2.4.4点到直线的距离与点到平面的距离课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1课时　点到直线的距离与点到平面的距离 新知初探·课前预习 题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教 材 要 点 要点一　点到直线的距离 直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，A为直线l上任意一点，则点P到直线l的距离d＝. 批注❶　是在l上的投影向量． 要点二　点到平面的距离 设平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点A是平面α内任意一点， 则点P到平面α的距离d＝❷||·|cos 〈·n〉|＝________． 批注❷　等于在向量方向上射影的绝对值． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(　　) (2)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(　　) (3)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(　　) √ × √ 2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A.－16 B．－4 C．4 D．16 答案：AC 解析：因为n＝(－2，－2，1)，＝(－1，－2，z)，且d＝＝＝＝，所以z＝4或－16. 3．已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)， ∴＝(－1，－1，2)，又平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)， ∴点A到平面α的距离为＝. 题型探究·课堂解透 题型 1　点到直线的距离 例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)， 所以直线A′C的方向向量＝(1，2, －3)． 又＝(0，2，0)， 所以在上的投影长为＝. 所以点B到直线A′C的距离d＝＝＝. 方法归纳 向量法求点到直线距离的一般步骤 巩固训练1　已知直三棱柱ABC­-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)， 所以直线A1C1的方向向量 ＝＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝＝. 题型 2　点到平面的距离 例2　在三棱锥S­-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 解析：取AC的中点O，连接OS，OB. ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO. 又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO. 如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)， M(1，，0)，N(0，)． ∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则取z＝1， 则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)． ∴点B到平面CMN的距离d＝＝. 方法归纳 用向量法求点面距的一般步骤 巩固训练2　如图，在棱长是2的正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E为CD的中点，求点B1到平面AD1E的距离． 解析：因为正方体ABCD ­A1B1C1D1棱长为2， 故以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)． 设平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z) ，则，m⊥， 即， 又＝(0，0，2)－(2，0，0)＝(－2，0，2)， ＝(0，1，0)－(2，0，0)＝(－2，1，0)， 所以，令x＝1，则y＝2，z＝1， 所以m＝(1，2，1)，又＝(2，1，2)， 所以点B1到平面AD1E的距离d＝＝＝. $$