专题01 平面向量（暑假复习讲义）新高二数学苏教版

专题01 平面向量 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 向量的基本概念 题型2 向量共线的判断与证明 题型3 向量基本定理的应用 题型4 向量共线定理的应用 题型5 向量的数量积的应用 题型6 平面向量坐标的运算与应用 题型7 向量与几何的最值 题型8 向量在几何中的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 向量的基本概念 理解大小与方向，熟悉零向量、单位向量、相等/相反/平行向量，掌握向量加减与数乘的几何意义（三角形、平行四边形法则）。 2. 向量共线的判断与证明 判断依据：存在实数倍关系或坐标成比例；证明三点共线、线段平行常转化为向量共线。 3. 向量基本定理的应用 平面内任一向量可用一组不共线基底唯一表示，常用于分解向量、求系数、证明线性关系。 4. 向量共线定理的应用 解决定比分点（内分、外分）、已知共线求参数、证明中位线等几何平行关系。 5. 向量的数量积的应用 求夹角、判断垂直、求模、求投影，是处理几何垂直与角度问题的核心工具。 6. 平面向量坐标的运算与应用 坐标化进行加减、数乘、数量积、模、夹角计算，利用平行与垂直的坐标条件列方程求解。 7. 向量与几何的最值 利用三角不等式、柯西不等式或建系函数化，求向量模、夹角、投影、距离的最值。 8. 向量在几何中的应用 证明平行/垂直、求角度/距离、处理三角形四心，在解析几何和立体几何中用于位置关系与度量。 考情解码：向量是连接几何与代数的桥梁——用线性运算刻画位置关系，用数量积度量角与距离，通过坐标化将几何问题转化为代数计算。 考试中常以共线求参、垂直判断、夹角与模长计算、最值问题、几何证明等形式出现，解题关键是选好基底或坐标系，合理转化条件，避免忽略零向量与方向性。 知识点一 平面向量的基本概念 1、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2、特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③相等向量：长度相等且方向相同的向量． ④相反向量：长度相等且方向相反的向量 3、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【易错提醒】 ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量 即时即练（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 知识点二 平面向量的运算 1、 平面向量的加法运算 三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线） 2、 平面向量的减法运算 三角形法则（共起点） 3、 平面向量加减法运算律 （1）交换律： （2）结合律： 4、 平面向量的数乘运算 （1）定义：实数与平面向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． （2）运算律：分配律：；结合律：． 【易错警示】 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 即时即练（25-26高一下·江苏淮安·期中） （    ） A． B． C． D． 知识点三 平面向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 3、平面数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ； ； 或； ； 4、夹角：已知两个非零向量，，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 5、平面向量数量积的应用 （1）利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 （2）利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 （3）向量的投影： 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏·期中）已知向量满足，则（   ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．当与的夹角为时， D．的最大值为 知识点四 平面向量共线定理与基本定理 1、向量共线定理： 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． 2、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 若，则． 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为-2 知识点五 平面向量的坐标运算 1、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， 2、已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若、可以作为基底，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与的夹角为，则 题型1 向量的基本概念 例1．(多选) （25-26高一下·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 例2．(多选)（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【易错警示】 1、向量不能比较大小，但能判断是否相等。 2、向量的方向任意，注意与0的区别 3、向量是有大小跟方向，但是可以自由移动，没有起点跟终点，跟有向线段不一样。 【变式训练1-1】（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】(多选)（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 题型2 向量共线的判断与证明 例1．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广东广州·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 【技巧总结】 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 注意：零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 【变式训练2-1】（25-26高一下·甘肃白银·阶段检测）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（    ） A．6 B．-6 C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·四川南充·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型3 向量基本定理的应用 例1．（25-26高一下·广东·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 【技巧总结】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用目标向量出现表示为止． （2）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 【变式训练2-1】（25-26高一下·广东·期末）在△中，，为中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 题型4 向量共线定理的应用 例1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 例2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 【技巧总结】 1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示 2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。 【变式训练2-1】（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【变式训练2-2】（25-26高一下·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D．2 题型5 向量的数量积的应用 例1．（25-26高一下·广东江门·期中）已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量满足，且，则向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1、利用数量积求模长，利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。 2、利于向量数量积公式=来计算向量的夹角， 有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π.。 3、根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（多选）已知平面向量满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（多选）已知向量，满足，则（    ） A． B． C． D．对任意实数，都有 题型6 平面向量坐标的运算与应用 例1．（多选）（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 例2．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）已知向量，则（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【技巧总结】 数量积：对应坐标乘积之和， ，用于求夹角、模长、垂直判定。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影向量为 【变式训练2-2】（25-26高一下·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 题型7 向量与几何的最值 例1．（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）（多选）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当位于点时，的值最大 B．当位于点时，的值最小 C．的取值范围为 D．的最大值为 例2．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 在求向量数量积最值问题时，定义法、转换基底跟极化恒等式、投影向量使用比较广泛。 1、利用定义求数量积的最值，根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积 2、转换基底：将要求的向量用向量基本定理、共线定理换成题目已知条件的向量，然后再求数量积。 3、极化恒等式：在中，若为的中点，. 4、投影向量：根据数量积公式的几何意义，利用投影向量或投影数量来处理数量积的最值问题 【变式训练2-1】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，点为边（含端点）上一个动点，则的最小值为___． 【变式训练2-2】（25-26高一下·广西百色·期中）已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 题型8 向量在几何中的应用 例1．（25-26高一下·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1、奔驰定理：当时，有 2、四心跟平面向量之间的关系。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·重庆·阶段检测）（多选）点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 1．（多选）（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 2．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）（多选）关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·广东·期末）（多选）（多选）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 5．（多选）（25-26高一下·山西忻州·期中）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．已知向量，，若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若点为的重心，则 6．（多选）（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 7．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 8．（多选）（25-26高一下·陕西渭南·期中）（多选）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 9．（多选）（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）（多选）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B．，则 C． D． 10．（多选）（25-26高一下·山东青岛·期中）（多选）软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 向量的基本概念 题型2 向量共线的判断与证明 题型3 向量基本定理的应用 题型4 向量共线定理的应用 题型5 向量的数量积的应用 题型6 平面向量坐标的运算与应用 题型7 向量与几何的最值 题型8 向量在几何中的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 向量的基本概念 理解大小与方向，熟悉零向量、单位向量、相等/相反/平行向量，掌握向量加减与数乘的几何意义（三角形、平行四边形法则）。 2. 向量共线的判断与证明 判断依据：存在实数倍关系或坐标成比例；证明三点共线、线段平行常转化为向量共线。 3. 向量基本定理的应用 平面内任一向量可用一组不共线基底唯一表示，常用于分解向量、求系数、证明线性关系。 4. 向量共线定理的应用 解决定比分点（内分、外分）、已知共线求参数、证明中位线等几何平行关系。 5. 向量的数量积的应用 求夹角、判断垂直、求模、求投影，是处理几何垂直与角度问题的核心工具。 6. 平面向量坐标的运算与应用 坐标化进行加减、数乘、数量积、模、夹角计算，利用平行与垂直的坐标条件列方程求解。 7. 向量与几何的最值 利用三角不等式、柯西不等式或建系函数化，求向量模、夹角、投影、距离的最值。 8. 向量在几何中的应用 证明平行/垂直、求角度/距离、处理三角形四心，在解析几何和立体几何中用于位置关系与度量。 考情解码：向量是连接几何与代数的桥梁——用线性运算刻画位置关系，用数量积度量角与距离，通过坐标化将几何问题转化为代数计算。 考试中常以共线求参、垂直判断、夹角与模长计算、最值问题、几何证明等形式出现，解题关键是选好基底或坐标系，合理转化条件，避免忽略零向量与方向性。 知识点一 平面向量的基本概念 1、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2、特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③相等向量：长度相等且方向相同的向量． ④相反向量：长度相等且方向相反的向量 3、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【易错提醒】 ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量 即时即练（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 知识点二 平面向量的运算 1、 平面向量的加法运算 三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线） 2、 平面向量的减法运算 三角形法则（共起点） 3、 平面向量加减法运算律 （1）交换律： （2）结合律： 4、 平面向量的数乘运算 （1）定义：实数与平面向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． （2）运算律：分配律：；结合律：． 【易错警示】 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 即时即练（25-26高一下·江苏淮安·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算加法法则与减法法则计算即可得. 【详解】. 知识点三 平面向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 3、平面数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ； ； 或； ； 4、夹角：已知两个非零向量，，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 5、平面向量数量积的应用 （1）利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 （2）利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 （3）向量的投影： 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏·期中）已知向量满足，则（   ） A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为 C．当与的夹角为时， D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，设向量的夹角为，由向量夹角公式，由于,所以，故A错误； 对于B，由，两边平方化简得：，因为在上的投影向量为，代入数据可得，故B选项正确； 对于C，由当与的夹角为，，，故C正确； 对于D，，令，，这里，当时，取最大值，故的最大值为，故D正确； 知识点四 平面向量共线定理与基本定理 1、向量共线定理： 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． 2、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 若，则． 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为-2 【答案】BCD 【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合余弦函数的范围求出最小值. 【详解】，A错误； 由知，，结合， 故在的平分线上，而，故E为弧的中点， 又，由平行四边形法则可知则，故，B正确. 由知，， 设，则 解得故，C正确. ，， 所以当时，取得最小值，D正确. 知识点五 平面向量的坐标运算 1、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， 2、已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若、可以作为基底，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与的夹角为，则 【答案】AC 【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项. 【详解】已知向量，，易知、均为非零向量， 对于A选项，若、可以作为基底， 则、不共线，可得，解得，故A正确； 对于B选项，， 则，解得或2，故B错误； 对于C选项，在上的投影向量为 ， 即，解得，故C正确； 对于D选项，因为与的夹角为，则， 即，整理可得， 解得或9，故D错误. 题型1 向量的基本概念 例1．(多选) （25-26高一下·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 【答案】ABC 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 例2．(多选)（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【答案】AC 【详解】对于A，由零向量的定义可知，A正确； 对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误； 对于C，由向量相等的定义可知，C正确； 对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误． 【易错警示】 1、向量不能比较大小，但能判断是否相等。 2、向量的方向任意，注意与0的区别 3、向量是有大小跟方向，但是可以自由移动，没有起点跟终点，跟有向线段不一样。 【变式训练1-1】（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. 【变式训练1-2】(多选)（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BD 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 题型2 向量共线的判断与证明 例1．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有， ， 若三点共线，则存在实数使得， 因为不共线，所以有，得. 例2．（25-26高一下·广东广州·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先通过向量加法求出，证明其与共线且有公共点，从而证得三点共线； （2）先假设两向量共线，利用不共线向量的系数对应相等，求出共线时的值，再取其补集得到不共线时的取值范围． 【详解】（1）因为 ， 所以与共线． 因为与有公共点，所以三点共线． （2）假设与共线，则存在实数，使． 因为不共线，所以,所以． 因为与不共线，所以． 【技巧总结】 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 注意：零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 【变式训练2-1】（25-26高一下·甘肃白银·阶段检测）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（    ） A．6 B．-6 C． D． 【答案】B 【分析】由共线得，列方程求解k. 【详解】因为与共线，所以， 所以，所以解得. 故选：B 【变式训练2-2】（25-26高一下·四川南充·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】因为，所以与共线，所以A不正确； 因为，所以和共线，所以B不正确； 因为，所以与共线，所以C不正确； 若和共线，则， 所以，且，所以无解，所以和可作为基底. 题型3 向量基本定理的应用 例1．（25-26高一下·广东·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知， 又因为为的中点，所以， 故， 例2．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 【答案】 【详解】在中，由是的中点，， 得， 所以 【技巧总结】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用目标向量出现表示为止． （2）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 【变式训练2-1】（25-26高一下·广东·期末）在△中，，为中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△中，，则， 又为中点， 则. 【变式训练2-2】（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 题型4 向量共线定理的应用 例1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线向量定理的推论列式求解. 【详解】在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得， 则，即， 而，，则， 由共线，得，所以. 例2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 【答案】 【分析】先根据向量线性运算及三点共线的充要条件推导与的等量关系，再利用基本不等式的“1的代换”求目标式的最小值． 【详解】由得，即， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立． 【技巧总结】 1、运用向量的线性运算、共线定理将向量用含参数的基底表示 2、根据题目条件，可以多次用含参数的基底表示，列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 3、若是求最值问题，还需要结合基本不等式的方法来求解。 【变式训练2-1】（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 【变式训练2-2】（25-26高一下·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的推论建立关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出目标函数的最小值. 【详解】由点在线段上（不含端点），，得， 则，因此 ， 当且仅当，即，时取得等号， 所以的最小值为. 题型5 向量的数量积的应用 例1．（25-26高一下·广东江门·期中）已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直得到，再根据向量数量积运算得，最后利用投影向量计算公式即可得到答案. 【详解】由于，所以， 即， 又，， 所以. 则向量在向量上的投影向量等于： . 例2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知向量满足，且，则向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量垂直的充要条件求出的值，再代入向量夹角余弦公式计算. 【详解】因为，所以即，又，故， 所以 解得， 所以. 【技巧总结】 1、利用数量积求模长，利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。 2、利于向量数量积公式=来计算向量的夹角， 有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π.。 3、根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（多选）已知平面向量满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及的值，再逐项求解判断． 【详解】由，得是非零向量，且， 所以， 又所以． 对于 ， 又是非零向量，因此，故A正确； 对于B，由，得， 则，即， 当且仅当同向共线时取等号， 解，得，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知，关于的方程有非负实数解，且至少有一个非负实数解， 由韦达定理知两根之积为4，而，所以两根同号，均为正， 所以两根之和，即，所以. 由得，即 解得， 而，因此，故D正确. 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（多选）已知向量，满足，则（    ） A． B． C． D．对任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】先利用向量模长与数量积的关系求出，再逐一验证各选项 【详解】首先由，两边平方得， 代入，解得. 对于A，，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，这是关于的二次函数，当时，取得最小值为，故，即，故D正确. 题型6 平面向量坐标的运算与应用 例1．（多选）（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 【答案】BD 【详解】A选项：，则，故A选项错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：在方向上的投影向量，故D正确． 例2．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）已知向量，则（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；根据且与不共线，求得的范围，可判定D错误. 【详解】由向量， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 【技巧总结】 数量积：对应坐标乘积之和， ，用于求夹角、模长、垂直判定。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据向量平行、垂直的坐标判定，向量夹角与数量积的关系，投影向量的计算，结合向量相关公式逐个分析选项即可. 【详解】对于A，若，则有，化简得，解得，故A正确； 对于B，若，则有，因此，故B正确； 对于C，若与夹角为钝角，则有，解得； 由于与共线反向时，需排除，因此的取值范围是且，并非，故C错误； 对于D，当时，，在方向上的投影数值为，方向的单位向量为， 因此投影向量为，故D正确. 【变式训练2-2】（25-26高一下·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【答案】 【分析】由投影向量计算公式结合题设可得答案. 【详解】根据投影向量定义知：在上的投影向量为. 题型7 向量与几何的最值 例1．（多选）（25-26高一下·海南海口·期中）（多选）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当位于点时，的值最大 B．当位于点时，的值最小 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解. 【详解】我们通过建立平面直角坐标系求解：将放在原点，在轴上， 则，设， 由解得：， 因此， 选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值， A错误； 选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值， B正确； 选项C，， 因为，所以， C正确； 选项D，， 最大值为，因此最大值为， D正确. 例2．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 【技巧总结】 在求向量数量积最值问题时，定义法、转换基底跟极化恒等式、投影向量使用比较广泛。 1、利用定义求数量积的最值，根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积 2、转换基底：将要求的向量用向量基本定理、共线定理换成题目已知条件的向量，然后再求数量积。 3、极化恒等式：在中，若为的中点，. 4、投影向量：根据数量积公式的几何意义，利用投影向量或投影数量来处理数量积的最值问题 【变式训练2-1】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，点为边（含端点）上一个动点，则的最小值为___． 【答案】45 【分析】根据题意利用余弦定理算出，进而得到是边长等于的等边三角形，然后以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，推导出用表示点的坐标的式子，从而得出关于的二次函数表达式，结合二次函数的性质得出答案. 【详解】以为坐标原点，AD、EB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，连接， 因为， 所以，可得， 所以，可得，， 结合，所以 因为中，，所以是边长等于的等边三角形， 由， 可得，所以， 设，即 可得，所以， 即， 由此可得， 所以， 由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为. 【变式训练2-2】（25-26高一下·广西百色·期中）已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可. 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，            因为等边的边长为，所以， 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 题型8 向量在几何中的应用 例1．（25-26高一下·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 例2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∴， 设AC中点为D，如图所示， 所以，， 因为、、、四点不共线，连接， ∴四边形为平行四边形， 所以 ∴. 【技巧总结】 1、奔驰定理：当时，有 2、四心跟平面向量之间的关系。 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·重庆·阶段检测）（多选）点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】AC 【分析】根据三角形的重心、垂心、等边三角形、三角形面积以及向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵由，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，，， ∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D错误. 1．（多选）（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】ACD 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 2．（25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）（多选）关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B，相等向量是共线向量，B正确； 对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 4．（多选）（25-26高一下·广东·期末）（多选）（多选）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据，由外心定义判断；对于选项B，由重心的向量形式判断；对于选项C，由变形，根据垂心的向量形式判断；对于选项D，由，得到为的平分线，再由判断. 【详解】对于选项A，已知，由外心定义可得：点是的外心，故正确； 对于选项B，设是中点，由，得，故点是的重心，正确； 对于选项C，由，得，即，同理，，故点是的垂心，故错误； 对于选项D，设，则所在直线为的角平分线，又，则，则，则三角形为等腰三角形，故正确； 故选：ABD． 5．（多选）（25-26高一下·山西忻州·期中）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．已知向量，，若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若点为的重心，则 【答案】AD 【详解】对于A，由题意可得在上的投影向量为， 所以向量与的夹角的余弦为，所以夹角为，故A正确； 对于B，，因为与的夹角为锐角， 则，解得， 当与共线时，，解得， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于C，当，且时也满足，故C错误； 对于D，由题意可得， 同理可得， 所以，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 7．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，由两边取平方得：， 展开得：，即， 即，因未知与是否相等， 故不能判断是否成立，故而无从判断是否成立，即A错误； 对于B，由为非零向量，可知， 则可得，所以，故B正确； 对于C，因为当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D，因为，则， 又因，则， 因，则或，即,故D正确. 8．（多选）（25-26高一下·陕西渭南·期中）（多选）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 【答案】BCD 【分析】本题综合考查平面向量的数量积运算、投影的定义、向量共线的坐标表示以及基本不等式求最值，结合已知条件逐一分析选项即可. 【详解】选项A，计算两向量的数量积，且两向量不共线， 说明与的夹角为锐角，不是钝角，A错误； 选项B，向量在上的投影数量公式为，代入得，B正确； 选项C，先计算，由， 结合向量共线的坐标性质可得，整理得，C正确； 选项D：已知且，根据基本不等式， 代入得，化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为2，D正确。 9．（多选）（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）（多选）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B．，则 C． D． 【答案】BC 【分析】利用平面向量共线、线性运算以及数量积定义即可逐个选项判断． 【详解】对于A，当时，满足，，但不一定成立，故选项A错误； 对于B，由，则， 即， 所以，即，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，因为是常数，则表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以与关系不确定，故选项D错误． 10．（多选）（25-26高一下·山东青岛·期中）（多选）软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $