2.3.2 第2课时 空间向量坐标表示的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

空间向量坐标表示的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步熟悉空间向量的坐标表示.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题. CONTENTS 目录 1 2 题型(一) 空间向量数量积的坐标运 算解决垂直问题　 题型(二)空间向量坐标法解决 夹角、模问题　 课时跟踪检测 3 题型(一)　空间向量数量积的坐 标运算解决垂直问题 01 [例1]　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1， 求证：CF⊥平面BDE. 证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， 两平面的交线为AC，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0，0，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F. 所以=， =(0，-，1)，=(-，0，1). 所以·=0-1+1=0，·=-1+0+1=0， 所以⊥⊥，即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE=E，且BE，DE⊂平面BDE，所以CF⊥平面BDE. |思|维|建|模| 判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系. (2)向量关系代数化：写出向量的坐标. (3)对于a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直. 针对训练 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE=BC.求证：DE⊥平面PAC. 证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又AB⊥AD，则以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)，E(2，1，0)，所以=(2，-1，0)，=(2，4，0)，=(0，0，4). 因为·=2×2-1×4+0=0，·=0， 所以DE⊥AC，DE⊥AP.又AP∩AC=A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC. 题型(二)　空间向量坐标法解决 夹角、模问题 02 [例2]　如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E，F分别在棱A1B1，C1D1上，B1E=A1B1，D1F=C1D1. (1)求AM的长. 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，M(1，2，1)，=(-1，2，1)，∴||==. (2)求BE与DF所成角的余弦值. 解：因为B(2，2，0)，E，D(0，0，0)， F， 所以=-(2，2，0)=， =-(0，0，0)=， 则||=，||=.所以·=0×0++2×2=， 所以cos<>===，所以BE与DF所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求出线段端点的坐标; (3)利用两点间的距离公式求出线段的长. 针对训练 2.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5). (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积; 解：∵=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)， ∴∴||=||=， cos<>===， ∴sin<>=，∴S四边形=2··AB·ACsin<> =××=7. (2)若||=，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求||的值. 解：∵点P是BC的中点，∴=+， ∴=-=+-， ∴||2=||2+||2+||2+·-·-· =×()2+×()2+()2+×[-2×1+(-1)×(-3)+3×2]-×cos 60°×2 =-7=，∴||=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知=(1，2，3)，=(a，b，b-2)，若点A，B，C共线，则||=(　　) A. B.2 C.3 D.9 √ 解析：因为点A，B，C共线，所以与共线，所以==，解得a=-2，b=-4，故=(-2，-4，-6)，=-=(-3，-6，-9)，||==3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 解析：因为=(3，4，-8)，=(2，-3，1)，=(5，1，-7)，·=10-3-7=0，∴BC⊥AC，而||=，||=5，所以△ABC是直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 √ 解析：设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则=(1，0，1)，=(-1，1，0).设=(a，b，c)，则取=(1，1，-1). ∵=(0，0，1)-(1，1，0)=(-1，-1，1)=-，∴∥，∴PQ∥BD1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且=，点N为B1B的中点，则||为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C1(0，1，1)，N，设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且=， ∴(x-1，y，z)=(-x，1-y，1-z)， ∴x=，y=，z=，即M. 又N，∴||==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F∶FB1=1∶3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则E(4，0，2)，F(4，1，4)，B(4，4，0)，C1(0，4，4)，所以=(0，1，2)，=(-4，0，4)， 所以cos<>===. 设异面直线EF与BC1所成的角为θ，则sin θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(5分)由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则a·b=x1x2+y1y2+z1z2，=等.非零向量a，b，若a⊥b⇔a·b.若a=(2，3，-4)，b=(2，-3，2)，则与a，b向量垂直的单位向量的坐标是________________________.(写出一个即可)  解析：设向量n=(x，y，z)与a，b垂直，则取x=1得n=(1，2，2)，所以与n共线的单位向量±的坐标为或. (答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知向量a=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为____________________.  解析：设=λ，因为A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)，所以=(1，-1，-2)，=(λ，-λ，-2λ)，=(3，1，-4)，=-=(λ-3，-λ-1，-2λ+4)，因为⊥a，所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0，解得λ=，又A(-3，-1，4)，=，所以点E的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为_______________.  解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设AB=1， 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)， 故P，所以=(-1，0，1)， =， 所以cos<>==， 所以直线PB与AD1所成的角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)设空间两个单位向量=(a，b，0)，=(0，b，c)与向量=(1，1，1)的夹角都等于，则cos∠AOB=_____________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：∵两个单位向量=(a，b，0)，=(0，b，c)与向量= (1，1，1)的夹角都等于，∴∠AOC=∠BOC=. 又||=，||=||=1，∴·=||||cos =×1×=. ∵·=a+b，=a2+b2=1，∴ 解得或∵·=b2，∴cos∠AOB==b2.∴cos∠AOB=或cos∠AOB=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(10分)已知空间中三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4). (1)求cos∠BAC;(4分) 解：=(-1，1，2)-(-2，0，2)=(1，1，0)， =(-3，0，4)-(-2，0，2)=(-1，0，2)， cos∠BAC===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求△ABC中BC边上中线的长度.(6分) 解：设BC的中点为D，则点D的坐标为. 又A(-2，0，2)，∴=， ∴||===， 即△ABC中BC边上中线的长度为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点. (1)求FH的长;(5分) 解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，D为坐标原点， 则有F，H，∴=， ∴||==.∴FH的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.(5分) 解：由(1)知E，F， ∴=，∴||=. 又C1(0，1，1)，G， ∴=，∴||=. ∴·=×0+×+×(-1)=， ∴|cos<>|==.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得向量与向量的夹角为45°? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)， B(，1，0)，M.又点N在棱CC1上， 可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则=(，1，2)，=， 所以||=2，||=·=2m-1. 则cos<>= ==cos 45°=，解得m=-，这与0≤m≤2矛盾. 所以在棱CC1上不存在点N，使得向量与向量的夹角为45°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=AB=1，BC=2. (1)求B，F两点间的距离;(4分) 解：由题可知，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，1)，所以E，F =，||=，即B，F两点间的距离为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求证：EF∥平面PAB;(4分) 解：证明：由(1)知，=， =(1，0，0)，所以=-， 即∥，即EF∥AB， 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)求证：平面PAD⊥平面PDC.(7分) 解：证明：由(1)知，=(0，0，1)， =(0，2，0)，=(1，0，0)， 所以·=(0，0，1)·(1，0，0)=0， ·=(0，2，0)·(1，0，0)=0， 则⊥⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC， 又AP∩AD=A，且AP，AD⊂平面PAD， 所以DC⊥平面PAD.又DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC. 又DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $