专题12 将军饮马模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题12 将军饮马模型 为了解决生产、经营中省时省力省钱而希望寻求最佳方案产生了最短路径问题。近几年来，最短路径问题是中考的热点，且经常用“将军饮马”中的对称思想解决一类最小值问题，其归属于动态几何问题。 “将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值解决这类问题要用到两个基本知识点“两点之间线段最短”和“垂线段最短”。 1 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 15 ‌ 相传，古希腊有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦（Hero of Alexandria，约公元10-70年）。一天，一位罗马将军专程去拜访他，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会怎样走才能使路程最短呢？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就回答了，从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今。唐代诗人李颀《古从军行》中“黄昏饮马傍交河”的诗句，也为这一模型注入了生动的文学意象，使其成为数学与人文结合的典范。 该模型将实际问题抽象为：在直线l（河岸）同侧有两点A、B，在l上找一点P，使PA+PB最小。利用“两点之间线段最短”公理。作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则P点即为所求。此时，折线APB转化为直线段A'B，路径最短。 1．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 故答案为：． 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作， 故答案为： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 4．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 1）两定一动（同侧型）： 条件：如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 解：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 2）两定一动（异侧型）： 条件：如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 解：作点A关于l的对称点A’，连接，与直线l的交点即为点P，如图所示： ∵点A与始终关于直线l对称， ∴PA＋PB的长度可转化为＋PB的长度， 由1）中的结论可得当、P、B三点共线时，的值最小，即为的长度. 3）的最大值（同侧型）： 条件：如图，在直线l同侧有A、B两个定点，怎样在直线l上找到一点P，使得的值最大？ 解：连接AB并延长，交直线l的交点即为点P； 如图，为l上异于P的一点，连接、， 在中，由三角形的三边关系得：， ∵PA﹣PB＝AB， ∴， ∴当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|的值最大． 4）的最大值（同侧型）： 如图，在直线l两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线l上找到一点P，使得|PA﹣PB|的值最大？ 解：作点B关于直线l的对称点，连接并延长与l的交点即为点P，如图所示： 5）一定两动模型 条件：如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 解：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，即为△PCD的周长最小值，如图所示： 条件：如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？ 解：作点P关于OB的对称点，过点作交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，即为PD＋CD的值最小. 6）两定两动模型 条件：如图，点P、Q在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得四边形PCDQ的周长最小？ 解：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点，连接分别交OA、OB于点C、D，此时四边形PCDQ的周长最小值为，如图所示： 例1（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 例2（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 例3（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 例4（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 例5（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 1．（2025秋•安庆期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D为底边BC的中点，BC＝4cm，S△ABC＝12cm2，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，O为线段MN上一点，则OB+OD的最小值为（　　） A．4cm B．4.5cm C．6cm D．5cm 【分析】连接AD，根据等腰三角形“三线合一”可得AD为等腰三角形的高，那么AD＝2×12÷4＝6cm．易得点B关于MN的对称点就是点A，所以要求OB+OD的最小值，连接AD，与MN的交点即为点O，那么OB+OD的最小值也就是AD的长度． 【解答】解：∵MN垂直平分AB， ∴点B关于MN的对称点就是点A，OA＝OB． ∴连接AD，与MN的交点即为点O． ∴OB+OD＝OA+OD＝AD． ∵AB＝AC，D为底边BC的中点， ∴AD⊥BC． ∵BC＝4cm，S△ABC＝12cm2， ∴AD＝2×12÷4＝6cm． ∴OB+OD的最小值为6cm． 故选：C． 2．（2025春•肇源县期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】作A点关于直线l的对称点A'，连接BA'交l于点P，当A'、P、B三点共线时，AP+BP的距离最短． 【解答】解：作A点关于直线l的对称点A'，连接BA'交l于点P， 由对称性可知，AP＝A'P， ∴AP+BP＝A'P+BP≥A'B， 当A'、P、B三点共线时，AP+BP的距离最短， 故选：B． 3．（2025秋•泗洪县期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A．35 B．40 C．50 D．60 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵BD⊥AC，AQ＝20，QD＝15， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝35， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵AQ＝20，AD＝DC＝35， ∴QD＝DQ′＝15， ∴CQ′＝BP＝20， ∴AP＝AQ′＝50， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝50， ∴PE+QE的最小值为50． 故选：C． 4．（2024秋•铁岭县期末）如图，在等边三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，在AB，CB上分别取点M，N，且AM＝BN＝4，DN＝2，在AD上有一动点P，则PM+PN的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD为等边三角形的中线，AD所在的直线也是等边三角形的对称轴．易得BD的长度为6，那么CD＝8，等边三角形的边长为12．作点M关于AD的对称点M′，根据轴对称图形的性质可得点M′在线段AC上．连接M′N交AD于点P，则MP＝M′P，那么PM+PN的最小值也就是M′N的长度．易得△M′NC为等边三角形，边长为8，那么PM+PN的最小值为8． 【解答】解：∵BN＝4，DN＝2， ∴BD＝6． ∵等边三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线， ∴AD为等边三角形的中线．AD所在的直线为△ABC的对称轴． ∴CD＝BD＝6． ∴BC＝12． 作点M关于AD的对称点M′，则点M′在线段AC上． ∴MP＝M′P． ∵AM＝4， ∴AM′＝AM＝4． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝12，∠C＝60°． ∴CM′＝8． 连接M′N交AD于点P， ∴PM+PN＝PM′+PN＝M′N． ∵CN＝CD+DN＝8， ∴CN＝CM′． ∴△CNM′是等边三角形． ∴M′N＝8． ∴PM+PN的最小值为8． 故选：B． 5．（2025春•金寨县期末）如图，正方形ABCD的边长为3，点P是正方形ABCD的内部一动点，且正方形ABCD的面积始终等于△ABP 的面积的6倍，连接CP，DP，则线段CP+DP的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【分析】过P作l∥AB，作点C关于l的对称点C′，连接DC′交l于P，由两点间线段最短得，C′D为所求最小值，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：过P作l∥AB，作点C关于l的对称点C′，连接DC′交l于P， 由对称得PC＝PC′， ∴PC+PD＝PC′+PD， 由两点间线段最短得，C′D为所求最小值， ∵正方形ABCD的面积始终等于△ABP 的面积的6倍， ∴l到AB的距离CD到AB的距离， ∵AD＝3， ∴C到l的距离为2， ∴CC′＝4， ∵CD＝3， ∴C′D5， 故选：D． 6．（2025•潘集区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【分析】先算出AC，根据△ACP的面积为3，可得P点到AC的距离，画出P点所在直线l，作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，EQ即PB+PQ的最小值，因为点Q为AB中点，可得BQ＝CQ＝5，证△QFC≌△QFB，可得BF的长，由勾股定理得QF的长，因为B与E关于直线l对称，可得BE、EF的长，由勾股定理可得EQ的长，即PB+PQ的最小值． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6， ， 过P作PD⊥AC，交AC于点D， ∵△ACP的面积为3，S△ACPAC×PD， ∴PD＝1， 作直线l∥AC，距离为1，则点P在直线l上运动且在△ABC内，B到直线l的距离为7， 作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P， ∴EP＝BP， ∴PB+PQ＝EP+PQ＝EQ，EQ即PB+PQ的最小值， 过Q作QF⊥BC，交BC于点F， ∵点Q为AB中点， ∴BQ＝AQ＝CQ＝5， ∴∠QCF＝∠QBF， ∵QF⊥BC， ∴∠QFC＝∠QFB＝90°，即∠CQF+∠QCF＝∠BQF+∠QBF＝90°， ∴∠CQF＝∠BQF， ∵QF＝QF， ∴△QFC≌△QFB（SAS）， ∴CF＝BF＝4， ∵BQ＝5，∠QFB＝90°， ∴QF3， ∵BE＝14，BF＝4， ∴EF＝10， ∴EQ， 故选：C． 7．（2025春•伊犁州期末）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0） 【分析】取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'，确定PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处，再根据待定系数法确定直线DE'的解析式，进而可求出点P'的坐标，即当PD+PE最小时，点P的坐标． 【解答】解：取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'， ∴PE'＝PE， ∵PD+PE＝PD+PE'≥DE'， ∴PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处， ∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标是（﹣6，4）， ∴AC＝6，OC＝4， ∵点D、E分别为AC、OC的中点， ∴D（﹣3，4），E'（0，﹣2）， 设直线DE'的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线DE'的解析式为y＝﹣2x﹣2， 当y＝0时，0＝﹣2x﹣2， 解得x＝﹣1， ∴P'（﹣1，0）， 即当PD+PE最小时，点P的坐标为（﹣1，0）， 故选：A． 8．（2025•金凤区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．3 B．2 C．10 D．2 【分析】先确定动点P的运动路线，再构造将军饮马模型，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：设△PAB的边AB上的高为h， ∵S△PABS矩形ABCD， ∴，即hAD， ∵AD＝6， ∴h＝4， 分别在AD，BC上取点E，F，使AE＝BF＝4，连接EF，则点P是直线EF上的一个动点， 延长AD到A′，使EA′＝EA＝4，连接A′B，A′P， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABEF是矩形， ∴PE⊥AA′， ∴A，A′关于EF对称，AA′＝2AE＝8， ∴PA′＝PA， ∴PA+PB＝PA′+PB≥A′B， ∴PA+PB的最小值为A′B的长， 在Rt△A′BA中， A′B， 故选：D． 9．（2025春•南山区月考）如图，周长为8的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点Q为BC边中点，点P为对角线上一动点，沿D→B的路径行进，PD长度为x，PQ，PC的长度之和为y，设函数图象最低点的坐标为（m，n），则n的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AQ，则AQ为PQ+PC的最小值，即n的值，再利用勾股定理求出AQ即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴点A、点C关于BD对称， 如图1，连接AQ， 则AQ为PQ+PC的最小值， 结合函数图象得，n＝AQ， 在Rt△ABQ中， ∵菱形周长为8， ∴AB＝2，BQ＝1， ∴AQ． 故选：B． 10．（2025•深圳模拟）如图，菱形ABCD的边长为6，∠D＝120°，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，则BP+EP的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 【分析】连接DP，BD，当DE⊥AB时，PB+PE的值最小，再由所给条件可知DE⊥AB，则DE即为所求． 【解答】解：连接DP，BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴A点与D点关于AC对称， ∴DP＝PB， ∴PB+PE＝DP+PE≥DE， 当DE⊥AB时，PB+PE的值最小， ∵∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵AB＝6， ∴DE＝3， ∴PB+PE的最小值为3， 故选：A． 11．（2025秋•武城县期末）如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．当△PMN周长取得最小值时，则∠MPN的度数为 　120°　 ． 【分析】作点P关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM，作点P关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF，由对称性可得当E、M、N、F共线时，△PMN的周长最小，由对称性可知∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，所以∠MPN＝180°﹣∠EOF，从而可求出∠MPN的度数． 【解答】解：作点P关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM， ∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM， 作点P关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF， ∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN， ∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF， ∴当E、M、N、F共线时，△PMN的周长最小， 由对称可知，∠EOM＝∠MOP，∠PON＝∠FON， ∴∠EOF＝2∠MOP+2∠PON＝2∠AOB， ∵∠AOB＝30°， ∴∠EOF＝60°， ∴∠MPN＝180°﹣∠EOF＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：120°． 12．（2025秋•文登区期末）如图，矩形ABCD，AB＝4，BC＝6．以点A为圆心，2为半径作圆，点E是⊙A上一点．若动点M在BC上，则ME+MD的最小值为　8　 ． 【分析】作点D关于BC的对称点D′，连接AD′，交⊙A于点E，BC于点M，连接DM，先根据矩形性质求出AD和CD，再根据轴对称的性质求出CD′，从而求出DD′，得到DM＝D′M，然后根据勾股定理求出AD′，再根据ED′＝AD′﹣AE，求出ED′，从而求出答案即可． 【解答】解：如图所示：作点D关于BC的对称点D′，连接AD′，交⊙A于点E，BC于点M，连接DM， ， ∵点E是⊙A上一点， ∴AE＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADD′＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， ∵点D关于BC的对称点D′， ∴CD＝CD′＝4，DM＝D′M， ∴DD′＝CD+CD′＝8， 在Rt△ADD′中，由勾股定理得：， ∴ED′＝AD′﹣AE＝10﹣2＝8， ∴ED′＝ME+MD′＝ME+MD＝8，即ME+MD的最小值为8， 故答案为：8． 13．（2025秋•涪城区期末）如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，则（BD+BE）2的最小值为 　80　 ． 【分析】利用全等和轴对称，把线段和的平方最小转化成两点间的线段的长的平方即可解决问题． 【解答】解：连结AE，延长AC到A′，使CA′＝CA，连接EA′，BA′， ∵∠FC＝90°， ∴FC是AA′的垂直平分线， ∴AE＝A′E， 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（SAS）， ∴BD＝AE， ∴BD+BE＝A′E+BE≥A′B， 即（BD+BE）2的最小值就是A′B2的最小值， ∵AB＝AC＝4， ∴AA′＝8， 在Rt△A′BA中， 由勾股定理，得A′B2＝AB2+AA′2＝42+82＝80． 14．（2025春•龙岗区校级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+DF的最小值是 　4.8　 ． 【分析】作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．推出DE+EF+DF的最小值为2CD，从而得到当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+DF最小，最后用面积法求出CD的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM． 则DF＝FM，DE＝EN，CD＝CM，CD＝CN， ∴CD＝CM＝CN， ∵∠MCA＝∠DCA，∠BCN＝∠BCD，∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠MCD+∠NCD＝180°， ∴M、C、N共线， ∵DF+DE+EF＝FM+EN+EF≥MN＝2CD， ∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+DF最小，最小值为2CD， ∵CD⊥AB， ∴AB•CDBC•AC， ∴CD2.4， ∴DE+EF+DF的最小值为4.8． 故答案为：4.8． 15．（2025春•仓山区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，且AD＝PQ＝1，则四边形PQDC周长的最小值为 　6　 ． 【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，再根据勾股定理求得CN的长，即可得出四边形PQDC周长的最小值． 【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M， 则DQ＝D'Q＝MP，DD'＝2×AD×sin60°，D'M＝PQ＝1，CD＝6﹣1＝5， ∴四边形PQDC周长＝DQ+PQ+CP+CD＝DQ+1+CP+5＝6+DQ+CP＝6+D'Q+CP＝6+MP+PC≥6+CM， 即四边形PQDC周长的最小值＝6+CM， 过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N， 则CH＝BC×sin60°＝3，NHDD'， ∴MN＝AH﹣D'M﹣AD•cos60°＝AC×cos60°﹣13﹣1， CN＝NH+CH3， 在Rt△MNC中， 由勾股定理，得CM， ∴四边形PCDQ周长的最小值为6． 故答案为：6． 16．（2025秋•范县校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，AB＝4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 　　 ． 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，MA， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，BC＝2， ∴AD⊥BC，BD＝1， 又∵AB＝4， ∴由勾股定理，得AD， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴CM+MD的最小值为AD，即为， 故答案为：． 17．（2025秋•黄石校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S△ABC＝15，AB＝6时，BM+MN的最小值等于　5　 ． 【分析】连接CM，CN，过点C作CE⊥AB于点E，由已知条件可推出BM+MN的最小值为CE的长，再利用面积求出CE的长即可得到答案． 【解答】解：连接CM，CN，过点C作CE⊥AB于点E， ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD所在直线是等腰△ABC的对称轴， ∴CM＝BM， ∴BM+MN＝CM+MN≥CN≥CE， ∴BM+MN的最小值为CE的长， ∵AB＝6，S△ABC＝15， ∴6•CE＝15， 解得CE＝5， 即BM+MN的最小值是5． 故答案为：5． 18．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A逆时针旋转90°得到点D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A′D﹣C′D|的最大值为 　　 ． 【分析】作AG⊥BC于G，作AH⊥B′C′于H，作DE⊥AG于E，交A′H于F，在A′H延长线上取点K，使得FK＝A′F，连接DK、C′K，利用三线合一性质和勾股定理求出AG＝4，通过证明△ADE≌△BAG得到AE＝BG＝3，利用矩形的判定推出四边形EFHG是矩形，得到FH＝EG＝1，再利用平移的性质得到A′H＝AG＝4，C′H＝CG＝3，进而求出C′K的长，利用垂直平分线的性质得出A′D＝DK，最后利用线段的性质即可求解． 【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，作A′H⊥B′C′于H，作DE⊥AG于E，交A′H于F，在A′H延长线上取点K，使得FK＝A′F，连接DK、C′K， ∵AB＝AC＝5，AG⊥BC， ∴，∠AGB＝∠AGC＝90°， ∴AG4， 由旋转的性质得，AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAE＝90°， ∵DE⊥AG， ∴∠DEA＝∠DEG＝90°， ∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DEA＝∠AGB＝90°， ∴∠ADE＝∠BAG， ∴△ADE≌△BAG（AAS）， ∴AE＝BG＝3， ∴EG＝AG﹣AE＝1， ∵A′H⊥B′C′， ∴∠A′HB'＝90°， ∴∠A′HB′＝∠AGC＝∠DEG＝90°， ∴四边形EFHG是矩形， ∴FH＝EG＝1， 由平移的性质可得，△A′B′C′≌△ABC， 又∵A′H、AG分别为△A′B′C′、△ABC对应边的高， ∴A′H＝AG＝4，C′H＝CG＝3， ∴A′F＝A′H﹣FH＝3， ∵FK＝A′F＝3， ∴HK＝FK﹣FH＝3﹣1＝2， ∴C'K， ∵DF⊥A′K，AF＝FK， ∴DF是A′K的垂直平分线， ∴A′D＝DK， ∴|A′D﹣C′D|＝|DK﹣C′D|≤C′K， ∴当D、K、C′共线时，|A′D﹣C′D|的最大值为， 故答案为：． 19．（2025•宣城一模）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　7　 ． 【分析】先找出点P的运动路线为以AD为直径的圆，设圆心为O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，可推出M′P′的长即为PN+MN的最小值，再求出M′P′的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADP＝∠PAB， ∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°， ∴点P的运动路线为以AD为直径的圆， 作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP， 则OP＝OP′＝3，M′N＝MN， ∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3； 连接OM， ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点， ∴ODADBC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°， ∴四边形OMCD是矩形， ∴OM＝DC＝AB＝8， ∵点M关于直线DC的对称点M′， ∴M′M＝2MC＝6， 在Rt△M′OM中， 由勾股定理，得OM′， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7， 故答案为：7． 20．（2025春•泌阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点． （1）用含x的式子表示线段PA的长是 　　 ； （2）结合图形，判断式子的最小值是 　5　 ． 【分析】（1）由两点间的距离公式可得答案； （2）作点B关于x轴的对称点C，连接AC，由图形可得式子表示PA+PB，再根据PA+PB的最小值即线段AC的长可得答案． 【解答】解：（1）PA， 故答案为：； （2）由图形可得式子表示PA+PB， 如图，作点B关于x轴的对称点C，连接AC， 根据对称性可得PA+PB的最小值即线段AC的长， 由两点间的距离公式可得PA+PB＝AC5． 故答案为：5． 21．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小． （3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大． （4）△ABC的面积是 　　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小． （3）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大． （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，点P即为所求． （3）如图，点M即为所求． （4）△ABC的面积为3×3． 故答案为：． 22．（2025•滨海新区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，与x轴相交于A（﹣1，0）和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （I）若a＝1． ①求点P和点B的坐标； ②点D上为抛物线第四象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，记△BCD，△BEF的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2最大值时点D的横坐标； （Ⅱ）点Q为直线y＝3上一动点，点M在x轴下方一点，满足AQ＝AM，∠QAM＝90°，连接BQ，PM，当BQ+PM的最小值为时，求点M和Q的坐标． 【分析】（Ⅰ）①由条件可求出b的值，再把A（﹣1，0）代入解析式，得c＝﹣3，最后化为顶点式即可得顶点坐标，根据对称性可得点B坐标； ②先求得BC的表达式为y＝x﹣3，设点D（m，m2﹣2m﹣3），则DE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，再分别表示出S△BCD和S△BEF，故S1﹣S2，即可得到答案； （Ⅱ）作QH⊥x轴于点H，MN⊥x轴于点N，先证明△QAH≌△AMN（AAS），可得QH＝AN＝3，ON＝AN﹣1＝2，故点M在直线x＝2上运动．取点S（﹣1，4），连接AS，则AS＝AB＝4，再证明△QAB≌△MAS（SAS），故BQ＝MS，BQ+PM＝MS+PM，作点S关于直线x＝2的对称点S'，可得S'（5，﹣4），则当P、M、S'三点共线时，MS+PM值最小，即PS'.顶点P（1，﹣4a），即（5﹣1）2+（4a﹣4）2＝（）2，可得a＝2，从而P（1，﹣8）．再求直线PS'的表达式为y＝x﹣9，令x＝2，则y＝﹣7，故M（2，﹣7），进而再求得Q（6，3）． 【解答】解：（Ⅰ）①若a＝1，2a+b＝0， ∴b＝﹣2，则抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+c，再把A（﹣1，0）代入上式， 可得c＝﹣3， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 故P点坐标为（1，﹣4），由对称性可得B点坐标为（3，0）； ②∵B（3，0）、C（0，﹣3）， 故由待定系数法可得直线BC的表达式为y＝x﹣3， 设点D（m，m2﹣2m﹣3），则DE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴S△BCD， ∵OB＝OC＝3，则∠FBC＝45°，则BF＝EF＝3﹣m， ∴S△BEF， ∴S1﹣S2， ∴当S1﹣S2最大时，D点的横坐标为． （Ⅱ）作QH⊥x轴于点H，MN⊥x轴于点N，如图1所示， ∵∠QAM＝90°＝∠QAH+∠MAN， 又∵∠MAN+∠AMN＝90°， ∴∠QAH＝∠AMN， 在△QAH和△AMN中， ， ∴△QAH≌△AMN（AAS）， ∴QH＝AN＝3，ON＝AN﹣1＝2， 故点M在直线x＝2上运动． 取点S（﹣1，﹣4），连接AS，则AS＝AB＝4， ∵∠QAM＝∠BAS＝90°， ∴∠QAB＝∠MAS， 在△QAB和△MAS中， ， ∴△QAB≌△MAS（SAS）， ∴BQ＝MS． ∴BQ+PM＝MS+PM， 作点S关于直线x＝2的对称点S'，可得S'（5，﹣4）， 则当P、M、S'三点共线时，MS+PM值最小，即PS'． ∵抛物线过B（3，0）、C（0，﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴顶点P（1，﹣4a）， 即（5﹣1）2+（4a﹣4）2＝（）2，解得a＝2或0（舍去）， 故a＝2，从而P（1，﹣8）． 由待定系数法可得直线PS'的表达式为y＝x﹣9，令x＝2，则y＝﹣7， 故M（2，﹣7）． ∵AH＝MN＝7，OH＝7﹣1＝6， 故Q（6，3）． 综上，M（2，﹣7），Q（6，3）． 23．（2025秋•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是底边BC上一点，连接AE，D为射线AE上一点，以A为顶点、AD为腰，在AE右侧作等边△ADF． （1）如图1，点D与点E重合，∠BAC＝60°，连接CF，过F作FM⊥AC于M，当BD＝3CD，求的值； （2）如图2，点D与点E重合，∠BAC＝90°，K为BC中点，AK与BF相交于点N，当DF⊥AC时，求证：BD＝2AN； （3）如图3，∠BAC＝100°，CG是△ABC的角平分线，将△BCG沿BC边向下翻折，得到△BCG′，点D为射线AE与直线CG′的交点，点E在BC边上的运动过程中，当AF最小时，过C作直线m∥AF，在直线m上有一动点H，当AH+GH的值最小时，直接写出∠BHG的度数． 【分析】（1）先根据旋转的性质判定△CAF≌△BAD，得出∠ACF＝60°，再由CM＝CFcos60°求出CM与AC的比值关系即可求出答案． （2）根据题意得到DF∥AB，进而推出△CDF是等腰直角三角形，并判定NK是△BCF的中位线，然后根据NKCD推出结论． （3）先通过将军饮马模型得出点H是A′G和直线m的交点，然后根据轴对称的性质得出△ACA′是等边三角形和△ABA′是等腰三角形，再结合四点共圆的性质求出∠AA′G＝∠ACG＝20°，最后根据等腰三角形的性质求出∠BHA＝∠AHA′＝140°，即可由邻补角的性质得出答案． 【解答】（1）解∵AB＝AC，AD＝AF，∠BAD＝60°﹣∠CAD＝∠CAF， ∴△CAF可以看作是由△BAD逆时针旋转60°而来，∠ACF＝∠ABD＝60°，CF＝BDBC． ∴CM＝CFcos60°BCAC． ∴． （2）证明：如图，连接CF． ∵DF⊥AC，AB⊥AC， ∴DF∥AB， ∴∠FDC＝∠ABC＝45°， ∴△CDF是等腰直角三角形． 根据等腰三角形轴对称的性质，∠CFQ＝∠CDQ＝45°，即∠FCD＝90°，CF⊥BC． 又∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． ∵K是BC的中点， ∴AK⊥BC， ∴NK∥CF，NK是△BCF的中位线， ∴NKCFCD． ∵AK＝AN+NKBC（BD+CD）， ∴ANBD，即BD＝2AN． （3）解：如图，作点A关于直线m的对称点A′，连接GA′交直线m于点H，连接A′B． 由于AH+GH＝A′H+GH≥GA′，则GA′就是AH+GH的最小值，此时点H为GA′与直线m的交点． 根据题意，AC是等边△ADF的高，则∠DAC∠DAF＝30°； ∠ACG∠ACB20°，∠BCG＝∠BCG′＝∠ACG＝20°， ∴∠ACG′＝60°， 根据轴对称的性质，AC＝A′C，∠ACH＝∠A′CH＝30°，则点A′在线段CG′上， ∴△ACA′是等边三角形，AA′＝AC＝AB， ∴△ABA′是等腰三角形，∠BAA′＝∠BAC﹣∠CAA′＝40°， ∵∠AGC＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝60°＝∠AA′C， ∴A′、G、A、C四点共圆， ∴∠AA′G＝∠ACG＝20°， 根据轴对称的性质，∠A′AH＝∠AA′H＝20°，则∠BAH＝∠A′AH＝20°， ∴直线AH是△BAA′的对称轴． ∴∠BHA＝∠AHA′＝180°﹣2∠AA′H＝140°， ∴∠BHA＝360°﹣2∠BHA＝80°， ∴∠BHG＝180°﹣∠BHA＝100° 24．（2024春•中阳县期中）综合与实践 【问题情景】 （1）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．设CD＝x，用含x的代数式表示AC+CE的长． 【数学思考】 （2）如图2，在某河道一侧有两家工厂A，B，它们到河道的距离AD，BC分别是5km，7km，两工厂之间的距离AB是7km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P抽水，且使得抽水点P到两家工厂A，B的距离之和最短，求出PA+PB的最小值． 【深入探究】 （3）请结合（2）的思路，直接写出代数式（0≤x≤6）的最小值：　10　 ． 【分析】（1）根据图1，利用勾股定理即可含x的代数式表示AC+CE的长； （2）作点A关于l的对称点A'，过点A'作A'E⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，推出PA+PB的最小值就是A'B的长，再利用勾股定理求出A'B的长即可； （3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵BD＝8，CD＝x， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x， ∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC中， ∵AB＝5， ∴由勾股定理，得AC， 在Rt△EDC中， ∵DE＝1， ∴由勾股定理，得CE， ∴AC+CE； （2）作点A关于l的对称点A'，过点A'作A'E⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图， 则四边形ADCF，四边形DA'EC，四边形AA'EF都是矩形，PA'＝PA， ∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B， ∴PA+PB的最小值为A'B， ∵AD＝5km，BC＝7km，AB＝7km， ∴EC＝A'D＝AD＝FC＝5km，BE＝BC+CE＝12km，BF＝BC﹣FC＝2km， 在Rt△ABF中， 由勾股定理，得AF（km）， ∴A'Ekm， 在Rt△A'BE中， 由勾股定理，得A'B（km）， ∴PA+PB的最小值为km； （3）构造图形如下，其中C为线段BD上点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，其中AB＝6，DE＝2，BD＝6．CD＝x， 则BC＝6﹣x，CE，AC， 连接AE， ∵AC+CE≥AE， ∴代数式（0≤x≤6）的最小值为AE的长， 过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F， 则四边形BDEF是矩形， ∴EF＝BD＝6，BF＝DE＝2， ∴AF＝AB+BF＝8， 在Rt△AEFG中， 由勾股定理，得AE10， ∴代数式（0≤x≤6）的最小值为10． 故答案为：10． 25．（2025春•工业园区校级期中）计算与发现﹣直角三角形三边的等量关系 将如图1所示的长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到长方形A1B1CD1，其中AC是长方ABCD的对角线，点A1、B1、D1分别是点A、B、D的对应点，连接AA1，设BC＝a，AB＝b，AC＝c．请完成下列问题： （1）①∠ACA1＝ 　90　 度； ②请你用两种不同的方法计算四边形A1ABD1的面积，并将所列等式化至最简形式． 作图与推理﹣PA+PB的最小值问题 如图2，点A、B是直线l异侧的两个定点，点P是直线l上的一个动点，连接AP、BP，连接AB交直线l于点Q．根据“两点之间线段最短”我们发现：当点P与点Q重合时，PA+PB最小，最小值就是线段AB的长度． （2）如图3，点A、B是位于直线l同侧的两个定点，其他条件不变，请完成以下问题： ①作点B关于直线l的对称点，记为点B′；（在图3中尺规作图，保留作图痕迹） ②根据对称性，此时PB＝PB'，于是PA+PB的最小值问题就转化成了PA+PB′的最小值问题．请你根据上述分析，在图3中作出当PA+PB取最小值时点P的位置．（保留作图痕迹） 探索与运用 根据上述发现、推理，请你完成下列问题： （3）如图4，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°，CA＝CB＝12cm，点D是BC上一点，CD＝7cm，点P是斜边AB上的一个动点，连接PC、PD，求PC+PD的最小值． 【分析】（1）①根据旋转的性质和全等三角形的性质可以得到∠BAC＝∠D1CA1，从而推出∠D1CA1+∠ACB＝90°，进而得到∠ACA1的度数； ②分别用整体和各部分面积和表示出四边形A1ABD1的面积，利用面积不变得到等式，再整理即可得出结论； （2）①利用尺规作图﹣过直线外一点作已知直线的垂线，以及截一条线段等于已知线段即可作出点B'； ②根据题中的说明和图2提供的方法作出当PA+PB取最小值时点P的位置即可； （3）利用（2）中的方法，作出图形，得到PC+PD的最小值为C'D的长，再利用勾股定理求出C'D的长即可． 【解答】解：（1）①∵长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到长方形A1B1CD1， ∴△ABC≌△CDA≌△A1B1C≌△CD1A1， ∴∠BAC＝∠D1CA1， ∵∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠D1CA1+∠ACB＝90°， ∴∠ACA1＝90°． 故答案为：90； ②∵四边形A1ABD1的面积（a+b）（a+b）（a+b）2， 四边形A1ABD1的面积＝△ABC的面积+△ACA1的面积+△CD1A1的面积abc2ab＝abc2， ∴（a+b）2＝abc2， 整理，得a2+b2＝c2； （2）①作出图形如下： ②如图，当PA+PB取最小值时点P的位于点P′处； （3）如图，所作图形如下： 点C'是点C关于AB对称，则PC+PD的最小值为C'D的长， 连接C'B， ∵在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°，CA＝CB＝12cm，CD＝7cm， 则∠C'BC＝90°，C'B＝CB＝12cm，DB＝CB＝CD＝5cm， 在Rt△C'DB中， 由勾股定理，得C'D13（cm）， 故PC+PD的最小值为13cm． 26．（2025春•漳州期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． 数学模型： （1）如下四个选项中．直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供生站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是 B ． （2）下列依据中，在（1）中用到的有 　①④　 ．（填序号） ①两点之间线段最短； ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④三角形两边之和大于第三边． 问题解决： （3）如图1，在等边△ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点，若AD＝6，则PE+PB的最小值为 　6　 ． （4）如图2，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝5km，请在备用图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【分析】（1）作点M关于直线a的对称点M′，连接MM′，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项； （2）根据“两点之间线段最短”；“三角形两边之和大于第三边”即可填出答案； （3）根据等边三角形的对称性，两点之间线段最短和垂线段最短即可解决问题； （4）分别作出点A关于OM、ON的对称点B，C，连接BC分别交OM、ON于点D，E，连接AD、AE，则线段AD，DE，EA之和即为所求最短路径，结合题意易证△OBC为等边三角形，从而求解． 【解答】解：（1）∵作点M关于直线a的对称点M′，连接MM′，故直线a是MM′的垂直平分线， ∴MO＝M′O， ∴OM+ON＝OM'+ON＝MN， ∴铺设管道最短的是选项B， 故选：B； （2）在（1）中用到的有：两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边． 故填：①④； （3）如图，连接CP，CE，过点C作CE'⊥AB于点E'， ∵等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线， ∴点B，点C关于直线AD的对称， ∴PC＝PB， ∴PE+PB＝PC+PE≥CE≥CE'， ∴PE+PB的最小值为CE'的长， ∵CE'和AD都是等边三角形ABC的高， ∴CE'＝AD＝6， 故答案为：6； （4）分别作出点A关于OM、ON的对称点B，C，连接BC分别交OM、ON于点D，E，连接AD、AE，则线段AD，DE，EA之和即为所求的最短路径． 由题意，得OB＝OA＝OC＝5km，∠BOD＝∠AOD，∠COE＝∠AOE， ∵∠MON＝∠AOD+∠AOE＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴BC＝OB＝5km，AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝5km， ∴整个过程所行的路程为5km． 27．（2025春•青羊区期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边AC、BC上的动点，连接AE、BD，分别取AE、BD的中点G、F，解决以下问题： （1）当BD平分∠ABC，E为BC的中点时； ①如图1，求CD的长度； ②如图2，求FG的长； （2）如图3，D为AC的中点，连接CF、CG、FG，当△CFG周长最小时，求的值． 【分析】（1）①由角平分线的性质得出CD＝DH，然后根据S△ABCAC•BCBC•CDAB•DH求出CD的长度； ②根据中位线定理先求出EF和EK，以及KG的长度，然后在Rt△FKG中由勾股定理求出FG的长． （2）先判定点G的运动轨迹，由将军饮马模型求出FG+GC最小时点G的位置G′，然后根据中位线定理求出PF与AC的数量关系，进而得到EP′与PC的数量关系，即可求出△CFG周长最小时的值． 【解答】解：（1）①如图，过点D作DH⊥AB，根据角平分线的性质，CD＝DH． 在Rt△ABC中，AB10． ∵S△ABCAC•BCBC•CDAB•DHCD•（AB+BC）． ∴CD． ②如图，EF的延长线交AB于点K，连接KG． ∵E、F分别为BC和BD的中点， ∴EF∥CD，EFCD，CE＝BEBC＝4． ∴EK为△ABC的中位线，AK＝BK，EKAC＝3． ∴FK＝EK﹣EF． ∵KG是△ABE的中位线， ∴KGBE＝2． 在Rt△FKG中，FG． （2）如图，连接AF交DG延长线于点G′，连接CG′，AF延长线交BC于点E′． 根据题意DG为△ACE的中位线，则DG∥CE， ∴DG⊥AC，DG是线段AC的垂直平分线． ∴AG＝CG． ∴当点E在BC上运动时，点G的轨迹在直线DG上． 由于CF为定值，则△CFG周长最小时，即FG+CG的值最小． ∵FG+CG＝FG+AG≥AF． ∴点G与点G′重合时，△CFG周长最小． 过点F作AC的平行线交BC于点P． ∴PF为△BCD的中位线，PFCDAC． ∴E′PCE′，即CE′＝4E′P， ∴PC＝BP＝3E′P，BE′＝BP﹣E′P＝2E′P． ∴． 故当△CFG周长最小时，的值为． 28．（2025•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG． （1）求证：AF＝EG； （2）若AB＝6，BF＝2． ①若BE＝3，求AG的长； ②连结AG、EF，求AG+EF的最小值． 【分析】（1）过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（AAS）即可； （2）①在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，求出AG； ②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求． 【解答】（1）证明：如图1，过点G作GP⊥AB交于P， ∵AH⊥EG， ∴∠AEH+∠DAH＝90°， ∵∠PEG+∠PGC＝90°， ∴∠EAH＝∠PGE， ∵PG＝AB， ∴△ABF≌△GPE（AAS）， ∴AF＝EG； （2）①∵BF＝2， ∴PE＝2， ∵AB＝6，BE＝3， ∴AE＝3， ∴AP＝1， 在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6， ∴AG； ②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF， ∴四边形EFQG为平行四边形， ∴GQ＝EF， ∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ， ∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小， ∵EG＝AF，EG＝FQ， ∴AF＝FQ， ∵AF⊥EG， ∴AF⊥FQ， ∴△AFQ是等腰直角三角形， ∵AF2， ∴AQ＝4， ∴AG+EF的最小值为4． 29．唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的． （1）观察发现 再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝AD＝2，∠D＝120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短． 作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为　2　 ． （2）实践运用 如图3，已知⊙O的直径MN＝1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值． （3）拓展迁移 如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线x＝1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号） 【分析】（1）联系题干给出的信息提示，在等腰梯形ABCD中，B、C关于直线EF对称，所以BP+AP的最小值应为线段AC的长，所以只需求出AC长即可；梯形ABCD中，AD∥BC，所以同旁内角∠BAD、∠ABC互补，已知∠BAD＝∠D＝120°，所以∠ABC＝60°，在等腰△ADC中（AD＝CD＝2），易求得底角∠DAC＝30°，此时可以发现△BAC是含30°角的特殊直角三角形，已知AB的长，则线段AC的长可得，由此得解． （2）延续上面的思路，先作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，那么BC与MN的交点即符合点P的要求，BP+AP的最小值应是弦BC的长；已知点B是劣弧AN的中点，所以圆周角∠AMN∠AON＝∠BON＝30°；点A、C关于直径MN对称，那么，因此∠CON＝∠AON＝60°，由此可以看出△BOC是一个等腰直角三角形，已知⊙O的直径可得半径长，则等腰直角三角形的斜边（即BP+AP的最小值BC长）可求． （3）①已知抛物线对称轴为直线x1，以及点A、C的坐标，由待定系数法能求出抛物线的解析式； ②△ACM中，点A、C的坐标已确定，所以边AC的长是定值，若△ACM的周长最小，那么AM+CM的值最小，所以此题的思路也可以延续上面两题的思路；过点C作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，根据抛物线的对称性点D的坐标易得，首先利用待定系数法求出直线AD的解析式，那么直线AD与抛物线对称轴的交点就是符合条件的点M；在求出点A、C、D三点的坐标后，线段AC、AD的长可得，所以△ACM的周长最小值＝AC+AD（其中AD为AM+CM的最小值）． 【解答】解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD＝∠D＝120°， ∴∠ABC＝60°； 在△ADC中，AD＝CD＝2，∠D＝120°，所以∠DAC＝∠DCA＝30°； ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，即△BAC为直角三角形； 在Rt△BAC中，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°﹣60°＝30°，AB＝2，所以AC＝AB•tan60°＝2； 由于B、C关于直线EF对称，根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长，即2． （2）如图（2），作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，则BC与直径MN的交点为符合条件的点P，BC的长为BP+AP的最小值； 连接OA，则∠AON＝2∠AMN＝60°； ∵点B是的中点， ∴∠BON∠AON＝30°； ∵A、C关于直径MN对称， ∴，则∠CON＝∠AON＝60°； ∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝90°，又OC＝OBMN， 在等腰Rt△BOC中，BCOB； 即：BP+AP的最小值为． （3）①依题意，有： ，解得 ∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3； ②取点C关于抛物线对称轴为直线x＝1的对称点D，根据抛物线的对称性，得：D（2，﹣3）； 连接AD，交抛物线的对称轴于点M，如图（3）﹣②； 设直线AD的解析式为y＝kx+b，代入A（﹣1，0）、D（2，﹣3），得： ，解得 ∴直线AD：y＝﹣x﹣1，M（1，﹣2）； ∴△ACM的周长最小值：lmin＝AC+AD3． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 将军饮马模型 为了解决生产、经营中省时省力省钱而希望寻求最佳方案产生了最短路径问题。近几年来，最短路径问题是中考的热点，且经常用“将军饮马”中的对称思想解决一类最小值问题，其归属于动态几何问题。 “将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值解决这类问题要用到两个基本知识点“两点之间线段最短”和“垂线段最短”。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 8 11 ‌ 相传，古希腊有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦（Hero of Alexandria，约公元10-70年）。一天，一位罗马将军专程去拜访他，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会怎样走才能使路程最短呢？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就回答了，从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今。唐代诗人李颀《古从军行》中“黄昏饮马傍交河”的诗句，也为这一模型注入了生动的文学意象，使其成为数学与人文结合的典范。 该模型将实际问题抽象为：在直线l（河岸）同侧有两点A、B，在l上找一点P，使PA+PB最小。利用“两点之间线段最短”公理。作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则P点即为所求。此时，折线APB转化为直线段A'B，路径最短。 1．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 4．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 1）两定一动（同侧型）： 条件：如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 解：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 2）两定一动（异侧型）： 条件：如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 解：作点A关于l的对称点A’，连接，与直线l的交点即为点P，如图所示： ∵点A与始终关于直线l对称， ∴PA＋PB的长度可转化为＋PB的长度， 由1）中的结论可得当、P、B三点共线时，的值最小，即为的长度. 3）的最大值（同侧型）： 条件：如图，在直线l同侧有A、B两个定点，怎样在直线l上找到一点P，使得的值最大？ 解：连接AB并延长，交直线l的交点即为点P； 如图，为l上异于P的一点，连接、， 在中，由三角形的三边关系得：， ∵PA﹣PB＝AB， ∴， ∴当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|的值最大． 4）的最大值（同侧型）： 如图，在直线l两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线l上找到一点P，使得|PA﹣PB|的值最大？ 解：作点B关于直线l的对称点，连接并延长与l的交点即为点P，如图所示： 5）一定两动模型 条件：如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 解：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，即为△PCD的周长最小值，如图所示： 条件：如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？ 解：作点P关于OB的对称点，过点作交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，即为PD＋CD的值最小. 6）两定两动模型 条件：如图，点P、Q在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得四边形PCDQ的周长最小？ 解：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点，连接分别交OA、OB于点C、D，此时四边形PCDQ的周长最小值为，如图所示： 例1（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 例2（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 例3（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 例4（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 例5（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 1．（2025秋•安庆期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D为底边BC的中点，BC＝4cm，S△ABC＝12cm2，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，O为线段MN上一点，则OB+OD的最小值为（　　） A．4cm B．4.5cm C．6cm D．5cm 2．（2025春•肇源县期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•泗洪县期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A．35 B．40 C．50 D．60 4．如图，在等边三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，在AB，CB上分别取点M，N，且AM＝BN＝4，DN＝2，在AD上有一动点P，则PM+PN的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 5．（2025春•金寨县期末）如图，正方形ABCD的边长为3，点P是正方形ABCD的内部一动点，且正方形ABCD的面积始终等于△ABP 的面积的6倍，连接CP，DP，则线段CP+DP的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 6．（2025•潘集区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（　　） A． B． C． D．3 7．（2025春•伊犁州期末）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0） 8．（2025•金凤区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．3 B．2 C．10 D．2 9．（2025春•南山区月考）如图，周长为8的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点Q为BC边中点，点P为对角线上一动点，沿D→B的路径行进，PD长度为x，PQ，PC的长度之和为y，设函数图象最低点的坐标为（m，n），则n的值为（　　） A． B． C． D． 10．（2025•深圳模拟）如图，菱形ABCD的边长为6，∠D＝120°，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，则BP+EP的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 11．（2025秋•武城县期末）如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．当△PMN周长取得最小值时，则∠MPN的度数为 　 　 ． 12．（2025秋•文登区期末）如图，矩形ABCD，AB＝4，BC＝6．以点A为圆心，2为半径作圆，点E是⊙A上一点．若动点M在BC上，则ME+MD的最小值为　 　 ． 13．（2025秋•涪城区期末）如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，则（BD+BE）2的最小值为 　 　 ． 14．（2025春•龙岗区校级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+DF的最小值是 　 　 ． 15．（2025春•仓山区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，且AD＝PQ＝1，则四边形PQDC周长的最小值为 　 　 ． 16．（2025秋•范县校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，AB＝4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 　 　 ． 17．（2025秋•黄石校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S△ABC＝15，AB＝6时，BM+MN的最小值等于　 　 ． 18．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A逆时针旋转90°得到点D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A′D﹣C′D|的最大值为 　 　 ． 19．（2025•宣城一模）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　 　 ． 20．（2025春•泌阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点． （1）用含x的式子表示线段PA的长是 　 　 ； （2）结合图形，判断式子的最小值是 　 　 ． 21．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小． （3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大． （4）△ABC的面积是 　 　 ． 22．（2025•滨海新区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，与x轴相交于A（﹣1，0）和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． （I）若a＝1． ①求点P和点B的坐标； ②点D上为抛物线第四象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，记△BCD，△BEF的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2最大值时点D的横坐标； （Ⅱ）点Q为直线y＝3上一动点，点M在x轴下方一点，满足AQ＝AM，∠QAM＝90°，连接BQ，PM，当BQ+PM的最小值为时，求点M和Q的坐标． 23．（2025秋•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是底边BC上一点，连接AE，D为射线AE上一点，以A为顶点、AD为腰，在AE右侧作等边△ADF． （1）如图1，点D与点E重合，∠BAC＝60°，连接CF，过F作FM⊥AC于M，当BD＝3CD，求的值； （2）如图2，点D与点E重合，∠BAC＝90°，K为BC中点，AK与BF相交于点N，当DF⊥AC时，求证：BD＝2AN； （3）如图3，∠BAC＝100°，CG是△ABC的角平分线，将△BCG沿BC边向下翻折，得到△BCG′，点D为射线AE与直线CG′的交点，点E在BC边上的运动过程中，当AF最小时，过C作直线m∥AF，在直线m上有一动点H，当AH+GH的值最小时，直接写出∠BHG的度数． 24．（2024春•中阳县期中）综合与实践 【问题情景】 （1）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．设CD＝x，用含x的代数式表示AC+CE的长． 【数学思考】 （2）如图2，在某河道一侧有两家工厂A，B，它们到河道的距离AD，BC分别是5km，7km，两工厂之间的距离AB是7km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P抽水，且使得抽水点P到两家工厂A，B的距离之和最短，求出PA+PB的最小值． 【深入探究】 （3）请结合（2）的思路，直接写出代数式（0≤x≤6）的最小值：　 　． 25．（2025春•工业园区校级期中）计算与发现﹣直角三角形三边的等量关系 将如图1所示的长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到长方形A1B1CD1，其中AC是长方ABCD的对角线，点A1、B1、D1分别是点A、B、D的对应点，连接AA1，设BC＝a，AB＝b，AC＝c．请完成下列问题： （1）①∠ACA1＝　 　 度； ②请你用两种不同的方法计算四边形A1ABD1的面积，并将所列等式化至最简形式． 作图与推理﹣PA+PB的最小值问题 如图2，点A、B是直线l异侧的两个定点，点P是直线l上的一个动点，连接AP、BP，连接AB交直线l于点Q．根据“两点之间线段最短”我们发现：当点P与点Q重合时，PA+PB最小，最小值就是线段AB的长度． （2）如图3，点A、B是位于直线l同侧的两个定点，其他条件不变，请完成以下问题： ①作点B关于直线l的对称点，记为点B′；（在图3中尺规作图，保留作图痕迹） ②根据对称性，此时PB＝PB'，于是PA+PB的最小值问题就转化成了PA+PB′的最小值问题．请你根据上述分析，在图3中作出当PA+PB取最小值时点P的位置．（保留作图痕迹） 探索与运用 根据上述发现、推理，请你完成下列问题： （3）如图4，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°，CA＝CB＝12cm，点D是BC上一点，CD＝7cm，点P是斜边AB上的一个动点，连接PC、PD，求PC+PD的最小值． 26．（2025春•漳州期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． 数学模型： （1）如下四个选项中．直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供生站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是 B ． （2）下列依据中，在（1）中用到的有 　 　 ．（填序号） ①两点之间线段最短； ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④三角形两边之和大于第三边． 问题解决： （3）如图1，在等边△ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点，若AD＝6，则PE+PB的最小值为 　 　 ． （4）如图2，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝5km，请在备用图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 27．（2025春•青羊区期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边AC、BC上的动点，连接AE、BD，分别取AE、BD的中点G、F，解决以下问题： （1）当BD平分∠ABC，E为BC的中点时； ①如图1，求CD的长度； ②如图2，求FG的长； （2）如图3，D为AC的中点，连接CF、CG、FG，当△CFG周长最小时，求的值． 28．（2025•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG． （1）求证：AF＝EG； （2）若AB＝6，BF＝2． ①若BE＝3，求AG的长； ②连结AG、EF，求AG+EF的最小值． 29．唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的． （1）观察发现 再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝AD＝2，∠D＝120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短． 作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为　 　 ． （2）实践运用 如图3，已知⊙O的直径MN＝1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值． （3）拓展迁移 如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线x＝1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号） 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $