专题05 平面向量极化恒等式、等和线定理（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题05 平面向量极化恒等式、等和线定理 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用极化恒等式求向量数量积 类型二、利用极化恒等式求向量数量积的最值范围 类型三、利用等和线求参数值 类型四、利用等和线求最值范围 类型五、与其他章节融合 压轴专练 类型一、利用极化恒等式（平行四边形模型）求向量数量积 极化恒等式： 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． 【技巧方法】 平行四边形模型：以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． 三角形模型：在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 例1．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取HF中点O代入极化恒等式求即可. 【解析】取HF中点O，则,，因此， 故选：A. 变式1-1．已知在中，是的中点，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【解析】 . 故选：C. 变式1-2．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（  ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 变式1-3．在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得. 【解析】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 则， 所以． 故选：C 变式1-4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则________ 【答案】 【分析】由，代入极化恒等式求即可. 【解析】.由极化恒等式可得：. 故答案为： 变式1-5．在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)即可得出结果. 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 类型二、利用极化恒等式求向量数量积的最值范围 平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： 极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 【技巧方法】 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 例2．（1）圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，即可得出结果. 【解析】由题意可得， ， 为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：D. （2）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（  ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 变式2-1．四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算可得，根据PO长度可求得结果. 【解析】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 故选：B. 变式2-2．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】分别取，中点Q，R，连接，代入极化恒等式求的最大值即可. 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 变式2-3．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，代入极化恒等式求的最小值即可. 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 故选：B． 变式2-4．设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 【答案】 【分析】取的中点首先由极化恒等式,，然后观察几何图形求得最小值 【解析】如图所示,取的中点为点到的距离, 由极化恒等式,, , 则 故答案为： 类型三、利用等和线求参数值 等和线： 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 【技巧方法】 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得； （3）从长度比计算. 例3．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【解析】 因为，所以， 则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点， 所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 故选：A 变式3-1．设是边上的点，,若，则 =（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即 故选：A 变式3-2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】选取作为基底，表示出，根据平面向量基本定理列方程求解即可. 【解析】由图可知，， 所以，解得，则. 故选：A. 变式3-3．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】借助共线定理的推论即可得. 【解析】因为，所以， 所以， 因为P，B，N三点共线，所以，解得. 故答案为：. 类型四、利用等和线求最值范围 图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 【技巧方法】 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 例4．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 故选：A. 变式4-1．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 故选：B 变式4-2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则， 于是得，而，且与不共线， 则，即有，因此，， 当且仅当时取“=”，此时M为BC中点， 所以的最小值为. 故选：C 变式4-3．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2． 令，则由 得． 由三点共线可得 故答案为：2 变式4-4．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是_____________    【答案】 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【解析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    类型五、与其他章节融合 极化恒等式求数量积最值范围以及利用等和线求线性运算的系数的最值(范围)常常与基本不等式、三角恒等变换章节融合。 例5．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【分析】利用极化恒等式，结合几何图形求出. 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 变式5-1．如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，则可得到，建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量的数量积公式可求得，再结合余弦的倍角公式即可求得. 【解析】因为正方形的面积为，所以正方形的边长为； 如图，连接，则，建立如图平面直角坐标系，则；    所以； 所以，即； 所以. 故选：D. 变式5-2．已知AB是半圆的直径，，点C，D在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义及余弦定理求出范围. 【解析】    连接CD，取CD的中点，连接，依题意，， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一段， 则， 而点在半圆弧上运动，则当三点共线时，； 当在点，在点（或在点，在点）时，最大， ，因此， 所以的取值范围为. 故选：A 变式5-3．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为______________ 【答案】 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，利用一元二次函数结合得到范围即可． 【解析】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故答案为： 变式5-4．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 1.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【解析】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 2.设分别是的边上的点,且有,若,则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示, 过点作,设的延长线交于点,易知,即是的中位线,因此. 故选：D 3.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（  ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【解析】由题设，，， . 故选：D 4.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可. 【解析】设为的中点，为的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的最小值为： . 故选：. 5.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 故选： 6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义求出范围. 【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 故选：C 7.（多选）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（  ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【解析】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 8.（多选）边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列选项正确的是（  ） A.当点P在线段BD上时，则 B.的取值范围为 C.当点P在线段BD上时，的最小值为 D.的最大值为12 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，直接判断A，利用点的坐标，表示，即可判断B，根据，转化为二次函数求最大值问题，即可判断C，利用坐标表示数量积，再结合几何意义，即可判断D. 【解析】A当点在线段上时，三点共线，所以，故A正确； B建立平面直角坐标系，如图所示，根据题意可得， ，，，， 设为，， 因为， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以，故B错误； C由A知，，， 则，    当时，取得最小值，故C正确； D,， 所以，， ， 表示点到直线的距离，如图所示，点到直线的距离最大，最大值为， 所以的最大值为，故D正确.    故选：ACD 9.边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到范围. 【解析】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，    因为正三角形边长为2， 根据三角形面积公式得到， 所以内切圆半径为，则设，， 则， 因为， 即， 所以，解得， 则， 因为，则， 则，所以. 故答案为： 10.已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【解析】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 11.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 【解析】由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故答案为： 12.在正方形中,如图所示,为中点,以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值 . 【答案】 【解析】如图所示,由题意,作,设,直线与直线相交于点,则有,由等和线定理知,从而,当点与点重合时,如图,,此时,. 故答案为：. 13.如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则 （1）求的值； （2）若在线段上有一个动点，则求的最小值 【答案】 （1） 6 （2） 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【解析】（1）由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； （2）， 显然，当为的中点时，， 所以 14.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面向量极化恒等式、等和线定理 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用极化恒等式求向量数量积 类型二、利用极化恒等式求向量数量积的最值范围 类型三、利用等和线求参数值 类型四、利用等和线求最值范围 类型五、与其他章节融合 压轴专练 类型一、利用极化恒等式（平行四边形模型）求向量数量积 极化恒等式： 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． 【技巧方法】 平行四边形模型：以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． 三角形模型：在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 例1．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知在中，是的中点，，，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（  ） A． B．16 C． D．8 变式1-3．在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（  ） A． B． C． D． 变式1-4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则________ 变式1-5．在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 类型二、利用极化恒等式求向量数量积的最值范围 平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： 极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 【技巧方法】 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 例2．（1）圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（  ） A． B． C． D． （2）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（  ）    A．9 B．10 C．11 D．12 变式2-1．四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式2-2．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．3 D． 变式2-3．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-4．设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 类型三、利用等和线求参数值 等和线： 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 【技巧方法】 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得； （3）从长度比计算. 例3．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ） A． B． C． D．1 变式3-1．设是边上的点，,若，则 =（ ） A． B． C． D．1 变式3-2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（  ） A． B． C． D． 变式3-3．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 类型四、利用等和线求最值范围 图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 【技巧方法】 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 例4．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 变式4-1．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 变式4-3．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 变式4-4．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是_____________    类型五、与其他章节融合 极化恒等式求数量积最值范围以及利用等和线求线性运算的系数的最值(范围)常常与基本不等式、三角恒等变换章节融合。 例5．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 变式5-1．如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（  ）    A． B． C． D． 变式5-2．已知AB是半圆的直径，，点C，D在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式5-3．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为______________ 变式5-4．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 1.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（  ）    A． B． C． D． 2.设分别是的边上的点,且有,若,则的值（ ） A． B． C． D． 3.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（  ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 4.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 5.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7.（多选）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（  ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 8.（多选）边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列选项正确的是（  ） A.当点P在线段BD上时，则 B.的取值范围为 C.当点P在线段BD上时，的最小值为 D.的最大值为12 9.边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是_______ 10.已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 11.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为 ． 12.在正方形中,如图所示,为中点,以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值 . 13.如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则 （1）求的值； （2）若在线段上有一个动点，则求的最小值 14.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $