距离是 (1)求从到的方位角； (2)计算从到的距离. 17．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.    (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 18．（24-25高一下·江苏常州·期末）在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 19．如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶． （1）求山的高度； （2）现山顶处有一塔．从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为．若点处高度为，则为何值时，视角最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $