2.3.2 空间向量运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.3.1 第2课时 空间向量的直角坐标表示 平面向量的运算有哪些？ 平面向量运算的坐标是如何表示的？ 平面向量的线性运算的坐标表示 它们能否推广到空间向量呢？ 问题1：类比平面向量加减运算的坐标表示，思考空间向量加减运算该如何用坐标表示？ （一）空间向量线性运算的坐标表示 两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（或差），即 ①空间向量加、减运算的坐标表示： 问题2: 类比平面向量数乘运算的坐标表示，思考空间向量数乘运算该如何用坐标表示？ 一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标,即 ②空间向量数乘运算的坐标表示： 问题3： 类比两平面向量平行的坐标关系，思考两空间向量如果平行，那么它们的坐标存在什么样的关系？ 有了空间向量的坐标，我们就可以把空间向量运算 转化为空间坐标的运算. ③两空间向量平行的坐标关系： 例1 已知 a ＝(－1，－4，8)，b＝(3，10，－4)，求a＋b，a－b，3 a． 例2 已知空间四点 A(－3，3，1)，B(3，－5，3)，C(10，0，10)， D(7，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形． 梯形的特点是什么？如何用向量的知识刻画呢？ 例3 如图 ，已知A (x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线 AB上， AM =λMB，λ为实数且 λ ≠ －1，求点M的坐标． 例3 如图 ，已知A (x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线 AB上， AM =λMB，λ为实数且 λ ≠ －1，求点M的坐标． 我们称点M为有向线段AB的定比分点． （二）空间向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标关系： 平面向量的夹角公式： 两平面向量垂直的充要条件： 试一试：类比平面向量数量积运算的坐标表示，推导出空间向量数量积运算的坐标表示. ①空间向量数量积运算的坐标表示： 两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和，即 ②空间向量的模的坐标表示： ③给定两空间向量的坐标，求它们夹角的余弦值： ④两空间向量垂直的充要条件： 空间向量数量积的坐标表示 要点归纳 例4 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为 DD1，BD，BB1的中点． （1）求证：EF⊥ CF； （2）求EF与CG所成角的余弦值； （3）求CE的长． O x y z 先建系，用点的坐标表示相应向量，再根据相关的坐标运算求解. 例4 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为 DD1，BD，BB1的中点． （1）求证：EF⊥ CF； O x y z （2）求EF与 CG所成角的余弦值． 例4 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为 DD1，BD，BB1的中点． O x y z 例4 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为 DD1，BD，BB1的中点． （3）求CE的长． O x y z 1.若向量a=，b=，则2a-b等于（ ） A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) 解：a=，b=， 则2a-b=2-=. C 解：依题意得(ka+b)·(2a-b)=0， 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0， 而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1， 所以4k+k-2-5=0，解得k=. 2.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（ ） A.1 B. C. D. D -3 解：∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)， ∴||=3，||=， ·=0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos〈〉==， 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉=. 4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角为　　　　. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.知识清单： (1)空间向量的坐标运算. (2)空间向量坐标表示的应用. 2.方法归纳：类比、转化. 3.常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝______. 解析：eq \o(AB,\s\up10(→))＝(3，－1,1)，eq \o(AC,\s\up10(→))＝(m＋1，n－2，－2)． ∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得eq \o(AC,\s\up10(→))＝λeq \o(AB,\s\up10(→)). 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,m＝－7，,n＝4.)) ∴m＋n＝－3. 答案：－3 $