2.4.4 第1课时 点到直线、点到平面的距离课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4.4 第1课时 点到直线、点到平面的距离 空间中点到直线的距离问题，如何求解呢 如图，需要加工一个长方体的小方块零件,小方块内部沿方向已有一根铁丝，现要从向垂直于方向打孔，直至小孔触及小铁丝，问小孔应打多深? 这实际上是在求什么？ 点B到直线的距离 用向量求解 如图,直线的方向向量为,点为直线外一点,过点作直线的垂线交于点D,则即为点P到直线的距离 设:点为直线上任意一点,则是在直线上的投影向量,所以投影长 点到直线的距离 即过这一点作目标直线的垂线,由这一点至垂足的距离 点到直线l的距离为: 由勾股定理可知: 例1 已知棱长为1的正方体中,EF分别是棱和的中点,求点E到直线AF的距离. 解:如图,以D为原点,分别以为x轴,y轴,轴的正方向并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,则可得: 求解空间中点到直线的距离 ①建立空间直角坐标系,把相应的点的坐标写出 例1 已知棱长为1的正方体中,EF分别是棱和的中点,求点E到直线AF的距离. ②计算出的模长 于是 因此 例1 已知棱长为1的正方体中,EF分别是棱和的中点,求点E到直线AF的距离. ③过点E作直线AF的垂线,计算出垂足到点F的距离 过点E作FA的垂线交FA于H,则是在上的投影向量,于是: 所以点E到直线AF的距离 结合以上过程，你能总结求空间一点P到直线l()的距离的思路吗？ 方法归纳 求解空间中点到直线的距离的一般思路 我们知道,过已知平面外一点有且只有一条直线和平面垂直. 平面外一点到平面的距离等于点到平面的垂线段的长度 点到平面的距离的定义 点到平面的距离 向量方法能求解点到直线的距离,那么能用它求解点到平面的距离吗? 在平面内任取一点,作向量,设向量是平面的法向量,则在法向量上的投影长，即为点到平面的距离 因此,点到平面的距离公式为: 点到平面的距离 α P B A 解:如图,以为原点,分别以,,为轴,轴,轴 的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,则 所以,, 例2 在三棱锥中,棱长,, ，,, 都是直角,求点到底面的距离 则 取,得, 则是平面的一个法向量 设是平面的法向量 由于点到底面的距离等于向量在法向量上的投影长. 因此,点到底面的距离 求空间一点到平面的距离的思路： 方法归纳 解：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)， ∴=(1，0，0)，=(-1，2，-2)， ∴点A到直线BC的距离 d===. 1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B.1 C. D.2 A 2.已知平面α的法向量为n=，点A在平面α内，若点P到平面α的距离d为，则x等于（ ） A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21 解：由题意得d==， ∵=， ∴d==， 解得x=-1或-11. C 3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ） A. B. C. D. D 解：以P为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)， =(1，0，0)，=(-1，1，0)，=(-1，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)， 则点P到平面ABC的距离d==. 点到平面的距离的计算 点到直线的距离的计算 针对以下内容回顾本节课所学知识，谈谈你的收获. eq \o(n,\s\up5(→)) d=| eq \o(BP,\s\up7( →))|=| eq \o(AP,\s\up7( →))||cos∠BPA|=| eq \o(AP,\s\up7( →))|· eq \f(|\o(AP,\s\up7( →))·\o(n,\s\up5(→))|, |\o(AP,\s\up7( →))||\o(n,\s\up5(→))|) = eq \f(|\o(AP,\s\up7( →))·\o(n,\s\up5(→))|, |\o(n,\s\up5(→))|) . $