专题13 十字架（全等、相似）模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题13 十字架（全等、相似）模型 十字架模型完美结合垂直，全等，相似，覆盖初中几何两大核心， 能和折叠、坐标系、动点、最值无缝结合，图形简洁，条件隐蔽，特别适合出区分度题，既能考基础，又能考综合。 十字架模型是数学平面几何中比较重要的一个模型,常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 15 ‌ 十字架全等模型基于正方形四边相等、四角直角、同角的余角相等，本质是构造直角三角形全等，由三垂直模型（K型全等） 平移、变形而来。在正方形或等腰直角三角形中，若两条线段互相垂直，往往能通过构造全等三角形证明它们长度相等。由于这两条线段交叉形似“十字架”，故得名。 十字架相似模型，本质是正方形内十字架全等模型的推广，从“全等”升级为“相似”，把正方形换成矩形，边长不再相等，垂直的十字线段就不再相等，但相似关系依然成立，此时，两条垂直线段的比值等于矩形的长宽比。它和三垂直模型（K字型相似） 是同源结构，只是把“外侧三垂直”移到了矩形内部，变成“内十字垂直”，‌‌‌ 1.（余杭区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先证明△CDF≌△BCE，得到∠BGC＝90°，利用面积法即可求出CG． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4， ∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4， 又∵DE＝AF＝1， ∴CE＝DF＝3， 在△CDF和△BCE中， ， ∴△CDF≌△BCE （SAS）， ∴∠DCF＝∠CBE， ∵∠DCF+∠BCF＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BGC＝90°， 在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3， ∴BE5， ∴BE•CG＝BC•CE， ∴CG． 故选：D． 2.（浙江模拟）如图，正方形ABCD中，AE＝DF，AF与BE相交于点H，点O为BD中点，连结OH，若DG＝OG，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意得到三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等，作辅助线构造直角三角形，设DF＝k，然后根据勾股定理表示出OH、BH的长度即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADC＝∠DAB＝90°， 又∵DF＝AE， ∴△DAF≌△ABE（SAS）， ∴BE＝AF，∠EBA＝∠EAH， ∵∠EAH+∠HAB＝90°， ∴∠EBA+∠HAB＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∵点O为BD中点，DG＝OG， ∴， ∵AB∥CD， ∴△DFG∽△BAG， ∴， 设DF＝k，则AB＝3k， ∴AE＝k， 在Rt△AEB中，EB， ∴，解得AH， 在Rt△AHB中，根据勾股定理BH， 过点O作OP⊥AB于点P，过H作HN⊥AB于点N，过O作OM⊥NH交NH的延长线于点M，如图： 则四边形OMNP为矩形， ∴OM＝NP，OP＝MN， 在Rt△AHB中，3k•HN＝AH•BH， ∴HN， ∴MH， 又∵∠EBA＝∠AHN，∠HNA＝∠EAB， ∴△HNA∽△BAE， ∴， ∴AN， ∴NP＝OM， 根据勾股定理可得OH， ∴， 故选：A． 3.（2026•罗湖区校级开学）（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD； （2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，BG＝GE，若，探究的值； （3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求的值． 【分析】（1）由矩形的性质，可得∠ABE＝∠C，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得∠BAE＝∠CBD，即可证得结论； （2）设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x，证明△AEB﹣△GDC，可得，可得x＝2a，即可得的值； （3）作EM⊥BC于点M，由矩形的判定和性质，可得EM＝3，证明△EMF∽△PCQ，，由已知可得PC＝4或PC＝2，即可得的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，∠ABE＝90°， ∴∠ABF+∠DBC＝90°，∠ABE＝∠C， ∵AF⊥BD交BD于点F， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝90°， ∵∠BAE＝∠CBD， ∴△ABE∽△BCD． （2）解：∵BG＝GE，， 设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x， ∵CE＝11a﹣2x＞0， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，∠ABE＝90°，CD＝AB＝6a， ∴∠CGD+∠CDG＝90°，∠ABE＝∠C， ∵AF⊥DG， ∴∠GFE＝90°， ∴∠CGD+∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠GDC， ∴△AEB∽△GDC， ∴， ∴， ∴x＝2a 或x＝9a（与矛盾，舍去）， ∴； （3）解：作EM⊥BC于点M，则∠EMB＝∠EMF＝90°， ∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝90°＝∠EMF， ∴四边形ABME为矩形， ∴EM＝AB＝3， 根据题意可知，点P和点Q关于直线EF对称， ∴EF⊥PQ， ∴∠CPQ+∠PFE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CPQ+∠CQP＝90°， ∴∠MFE＝∠CQP， ∴△EMF∽△PCQ， ∴， ∵BC＝6，点P为BC边上的三等分点， ∴或， ∴或， ∴或． 4.（2026•达州自主招生）【观察、猜想】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为　1　 ； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB＝10，BC＝24，求的值； 【初步应用】 （3）如图3，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值； 【灵活运用】 （4）如图4，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝20，BC＝CD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则的值为　　 ． 【分析】（1）证明△AED≌△DFC（AAS），则DE＝CF，即可得到答案； （2）由四边形ABCD为矩形得到CD＝AB＝10，AD＝BC＝24，证明△AED∽△DFC，即可得到答案； （3）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，证明四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，则AP＝EF，GH＝BQ．证明△PDA∽△QAB，则，则．同理可得，即可求出； （4）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，证明四边形ABSR是矩形，得到∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝20，AR＝BS．由（3）中的结论可得 ．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝10+x，RD＝20﹣y，利用勾股定理列方程组求得 ，则AR＝BS＝10+x＝16，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠CDF＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠AED＝∠CFD， 在△AED和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴， 故答案为：1； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADE＝∠DCF＝90°，CD＝AB＝10，AD＝BC＝24， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥DF于点G， ∴∠CDF+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， ∴△AED∽△DFC， ∴； （3）如图3，四边形ABCD是矩形，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，交AP于点T， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP＝EF，GH＝BQ． 又∵GH⊥EF， ∴AP⊥BQ， ∴∠QAT+∠AQT＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠D＝90°， ∴∠DAP+∠DPA＝90°， ∴∠AQT＝∠DPA． ∴△PDA∽△QAB， ∴， ∴． ∵AM⊥BN， 同理可得， ∴； （4）如图4，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝20，BC＝CD＝10，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S， ∴四边形ABSR是平行四边形， ∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝20，AR＝BS． ∵AM⊥DN， ∴由（3）中的结论可得 ． 设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝10+x，RD＝20﹣y， 在Rt△CSD中，由勾股定理得：x2+y2＝102＝100①， 在Rt△ARD中，由勾股定理得：（10+x）2+（20﹣y）2＝202②， 由②﹣①得：x＝2y﹣10③， 联立得：， 解得：（不合题意，舍去）或 ， ∴AR＝BS＝10+x＝16， ∴， 故答案为：． 5.（2025秋•温江区校级期末）【旧知回顾】 如图，正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC上一点，且AM⊥DN，易证：△ABM≌△DAN，故有AM＝DN．（不需证明） 【类比探索】 （1）如图1，四边形ABCD为矩形，E，F分别为AD，BC上的点，M，N分别为AB，CD上的点，当EF⊥MN时，求证：； （2）如图2，当四边形ABCD为平行四边形时，E，F分别为AD，BC上的点，M，N分别为边BC，CD上的点，连接MN，EF相交于点P．当∠ABC＝∠MPE时，（1）的结论是否依然成立？并说明理由； 【拓展运用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，若AB＝AD＝3，BC＝CD＝4，且∠ABC＝90°，点E，F分别为AD，CD上的点，连接CE，DF，当CE⊥DF时，求的值． 【分析】（1）作AH∥EF，交BC于H，作DG∥MN，交AB于G，可证明四边形AEFH和四边形DGMN是平行四边形，∠BAH+∠AHB＝90°，从而AH＝EF，DG＝MN，∠AGD＝∠AHB，可证得△ABH∽△DAG，从而，进而得出结论； （2）作AH∥EF，交CB的延长线于点H，作AG∥MN，交CD的延长线于点G，以A为圆心AG为半径画弧交CD的延长线于点Q，连接AQ，可证明△ABH∽△ADQ，从而，进而得出结论； （3）作BH⊥CD于H，延长BA，CD相交于点Q，连接AC，可证明△ABC≌△ADC（SSS），从而∠ADC＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得出AQ2﹣DQ2＝AD2＝32＝9①，可证明△QAD∽△QCB，从而得出②，从而得出AQ，DQ，从而得出BQ＝AQ+AB，CQ＝DQ+CD，可证明△BHC∽△QBC，从而得出BH，可证明△BHF∽△BDE，进而得出结果． 【解答】（1）证明：如图1， 作AH∥EF，交BC于H，作DG∥MN，交AB于G， ∵EF⊥MN， ∴AH⊥MN， ∴AH⊥DG， ∴∠BAH+∠AGD＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴四边形AEFH和四边形DGMN是平行四边形，∠BAH+∠AHB＝90°， ∴AH＝EF，DG＝MN，∠AGD＝∠AHB， ∴△ABH∽△DAG， ∴， ∴； （2）解：如图2， （1）中结论仍然成立，理由如下： 作AH∥EF，交CB的延长线于点H，作AG∥MN，交CD的延长线于点G，以A为圆心AG为半径画弧交CD的延长线于点Q，连接AQ， ∴AQ＝AG， ∴∠Q＝∠AGQ， 同理（1）可得：四边形AEFH和四边形AMNG是平行四边形， ∴AH＝EF，AQ＝AG＝MN，∠HAG＝∠MPE， ∵∠ABC＝∠MPE， ∴∠HAG＝∠ABC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC+∠C＝180°，180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ADC， ∴∠HAG+∠C＝180°，∠ABH＝∠ADQ， 在四边形HACG中， ∠H+∠AGC＝360°﹣（∠HAG+∠C）＝180°， ∵∠AGQ+∠AGC＝180°， ∴∠AGQ＝∠H， ∴∠H＝∠Q， ∴△ABH∽△ADQ， ∴， ∴； （3）解：如图3， 作BH⊥CD于H，延长BA，CD相交于点Q，连接AC， ∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADQ＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴AQ2﹣DQ2＝AD2＝32＝9①， ∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QAD∽△QCB， ∴， ∴②， 由①②得， AQ，DQ， ∴BQ＝AQ+AB，CQ＝DQ+CD， ∵∠CHB＝∠ABC＝90°，∠BCH＝∠BAC， ∴△BHC∽△QBC， ∴， ∴， ∴BH， ∵CE⊥DF， ∴∠DCE+∠BFH＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DCE+∠CED＝90°， ＝∴∠CED＝∠BFH， ∵∠BHC＝∠ADC＝90°， ∴△BHF∽△BDE， ∴． 1）十字架全等模型： 条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF，求证：AE=BF。 证明：∵四边形ABCD是正方形； ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90° ∴∠CBF+∠BFC=90° ∵AE⊥BF ∴∠CBF+∠AEB=90° ∴∠BFC=∠AEB 在△ABE和△BCF中 ∵ ∴△ABE≌△BCF（ASA） ∴AE=BF 条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF，结论：AE=GF。 2）十字架全等模型推论 条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF，求证AE⊥BF。 证明：∵四边形ABCD是正方形； ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90° 在Rt△ABE和Rt△BCF中 ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL） ∴∠BAE=∠CBF ∵∠CBF+∠ABG=∠ABC=90° ∴∠BAE+∠ABG=∠AGF=90° ∴AE⊥BF 3）十字架相似模型 条件：如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴. 如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ； ； EF⊥AC， ， ； ， ， ， DC=AB，FG=BC， . 条件：如图，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点且EF⊥MN，结论 证明：如图：过点N、F作、垂直， ； 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ； ∵EF⊥MN，， ∴； 又∵（对顶角相等）， ∴； ∴， ， NH=AB，FG=BC， . 例1（2026•海淀区校级开学）如图，在矩形ABCD中，已知BE⊥AC，若AB＝2，BC＝4，则AF的长为 　 ． 【分析】根据勾股定理求得AC，再利用三角形相似得到比例求得AF即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AD＝BC＝4，AB＝DC＝2． ∴． ∴∠BAF+∠FAE＝90°，∠FAE+∠ACD＝90°． ∴∠BAF＝∠CAD． ∵BE⊥AC， ∴∠AFB＝90°． ∵∠AFB＝∠D＝90°，∠BAF＝∠ACD， ∴△ABF∽△CAD． ∴． 即：． 解得：． 故答案为：． 例2（2025秋•海门区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，O分别在边BC，CD，AB，AD上．已知AO＝DO，OE⊥FG． （1）的值为 ； （2）若，则四边形ADFG的面积等于 ． 【分析】（1）过O点作OM⊥BC于M点，过F点作FN⊥AB于N点，OE与GF相交于H点，如图，四边形ABMO和四边形BCFN都为矩形，所以OM＝AB＝3，BM＝AOAD，CD＝AB＝3，FN＝BC＝2，BN＝CF，再利用同角的余角相等得到∠FGN＝∠OEM，则可判断Rt△OEM∽Rt△FGN，然后；运相似比求解； （2）设CF＝x，则BEx，BN＝x，DF＝3﹣x，EMx（1﹣x），利用Rt△OEM∽Rt△FGN得到，则可表示出GN＝2﹣2x，所以AG＝1+x，然后根据梯形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）过O点作OM⊥BC于M点，过F点作FN⊥AB于N点，OE与GF相交于H点，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝2， ∵∠A＝∠B＝∠OMB＝90°， ∴四边形ABMO为矩形， ∴OM＝AB＝3，BM＝AOAD，CD＝AB＝3， 同理可得四边形BCFN为矩形， ∴FN＝BC＝2，BN＝CF， ∵OE⊥FG． ∴∠EHG＝90°， ∵∠FGN+∠BEH＝180°，∠OEM+∠BEH＝180°， ∴∠FGN＝∠OEM， ∴Rt△OEM∽Rt△FGN， ∴； 故答案为：； （2）∵BECF， ∴设CF＝x，则BEx， ∴BN＝x，DF＝3﹣x，EMx（1﹣x）， ∵Rt△OEM∽Rt△FGN， ∴， 即， ∴GN＝2﹣2x， ∴AG＝3﹣x﹣（2﹣2x）＝1+x， ∴四边形ADFG的面积（1+x+3﹣x）×24． 故答案为：4． 例3如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 ． 【分析】过点H作HM⊥CD，垂足为M，利用正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，从而利用等腰直角三角形的性质可得AC＝2，再根据等式的性质可得BE＝CF，从而可证△ABE≌△BCF，进而可得∠1＝∠2，然后利用等量代换可得∠1+∠3＝90°，从而可得∠AGB90°，进而可得AG是BH的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质可得AB＝AH＝2，从而可得∠3＝∠AHB，CH＝22，最后利用平行线的性质可得∠3＝∠CFH，从而可得∠CFH＝∠CHF，进而可得CH＝CF＝22，再在Rt△HMC中，利用等腰直角三角形的性质可求出HM的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点H作HM⊥CD，垂足为M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°， ∴ACAB＝2， ∵CE＝DF， ∴BC﹣CE＝CD﹣DF， ∴BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠ABC＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠AGB＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°， ∵BG＝GH， ∴AG是BH的垂直平分线， ∴AB＝AH＝2， ∴∠3＝∠AHB，CH＝AC﹣AH＝22， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠CFH， ∵∠AHB＝∠CHF， ∴∠CFH＝∠CHF， ∴CH＝CF＝22， 在Rt△HMC中，HM2， ∴△CFH的面积CF•HM（22）×（2）＝34， 故答案为：34． 例4（2025秋•合肥校级期末）如图1，在矩形ABCD中，点E为CD的中点．点F是BC上一点，连接BE，AF，且BE⊥AF于点G． （1）求证：△ABF∽△BCE； （2）若BG＝1，，求GE的长． （3）在（2）的条件下，如图2，连接DG，求证：∠BAF＝∠DGE． 【分析】（1）易证∠ABF＝∠BCE＝90°，∠BFG＝∠BEC＝90°﹣∠FBG，即可得证； （2）易得，设BF＝2x，则CE＝3x，可得AB＝6x，进而可知tan∠BAF，求得AG＝3，可得AB，进而求解BE即可得解； （3）过D作DH⊥AG于点H，先证GH＝AH，则DA＝DG，即可得证． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ABF＝∠BCE＝90°， ∵BE⊥AF， ∴∠BGF＝90°， ∴∠BFG＝∠BEC＝90°﹣∠FBG， ∴△ABF∽△BCE； （2）解：由（1）知△ABF∽△BCE， ∴， 设BF＝2x，则CE＝3x， ∵点E为CD的中点， ∴AB＝CD＝2CE＝6x， ∴tan∠BAF， ∴， ∴AG＝3， 在Rt△ABG中，AB6x， 解得x， ∴CE＝3x， ∵sin∠BAG＝sin∠CBE， ∴，即， ∴BE＝5， ∴GE＝BE﹣BG＝4； （3）证明：如图，过D作DH⊥AG于点H， 则∠BAF＝∠ADH＝90°﹣∠DAH， ∴sin∠BAF＝sin∠ADH， 即， 由（2）可知AB， ∵， ∴AD＝BC， ∴， ∴AH， ∵AG＝3， ∴GH＝AG﹣AH， ∴AH＝GH， ∴DH垂直平分AG， ∴DA＝DG， ∴∠DAG＝∠DGA， ∵∠BAF+∠DAH＝90°，∠DGE+∠DGA＝90°， ∴∠BAF＝∠DGE． 例5（2025秋•紫金县期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] （1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF、DE⊥CF，则的值为　 　 ． （2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE、BD，且CE⊥BD，则的值为　 　 ． [类比探索] （3）如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD． 【分析】（1）先根据正方形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，再根据直角三角形的性质可得∠CFD＝∠AED，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得DE＝CF，得到答案； （2）先根据矩形的性质得到∠A＝∠EDC＝90°，再根据直角三角形的性质得到∠ECD＝∠ADB，然后根据相似三角形的判定与性质得到； （3）先根据矩形的判定与性质可得∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，再根据直角三角形的性质得到∠ECD＝∠ADB，从而证明三角形相似△DEA∽△CFH，得到证明DE•AB＝CF•AD． 【解答】（1）解：如图1，四边形ABCD是正方形，设DE与CF的交点为G， ∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD， ∵DE⊥CF， ∴∠DGF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， 在△AED和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图2，四边形ABCD是矩形，设DB与CE交于点G， ∴∠A＝∠EDC＝90°， ∵CE⊥BD， ∴∠DGC＝90°， ∴∠CDG+∠ECD＝90°， ∠ADB+∠CDG＝90°， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵∠CDE＝∠A， ∴△DEC∽△ABD， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图3，在四边形ABCD中，CG⊥EG，∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H， ∴四边形ABCH为矩形， ∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°， ∴△DEA∽△CFH， ∴，， ∴DE•AB＝CF•AD． 1．（2025秋•常德校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】设ED＝m，则AE＝3ED＝3m，延长BE、CD交于点H，由正方形的性质得CD∥AB，CD＝AB＝AD＝4m，则FD＝FC＝2m，可证明△DEH∽△AEB，得，则DHABm，所以FHm，再证明△AGB∽△FGH，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设ED＝m，延长BE、CD交于点H， ∵四边形ABCD是正方形，且AE＝3ED＝3m， ∴CD∥AB，CD＝AB＝AD＝AE+ED＝4m， ∵F是DC的中点， ∴FD＝FCCD＝2m， ∵DH∥AB， ∴△DEH∽△AEB， ∴， ∴DHABm， ∴FH＝FD+DH＝2mmm， ∵AB∥FH， ∴△AGB∽△FGH， ∴， 故选：B． 2．（2025秋•琅琊区期末）已知矩形ABCD，AB＝4，CF＝2BF，AF⊥BD，垂足为E，则AE的长为（　　） A． B． C．3.2 D． 【分析】先由CF＝2BF设BF＝x，CF＝2x，通过矩形的性质和AF⊥BD，推出∠AFB＝∠ABD，证明△ABF∽△DAB，再通过相似的性质求出BF、AD，根据勾股定理求出BD，最后根据等面积法求解即可． 【解答】解：∵CF＝2BF， ∴设BF＝x，CF＝2x， ∴BC＝BF+FC＝3x ∵矩形ABCD， ∴AD＝BC＝3x，∠DAB＝∠ABF＝90°， ∵AF⊥BD， ∴∠EBF+∠AFB＝90°， ∵∠ABF＝90°， ∴∠EBF+∠ABD＝90°， ∴∠AFB＝∠ABD， ∵在△ABF和△DAB中， ， ∴△ABF∽△DAB， ∴，即：，解得：， ∴， ∵Rt△ABD中， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴AD•AB＝AE•BD， ， 解得：． 故选：B． 3．（2025秋•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB，②CF＝2AF；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据矩形的性质可证明∠ACB＝∠EAF，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可证明结论正确； ②根据AD∥BC可证明△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质即可证明结论正确； ③过点D作DM∥BE，分别交BC，AC于点M，N，可证明四边形BEDM平行四边形，则BM＝CM，进一步可证明DM垂直平分CF，可得结论正确； ④设AE＝a，AB＝b，证明△BAE∽△ADC，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，根据勾股定理求AC的长，计算的值，即可判断结论是否正确． 【解答】解：∵四边形是ABCD矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∴∠ACB＝∠EAF， ∵BE⊥AC， ∴∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB， ∴结论①正确，符合题意； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵E是AD边的中点， ∴， ∴CF＝2AF， ∴结论②正确，符合题意； 如图，过点D作DM∥BE，分别交BC，AC于点M，N， 则四边形BEDM平行四边形， ∴， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC， ∴DM⊥AC， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC， ∴结论③正确，符合题意； 设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAF+∠DAC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BAF+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠ADC＝90°， ∴△BAE∽△ADC， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴结论④错误，不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：B． 4．（2025秋•隆昌市校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE、AF，DE⊥AF，点M，N分别是DE，AF的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝8，EB＝2，则MN的长度为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】连接AM，并延长交CD于点P，连接PF，先证出△PDM≌△AEM，根据全等三角形的性质可得PD＝AE，AM＝PM，证明△BAF∽△ADE，根据相似三角形的性质求出BF＝3，再利用勾股定理可得PF的长，然后利用三角形的中位线定理求解即可得． 【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，连接AM，并延长交CD于点P，连接PF， ∴∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，AB∥CD， ∴∠AEM＝∠PDM， ∵点M分别是DE的中点， ∴DM＝EM， 在△PDM和△AEM， ， ∴△PDM≌△AEM（AAS）， ∴PD＝AE，AM＝PM， ∴CD﹣PD＝AB﹣AE，即CP＝BE＝2， ∵DE⊥AF，∠DAB＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 又∠DAB＝∠B， ∴△BAF∽△ADE， ∴，即， 解得：BF＝3， ∴CF＝BC﹣BF＝5， 在直角三角形CFP中，由勾股定理得：， 又∵点N是AF的中点，AM＝PM， ∴． 故选：A． 5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M为AB边的中点，AE⊥MD于点E，AF⊥BE，交BE的延长线于点F，则sin∠AOF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点E作EH⊥AB于点H，设AE＝x，然后根据正方形的性质求出AB＝AD＝2x，然后利用勾股定理求出DM，EM，BE，HM，利用面积法求出AE，EH，从而求出BH，最后求出BE，从而求出∠EBH的正弦值，然后证明A，B，O，F四点共圆，从而得到∠AOF＝∠EBH，求出答案即可． 【解答】解：如图所示：过点E作EH⊥AB于点H， 设AM＝x， ∵M为AB边的中点， ∴AB＝2AM＝2x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝2x， 在Rt△ADM中，由勾股定理得： ， ∵AE⊥MD， ∴△ADM的面积， ， ∴， ∴， ∵△AEM的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△EHB中，， ∴， ∵∠AFB＝∠AOB＝90°， ∴A，B，O，F四点共圆， ∴∠AOF＝∠EBH， ∴， 故选：B． 6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】易通过SAS证明△ADF≌△BAE，得到S△ADF＝S△BAE，∠DAF＝∠ABE，由同角加等角相等可得∠BAG+∠ABE＝90°，于是得到∠AGB＝90°，易得S四边形DEGF＝S△ABG，由AG+BG＝6可得（AG+BG）2＝AG2+BG2+2AG•BG＝36，即AB2+4S△ABG＝36，整理得，则S空白＝S正方形ABCD﹣S四边形DEGF﹣S△ABG10.5，求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB， 在△ADF和△BAE中， ， ∴△ADF≌△BAE（SAS）， ∴S△ADF＝S△BAE，∠DAF＝∠ABE， ∵∠BAG+∠DAF＝90°， ∴∠BAG+∠ABE＝90°， ∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG， ∵S△ADF＝S△BAE， ∴S△ADF﹣S△AEG＝S△BAE﹣S△AEG，即S四边形DEGF＝S△ABG， ∵AG+BG＝6， ∴（AG+BG）2＝AG2+BG2+2AG•BG＝36， ∵S△ABG，AB2＝AG2+BG2， ∴AB2+4S△ABG＝36，即， ∵S空白＝S正方形ABCD﹣S四边形DEGF﹣S△ABG＝S正方形ABCD﹣2S△ABG10.5， 解得：AB（负值已舍去）． 故选：B． 7．（2025•珠海校级三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，若AB＝12，DH＝5，则EG的长为 　　 ． 【分析】根据翻折的性质和直角三角形中角度关系可得BF＝AD，∠BFE＝∠ADH＝90°，∠EBF＝EFG＝∠EAG，以此可证明△BFE≌△ADH，则EF＝DH＝AE＝5，根据勾股定理可得AH＝13，观察图形可得∠A为公共角，∠AGE＝∠ADH＝90°，则△AGE∽△ADH，最后由相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H， ∴∠EAG＝∠EFG，EG⊥AF，AE＝EF，AB＝BF，∠BAE＝∠BFE＝90°， ∴BF＝AD，∠BFE＝∠ADH＝90°， ∵∠EFG+∠BEF＝∠EBF+∠BEF＝90°， ∴∠EBF＝EFG＝∠EAG， 在△BFE和△ADH中， ， ∴△BFE≌△ADH（ASA）， ∴EF＝DH＝5， ∴AE＝EF＝5， ∵AB＝12，DH＝5， ∴AH13， 在△AGE和△ADH中， ∠A为公共角，∠AGE＝∠ADH＝90°， ∴△AGE∽△ADH， ∴， 即， 解得：EG． 故答案为：． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，点D是AB的中点，连结CD，AE⊥CD分别交CD、BC于点F、E．给出下面四个结论： ①AB＝2CD； ②△ECF∽△ABC； ③△ACF和△EDF是以点F为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②　 ． 【分析】由斜边中线定理可直接判断①； 由斜边中线性质定理，可得BD＝CD，得∠B＝∠FCB，证明△ECF∽△ABC，可判断②； 由勾股定理求得斜边长后，证明△CAF∽△ABC，△ECF∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出AF，CF，EF，DF的长，推出，可判断③； 求得S四边形ACED的值，可判断④． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，则由斜边中线定理可知AB＝2CD，故①结论正确； ∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴BD＝CD， ∴∠B＝∠FCB， 又∠CFE＝∠ACB＝90°， ∴△ECF∽△ABC，故②结论正确； ∵AE⊥CD， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵AC＝2，BC＝3，由勾股定理可得：AB， ， ∵∠CAF＝∠B， ∴△CAF∽△ABC， ∴，即， 从而可得AF，CF，， ∵△ECF∽△ABC， ∴，即， ∴EF， ∴DF＝CD﹣CF， ∴， ∴△ACF和△EDF不是以点F为位似中心的位似图形，故③结论不正确； ∵AE＝AF+EF， ∴S四边形ACED， ∴S△ABCAC×BC＝3， ∴S四边形ACEDS△ABC，故④结论不正确． 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 9．（2025秋•建邺区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于点F．若，则的值为　　 ． 【分析】由矩形的性质得DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠C＝∠ADF＝90°，由AH⊥DE，垂足为H，得∠AHD＝90°，推导出∠CDE＝∠DAF，进而证明△CDE∽△DAF，得，由4，得AH＝4HF，则AF＝5HF，再证明△AHD∽△ADF，得，则4HF×5HF＝36，求得HF，则AH，AF＝3，求得DEAF＝2，DH，所以HE，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在DC上， ∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠C＝∠ADF＝90°， ∵AH⊥DE，垂足为H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠CDE+∠ADE＝90°，∠DAF+∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， ∴△CDE∽△DAF， ∴， ∵4， ∴AH＝4HF， ∴AF＝AH+HF＝5HF， ∵∠AHD＝∠ADF＝90°，∠HAD＝∠DAF， ∴△AHD∽△ADF， ∴， ∴AH•AF＝AD2＝62＝36， ∴4HF×5HF＝36， ∴HF或HF（不符合题意，舍去）， ∴AH＝4，AF＝53， ∴DEAF32， ∵DH， ∴HE＝DE﹣DH＝2， ∴， 故答案为：． 10．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有 　①③④　 ． 【分析】过点G作GH⊥AB，垂足为H，交AE于点O，根据正方形的性质可得AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠DAB＝∠D＝90°，AD∥BC，再根据BE＝EF＝FC，CG＝2GD，从而可得BF＝CG，进而可证△ABF≌△BCG，然后利用全等三角形的性质可得∠AFB＝∠CGB，从而可得∠AFB+∠CBG＝90°，即可判断①；在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠AFB，然后在Rt△BNF中，利用锐角三角函数的定义可得，即可判断②，由①可得△ABF≌△BCG，从而可得S△ABF＝S△BCG，即可判断③，根据题意易证四边形ADGH是矩形，从而可得AD＝GH，DG＝AH，AD∥GH，进而可得GH∥BC，然后设DG＝AH＝a，再证明A字模型△AHO∽△ABE，从而利用相似三角形的性质求出OH的长，进而求出GO的长，最后再证明8字模型△GOM∽△BEM，利用相似三角形的性质即可判断④． 【解答】解：过点G作GH⊥AB，垂足为H，交AE于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠DAB＝∠D＝90°，AD∥BC， ∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD， ∴BFBC，CGCD， ∴BF＝CG， ∴△ABF≌△BCG（SAS）， ∴∠AFB＝∠CGB， ∵∠CGB+∠CBG＝90°， ∴∠AFB+∠CBG＝90°， ∴∠BNF＝180°﹣（∠AFB+∠CBG）＝90°， ∴AF⊥BG， 故①正确； 在Rt△ABF中，tan∠AFB， ∴在Rt△BNF中，tan∠AFB， ∴BNNF， 故②不正确； ∵△ABF≌△BCG， ∴S△ABF＝S△BCG， ∴S△ABF﹣S△BNF＝S△BCG﹣S△BNF， ∴S四边形CGNF＝S△ABN， 故③正确； ∵∠DAB＝∠D＝∠AHG＝90°， ∴四边形ADGH是矩形， ∴AD＝GH，DG＝AH，AD∥GH， ∴GH∥BC， 设DG＝AH＝a， ∴CD＝3DG＝3a， ∴AB＝AD＝BC＝3a， ∴BEBC＝a， ∵∠AHO＝∠ABE＝90°，∠HAO＝∠BAE， ∴△AHO∽△ABE， ∴， ∴， ∴OHa， ∴GO＝GH﹣OH＝3aaa， ∵GH∥BC， ∴∠OGM＝∠GBE，∠GOM＝∠OEB， ∴△GOM∽△BEM， ∴， ∴， 故④正确， 所以，正确结论的序号有：①③④， 故答案为：①③④． 11．同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 AE＝BF ； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积； 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由． 【分析】【问题一】利用ASA判断出△AOE≌△BOF，即可得出答案； （2）先求出S△AOB＝16，再利用ASA判断出△AOE≌△BOG，即可求出答案； 【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案． 【解答】解：【问题一】∵正方形ABCD的对角线相交于点O， ∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°， ∵四边形A1B1C1O是正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， 故答案为：AE＝BF； 【问题二】如图③， 连接OA，OB， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴S△AOBS正方形ABCD82＝16， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴∠OAE＝∠OBG＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°， ∵m⊥n， ∴∠EOG＝90°， ∴∠AOE＝∠BOG， ∴△AOE≌△BOG（ASA）， ∴S△AOE＝S△BOG， ∴S四边形OEAG＝S△AOE+S△AOG＝S△BOG+S△AOG＝S△AOB＝16； 【问题三】在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形， ①当∠AFP＝90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q， ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°， ∴四边形ABEQ是矩形， ∴AQ＝BE＝BC+CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝90°＝∠E， ∴∠EFP+∠EPF＝90， ∵∠AFP＝90°， ∴∠EFP+∠AFQ＝90°， ∴△EFP∽△QAF， ∴， ∵QF＝EQ﹣EF＝4， ∴， ∴EP＝1， ∴BP＝BE﹣EP＝7； ②当∠APF＝90°时，如图⑤， 同①的方法得，△ABP∽△PEF， ∴， ∵PE＝BE﹣BP＝8﹣BP， ∴， ∴BP＝2或BP＝6； ③当∠PAF＝90°时，如图⑥， 过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N， 同①的方法得，四边形ABPM是矩形， ∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°， 同①的方法得，四边形ABEN是矩形， ∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6， ∴FN＝EN﹣EF＝4， 同①的方法得，△AMP∽△FNA， ∴， ∴， ∴AM＝3， ∴BP＝3， 即BP的长度为2或3或6或7． 12．（2025秋•南京月考）如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G． （1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 【分析】（1）通过作GH⊥AB，KE′⊥AB，由AC∥BH∥D′F∥E′K推出和△ABC∽△E′BK．进而得到S△BGE′和S△ABC分别与S△BE′K的数量关系，即可求出答案． （2）根据BE在线段AB外和BE在线段AB上两种情况分别求出S△ABC和S，然后即可求出答案． 【解答】解：（1）如图，作GH⊥AB，KE′⊥AB．． 易知AC∥BH∥D′F∥E′K， ∴∠BHE′＝∠D′FE′，． 设BE′＝4m， ∵E′K＝BE′•tan∠ABC4m＝3m，BH＝BE′÷tan∠BHE′＝BE′÷tan∠D′FE′＝4mm， ∴． ∴S△BGE′•S△BE′K•S△BE′KS△BE′K． 由E′K∥AC可得△ABC∽△E′BK，则， ∴yx2•S△BE′K÷（S△BE′K）x2． （2）为方便表示，图中画出的△DEF即为移动后的位置． 当AB＝2BE时，有两种情况： ①如图，作GH⊥AB，H为垂足．易得AC∥GH∥DF， ∴∠EGH＝∠F， 设BE′＝2n，则AB＝4n，AC＝AB•tanB＝3n，S△ABCAC•AB＝6n2， ∵EH＝GH•tan∠FGH，BH＝GH÷tan∠GBH＝GH÷tan∠ABCGH， ∴EH+BHGHGHGH＝BE＝2n， ∴GHn． ∵S△CBE•S△ABC＝3n2，S△AEGAE•GH（AB+BE）•GHn2， ∴S＝S△ABC+S△CBE+S△AEGn2， ∴n2÷（6n2）． ②由（1）可知x＝2，4， ∴． 综合①②可得的值为或． 13．（2025秋•南阳期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 【数学思考】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF于点G，则　　 ； 【深入探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD，BC于点E，F，GH分别交AB，CD于点H，G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，且CE的延长线交AB于点F．若AC＝BF＝6，BC＝8，请直接写出CD的长． 【分析】（1）由矩形的性质得∠A＝∠FDC＝90°，由DE⊥CF得∠CGD＝90°，则∠ADE＝∠DCF＝90°﹣∠CDG，即可证明△ADE∽△DCF，得，于是得到问题的答案； （2）过点E作EP⊥BC于点P，过点H作HQ⊥CD于点Q，且交EF于点O．根据矩形的性质得到AD⊥CD，AD∥BC，得到EP∥CD，EP＝CD，根据平行的性质得到∠HOF＝∠EFP，等量代换得到∠QHG＝∠FEP．根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点A作AG∥CB，延长CF交AG于点G，根据勾股定理得到AB＝10，求得AF＝AB﹣BF＝4，利用△AFG∽△BFC可得AG，再证△ACG∽△CDA，于是得到结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠FDC＝90°， ∵DE⊥CF于点G， ∴∠CGD＝90°， ∵∠ADE＝∠DCF＝90°﹣∠CDG， ∴△ADE∽△DCF， ∵AD＝5，DC＝AB＝3， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点E作EP⊥BC于点P，过点H作HQ⊥CD于点Q，且交EF于点O． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥CD，AD∥BC， ∴AD∥HQ∥BC，HQ＝AD． 同理，EP∥CD，EP＝CD， ∴∠HOF＝∠EFP． （6分） ∵∠QHG+∠HOF＝90°，∠OFP+∠FEP＝90°， ∴∠QHG＝∠FEP． ∵∠HQG＝∠EPF＝90°， ∴△HQG∽△EPF， ∴； （3）如图，过点A作AG∥CB，延长CF交AG于点G． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°AC＝3，BC＝4， ∴AB10， ∵BF＝6， ∴AF＝AB﹣BF＝4， ∵AG∥CB， ∴△AFG∽△BFC，∠GAC＝∠ACB＝90°， ∴， ∴AGBC， ∵CE⊥AD， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， 又∵∠CAE+∠ADC＝90°， ∴∠ACG＝∠ADC， ∴△ACG∽△CDA， ∴， ∴CD． 14．（2025秋•晋江市校级期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为　5　 ． ②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为　4　 ． （2）迁移探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明：AB•EC＝AD•BE． （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为线段AE上一点，AG⊥BF交BF于点H，交直线CD于点G，过点E作EK∥BF交AG的于点K．若△EHK的面积为，求AG的长． 【分析】（1）①过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，易证△EPF≌△HQG（ASA），即可得解；②过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，可证△EPF∽△HQG，即可得解； （2）过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，先证△ABD≌△CAF（AAS），再证△ABE∽△FCE，即可得证； （3）易证AB＝AE＝3，再证△ABH≌△EAK（AAS），设AH＝EK＝a，利用面积可得HK，在Rt△AEK利用勾股定理求出a值，进而利用三角函数求解AG即可． 【解答】（1）解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q， 则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝CD＝HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF≌△HQG（ASA）， ∴GH＝EF＝5； 故答案为：5； ②如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q， 则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝2CD＝2HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF∽△HQG， ∴， ∴GHEF＝4； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F， ∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC， ∴∠F＝∠ADB， ∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴AD＝CF， ∴AB∥CF， ∴△ABE∽△FCE， ∴， 又∵CF＝AD， ∴， 即AB•EC＝AD•BE； （3）解：如图， ∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∵AG⊥BF， ∴∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠EAK＝90°﹣∠BAH， ∵EK∥BF， ∴∠AKE＝∠AHF＝90°， ∴∠AHB＝∠AKE， ∴△ABH≌△EAK（AAS）， ∴可设AH＝EK＝a， ∵S△EHKHK•EK， ∴HK， ∴AK＝AH+HK＝a， 在Rt△AEK中，AK2+EK2＝AE2， ∴（a）2+a2＝9， 整理得2a4a20， 解得a2或a2； 当a2时，则AH＝EK＝a（负值舍去）， 则HK， ∴AK＝AH+HK， ∴cos∠DAG，即， ∴AG＝2； 当a2时，则AH＝EK＝a（负值舍去）， 则HK， ∴AK＝AH+HK， ∴cos∠DAG，即， ∴AG＝3； 综上，AG的长为2或3． 15．（2025秋•方城县期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）观察猜想 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，通过添加如图所示的辅助线，易证△GMH≌△ENF，于是，可得GH＝EF＝5． ②填空：如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 　4　 ； （2）类比探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、BC上，且AE⊥BD，求证：AB•CE＝AD•BE； （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长． 【分析】（1）过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，构造△EPF∽△HQG即可求解； （2）过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，构造△ABD≌△CAF（AAS）和△ABE∽△FCE，即可求解； （3）本小题分当和当两种情况分别讨论，构造△BAF∽△ADG与△BAF∽△GBA，分别计算即可求解． 【解答】（1）解：如图2，四边形ABCD是矩形，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，则EP⊥QH， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD， ∴∠B＝∠C＝∠EPC＝90°，∠D＝∠C＝∠HQD＝90°， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝2CD＝2HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF∽△HQG， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）证明：如图3，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F， ∵∠BAC＝90°， ∴∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC， ∴∠F＝∠ADB， 在△ABD和△CAF中， ， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴AD＝CF， ∴AB∥CF， ∴△ABE∽△FCE． ∴， 又∵CF＝AD， ∴ 即AB•EC＝AD•BE； （3）解：AG的长为或．理由如下： 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，AD∥BC，∠BAF＝90°， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， 当时，如图，点G在CD上， ∴， ∵矩形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AG⊥BF， ∵∠ABF＝∠DAG＝90°﹣∠AFB， ∵∠BAF＝∠ADG＝90°， ∴△BAF∽△ADG， ∴， ∴； 当时，如图5，点G在BC上， ∴， ∵矩形ABCD中，∠BAD＝∠ABG＝90°，AG⊥BF， ∵∠ABF＝∠AGB＝90°﹣∠BAG， ∵∠BAF＝∠ABG＝90°， ∴△BAF∽△GBA， ∴， ∴． 综上所述，AG的长为或． 16．（2025秋•老河口市期末）在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，交AD于点F． （1）如图1，求证：AF2＝BF•EF； （2）当点F是AD中点时． ①如图1，若AD＝6，求AB的长； ②如图2，连接DE并延长交AB于点P，求证：CD＝DE； ③在②的条件下，请直接写出的值． 【分析】（1）根据垂直的定义及矩形的性质得∠AEF＝90°＝∠BAF，证明△AEF∽△BAF得，即可得证； （2）①根据矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，证明△AEF∽△CEB得，继而得到BC＝AD＝2AF，，进一步得BE＝2EF，再根据AF2＝BF•EF，推出，最后根据勾股定理可得答案； ②如图，延长BF、CD交于点G，根据矩形的性质得AB∥CD，AB＝CD，证明△ABF≌△DGF（AAS）得AB＝DG，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； ③根据等边对等角得∠DEC＝∠DCE，根据矩形的性质进一步推出，结合前面的结论得到AF2＝BF•EF＝3EF2，求出，，可得答案． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，交AD于点F， ∴∠AEF＝∠BAF＝90°， 又∵∠AFE＝∠BFA， ∴△AEF∽△BAF， ∴， ∴AF2＝BF•EF； （2）①解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC， ∴△AEF∽△CEB， ∴， ∵点F是AD中点，AD＝6， ∴BC＝AD＝2AF，， ∴， ∴BE＝2EF， ∴BF＝3EF， 由（1）知：AF2＝BF•EF， ∴32＝3EF•EF， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：； ②证明：如图2，四边形ABCD是矩形，延长BF、CD交于点G， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAF＝∠GDF，∠ABF＝∠DGF， ∵点F是AD中点， ∴AF＝DF， 在△ABF和△DGF中， ， ∴△ABF≌△DGF（AAS）， ∴AB＝DG， ∴DG＝AB＝CD，即点D是CG的中点， ∵BE⊥AC， ∴∠CEG＝90°， ∴， ∴CD＝DE； ③解：的值为．理由如下： 由②知：CD＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵四边形ABCD是矩形，∠DEC＝∠PEA， ∴AB∥CD， ∴∠PAE＝∠DCE， ∴∠PAE＝∠PEA， ∴PA＝PE，∠ABE＝90°﹣∠PAE＝90°﹣∠PEA＝∠PEB， ∵PE＝PB， ∴PA＝PE＝PB， ∴， 由①知：BE＝2EF，BF＝3EF， 由（1）知：AF2＝BF•EF， ∴AF2＝BF•EF＝3EF•EF＝3EF2， ∵BE⊥AC， ∴∠AEF＝90°＝∠AEB， 在直角三角形AEF中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即的值为． 17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC边上，点E在BC边上，AD＝2CE． （1）如图1，连接AE，DE，若∠CAE＝∠CED，CD＝2，求CE的长度； （2）如图2，若AD＜AC，过点D作AE的垂线，分别与AE，AB交于点P，Q，连接EQ，求证：DQ+EQ＝AE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CP，若AC＝2，当CP最小时，请直接写出△CEP的面积． 【分析】（1）根据锐角正切的定义，由∠CAE＝∠CED得到，结合已知条件得到关于CE的方程．解方程求解即可． （2）通过构造正方形ACBG证明△ADH＝△AEC，然后由相似三角形对应边成比例、中位线定理以及正方形关于对角线轴对称的性质得出GI＝CE，AE＝DI和IQ＝EQ，进而推出结论． （3）由∠APH＝90°得出点P的轨迹为以点G为圆心、GA为半径的．然后根据GP+CP≥CG求得CP的最小值，再由△AEC的面积推出△CEP的面积． 【解答】（1）解：∵∠CAE＝∠CED，tan∠CAE，tan∠CED． ∴，即CE2＝AC•CD＝（2CE+CD）•CD＝4CE+4． ∴CE＝22， 故CE的长度为22． （2）证明：如图，过点A作AC的垂线与EQ的延长线交于点F，过点B作AF的垂线交其延长线于点G，延长AG与DQ的延长线交于点H. ∵DP⊥AE，BG⊥AG，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴四边形ACBG为正方形． 又∵DI⊥AE． ∴∠ADH+∠CAE＝∠CAE+∠CEA＝90°， ∴∠ADH＝∠AEC， 又∵∠DAH＝∠ECA， ∴△ADH＝△AEC， ∴． 又∵GI∥AD，则GI是△AHD的中位线， ∴AD＝2CE＝2GI；DH＝2AE＝2DI． 即CE＝GI，AE＝DI． 根据正方形ACBG关于对角线AB轴对称，则IQ＝EQ， ∴AE＝DI＝DQ+IQ＝DQ+EQ， 故DQ+EQ＝AE． （3）解：如（2）图中所示，当点E和点D位置变化时，，故AH＝2AC＝4． ∵∠APH＝90°， ∴点P的轨迹为以点G为圆心，GA为半径的． ∵GP+CP≥CG，CGAC＝2 ∴CP≥CG﹣GP＝22． 根据平行线分线段成比例，， 由于AG＝GP＝AC＝2，当CP最小时，CE＝CP＝22． ∵S△ACEAC•CE＝22， ∴S△CPE＝S△ACE•（22）34． 18．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N； 方案二：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N． （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图1）． （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图2），并设AB＝3，BC＝5，求的值． 【分析】（1）作AM∥HF交BC于点M，作BN∥EG分别交AM、HF、CD于点P、Q、N，设EG交FH于点R，可证明四边形BEGN和四边形AHFM都是平行四边形，则BN＝EG，AM＝FH，再证明△CBN≌△BAM，得BN＝AM，所以EG＝FH，即可证明1； （2）作HM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，分别交HM、FH于点T、K，设EG交FH于点L，可证明四边形BCNE和四边形ABMH都是矩形，则EN＝BC＝5，HM＝AB＝3，∠BEN＝90°，推导出∠HTK＝∠ETM＝90°，而∠ELK＝90°，所以∠GEN＝∠FHM＝90°﹣∠EKH，进而证明△ENG∽△HMF，则． 【解答】（1）证明：如图1，作AM∥HF交BC于点M，作BN∥EG分别交AM、HF、CD于点P、Q、N，设EG交FH于点R， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB，∠C＝∠ABM＝90°，BE∥GN，AH∥FM， ∴四边形BEGN和四边形AHFM都是平行四边形， ∴BN＝EG，AM＝FH， ∵EG⊥FH， ∴∠APB＝∠HQB＝∠HRE＝90°， ∴∠CBN＝∠BAM＝90﹣∠ABN， 在△CBN和△BAM中， ， ∴△CBN≌△BAM（ASA）， ∴BN＝AM， ∴EG＝FH， ∴1． （2）解：如图2，作HM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，分别交HM、FH于点T、K，设EG交FH于点L， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝5， ∴∠B＝∠C＝∠CNE＝90°，∠A＝∠B＝∠BMH＝90°， ∴四边形BCNE和四边形ABMH都是矩形， ∴EN＝BC＝5，HM＝AB＝3，∠BEN＝90°， ∴∠HTK＝∠ETM＝360°﹣∠B﹣∠BMH﹣∠BEN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠ELK＝90°， ∴∠GEN＝∠FHM＝90°﹣∠EKH， ∵∠ENG＝∠HMF＝90°， ∴△ENG∽△HMF， ∴， ∴的值是． 19．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF． 【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由． 【分析】【问题探究】利用ASA证明△ADE≌△DCF，得AE＝DF； 【知识迁移】过点N作NO⊥AB于点O，利用△ABE∽△ONM，得，即可得出答案； 【拓展应用】作AG∥EF，交BC于G，NH∥BC，交AB于H，说明△ABG∽△NHM，得，且四边形AEFG、HNCB是平行四边形，进而解决问题． 【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠AED+∠DAE＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠AED+∠CDF＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△ADE与△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（ASA）， ∴AE＝DF； 【知识迁移】解：如图，过点N作NO⊥AB于点O， ∴∠BMN+∠MNO＝90°， ∵BE⊥MN， ∴∠BMN+∠MBE＝90°， ∴∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB， 在△ABE与△MNO中，∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB， ∴△ABE∽△ONM， ∴， ∵ON＝BC， ∴； 【拓展应用】解：当∠EFC＝∠MNC时，， 作AG∥EF，交BC于G，NH∥BC，交AB于H， 则∠EFC＝∠AGC，∠MNC+∠BMN＝180°，∠MHN＝∠ABC， ∵∠AGB+∠AGC＝180°， ∴∠AGB＝∠NMH， ∴△ABG∽△NHM， ∴， ∵HN∥BC，AB∥CD，AG∥EF，AD∥BC， ∵四边形AEFG、HNCB是平行四边形， ∴AG＝EF，MN＝BC， ∴当∠EFC＝∠MNC时，． 同理，当EF＝EF'时， 此时∠EF'C+∠MNC＝180°时，． 20．已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G． （1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE＝90°； （2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA； （3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值． 【分析】（1）根据矩形的判定知四边形ABCD是矩形，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知△ADE∽△DCF，则∠ADE＝∠DCF，从而证明结论成立； （2）首先可知△GDF∽△ADE，得，再通过△DCF∽△GCD，得，进而解决问题； （3）作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN＝x，可知四边形AMCN是矩形，利用SSS证明△ABD≌△CBD，得∠BCD＝∠BAD＝90°，根据△BCN∽△DCN，得，则CMx，在Rt△BCM中，利用勾股定理列方程，再利用（1）中基本模型解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠FDC＝90°， ∵AD•DF＝AE•DC， ∴， ∴△ADE∽△DCF， ∴∠ADE＝∠DCF， ∴∠ADE+∠DFC＝∠DCF+∠DFC＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴∠CGE＝∠DGF＝90°； （2）证明：∵∠DGF＝∠EGC，∠A＝∠EGC， ∴∠DGF＝∠A， ∴∠GDF＝∠ADE， ∴△GDF∽△ADE， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠CDG， ∵∠AED＝∠CFD， ∴∠CFD＝∠CDG， ∵∠DCF＝∠GCD， ∴△DCF∽△GCD， ∴， ∴， ∴DE•CD＝CF•DA； （3）解：如图，作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN＝x， ∵∠BAD＝∠AMC＝∠ANC＝90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴CM＝AN，AM＝CN＝x，∠MCN＝90°， ∵BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴∠BCM＝∠DCN＝90°﹣∠BCN， ∴∠M＝∠CND＝90°， ∴△BCN∽△DCN， ∴， ∴CMx， 在Rt△BCM中，由勾股定理得， ∴（x﹣3）， 解得x或x＝0（不合题意舍去）， ∴CN， ∵DE⊥CF， ∴∠DGF＝90°， ∴∠CFN+∠ADE＝90°， ∵∠DEA+∠ADE＝90°， ∴∠DEA＝∠CFN， ∴∠A＝∠CNF＝90°， ∴△ADE∽△NCF， ∴． 21．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数． 【分析】（1）由∠BAE＝30°得出AE＝2BE，设BE＝x，则AE＝2x，根据勾股定理列出方程即可求解； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解； （3）由角平分线的性质可得OQ＝OP，由线段垂直平分线的性质可得AO＝OE，由“HL”可证Rt△AOQ≌Rt△EOP，可得∠OAQ＝∠OEP，由平角的性质可求解． 【解答】解：（1）∵∠BAE＝30°， ∴AE＝2BE， 设BE＝x，则AE＝2x， 在Rt△ABE中，x2（2x）2， 解得x＝2或﹣2（舍去）， ∴AE＝4； （2）如图，过点B作BR∥GH，交CD于R， ∵GH∥BR，AB∥CD， ∴四边形BRHG是平行四边形， ∴GH＝BR，∠BGH＝∠BRH， ∵GH＝AE， ∴BR＝GH＝AE． 又∵AB＝BC， ∴Rt△ABE≌Rt△BCR（HL）， ∴∠BAE＝∠CBR＝30°， ∴∠BRC＝60°＝∠AEB， ∴∠BRH＝120°＝∠BGH， ∴∠AGH＝60°， ∴∠AFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠BAE＝30°， ∴AG＝2GF， ∴AG2＝GF2﹣AF2， ∴3GF2＝4． ∴GF， ∴AG； 如图，过点A作AR∥GH，交CD于R，过点G作GO⊥AE于点O， 同理可证：△ABE≌△ADR， ∴∠DAR＝∠BAE＝30°， ∴∠EAR＝30°， ∵AR∥GH， ∴∠RAF＝∠AFG＝30°， ∴∠BAE＝∠AFG， ∴AG＝GF， ∵GO⊥AF， ∴AO＝FO＝1， ∵∠BAE＝30°， ∴AG＝2GO， ∴AG2﹣GO2＝AO2， ∴3GO2＝1， ∴GO， ∴AG， ∴AG的长为或； （3）如图，连接AO，过点O作OQ⊥AB于点Q，OP⊥BC于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵OQ⊥AB，OP⊥BC， ∴OQ＝OP， ∵MN⊥AE，AE＝EF， ∴AO＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵OA＝OE，OQ＝OP， ∴Rt△AOQ≌Rt△EOP（HL）， ∴∠OAQ＝∠OEP， ∵∠BEA+∠AEO+∠OEP＝180°， ∴60°+∠AEO+∠OAE+30°＝180°， ∴∠AEO＝45°． 22．【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG； 【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值； 【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值． 【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA证明△ABF≌△BCG，得AF＝BG； （2）作EM⊥DC于点M，作HN⊥BC于点N，证明Rt△EMG∽Rt△HNF，得，可得答案； （3）过点D作DH⊥BC于点H，交CE于点M，首先说明△CBE∽△DHF，得，再利用△BDC是等腰三角形，得出CHDH，进而解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠2+∠ABP＝90°， ∵AF⊥BG， ∴∠1+∠ABP＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△ABF和△BCG中， ， ∴△ABF≌△BCG（ASA）， ∴AF＝BG； （2）解：作EM⊥DC于点M，作HN⊥BC于点N， 则EM∥AD∥BC，HN∥AB∥DC， ∴EM⊥HN，EM＝AD＝BC，HN＝AB＝DC， 又∵EG⊥HF， ∴∠GEM＝∠FHN， ∴Rt△EMG∽Rt△HNF， ∴， 即； （3）解：过点D作DH⊥BC于点H，交CE于点M， 则∠DHF＝∠ABC＝90°， ∴∠CMH+∠BCE＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠PDM+∠PMD＝90°， ∵∠PMD＝∠CMH， ∴∠BCE＝∠PDM， ∴△CBE∽△DHF， ∴， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DCH＝30°，BC＝2CH， 在Rt△CHD中，∠CHD＝90°， ∴tan30°， ∴CHDH， ∴BC＝2DH， ∴2． 23．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 AE＝DF ． （2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG． （3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度． 【分析】（1）证明∠BAE＝∠ADF，则△ABE≌△DAF（AAS），即可求解； （2）证明△BCG≌EMF△（ASA），即可求解； （3）证明知△EHF≌△MGN（ASA），则NG＝HF，而AE＝2，BF＝5，故NG＝HF＝5﹣2＝3，进而求解． 【解答】解：（1）∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADF＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， 在△ABE和△DAF中，， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AE＝DF， 故答案为AE＝DF； （2）如图1，故点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形， 则AB＝EM， 在正方形ABCD中，AB＝BC， ∴EM＝BC， ∵EM⊥BC， ∴∠MEF+∠EFM＝90°， ∵BC⊥EM， ∴∠CBG+∠EFM＝90°， ∴∠CBG＝∠MEF， 在△BCG和△EMF中， ， ∴△BCG≌△EMF（ASA）， ∴BG＝EF； （3）如图2，连接MN， ∵M、N关于EF对称， ∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H， 过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG， 由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA）， ∴NG＝HF， ∵AE＝2，BF＝4， ∴NG＝HF＝4﹣2＝2， 又∵GC＝MB＝1， ∴NC＝NG+CG＝2+1＝3． 24．（2025秋•海南期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：DE＝CF； 【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上一点，点G、H分别是边AB、CD上一点，连接EF，GH，若EF⊥GH，则的值； 【知识迁移】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF，连接AC，若△ABC为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F、G分别是边AB、CD上的动点，且FG⊥AE交AE于M，连接EF和AG，当AB＝2时，直接写出EF+AG的最小值． 【分析】【初探猜想】可证得△ADE≌△DCF，再由全等三角形的性质可得DE＝CF； 【类比探究】作DZ∥GH，交AB于Z，作CX∥EF，交AD于X，可证得△ADZ∽△DXC，从而，进而得出结果； 【知识迁移】作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥直线CV于点W，由（2）知：，进一步得出结果； 【拓展应用】以FE、FG为邻边作平行四边形FGNE，连接AN，过点G作GH⊥AB于点H，先根据勾股定理求出AE的长，再证△ABE和△GHF全等，得出GF＝AE＝EN，求EF+AG的最小值转化为求GN+AG的最小值，当A、G、N在一条直线上时AG+GN最小，即为AN的长，在等腰直角△AEN中求出AN的长即可． 【解答】解：【初探猜想】DE＝CF；理由如下：如图1，四边形ABCD是正方形，设CF，DE交于点O， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF； 【类比探究】如图2，四边形ABCD是矩形，作DZ∥GH，交AB于Z，作CX∥EF，交AD于X， ∴∠A＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形DHGZ和四边形EFCX是平行四边形， ∴DZ＝GH，EF＝CX， ∵EF⊥GH， ∴CX⊥DZ， 同理（1）可得：∠AZD＝∠CXD， ∴△ADZ∽△DXC， ∴， ∴； 【知识迁移】如图3，作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥直线CV于点W， ∴∠V＝∠W＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴四边形ABWV是矩形， 又CE⊥BF， ∴由（2）知：， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BC＝AB， ∴∠CBW＝30°， ∴， ∴； 【拓展应用】如图4，四边形ABCD是正方形，以FE、FG为邻边作平行四边形FGNE，连接AN，过点G作GH⊥AB于点H， ∴∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°，AB＝AD＝BC＝4， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝1， 在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝1， 由勾股定理得：AE， ∵GH⊥AB， ∴∠GHA＝∠GHF＝90°， ∴∠GHA＝∠BAD＝∠ADG＝90°， ∴四边形AHGD是矩形， ∴GH＝AD， ∴GH＝AB， ∵FG⊥AE， ∴∠AMF＝90°， ∴∠GFH+∠BAE＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠GFH＝∠AEB， 在△ABE和△GHF中， ， ∴△ABE≌△GHF（AAS）， ∴GF＝AE， ∵四边形FGNE是平行四边形， ∴GF∥EN，，EF＝GN， ∴∠AEN＝∠AMG＝90°， ∴△AEN是等腰直角三角形， ∴ANAE， ∵AG+GN≥AN， ∴当A、G、N在一条直线上时AG+GN最小，即AG+EF最小，此时最小值是AN的长，为． 25．（2025秋•浚县期末）（1）问题发现 如图1，在正方形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：BP＝AQ． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，AD＝9，点P和Q分别在AD和DC上，BP与AQ交于点M且∠BMQ＝120°，AP＝2，求的值． 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明△ABP≌△DAQ，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明△ABP∽△DAQ，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点Q作∠DQE＝60°，结合平行四边形的性质及已知条件可得△DQE是等边三角形，进而得到∠DEQ＝60°，∠AEQ＝120°；然后证明△ABP∽△AQE可得，设EQ＝ED＝a，则，解得a最后代入计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD， ∵AQ⊥BP， ∴∠ABP+∠BAM＝90°， ∵∠BAM+∠QAD＝90°， ∴∠ABP＝∠QAD， ∵∠ABP＝∠QAD，AB＝AD，∠BAD＝∠D， ∴△ABP≌△DAQ（ASA）， ∴BP＝AQ； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∵AQ⊥BP， ∴∠ABP+∠BAM＝90°， ∵∠BAM+∠QAD＝90°， ∴∠ABP＝∠QAD， ∵∠ABP＝∠QAD，∠BAD＝∠D， ∴△ABP∽△DAQ， ∴； （3）解：如图：过点Q作∠DQE＝60°， ∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠D＝60°， ∴△DQE是等边三角形， ∴∠DEQ＝60°，∠AEQ＝120°， ∵∠BMQ＝120°， ∴∠ABP+∠BAM＝120°， ∵∠BAM+∠QAD＝120°， ∴∠ABP＝∠QAE，∠BAP＝∠AEQ＝120°， ∴△ABP∽△AQE， ∴， 设EQ＝ED＝a，则， 解得：， ∴． 26．（2025秋•龙海区期中）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为　5　 ． ②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8则GH的长为　4　 ． （2）迁移探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明：AB•EC＝AD•BE． （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长． 【分析】（1）①过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，易证△EPF≌△HQG（ASA），即可得解； ②过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q，可证△EPF′∽△HQG，即可得解； （2）过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，先证△ABD≌△CAF（AAS），再证△ABE∽△FCE，即可得证； （3）分两种情况，AFAE，此时证△BAF∽△ADG即可得解；或AFAE，证△BAF∽△GBA即可得解． 【解答】（1）解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q， 则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝CD＝HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF≌△HQG（ASA）， ∴GH＝EF＝5； 故答案为：5； ②如图，过点E作EP⊥CD于点P，过点H作HQ⊥AD于点Q， 则EP⊥QH， ∴四边形EBCP，HCDQ是矩形， ∴EP＝BC＝2CD＝2HQ， 设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP， ∴∠GHQ＝∠FEP， 又∵∠EPF＝∠HQG＝90°， ∴△EPF′∽△HQG， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F， ∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC， ∴∠F＝∠ADB， ∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴AD＝CF， ∴AB∥CF， ∴△ABE∽△FCE， ∴， 又∵CF＝AD， ∴， 即AB•EC＝AD•BE． （3）解：∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， 当时，如图，点G在CD上， ∴， ∵∠ABF＝∠DAG，∠BAF＝∠ADG＝90°， ∴△BAF∽△ADG， ∴， ∴； 当时，如图，点G在BC上， ∴， ∵∠BAF＝∠GBA＝90°，∠ABF＝∠BGA， ∴△BAF∽△GBA， ∴， ∴； 综上，AG的长为或． 27．（2025春•宿城区期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE　＝　 BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′AN的最小值为 　2　 ． 【分析】（1）证明△ABE≌△BCF即可得出结论； （2）过点A作AN∥GE，证明△ABN≌△BCF（AAS），由此可得AN＝GE＝BF； （3）①如图3，连接CH，证明△ABH≌△CBH（SAS），所以∠BAH＝∠BCH，AH＝CH；由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′，由四边形内角和和平角的定义可得∠HNC＝∠NCH，所以NH＝CH，则NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′，所以四边形AHNH′是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M，可证明△H′QN≌△NFH′（AAS），由此可得H′Q＝NF；易证△BHF是等腰直角三角形，所以HF＝BF＝NF+BN，则NF＝QB＝QH′，可得∠H′BQ＝∠ABH′＝45°，则∠H′BD＝90°；作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，可得PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，求出AP′的值即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AE⊥BF， ∴∠EMB＝90°， ∴∠FBC+∠BEM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠FBC+∠BFC＝90°， ∴∠BEM＝∠BFC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF． 故答案为：＝； （2）GE＝BF，理由如下： 如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N， ∴∠EMB＝∠NHB＝90°， ∴∠FBC+∠BNH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°， ∵AD∥BC，AN∥GE， ∴四边形ANEG是平行四边形， ∴AN＝EG， ∵∠C＝90°， ∴∠FBC+∠BFC＝90°， ∴∠BNH＝∠BFC， ∴△ABN≌△BCF（AAS）， ∴AN＝BF， ∵AN＝EG， ∴GE＝BF． （3）①如图3，连接CH， 由（2）的结论可知，AE＝MN， ∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC， ∵BH＝BH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH， 由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′， ∵∠ABN+∠AHN＝180°， ∴∠BAH+∠BNH＝180°， ∵∠BNH+∠HNC＝180°， ∴∠BAH＝∠HNC， ∴∠HNC＝∠NCH， ∴NH＝CH， ∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′， ∴四边形AHNH′是菱形， ∵∠AHN＝90°， ∴菱形AHNH′是正方形； ②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M， ∴∠H′QN＝∠HFB＝90°， 由上知四边形AHNH′是正方形， ∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′AN， ∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°， ∴∠H′NQ＝∠NHF， ∴△H′QN≌△NFH′（AAS）， ∴H′Q＝NF，QN＝HF； ∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°， ∴△BHF是等腰直角三角形， ∴HF＝BF＝NF+BN， ∵QN＝QB+BN， ∴NF＝QB＝QH′， ∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°， ∴∠H′BD＝90°； 如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K， 则△PBK是等腰直角三角形， ∴PH′AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′AN最小，最小值为AP′的长． ∵AB＝6， ∴BD＝6， ∵BD＝3BP， ∴BP＝BP′＝2， ∴PK＝BK＝2， ∴AK＝8， ∴AP′2，即PH′AN的最小值为2． 故答案为：2． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 十字架（全等、相似）模型 十字架模型完美结合垂直，全等，相似，覆盖初中几何两大核心， 能和折叠、坐标系、动点、最值无缝结合，图形简洁，条件隐蔽，特别适合出区分度题，既能考基础，又能考综合。 十字架模型是数学平面几何中比较重要的一个模型,常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 9 11 ‌ 十字架全等模型基于正方形四边相等、四角直角、同角的余角相等，本质是构造直角三角形全等，由三垂直模型（K型全等） 平移、变形而来。在正方形或等腰直角三角形中，若两条线段互相垂直，往往能通过构造全等三角形证明它们长度相等。由于这两条线段交叉形似“十字架”，故得名。 十字架相似模型，本质是正方形内十字架全等模型的推广，从“全等”升级为“相似”，把正方形换成矩形，边长不再相等，垂直的十字线段就不再相等，但相似关系依然成立，此时，两条垂直线段的比值等于矩形的长宽比。它和三垂直模型（K字型相似） 是同源结构，只是把“外侧三垂直”移到了矩形内部，变成“内十字垂直”，‌‌‌ 1.（余杭区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 2.（浙江模拟）如图，正方形ABCD中，AE＝DF，AF与BE相交于点H，点O为BD中点，连结OH，若DG＝OG，则的值为（　　） A． B． C． D． 3.（2026•罗湖区校级开学）（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD； （2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，BG＝GE，若，探究的值； （3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求的值． 4.（2026•达州自主招生）【观察、猜想】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为　　 ； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB＝10，BC＝24，求的值； 【初步应用】 （3）如图3，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值； 【灵活运用】 （4）如图4，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝20，BC＝CD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则的值为　　 ． 5.（2025秋•温江区校级期末）【旧知回顾】 如图，正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC上一点，且AM⊥DN，易证：△ABM≌△DAN，故有AM＝DN．（不需证明） 【类比探索】 （1）如图1，四边形ABCD为矩形，E，F分别为AD，BC上的点，M，N分别为AB，CD上的点，当EF⊥MN时，求证：； （2）如图2，当四边形ABCD为平行四边形时，E，F分别为AD，BC上的点，M，N分别为边BC，CD上的点，连接MN，EF相交于点P．当∠ABC＝∠MPE时，（1）的结论是否依然成立？并说明理由； 【拓展运用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，若AB＝AD＝3，BC＝CD＝4，且∠ABC＝90°，点E，F分别为AD，CD上的点，连接CE，DF，当CE⊥DF时，求的值． 1）十字架全等模型： 条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF，求证：AE=BF。 证明：∵四边形ABCD是正方形； ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90° ∴∠CBF+∠BFC=90° ∵AE⊥BF ∴∠CBF+∠AEB=90° ∴∠BFC=∠AEB 在△ABE和△BCF中 ∵ ∴△ABE≌△BCF（ASA） ∴AE=BF 条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF，结论：AE=GF。 2）十字架全等模型推论 条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF，求证AE⊥BF。 证明：∵四边形ABCD是正方形； ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90° 在Rt△ABE和Rt△BCF中 ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL） ∴∠BAE=∠CBF ∵∠CBF+∠ABG=∠ABC=90° ∴∠BAE+∠ABG=∠AGF=90° ∴AE⊥BF 3）十字架相似模型 条件：如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴. 如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ； ； EF⊥AC， ， ； ， ， ， DC=AB，FG=BC， . 条件：如图，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点且EF⊥MN，结论 证明：如图：过点N、F作、垂直， ； 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ； ∵EF⊥MN，， ∴； 又∵（对顶角相等）， ∴； ∴， ， NH=AB，FG=BC， . 例1（2026•海淀区校级开学）如图，在矩形ABCD中，已知BE⊥AC，若AB＝2，BC＝4，则AF的长为 　 ． 例2（2025秋•海门区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，O分别在边BC，CD，AB，AD上．已知AO＝DO，OE⊥FG． （1）的值为 ； （2）若，则四边形ADFG的面积等于 ． 例3如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 ． 例4（2025秋•合肥校级期末）如图1，在矩形ABCD中，点E为CD的中点．点F是BC上一点，连接BE，AF，且BE⊥AF于点G． （1）求证：△ABF∽△BCE； （2）若BG＝1，，求GE的长． （3）在（2）的条件下，如图2，连接DG，求证：∠BAF＝∠DGE． 例5（2025秋•紫金县期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] （1）如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF、DE⊥CF，则的值为　 　 ． （2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE、BD，且CE⊥BD，则的值为　 　 ． [类比探索] （3）如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD． 1．（2025秋•常德校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则的值为（　　） A．1 B． C． D． 2．（2025秋•琅琊区期末）已知矩形ABCD，AB＝4，CF＝2BF，AF⊥BD，垂足为E，则AE的长为（　　） A． B． C．3.2 D． 3．（2025秋•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB，②CF＝2AF；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2025秋•隆昌市校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE、AF，DE⊥AF，点M，N分别是DE，AF的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝8，EB＝2，则MN的长度为（　　） A． B． C．3 D．2 5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M为AB边的中点，AE⊥MD于点E，AF⊥BE，交BE的延长线于点F，则sin∠AOF的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 7．（2025•珠海校级三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，若AB＝12，DH＝5，则EG的长为 　　 ． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，点D是AB的中点，连结CD，AE⊥CD分别交CD、BC于点F、E．给出下面四个结论： ①AB＝2CD； ②△ECF∽△ABC； ③△ACF和△EDF是以点F为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②　 ． 9．（2025秋•建邺区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于点F．若，则的值为　　 ． 10．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有 　①③④　 ． 11．同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 AE＝BF ； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积； 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由． 12．（2025秋•南京月考）如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G． （1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 13．（2025秋•南阳期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 【数学思考】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF于点G，则　　 ； 【深入探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD，BC于点E，F，GH分别交AB，CD于点H，G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，且CE的延长线交AB于点F．若AC＝BF＝6，BC＝8，请直接写出CD的长． 14．（2025秋•晋江市校级期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为　5　 ． ②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为　4　 ． （2）迁移探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明：AB•EC＝AD•BE． （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为线段AE上一点，AG⊥BF交BF于点H，交直线CD于点G，过点E作EK∥BF交AG的于点K．若△EHK的面积为，求AG的长． 15．（2025秋•方城县期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）观察猜想 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，通过添加如图所示的辅助线，易证△GMH≌△ENF，于是，可得GH＝EF＝5． ②填空：如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 　4　 ； （2）类比探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、BC上，且AE⊥BD，求证：AB•CE＝AD•BE； （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长． 16．（2025秋•老河口市期末）在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，交AD于点F． （1）如图1，求证：AF2＝BF•EF； （2）当点F是AD中点时． ①如图1，若AD＝6，求AB的长； ②如图2，连接DE并延长交AB于点P，求证：CD＝DE； ③在②的条件下，请直接写出的值． 17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AC边上，点E在BC边上，AD＝2CE． （1）如图1，连接AE，DE，若∠CAE＝∠CED，CD＝2，求CE的长度； （2）如图2，若AD＜AC，过点D作AE的垂线，分别与AE，AB交于点P，Q，连接EQ，求证：DQ+EQ＝AE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CP，若AC＝2，当CP最小时，请直接写出△CEP的面积． 18．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N； 方案二：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N． （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图1）． （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图2），并设AB＝3，BC＝5，求的值． 19．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF． 【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由． 20．已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G． （1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE＝90°； （2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA； （3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值． 21．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数． 22．【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG； 【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值； 【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值． 23．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 AE＝DF ． （2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG． （3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度． 24．（2025秋•海南期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：DE＝CF； 【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上一点，点G、H分别是边AB、CD上一点，连接EF，GH，若EF⊥GH，则的值； 【知识迁移】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF，连接AC，若△ABC为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F、G分别是边AB、CD上的动点，且FG⊥AE交AE于M，连接EF和AG，当AB＝2时，直接写出EF+AG的最小值． 25．（2025秋•浚县期末）（1）问题发现 如图1，在正方形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：BP＝AQ． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，AD＝9，点P和Q分别在AD和DC上，BP与AQ交于点M且∠BMQ＝120°，AP＝2，求的值． 26．（2025秋•龙海区期中）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为　5　 ． ②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，若EF＝8则GH的长为　4　 ． （2）迁移探究 如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明：AB•EC＝AD•BE． （3）拓展应用 如图（4），在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长． 27．（2025春•宿城区期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE　＝　 BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′AN的最小值为 　2　 ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $