2.3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是 (　　) A.(-1,-1,2) B.(1,1,-2) C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4) 解析:选A　设线段AB的中点坐标为(x,y,z),所以x==-1,y==-1,z==2,故线段AB的中点坐标是(-1,-1,2). 2.若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b= (　　) A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4) 解析:选C　因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C. 3.已知a=(1,-1,2),b=(-1,m,-2),若a∥b,则实数m的值是 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-5 解析:选A　因为a∥b,所以b=λa,所以解得 4.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a方向上的投影向量为 (　　) A. B. C.(0,-1,-1) D.(-1,0,-1) 解析:选A　因为向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),所以a·b=1,|a|=,所以向量b在向量a方向上的投影向量为·=a=. 5.在△ABC中,C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为 (　　) A.　　B.-　　C.2　　D.± 解析:选D　因为=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),所以·=(-6)×(-3)+2+2k·(-k)=-2k2+20=0,解得k=±. 6.[多选]已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论正确的是 (　 ) A.若|a|=2,则m=± B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数λ,使得a=λb D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2) 解析:选AC　由|a|=2,得=2,解得m=±.故A选项正确.由a⊥b,得-2-m+1+2m=0,解得m=1.故B选项错误.若存在实数λ,使得a=λb,则1=-2λ,-1=λ(m-1),m=2λ,显然λ无解,即不存在实数λ,使得a=λb.故C选项正确.若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0.于是a+b=(-1,-2,2),故D选项错误. 7.已知a=(sin θ,cos θ,tan θ),b=,且a⊥b,则θ为 (　　) A.- B. C.2kπ-(k∈Z) D.kπ-(k∈Z) 解析:选D　∵ a=(sin θ,cos θ,tan θ),b=,且a⊥b,∴sin θcos θ+cos θsin θ+1=0,即sin 2θ=-1,∴2θ=-+2kπ,k∈Z,∴ θ=-+kπ,k∈Z.故选D. 8.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 (　　) A.(1,1,-7) B.(5,3,1) C.(-3,1,5) D.(5,13,-3) 解析:选D　∵ABCD为平行四边形,∴=,设D(x,y,z),则=(-2,-6,-2),=(3-x,7-y,-5-z), ∴解得 9.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间的一组基,则实数λ的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　若a,b,c三个向量不能构成空间向量的一组基,所以a,b,c共面,则存在x,y∈R使得c=xa+yb⇒(1,3,λ)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),则解得所以实数λ的值为1. 10.[多选]已知空间向量m=(-1,2,5),n=(2,-4,x),则下列选项中正确的是 (　　) A.当m⊥n时,x=2 B.当m∥n时,x=-10 C.当|m+n|=时,x=-4 D.当x=时,cos<m,n>= 解析:选ABD　因为m⊥n,m=(-1,2,5),n=(2,-4,x),所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0,解得x=2,故A正确;因为m∥n,所以存在λ∈R,使得m=λn,则(-1,2,5)=λ(2,-4,x)=(2λ,-4λ,λx),即解得故B正确;因为m+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x),所以|m+n|===,解得x=-5,故C错误;因为x=,则m=(-1,2,5),n=(2,-4,),所以cos<m,n>= = =,故D正确. 11.(5分)若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),则λ=　　　　.  解析:由已知得m-n=(2-λ,-6,0). 由m·(m-n)=0得,2(2-λ)+6+0=0, 所以λ=5. 答案:5 12.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为　　　　,的坐标为　　　　,的坐标为　　　　.  解析:由题图,A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0),=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1),=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1). 答案:(1,0,0)　(1,0,1)　(-1,1,-1) 13.(5分)已知点M(1,0,2),N(-1,1,0),=2,则点P的坐标为　　　　.  解析:点M(1,0,2),N(-1,1,0), 则=(-2,1,-2),设点P(x,y,z), 则=(x-1,y,z-2),由=2, 得解得 所以点P的坐标为. 答案: 14.(10分)设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值;(5分) (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.(5分) 解:因为a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),所以ka+b=k(1,5,-1)+(-2,3,5)=(k-2,5k+3,5-k),a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16), (1)若(ka+b)∥(a-3b),则==,解得k=-. (2)若(ka+b)⊥(a-3b),则(ka+b)·(a-3b)=7(k-2)-4(5k+3)-16(5-k)=3k-106=0,解得k=. 15.(10分)设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,求·取得最小值时点Q的坐标. 解:∵点Q在直线OP上运动, ∴∥,设=λ,则Q(λ,λ,2λ), ∴=-=(1-λ,2-λ,3-2λ), =-=(2-λ,1-λ,2-2λ), ∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-,故当λ=时,·取得最小值,此时Q. 学科网（北京）股份有限公司 $