精品解析：2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷

2026届初中毕业班质量调研（一）数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. ﹣5 2. 雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品，下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 下列各数中，可使式子有意义的x的值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 4. 如图是一个正五棱柱，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点都在抛物线的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于原点对称的点的坐标是______． 14. 因式分解：_____ 15. 小球从入口下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从②号出口落下的概率是______． 16. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或解方程组： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）求作菱形，使点E，F分别在边和边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）过点作，垂足为点G，若，，求（1）中菱形的面积． 19. 随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分，对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下： 八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100 九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 91.8 91 b 九年级 91.8 a 100 根据以上信息，解答下列问题． （1）______，______． （2）在这次测试中，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好．请问小悦是哪个年级的学生？请说明理由． （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好？请说明理由． 20. 如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． （1）求证：是的切线； （2）过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 21. 某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； （2）超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22. 我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． （1）填空：已知，，则______． （2）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 23. 综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； （2）【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； （3）【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班质量调研（一）数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据绝对值的定义进行回答即可. 详解：根据绝对值的定义，可知的绝对值为5. 故选A. 点睛：考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键. 2. 雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品，下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．该图形沿过中心的竖直直线（或水平直线等）折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； B．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 3. 下列各数中，可使式子有意义的x的值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数，列不等式求解，再匹配选项即可． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得， 观察选项，只有D选项的满足． 4. 如图是一个正五棱柱，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断，注意不可见的是虚线． 【详解】解：它的俯视图是． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的常规求解步骤计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 移项得 ， 合并同类项得 ， 不等式两边同除以2得 ， ∴ 不等式解集为． 7. 一次函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入解析式，得到关于k的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 解得． 8. 将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 9. 已知点都在抛物线的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．先确定抛物线的开口方向与对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的解析式为()， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线． ∵对于开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∴点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵， ∴，即． 故选：C． 10. 某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出的长，用表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则， 经过圆心O，D是的中点， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的半径为． 11. 广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天砍收亩，总砍收面积为360亩， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍， ∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为， ∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3， ∴可得方程． 12. 如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别求得点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，设反比例函数与线段相交于点时值最大，得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：点，轴，轴， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为、， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小， 设反比例函数与线段相交于点时值最大， 则， ， 当时，值最大为， 因此，的取值范围是． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键． 14. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 15. 小球从入口下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从②号出口落下的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，小球在每个交叉口有向左或向右两种可能且可能性相等，可以通过列举法列出所有可能的路径，找出从②号出口落下的路径数，利用概率公式求解． 【详解】解：由图可知，小球从入口落下，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．所有可能的路径共有4种，分别为： 第一层向左，第二层向左，从①号出口落下； 第一层向左，第二层向右，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向左，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向右，从③号出口落下． 其中从②号出口落下的情况有2种． 根据概率公式，小球从②号出口落下的概率． 16. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，从而得到，再求出，结合求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点F，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：、、， ， ， ， ∴， ， ， 如图，作于点F， 在中，、， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方和除法，然后计算加法即可求解； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 得，则 将代入中，得，则 ∴方程组的解为． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）求作菱形，使点E，F分别在边和边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）过点作，垂足为点G，若，，求（1）中菱形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示：四边形即为所求． （2）20 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以为半径画弧，交于点F；以为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，四边形即为所求． （2）根据，可求得，再用勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【小问1详解】 解：如图所示：理由： 由作法可知：， 中，，即， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 中，， ， ． 19. 随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分，对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下： 八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100 九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 91.8 91 b 九年级 91.8 a 100 根据以上信息，解答下列问题． （1）______，______． （2）在这次测试中，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好．请问小悦是哪个年级的学生？请说明理由． （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1）93；95 （2）小悦是八年级的学生，理由： ∵八年级成绩的中位数为91分，九年级成绩的中位数为93分， 小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好， ∴小悦同学是八年级的学生． （3） 九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相等，而九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数， 所以，九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好些． 【解析】 【分析】（1）中位数，众数的意义和计算方法进行求解即可； （2）根据中位数的意义进行判断即可； （3）从中位数，众数和平均数的角度说明即可． 【小问1详解】 解：九年级的比赛成绩最中间的两个数据为：92和94，故中位数， 八年级的比赛成绩出现最多的是95分，出现2次，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． （1）求证：是的切线； （2）过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，易证，再证，从而可证，最后根据切线的判定，即可求证； （2）先利用“”说明，从而可求，再根据切线的性质和切线长定理，可得，，设，最后利用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， ，则， 是的切线，是的切线，与的延长线交于点E， ，， 设，则，， 在中，， ，解得， ． 21. 某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； （2）超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）售价应定为元． （3）销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为，从已知条件可以列出关于，的二元一次方程组，进而求出，； （2）设售价应定为元，根据题意可得，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为元．根据题意可得，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为． 因为函数图象经过点，，可得 解得 所以与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设售价应定为元．根据题意，可得 ． 解得（舍去），． 所以，售价应定为元． 【小问3详解】 解：设最大利润为元．根据题意，可得 ． 变形，得． 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，可以取得最大值，最大值为． 所以销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 22. 我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． （1）填空：已知，，则______． （2）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 【答案】（1）19 （2）①4，5，12；②或9；③ 【解析】 【分析】（1）由可知，，代入已知条件，从而求得的值； （2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值； ③先求出，运用将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， 又∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y， 根据每个圆圈上的三个数字之和相等， 可得：， 解得：， ∴两个空白“□”中，从左到右依次应填4，5， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， ∵每个圆圈上的三个数字之和为S， ∴， ∴得：， 即， 即， ∵所有填入的数字之和为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，S为整数， ∴或9； ③∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由②得或9， 当时，， ∴； 当时， ∴， 则是方程的两个根， ∵， ∴此情况不存在，舍去； ∴． 23. 综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； （2）【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； （3）【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 【答案】（1） ①因为，， 所以． 因为， 所以，，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． ②证明：如图所示，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 因为． 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆的性质等： （1）①根据已知条件，容易证得，求得，结合，，即可证明结论；②过点作的垂线，交于点，可证得，求得，结合，即可证明结论； （2）过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，根据题意可证明，得到，然后证明，进而可证明，得到，结合勾股定理，即可求得答案； （3）过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接，根据已知条件容易证得，得到，进而证明，得到，求得，得到点的运动轨迹为以为直径的半圆． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 同（1）可证得， 所以． 同（1）可证得． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 【小问3详解】 如图所示，过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接． 因为为的直径， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以点的运动轨迹为以为直径的半圆． 所以点的运动路径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $