专题01 函数的图象与性质综合压轴6大题型（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 函数的图象与性质综合压轴考点 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中函数的图象与性质压轴考点主要有以下几类：①二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）；②二次函数与系数的关系（每年1~2题，3~5分）；③一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质的综合运用，多出现在新定义题型中（每年1~2题，3~15分）；④函数的平移、旋转和轴对称（每年1~2题，3~15分）；⑤一次函数、反比例函数、二次函数的应用（每年1道，6~10分）考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，难度中等偏上． 预测2026年：函数的图象与性质一直都是中考的重要考点，包括二次函数的对称性、增减性、求最值问题例如2025年常州中考T27；3种函数相结合的新定义问题，例如2024、2025年无锡中考T10，2025年镇江中考T26等；函数的的应用，基本上每个市必考题型；所以对于以上考点需要熟练掌握。 考向01 二次函数图象与性质 题型1 二次函数对称性 1、对于二次函数的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标：（- ）` 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 4、在二次函数的图象上，若,那么A、B两点对称，抛物线的对称轴为，也可以反过来利用对称性求点的坐标。 1．（2023•工业园区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t可得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，从而可得b与a的关系，将P（m，2）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解． 【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t， ∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线x2， ∴2， ∴b＝﹣4a， ∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a， 当a＞0时，﹣4a≤﹣1， 解得a， 将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2， ∴a， ∴0＜m2+4m≤8， ∴4＜（m+2）2≤12， ∴﹣2﹣2m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2， 综上所述，m的可能取值为1， 故选：A． 2．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　3　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）求出x＝0时，函数的函数值，得到B点坐标，即可得出结果； （2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把D点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知B（0，3）， ∴OB＝3； 故答案为：3； （2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴点B向下平移3个单位， ∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同， ∵点C′的纵坐标为﹣2， ∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1； ∵点C在线段AB上，即点C在直线上， ∴当时，， ∴； （3）∵B（0，3），， ∴，把B（0，3）代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y1）关于对称轴的对称点为D′（1，y1）， ∵对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立， ∴m+1＜1或m≥3， ∴m＜0或m≥3． 题型2 求函数范围或最值问题 1、 根据点到对称轴的距离比较函数值大小 是二次函数图象上的两点，对称轴为 ①当a＞0时，若，则 点到对称轴的距离越远，函数值越大；距离越近，函数值越小； ②当a＜0时，若，则 点到对称轴的距离越近，函数值越大；距离越远，函数值越小； 2、 定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间分析思路相同，都可以将对称轴当做定值，分类讨论区间与对称轴的关系 3．（2024•惠山区校级一模）当﹣3≤x≤2时，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax﹣7a+12的图象在x轴上方，则a的取值范围为 　或　 ． 【答案】或． 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，再分a＜0和a＞0两种情况，分别求出y的最小值，令最小值大于0即可求解． 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax﹣7a+12的图象的对称轴为：． 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵﹣3≤x≤2，|1﹣（﹣3）|＞|2﹣1|， ∴x＝﹣3时，y取最小值，最小值为：y＝a⋅（﹣3）2﹣2a⋅（﹣3）﹣7a+12＝8a+12， ∵图象在x轴上方， ∴8a+12＞0， 解得， ∴； 当a＞0时，抛物线开口向上， ∵﹣3≤x≤2，对称轴为x＝1， ∴x＝1时，y取最小值，最小值为：y＝a﹣2a﹣7a+12＝﹣8a+12， ∵图象在x轴上方，∴﹣8a+12＞0， 解得， ∴； 综上可知：a的取值范围为或． 故答案为：或． 4.（2025•淮安）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　2　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 【分析】（1）将（2，﹣1）代入解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入， 得：， 解得m＝2， 故答案为：2； （2）由题可知， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+1＞0， ∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵y1＜y2， ∴点A（m+1，y1）到对称轴的距离小于点B（m+p，y2）到对称轴的距离， ∴|m+1﹣m|＜|m+p﹣m|， 即|p|＞1， ∴p＞1或p＜﹣1． 5．（2025•兴化市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣x2﹣2ax+3（a≠0）． （1）若函数的图象经过点（1，4），并与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的表达式； ②若点D在该二次函数图象上，且D在直线BC上方，当△BCD的面积最大时，试求出点D到直线BC的距离； （2）点M（x1，y1），N（3a，y2）是二次函数图象上两点，当1≤x1≤3时，始终有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）①将（1，4）代入函数表达式得：4＝﹣1﹣2a+3，即可求解； ②由△BCD的面积DH（﹣x2+3x）（x）2，即△BCD的面积最大为，设点D到直线BC的距离为h，则BC•h3h，即可求解； （2）当a≤﹣3时，则x1＝3时，y＝9+6a﹣15a2＞0，即可求解；当﹣3＜a＜﹣1、a＞﹣1时，同理可解． 【解答】解：（1）①将（1，4）代入函数表达式得：4＝﹣1﹣2a+3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； ②由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），则DH＝﹣x2+3x， 则△BCD的面积DH（﹣x2+3x）（x）2， 即△BCD的面积最大为，设点D到直线BC的距离为h， 则BC•h3h，则h， 即点D到直线BC的距离为； （2）∵y1＜y2，则2ax1+3＞﹣15a2+3，即2ax1﹣15a2＞0， 即设y2ax1﹣15a2＞0， 函数y得对称轴为直线x1＝﹣a， 当a≤﹣3时， 则x1＝3时，y＝9+6a﹣15a2＞0， 解得：a＜1（舍去）； 当﹣3＜a＜﹣1时， 则x1＝﹣a时，y＝a2﹣2a2﹣15a2＞0，无解； 当a＞﹣1时， 则当x1＝1时，y＝1+2a﹣15a2＞0， 解得：a， 综上，a且a≠0． 6．（2025•靖江市校级三模）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）． （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围． （3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x＝h代入一次函数解析式中可得出点（h，2）在直线l上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点； （2）由a＞0可得出当x＝h＝1时y1＝a（x﹣h）2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论； （3）令y1＝y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出1或1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围． 【解答】（1）证明：∵抛物线C1的解析式为y1＝a（x﹣h）2+2， ∴抛物线的顶点为（h，2）． 当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2， ∴直线l恒过抛物线C1的顶点． （2）解：∵a＞0，h＝1， ∴当x＝1时，y1＝a（x﹣h）2+2取得最小值2． 又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2， ∴， ∴﹣2≤t≤1． （3）解：令y1＝y2，则a（x﹣h）2+2＝k（x﹣h）+2， 解得：x1＝h，x2＝h． ∵线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点， ∴1或1． ∵k＞0， ∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0． 又∵1≤k≤3， ∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1． 7．（2025•江阴市一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0，c＞0）的图象顶点C的坐标是． （1）若c＝5，求二次函数表达式； （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两个不同的点，若x1+x2＞c，请判断y1，y2的大小关系，并说明理由； （3）等腰直角△BOD的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若S△BOD＝8，直接写出a的值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）a0，则抛物线开口向上，当（x1+x2）c时，y1＝y2，而x1+x2＞c，即可求解； （3）当点B在对称轴的右侧时，证明△OMB≌△BDN（AAS），得到点B（mc，mc），进而求解；当点B在对称轴的左侧时，同理可解；当点B在C处时，即c＝OB＝4，则c＝8，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（xc）2， 将（0，c）代入上式得：c＝y＝a（0c）2，则a0， 当c＝5，函数的表达式为：y（xc）2（x）2； （2）∵a0，则抛物线开口向上， 当（x1+x2）c时，y1＝y2， 而x1+x2＞c， ∴当x1＜x2时，则y1＜y2；当x1＞x2时，则y1＞y2； 故y1＜y2或y1＞y2； （3）设点B（x，y）、D（c，m）， 当点B在对称轴的右侧时， 过点B作y轴平行线交x轴于点M，交过点D和x轴的平行线于点N， ∵∠BDN+∠OBM＝90°，∠OBM+∠BOM＝90°， ∴∠BDN＝∠OBM ∵∠BND＝∠OMB＝90°，OB＝BD， 则△OMB≌△BDN（AAS）， 则BN＝OM，BM＝DN，即xc＝y且m﹣y＝x， 解得：xmc，ymc， 即点B（mc，mc）， 将点B的坐标代入y（xc）2得：mc（mcc）2， 整理得：（2m﹣c）（m﹣c）＝0， ∴m＝c或c， ∵S△BOD＝8BO2（x2+y2）（m2c2）， 解得：c或8，则a或； 当点B在对称轴为左侧时， 同理可得，点B（cm，mc）， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：mc（cmc）2， 整理得：m（2m+c）＝0， ∴m＝0或mc， ∵S△BOD＝8BO2（x2+y2）（m2c2）④， 解得：c＝8或8，则a或； 综上，a或或． 考向02 函数的性质综合 题型3 函数的性质综合 1. 一次函数：,当 2. 反比例函数： ,当； 3. 二次函数：性质如上。 8．（2025•南京）（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　﹣2　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　（a）（b）　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2，则n＝﹣m2+km+2， ①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 令x＝0，则y＝﹣2，即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：﹣2； （2）∵平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m 则平移后的得到为（m，km+2）， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2， 当x＝0时，与y轴交点的纵坐标n＝﹣m2+km+2， ①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3， ∴n是关于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线m＝1， ∵m＝3时，n＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，m＝1时，n＝3， ∴当0≤m≤3时，n的取值范围是﹣1≤n≤3； ②∵函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B， ∴A（，0），B（0，2）， ∴当k＜0时，0≤m， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∴当m时，n随m的增大而减小， ∵m≥0， ∴n随m的增大而减小， 当k＞0时，m≤0， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∵m≤0， ∴n随m的增大而增大， 故可能的序号是（a）（b）． 故答案为：（a）（b）． 9．（2025•靖江市一模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的横坐标分别为m﹣1，m+a（m，a为常数，a＞﹣1），且在抛物线y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m﹣2am+1上，抛物线顶点记为C． （1）对称轴方程为x＝m+1　 ；（用含m的代数式表示） （2）过A作x轴的平行线交该抛物线于点A′，若S△ACA′＝2S△ABA′，求a的值； （3）若点A，B所在直线经过一、三象限，求a的取值范围． 【分析】（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝m+1，即可求解； （2）S△ACA′＝2S△ABA′，则2|yB﹣yA|＝yC﹣yA，即可求解； （3）由点A、B的坐标得，直线AB表达式中的k值为：k＝﹣（m﹣1+m+a）+2m+2＝﹣a+3＞0，即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝m+1， 故答案为：x＝m+1； （2）由抛物线的表达式知，点C（m+1，2m﹣2am+1）， 由点A、B的横坐标得其纵坐标分别为：yA＝﹣4+2m﹣2am+1，yB＝﹣（a﹣1）2+2m﹣2am+1， ∵S△ACA′＝2S△ABA′，则|yB﹣yA|＝yC﹣yA， ∴2|﹣（a﹣1）2+2m﹣2am+1﹣（﹣4+2m﹣2am+1）|＝2m﹣2am+1﹣（﹣4+2m﹣2am+1）， 解得：a＝1±或a＝1±， ∵a＞﹣1， ∴a＝1±或1； （3）由点A、B的坐标得，直线AB表达式中的k值为：k＝﹣（m﹣1+m+a）+2m+2＝﹣a+3＞0， 而a＞﹣1， 则﹣1＜a＜3． 10．（2025•苏州二模）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若C（1，6），求三角形ABD的面积． （3）在（2）的条件下，设y＝2x﹣2和y交于E（a，b）和F（c，d）两点，请直接写出（a﹣1）（b+2）的值为　6+2或6﹣2　 ． 【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得点A的坐标为（﹣2，0），令x＝0得点B的坐标为（0，4）； （2）把C（1，6）代入y（k≠0，x＞0）得k＝6，求得反比例函数的解析式为y，由BD∥x轴，点B的坐标为（0，4）；得到点D的纵坐标为4，求得BD，根据三角形的面积公式得到三角形ABD的面积4＝3； （3）由（2）知k＝6，得到y，解方程组得到，，代入代数式即可得到结论． 【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）把C（1，6）代入y（k≠0，x＞0）得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BD∥x轴，点B的坐标为（0，4）； ∴点D的纵坐标为4， ∴当y＝4时，x， ∴，4）， ∴BD， ∴三角形ABD的面积4＝3； （3）由（2）知k＝6， ∴y， ∵y＝2x﹣2和y交于E（a，b）和F（c，d）两点， 把E（a，b）分别代入y＝2x﹣2和y得b＝2a﹣2，（a﹣1）b＝6， ∴，， ∴（a﹣1）（b+2）＝6+2或6﹣2， 故答案为：6+2或6﹣2． 题型4 函数的平移、旋转和翻折 1. 平移：函数平移规律相同，左加右减自变量，上加下减常数项，一次函数平移k相等，二次函数平移a相等； 2. 二次函数的对称变换 11．（2025•宿城区校级一模）已知抛物线y＝﹣x2﹣（3m﹣1）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，设点P的坐标为（n，nk+3），当n变化时，是否存在常数k，使得△PAD的面积始终为定值，若存在，求出k的值及△PAD面积的定值；若不存在，请说明理由． （3）若将该抛物线在﹣5≤x≤0间的部分记为图象M，并将图象M在直线y＝t（﹣12≤t≤3）上方的部分沿着直线y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤9．求t的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求出m的值，即可求出抛物线的解析式． （2）根据平行线间的距离相等，过点C作直线CE与AD平行．点P在直线CE上时，△PAD面积始终不变． （3）先求出抛物线上横坐标为5的点的坐标，然后根据折叠的性质求出抛物线顶点的对称点的坐标，再分类讨论求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣（3m﹣1）x+3m的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， 解得m＝1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）存在． 如图，过点C作直线CE与AD平行． 由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）． ∵点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称， ∴点D的坐标为（﹣2，3）． 当x＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A的坐标为（1，0）． 设直线AD的解析式为y＝kx+b． 将D（﹣2，3），A（1，0）代入得，， 解得． ∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1． ∵直线CE与AD平行，点C的坐标为（0，3）， ∴直线CE的解析式为y＝﹣x+3， ∴k的值为﹣1，△PAD的面积始终为定值． ∵△CAD的面积为， ∴当点P在直线CE上时，△PAD面积始终为3． 综上所述，存在常数k，使得△PAD的面积始终为定值，k的值为﹣1，△PAD面积为3． （3）抛物线沿直线y＝t翻折前后如图所示． 由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点F的坐标为（﹣1，4）， ∴点F′的坐标为（﹣1，2t﹣4）． 当x＝﹣5时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12， ∴点G的坐标为（﹣5，﹣12）． ①当点F′在点G的上方时，2t﹣4≥﹣12，解得t≥﹣4， 此时a＝t，b＝﹣12， ∴t﹣（﹣12）≤9，解得t≤﹣3， ∴﹣4≤t≤﹣3． ②当点F′在点G的下方时，2t﹣4≤﹣12，解得t≤﹣4， 此时a＝t，b＝2t﹣4， ∴t﹣（2t﹣4）≤9，解得t≥﹣5， ∴﹣5≤t≤﹣4． 综上所述，若a﹣b≤9．t的取值范围是﹣5≤t≤﹣3． 12．（2025•海陵区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上， （1）当x0＝1，p＝q时， ①求b的值； ②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y＝x2﹣8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由． （2）当b＜﹣2时，若对于，都有p＞q，求b的取值范围． 【分析】（1）①由题意得，点A（1，p），B（3，p）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，则，即可求出b的值； ②设P（xP，xP+m），M（xM，xM+m），N（xN，xN+m），由①得，抛物线G1：y＝x2﹣4x+c，联立整理得到x2﹣5x+c﹣m＝0，则有xP+xM＝5，同理可得xP+xN＝9，推出xN﹣xM＝（xP+xN）﹣（xP+xM）＝4，再利用勾股定理求出MN的长即可解答； （2）由p＞q可得，则问题转化为对于，都有，设y′＝x2+bx﹣3b﹣9，则函数y′图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，y′随着x的增大而减小，要满足题意只需当时y′≥0，据此列出关于b的不等式，即可求解． 【解答】解：（1）①点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，x0＝1，p＝q， ∴A（1，p），B（3，p）， 依题意得：， 解得：b＝﹣4； ②MN的长为定值；理由如下： 由①得，抛物线G1：y＝x2﹣4x+c， 过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，设P（xP，xP+m），M（xM，xM+m），N（xN，xN+m）， 联立得：， 整理得：x2﹣5x+c﹣m＝0， ∴xP+xM＝5， 直线y＝x+m与抛物线G2的另一个交点为N， 联立得：， 整理得：x2﹣9x+c1﹣m＝0， ∴xP+xN＝9， ∴xN﹣xM＝（xP+xN）﹣（xP+xM）＝9﹣5＝4， ∵M（xM，xM+m），N（xN，xN+m）， ∴ ＝2×42 ＝32， ∴， ∴MN的长为定值； （2）∵点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，且p＞q， ∴， ∴， ∵对于，都有p＞q， ∴对于，都有， 设y′＝x2+bx﹣3b﹣9，则函数y′图象开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，y′随着x的增大而减小， ∴当时，y′≥0， ∴， 解得：﹣8≤b≤﹣4， ∴b的取值范围为﹣8≤b≤﹣4． 13．（2024•宝应县三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　③　 ；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； （2）在y中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案； （3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m，从而得M的坐标为（0，）． 【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解， ∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”； 同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； 故答案为：③； （2）在y中，令y＝﹣x得﹣x， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b， 解得x， ∴B（，）， 当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2）， ∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2（2）2（2）2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则2（2）2＝4， 解得b＝﹣36或b＝36； 若BC＝AC，则（2）2＝4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0； （3）设M（0，m），m＜﹣1， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1）， 点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m， 在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得： ﹣x＝﹣x2+2x+2m， ∴x2﹣3x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即9+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）． 考向03 函数的应用 题型5 函数在生活中的应用 1.利润问题 2.一次函数的行程问题 ①审题/审图，提取关键信息 文字题：圈画出发时间、出发地点、速度、方向（同向/相向/背向）、总路程 图象题：标注横轴/纵轴单位、关键点坐标（起点、拐点、交点、终点），明确每个点的“时间+路程”含义 避坑：不同时出发的，以晚出发者时间为，早出发者时间记为（为提前时间） ②列写各物体的一次函数解析式 设运动时间为，路程为，结合速度、初始路程列解析式；未知参数（速度、初始距离）代入图象定点求解。 ③结合行程模型，列方程/不等式求解 设两物体路程解析式为、，对应场景列关系式： ④验证+作答 检查结果是否符合实际（时间非负、路程不超总路程、无矛盾状态），规范书写答案，标注单位。 14．（2025•江宁区校级模拟）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A1的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于p1，p2，p3大小关系的表述中，正确的是（　　） A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p3＞p1＞p2 D．p3＞p2＞p1 【答案】B 【分析】由题干可知，Pi是单位工作效率，则取AiBi中点MPitan∠MOP，所以我们只需要比较tan∠MOP即可． 【解答】解：∵P是单位时间内生产的零件数，取AiBi中点MPitan∠MOP，所以我们只需要比较tan∠MOP即可． 分别取A1B1中点M1，A2B2中点M2，A3B3中点M3， 由图象很明显可得出tan∠M1OC＞tan∠M3OC＞tan∠M2OC， ∴p1＞p3＞p2， 故选B． 15．（2025•鼓楼区校级模拟）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）图中t＝　2　 min． （2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍， ①则甲登山的上升速度是 　10　 m/min； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式； ③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值． 【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得t的值； （2）①根据乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，可以求得甲的速度； ②根据题意和函数图象中的数据可以求得甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式； ③根据函数图象可以求得AB段乙的函数解析式，从而可以求得x的值． 【解答】解：（1）在OA段，乙每分钟走的路程为15÷1＝15米/分， 则t＝30÷15＝2， 故答案为：2； （2）①乙提速后的速度为：（300﹣30）÷（11﹣2）＝30米/分， ∴甲的速度为：30÷3＝10m/min， 故答案为：10； ②甲登山用的时间为：（300﹣100）÷10＝20（分钟）， 设甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式y＝kx+b， ，得， 即甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式是： y＝10x+100； ③设乙在AB段对应的函数解析式为y＝mx+n， ，得， ∴y＝30x﹣30， ∴|30x﹣30﹣（10x+100）|＝50（2＜x≤11）， 解得，x＝4或 x＝9， 当11＜x≤20时，300﹣（10x+100）＝50， 解得x＝15， 综上所述，当x的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50． 16．（2025•梁溪区三模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　10　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　　 ． 【答案】10，． 【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL∥l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案． 【解答】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+9， 将D（2，21）代入得： 21＝a9， 解得：a＝1， ∴y＝x2+9． 将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），F（，0），E（，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21）， 由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD∥l， ∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°， ∴设直线l的解析式为：yx+b， 将F（，0）代入，解得b＝﹣1， ∴yx﹣1， 又∵GD∥l， ∴kGD＝kl， ∴设直线GD的解析式为yx+p， 将D（2，21）代入，解得p＝19， ∴yx+19， ∴M（0，19），N（0，﹣1）， 过点M作MP⊥l于点P， ∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°， ∴∠ANF＝60°， ∴MP＝MN•sin60° ＝[19﹣（﹣1）] ＝10． 过抛物线最低点Q作QL∥l，L为QL于MP的交点， 设直线QL的解析式为yx+q， 由得： x2x+9﹣q＝0， ∵只有一个交点Q， ∴Δ＝0， ∴4（9﹣q）＝0， ∴q， ∴ML＝（19）×sin60° ． 故答案为：10，． 17．（2025•盐城一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y＝ax2+bx+c，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a不等于0）， ∵A（0，0），B（20，0）在抛物线上，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． ∴C横坐标为2010＝5，纵坐标为3，即C（5，3）， 把A、B、C代入解析式得： 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x， （2）由题意，得： AB水位距离拱桥最高点为： y10210＝4（米）， 船行驶到桥下的时间为：35÷5＝7（小时）， 水位上升的高度为：0.3×7＝2.1（米）． ∵4﹣2.1＝1.9＜2， ∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥． 18．（2025•海州区二模）某服装店销售A、B两种服装，它们的进价和售价如表，若老板进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 480 660 （1）求A、B两种衣服每套的进价； （2）若老板用不超过36000元的资金进A、B两种服装共100套，则老板按售价卖出这100套服装的最大利润是多少？ （3）根据市场情况，老板在11月份按售价可卖A种服装14套．假设老板按售价每套A种服装每降价10元，就可多卖出一套A种服装，请问当售价定为多少时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大． 【分析】（1）根据“若老板进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元”列出方程组，求解即可； （2）设老板购进x套A服装，则购进B服装（100﹣x）套，根据资金不超过36000元列出不等式，求出x的取值范围，再设售出100套服装利润为y元，列出函数解析式，根据函数的性质求最值； （3）设11份A服装每套降价m元，老板在11月份卖A种服装获得利润w元，根据销售A种服装的利润＝每件A服装的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出m的值，从而得出结论． 【解答】解：（1）依题意可得， 解得， 答：A种衣服每套进价300元，B种衣服每套进价400元； （2）设老板购进x套A服装，则购进B服装（100﹣x）套， 根据题意得：300x+400（100﹣x）≤36000， 解得x≥40， ∴40≤x≤100， 设老板按售价卖出这100套服装获得利润为y元， 则y＝（480﹣300）x+（660﹣400）（100﹣x）＝180x+260（100﹣x）＝﹣80x+26000， ∵﹣80＜0， ∴当x＝40时，y有最大值，最大值为22800， 答：老板按售价卖出这100套服装的最大利润是22800元； （3）设11份A服装每套降价m元，老板在11月份卖A种服装获得利润w元， 则w＝（480﹣300﹣m）（14）＝（180﹣m）（14）m2+4m+2520（m﹣20）2+2560， ∵0， ∴当m＝20时，w有最大值， 此时480﹣m＝460， 答：当售价定为每套460元时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大． 19.（2024•海陵区校级三模） 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【设计杆秤】 设定m0＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0， ∵m0＝10，M＝50， ∴10l＝50a， ∴l＝5a； （2）由题意得：m＝1000，y＝50， ∴（10+1000）l＝50（a+50）， ∴101l﹣5a＝250； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5， ∴2.5（10+m）＝50（0.5+y）， 则ym； （5）由（4）可知：y， ∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝900时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 题型6 函数的新定义问题 挖掘新定义考察的知识点。 20．（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1； ③若1是函数y1＝kx+3与函数y2的“对偶值”，则k＝2； ④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据P、Q关于y轴对称，称函数y1和y2具有“对偶关系”，则P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 【解答】解：①设函数y1＝2x+3上点P坐标轴为（m，2m+3）， ∵P、Q关于y轴对称， ∴Q点坐标为（﹣m，m+1）， 若点P或点Q的纵坐标称相等， ∴2m+3＝m+1， 解得：m＝﹣2， 则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称， ∴函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1具有“对偶关系”； 故①错误，不符合题意； ②当y1＝y2＝﹣1时，则﹣1＝2x+3， 解得x＝﹣2； ﹣1＝﹣x+1，解得x＝2； 横坐标是相反数， 故②正确，符合题意； ③当y1＝y2＝1时，则， 解得x＝1； 因为是函数y1＝kx+3与函数的“对偶值”， 所以函数y1＝kx+3的x＝﹣1， 代入得：1＝﹣k+3， 解得k＝2， 故③正确，符合题意； ④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为， ∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等， ∴， 整理得， ∵﹣2≤m≤﹣1，对于函数，y随m的增大而增大， 当m＝﹣2时，； 当m＝﹣1时，； ∴，而不是， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 21．（2025•镇江）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点． （1）二次函数的图象如图所示． ①在t的不同取值5中，使该函数图象有T～6生长点的t的值是 　2或　 ； ②已知P（m，n）是该函数图象的T～6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由． （2）二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，求该函数的表达式． 【分析】（1）①令，得到．，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点P在直线EF上，得到n＝t，由①可知，再根据y＝t与的图象有2个交点，得到n＞0，即可得出结果； （2）把（6，1）代入函数表达式，得到，令，得到，，分3种情况求解即可． 【解答】解：（1）①当时，， ∴，， ∴， ∴当t＝2时，EF＝4， 此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+PF＝6，满足题意； 当时，， ∴当点P在线段EF上时，PE+PF＝EF＝6，满足题意； 当t＝5时，， ∴直线EF上不存在点P使PE+PF＝6，不满足题意； 综上：使该函数图象有T～6生长点的t的值是2，； 故答案为：2或； ②猜想，理由如下： ∵点P在直线EF上， ∴n＝t， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，EF＞6，此时直线EF上不存在点P使PE+PF＝6， ∴； 又∵过点T（0，t）作y轴的垂线与的图象交于点E，F， 而的最小值为y＝0， ∴n＞0； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1）， ∴； ∵P（3，5）是该函数图象的T～6生长点， ∴t＝5， 当时，则（x﹣h）2＝2（5﹣k）， ∴， ∴，， ∴； ①当点P在线段EF上时，则， ∴， 解得， 把代入，得：h＝5或h＝7， 当h＝5时，E（2，5），F（8，5），满足题意； 当h＝7时，E（4，5），F（10，5）， 此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点P在点E的左侧时，则PE＝h﹣2（5﹣k）﹣3，， ∴， ∴2h＝12， ∴h＝6， 把h＝6，代入，得：k＝1， 此时，，5），符合题意； ∴y； ③当点P在点F的右侧时，则，， ∴， ∴h＝0， 把h＝0，代入，得：k＝﹣17， ∴， 此时，， 点P不在点F的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． （建议用时：120分钟） 1．（2025•天宁区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax+3（a＜0）的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），顶点为C． （1）若x1＝﹣3， ①求a，x2的值； ②D为线段AB上一点，过点D作AC的平行线交抛物线于点E，若点E在x轴上方，且，求E的坐标． （2）若4＜x2﹣x1＜6，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）①若x1＝﹣3，即A（﹣3，0），将点A（﹣3，0）代入二次函数y＝ax2+2ax+3并求解，即可确定a＝﹣1，此时二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，求解即可确定x2的值； ②首先确定该函数图象的对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，4），设对称轴为直线x＝﹣1于x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，证明△ACM∽△DEN，利用相似三角形的性质确定DN，EN的值，然后分情况讨论即可； （2）设对称轴为直线x＝﹣1于x轴交于点M，分别计算当x2﹣x1＝4时和当x2﹣x1＝6时a的值，结合图象即可获得答案． 【解答】解：（1）①若x1＝﹣3，即A（﹣3，0）， 将点A（﹣3，0）代入二次函数y＝ax2+2ax+3， 可得0＝9a﹣6a+3，解得a＝﹣1， 该二次函数为y＝﹣x2﹣2x+3， 令y＝0，可得﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴B（1，0），即x2＝1； ②如图， ∵二次函数为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴该函数图象的对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，4）， 设对称轴为直线x＝﹣1于x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，则M（﹣1，0）， ∵A（﹣3，0）， ∴CM＝4﹣0＝4，AM＝﹣1﹣（﹣3）＝2， ∵AC∥DE， ∴∠EDN＝∠CAM 又∵∠END＝∠CMA＝90°， ∴△ACM∽△DEN， ∴， ∵DEAC， ∴， ∴ENCN＝2，DNAM＝1， ∴， ∴或， 当时，，， ∴xD＝﹣111， ∵﹣32＜1， ∴点D在线段AB上，符合题意，此时； 当x＝﹣1时，，xE＝﹣1， ∴xD＝﹣112， ∵2＜﹣3， ∴点D不在线段AB上，不符合题意． 综上所述，E的坐标为； （2）对于二次函数y＝ax2+2ax+3（a＜0）， 其对称轴为直线， 如图，设对称轴为直线x＝﹣1于x轴交于点M， 当x2﹣x1＝4时，即AB＝4， ∴AM＝BMAB＝2，PM⊥AB， ∴xB＝﹣1+2＝1，即B（1，0）， 将点B（1，0）代入函数y＝ax2+2ax+3， 可得0＝a+2a+3，解得a＝﹣1， 当x2﹣x1＝6时，即A′B′＝6， ∴MA′＝MB′A′B′＝3， ∴xB′＝﹣1+3＝2，即B′（2，0）， 将点B′（2，0）代入函数y＝ax2+2ax+3， ∴0＝4a+4a+3， ∴， ∴a的取值范围为． 2．（2024•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上． （1）当n取最小值时，a＝　2　 ． （2）用含m的代数式表示a． （3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）将顶点（m，n）代入函数y＝x2中，将函数转化为y＝a（x﹣m）2+m2，求出a的最小值； （2）将（1，2）代入，得出a的代数式； （3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论． 【解答】解：（1）∵二次函数的顶点（m，n）在y＝x2上， ∴n＝m2， ∴设二次函数为y＝a（x﹣m）2+m2， 当n取最小值时，m＝0，此时a＝2， 故答案为：2； （2）∵图象经过点（1，2）， ∴2＝a（1﹣m）2+m2， 化简得：a（m≠1且m）； （3）①当开口向上时， 2﹣m2＞0， ∴， ∴﹣2＜m＜2， ∴ ∵y2＜y1＜y3， ∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m， 解得：， ∵， ∴； ②当开口向下时， ∴或， 当时， 此时，y1＜y2，不合题意， 当时， 此时，y3＜y2，不合题意， 综上所述：． 3．（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣1可得1，故b＝2a； （2）根据开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大这一性质，可立即比较出大小； （3）因为x1＝t+8，t≤x2≤t+2，所以x2＜x1，可分为x1、x2居于对称轴同侧或异侧两类情况画出图形分别讨论即可． 【解答】解：（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得1， 故b＝2a． （2）∵开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大， 且， ∴y1＞y2． （3）∵x1＝t+8，t≤x2≤t+2， ∴x2＜x1， ∵c＞y2＞y1，如图1所示时， 故只需满足t＞0即可； 当x1、x2如图2所示时，x1的对称点横坐标为﹣t﹣10， ∵c＞y2＞y1， ∴，解得﹣5＜t＜﹣4， 综上，t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0． 4．（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为　1　 ； （2）当2≤h≤4时，求证：； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是　　 ． 【分析】（1）根据题意可设抛物线表达式为y＝ax2，再找出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值； （2）设顶点C的坐标为（m，n），则函数的表达式为y＝a（x﹣m）2+n，由题意可得B点坐标为（m+h，n+h），将点B（m+h，n+h）代入函数表达式，得：n+h＝a（m+h﹣m）2+n，即得a，即可解得a的范围； （3）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+4﹣h（a＞0），代入点B（2h，4），得ah2﹣h＝0，故h.最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可． 【解答】（1）解：∵顶点C的坐标为（0，0）， ∴设抛物线表达式为y＝ax2， 且A、B两点关于y轴对称，AB＝2， 故h＝1，点C到AB距离为1， ∴点B坐标为（1，1），代入y＝ax2中，可得a＝1； 故答案为：1． （2）证明：（法一）设顶点C的坐标为（m，n），则函数的表达式为y＝a（x﹣m）2+n， ∵点C到直线AB的距离为h，AB＝2h， 设A在B的左侧，则B点坐标为（m+h，n+h）， 将点B（m+h，n+h）代入函数表达式，得：n+h＝a（m+h﹣m）2+n， 故a， 当2≤h≤4时，则， 即； （法二）平移函数y＝ax2+bx+c的图象，使其顶点与原点O重合， 则新函数的表达式应为y＝ax2，顶点C的对应点即是原点O， 设点A的对应点为A'，点B的对应点为B'， 则A'B'＝AB＝2h，点O到直线A'B'的距离为h， 设点A在点B的左侧，则点B'的坐标为（h，h）， 将点B'（h，h）代入y＝ax2中，可得a， 当2≤h≤4时，则， 即； （3）解：∵点A的坐标为（0，4），AB＝2h，点C到直线AB的距离为h， ∴设B（2h，4），C（h，4﹣h）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+4﹣h（a＞0），代入点B（2h，4）， 得ah2﹣h＝0， 故h． 当0时，不成立，故舍去； 当时，即a时，此时当x时，ymin＝41，解得a（舍去）； 当4时，即时，此时当x＝4时，ymin＝a（4）2+41，解得a． 综上，a的值为． 故答案为：． 5．（2025•丹阳市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点C，与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点（m﹣2，y1）、（m﹣1，y2）、（m+1，y3）在抛物线上，且满足y1＞y2＞y3，求m的取值范围； （3）当2n﹣1≤x≤2n+1时，函数的最大值记为s，函数的最小值记为t，当s﹣t＝4时，直接写出n的值　0或1　 ． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，令y＝0，即可求得点C的坐标； （2）分两种情况考虑：三点都在抛物线对称轴左边；横坐标较小两点在对称轴左边，横坐标最大的一点在对称轴的右边；最后综合即可； （3）求出函数在x＝2n﹣1，及x＝2n+1时的函数值，抛物线的顶点坐标；根据x＝1是否属于2n﹣1≤x≤2n+1，进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）由题意知，点A（﹣1，0）、点B（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c图象上， 则有， 解得：， y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴C（3，0）， 故二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，C（3，0）； （2）由题意知，抛物线的二次项系数为正，且抛物线的对称轴为直线x＝1， 当三点都在抛物线对称轴左边时， 则m+1≤1， 解得：m≤0； 当横坐标较小两点在对称轴左边，横坐标最大的一点在对称轴的右边时， 则， 解得：0＜m＜1， 综上，当m＜1； （3）当x＝2n﹣1时，y＝4n2﹣8n，当x＝2n+1时，y＝4n2﹣4； 抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝1不属于2n﹣1≤x≤2n+1时，则2n+1＜1或2n﹣1＞1， 即n＜0或n＞1； 由题意得：|4n2﹣8n﹣（4n2﹣4）|＝4， 解得：n＝0或n＝1， 这与n＜0或n＞1矛盾， 当x＝1属于2n﹣1≤x≤2n+1时，则2n﹣1≤1≤2n+1， 即0≤n≤1， 此时函数在顶点处取得最小值，在x＝2n﹣1或x＝2n+1时，取得最大值， ∴4n2﹣8n﹣（﹣4）＝4或4n2﹣4﹣（﹣4）＝4， 解前一方程得：n＝0或n＝2， 解后一方程得：n＝±1， ∵0≤n≤1， ∴n＝0或n＝1， 故答案为：0或1． 6．（2025•东海县模拟）已知二次函数y1＝x2+（b﹣2）x． （1）①该二次函数图象的顶点坐标为　（1b，b﹣1）　 （用含有字母b的代数式表示）； ②求证：该二次函数图象的顶点不在第三象限； （2）当m≤x≤2时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，y1的最大值与最小值的差为5，求m的值； （3）已知一次函数y2x+1，若当0≤x≤2时，总有y2＞y1，请直接写出b的取值范围． 【分析】（1）①抛物线的对称轴为直线x1b，此时y1＝x2+（b﹣2）xb﹣1，即可求解； ②证明：假设顶点在第三象限，则b﹣1＜0，则b＜2，则1b＞0，即可求解； （2）当m≤﹣1时，当﹣1﹣m＞2+1，即m＜﹣4时，则抛物线在x＝m时，取得最大值，即ymax＝m2+2m+4，在顶点处取得最小值3，即可求解；当m≥﹣4时，则x＝2时，ymax＝x2+2x+4＝12，在顶点取得最小值，即可求解；当m＞﹣1时，同理可解； （3）设y＝y1﹣y2＝x2+（b﹣2）xx﹣1＜0，则函数y在x＝0、x＝2和顶点处y均小于0，即可求解． 【解答】（1）解：①抛物线的对称轴为直线x1b，此时y1＝x2+（b﹣2）xb﹣1， 故顶点坐标为：（1b，b﹣1）， 故答案为：（1b，b﹣1）； ②证明：假设顶点在第三象限，则b﹣1＜0，则b＜2， 则1b＞0， 故顶点不在第三象限； （2）解：二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，3）， 则抛物线的表达式为：y＝x2+2x+4， 当m≤﹣1时， 当﹣1﹣m＞2+1，即m＜﹣4时， 则抛物线在x＝m时，取得最大值，即ymax＝m2+2m+4，在顶点处取得最小值3， 则m2+2m+4﹣3＝5，解得：x＝1±（舍去）； 当m≥﹣4时，则x＝2时，ymax＝x2+2x+4＝12，在顶点取得最小值， 则最值差不等于5，故不符合题意； 当m＞﹣1时，则x＝m时取得最小值，在x＝2时，取得最大值， 即12﹣（m2+2m+4）＝5， 解得：m＝1或﹣3（舍去）， 故m＝1； （3）解：设y＝y1﹣y2＝x2+（b﹣2）xx﹣1＜0， 函数y的顶点坐标为：（，）， 则函数y在x＝0、x＝2和顶点处y均小于0， 当x＝0时，y＝x2+（b﹣2）xx﹣10， 解得：b＜2； 当x＝2时，y0， 解得：﹣4b＜﹣4； 顶点处，即0，则b， 综上，﹣2＜b＜﹣4． 7．（2025•无锡二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）． （1）二次函数的顶点坐标为　（﹣m，2﹣m）　 ； （2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ①求线段AB的长； ②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值． 【分析】（1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可； （2）①由平移得到a＝﹣1，联立抛物线与直线的解析式，求出A，B点的坐标，两点间距离公式求出AB的长即可； ②根据x的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2﹣m）； 故答案为：（﹣m，2﹣m）； （2）①∵二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ∴y＝﹣（x+m）2﹣m+2， 联立， 解得：或， ∵﹣m﹣1＜﹣m，B在A的左侧， ∴B（﹣m﹣1，1﹣m），A（﹣m，2﹣m）， ∴； ②由（1）知：x2＝﹣m﹣1， ∵y＝﹣（x+m）2﹣m+2， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣m， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，（﹣m﹣1，1﹣m）关于x＝﹣m的对称点为（﹣m+1，1﹣m）， ∵x2≤x≤﹣2m﹣1，即：﹣m﹣1≤x≤﹣2m﹣1， 1°当﹣m﹣1≤﹣2m﹣1≤﹣m，即：﹣1≤m≤0时， 则当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m+1， 当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最大值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1， ∴， 解得：m＝±2＜1，不符合题意，舍去； 2°当﹣m＜﹣2m﹣1＜﹣m+1，即：﹣2＜m＜﹣1时， 当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m， 当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为﹣m+1， 则：， 解得：，符合题意； 3°当﹣m＜﹣m+1＜﹣2m﹣1，即：m＜﹣2时， 当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m， 当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1， 则：， 解得：（舍去）； 综上：或． 8．（2025•溧阳市一模）实验操作： 如图是初中物理用伏安法测电阻的简易示意图，该串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为I，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写：m＝ 　3　 ，n＝ 　5　 ； 探究尝试： （2）根据以上实验，构建出函数y（x≥0），结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质； 拓展延伸： （3）结合上述函数图象，直接写出不等式的解集． 【分析】（1）由已知列出方程，即可解得m，n的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】解：（1）把I＝3代入I得，m3， 把I代入I得，， 解得：n＝5， 故答案为：3，5； （2）①如图所示， ②由图象可知：函数值y随x的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等； （3）由函数图象知，不等式的解集为：x≥4或x＝0． 9．（2025•亭湖区校级二模）学科实践 “科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型… 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　75　 个单位，再向上平移　230　 个单位得到： ②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【分析】（1）把k值和其中两个点代入函数，得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到a、b的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值y＝200，代入拟合函数表达式，求解关于x的方程，得到的x值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定x和y方向上的平移量． ②当与直线y＝x平行的直线与曲线相切时，切点到直线y＝x的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于y＝x的直线的位置关系中，相切时的切点是距离y＝x最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得： ． 用第二个方程减去第一个方程消去b： 155﹣140， （75+a）（50+a）＝﹣11250， a2+125a﹣15000＝0， （a+200）（a﹣75）＝0， 解得a＝75或a＝﹣200（舍去，因为a＞0 ）． 把a＝75代入，可得，140＝﹣90+b， 解得b＝230． ∴拟合函数表达式为． （2）令y＝200，可得． 解得x＝300， 300÷60＝5分钟． ∴跳绳运动5分钟后就应该休息一下； （3）①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，x变为x+75，图象向左平移了75个单位；整体加230，图象向上平移了230个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线y＝x平行的直线方程为y＝x+b． ∵该直线与曲线相切时，该切点到y＝x的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴（x+75）（x+b）﹣（﹣11250）﹣（x+75）×230＝0． x2+bx+75x+75b+11250﹣230x﹣17250＝0， x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的判别式Δ＝（b﹣155）2﹣4×（75b﹣6000）＝0． ∴b2﹣610b+48025＝0． ∴． ∴x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 10．（2025•淮安区校级一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． （1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴交于点A（3，0）、B（0，6），把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得OC＝OA，所以点C坐标为　（﹣3，0）　 ，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线y＝﹣2x+6上一点（m，﹣2m+6），沿y轴翻折得点（﹣m，﹣2m+6），则x＝﹣m，y＝﹣2m+6，即m＝﹣x，代入y＝﹣2m+6得翻折后所得直线的表达式为y＝2x+6　 ． （2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式． （3）下列说法中正确的有　①③④　 （填序号）． ①将一次函数y＝kx的图象沿直线y＝x翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线x＝1翻折所得图象的表达式为；③将二次函数y＝ax2+bx+c的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为y＝ax2﹣bx+c；④将函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象沿直线y＝3翻折得到图象的表达式为y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6． （4）将抛物线y＝2x2+1沿直线y＝x翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），且|n1﹣n2|≤3，求b的取值范围． 【分析】（1）由A（3，0），OC＝OA，即得C（﹣3，0），由m＝﹣x，y＝﹣2m+6，可得y＝﹣2（﹣x）+6＝2x+6； （2）任取二次函数y＝x2+x﹣1的图象上一点（m，m2+m﹣1），沿直线x＝3翻折得点（6﹣m，m2+m﹣1），故x＝6﹣m，y＝m2+m﹣1，即可得y＝（6﹣x）2+（6﹣x）﹣1＝x2﹣13x+41； （3）设一次函数y＝kx的图象上一点为（m，km），点（m，km）沿直线y＝x翻折得到点（km，m），可得x＝km，y＝m，从而x＝ky，知y，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确； （4）任取二次函数y＝2x2+1的图象上一点（m，2m2+1），沿直线y＝x翻折得点（2m2+1，m），即可得图象G的表达式为x＝2y2+1，联立，可得x2+（4b﹣2）x+4b2+2＝0，由直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），有Δ＞0，m1+m2＝2﹣4b，m1m2＝4b2+2，故（4b﹣2）2﹣4（4b2+2）＞0，解得b，又|n1﹣n2|≤3，可得|m1﹣m2|≤6，（m1﹣m2）2≤36，即（m1+m2）2﹣4m1m2≤36，得（2﹣4b）2﹣4（4b2+2）≤36，解得b；即知b的取值范围为b． 【解答】解：（1）∵A（3，0），OC＝OA， ∴C（﹣3，0）， ∵m＝﹣x，y＝﹣2m+6， ∴y＝﹣2（﹣x）+6＝2x+6； 故答案为：（﹣3，0），y＝2x+6； （2）任取二次函数y＝x2+x﹣1的图象上一点（m，m2+m﹣1），沿直线x＝3翻折得点（6﹣m，m2+m﹣1）， ∴x＝6﹣m，y＝m2+m﹣1， ∴m＝6﹣x， ∴y＝（6﹣x）2+（6﹣x）﹣1＝x2﹣13x+41； ∴二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式为y＝x2﹣13x+41； （3）①设一次函数y＝kx的图象上一点为（m，km）， 点（m，km）沿直线y＝x翻折得到点（km，m）， ∴x＝km，y＝m， ∴x＝ky， ∴y，故①正确； ②设反比例函数的图象上一点为（m，）， 点（m，）沿直线x＝1翻折得到点（2﹣m，）， ∴x＝2﹣m，y， ∴m＝2﹣x， ∴y，故②错误； ③设二次函数y＝ax2+bx+c的图象上一点为（m，am2+bm+c）， 点（m，am2+bm+c）沿y轴翻折得到点（﹣m，am2+bm+c）， ∴x＝﹣m，y＝am2+bm+c， ∴m＝﹣x， ∴y＝a（﹣x）2+b（﹣x）+c＝ax2﹣bx+c，故③正确； ④设函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象上一点为（m，|m3﹣m2﹣1|）， 点（m，|m3﹣m2﹣1|）沿直线y＝3翻折得到点（m，6﹣|m3﹣m2﹣1|）， ∴x＝m，y＝6﹣|m3﹣m2﹣1|， ∴y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6，故④正确； ∴正确的有①③④， 故答案为：①③④； （4）任取二次函数y＝2x2+1的图象上一点（m，2m2+1），沿直线y＝x翻折得点（2m2+1，m）， ∴x＝2m2+1，y＝m， 将m＝y代入得x＝2y2+1， ∴图象G的表达式为x＝2y2+1， 联立， ∴x＝2（x+b）2+1， 整理得x2+（4b﹣2）x+4b2+2＝0 ∵直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2）， ∴Δ＞0，m1+m2＝2﹣4b，m1m2＝4b2+2， ∴（4b﹣2）2﹣4（4b2+2）＞0， 解得b， ∵|n1﹣n2|≤3， ∴|m1+b﹣（m2+b）|≤3， ∴|m1﹣m2|≤6， ∴（m1﹣m2）2≤36， ∴（m1+m2）2﹣4m1m2≤36， ∵m1+m2＝2﹣4b，m1m2＝4b2+2， ∴（2﹣4b）2﹣4（4b2+2）≤36， 解得b； ∴b的取值范围为b． 11．（2024•淮安模拟）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2． （1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值； （2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围． 【分析】（1）由题意得：n1，n2，由n2﹣n1＝﹣4，得4，即可求得答案； （2）设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0，可得t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，再利用不等式的性质即可得出﹣4m﹣2＜﹣2，即t＜﹣2； （3）函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2，则W2：y＝2x2+2b＝2x2﹣4a2（x≤a），分三种情况：当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W1的图象上时，当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W2的图象上，当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上时，分别根据新定义讨论即可得出答案． 【解答】（1）解：∵点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上， ∴n1，n2， ∵“域差值”t＝﹣4， ∴n2﹣n1＝﹣4， 即4， 整理，得：m2+m﹣1＝0， 解得：m1，m2， 经检验，m1，m2均是方程4的解， ∴m的值为或； （2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0， 当x＝m时，n1＝﹣2m2， 当x＝m+1时，n2＝﹣2（m+1）2， ∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2， ∵m＞0， ∴﹣4m＜0， ∴﹣4m﹣2＜﹣2， 即t＜﹣2， 故该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点， ∴b＝﹣2a2， ∵对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2， ∴W2：y＝2x2+2b＝2x2﹣4a2（x≤a）， ①当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W1的图象上时， 由（2）得：t＝﹣4m﹣2， 则﹣4m﹣2≤1， 解得：m，即a； ②当点M（m，n1），M'（m+1，n2）均在W2的图象上，即m+1≤a时， 则t＝2（m+1）2+2b﹣2m2﹣2b＝4m+2≤1， 解得：m， ∴m+1，即a； ③当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上时， ∴m＜a＜m+1，即a﹣1＜m＜a， 则n1＝2m2﹣4a2，n2＝﹣2（m+1）2， ∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣2m2+4a2＝﹣4m2﹣4m﹣2+4a2＝﹣4（m）2+4a2﹣1， 若a，则﹣4a2﹣4a﹣2+4a2＝﹣4a﹣2≤1， 解得：a， ∴a； 若a﹣1a，即a， 则4a2﹣1≤1， 解得：a， ∴a； 若a﹣1，即a时， 则﹣4（a﹣1）2﹣4（a﹣1）﹣2+4a2＝4a﹣2≤1， 解得：a， ∴a； ∴当点M（m，n1）在W2图象上，点M'（m+1，n2）在W1图象上，且满足“域差值”t≤1时，a； 综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，a的取值范围为a． 12．（2025•沭阳县校级模拟）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是　80　 千米/时，乙车行驶的时间t＝　6　 小时； （2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式； （3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米． 【分析】（1）结合题意，利用速度＝路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间； （2）找到甲车到达C地和返回A地时x与y的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式； （3）甲、乙两车相距80千米有两种情况： ①相向而行：相等关系为“甲车行驶路程+乙车行驶路程+甲乙间距离＝480”， ②同向而行：相等关系为“甲车距它出发地的路程+乙车路程﹣甲乙间距离＝480” ②甲乙相遇之后，甲返回之前：“甲车行驶路程+乙车行驶路程﹣甲乙间距离＝480” 分别根据相等关系列方程可求解． 【解答】解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米， ∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t＝480÷80＝6（小时）； （2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时， ∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地， ∴结合函数图象可知，当x时，y＝300；当x＝5时，y＝0； 设甲车从C地按原路原速返回A地时，即x≤5， 甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝kx+b， 将函数关系式得：， 解得：， 故甲车从C地按原路原速返回A地时， 甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝﹣120x+600； （3）由题意可知甲车的速度为：120（千米/时）， 设甲车出发m小时两车相距80千米，有以下三种情况： ①120m+80（m+1）+80＝480， 解得：m； ②120m+80m＝480， 解得：m＝2.4； ③600﹣120m+80m＝480， 解得m＝3； ∴甲车出发小时或2.4小时或3两车相距80千米． 故答案为：（1）80，6． 13．（2025•梁溪区一模）【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象记作直线l，l与x轴的夹角为α． （1）若α＝30°，则k＝　　 ； （2）当k＞0时，求证：tanα＝k． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇A利用被动声呐发现敌方潜艇B正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇A测得潜艇B在其北偏东69°方向，2点05分，测得潜艇B在其北偏东60°方向，经过解算，潜艇B将在2点10分航行至潜艇A的北偏东56°方向． 请利用以上信息，以我方潜艇A为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇B的航线图象的函数表达式．[参考数据：] 【分析】（1）在l任取一点A，设参，求出A（坐标，进而求解即可； （2）k＞0时，在直线l上取点P（x，kx），过点P作PH⊥x轴于点H，则OH＝|x|，PH＝k|x|，在Rt△POH中，求tanα即可得证； （3）根据题意建立坐标系，利用（2）中结论得到解析式，进而求解即可． 【解答】（1）解：如图，在l上任取一点A，过A作AB⊥x轴于点B， 设AB＝a， ∵α＝30°， ∴OBa， ∴A（a，a）， 将点A代入y＝kx得，aax， 解得k， 故答案为：； （2）证明：如图，在 y＝kx上任取一点P，过点P做 PH⊥x轴， 设P（x，kx）， ∵k＞0， ∴OH＝|x|，PH＝k|x|， ∴在 Rt△OPH 中，； （3）解：如图，以A为坐标原点，以正东方向为x轴正方向，以正北方向为y轴正方向，建立坐标系， 由（2）知y1x，y2x，y3x， 根据题意，可设， ∴， 把，，代入， 解得5m＝3n， 令m＝3k，n＝5k， ∵， ∴， 把m＝3k，n＝5k代入解得：． ∴，， ∴航线图象（直线MN）的函数表达式为． 14．（2025•如皋市校级模拟）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元． 求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案，直接写出进货方案即可． 【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元，然后根据利润3500元和4500元列出方程组，然后求解即可； （2）设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出t的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． （3）由销售B型电脑的利润不低于10000元，可解得x≤40，即得26x≤40，而y＝（m﹣50）x+20000，分3种情况：①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，可得商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，可得商店购进A型电脑数量满足26x≤40的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜100时，y随x的增大而增大，可得商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【解答】解：（1）设每台A型电脑的销售利润是t元，每台B型电脑的销售利润是n元， 根据题意得：， 解得， 答：每台A型电脑的销售利润是200元，每台B型电脑的销售利润是250元； （2）设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元， 据题意得：y＝200x+250（80﹣x）， 即y＝﹣50x+20000， ∵80﹣x≤2x， 解得x≥26， ∵y＝﹣50x+20000， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝27时，y取最大值，则80﹣x＝53， 答：商店购进27台A型电脑和53台B型电脑，才能使销售总利润最大； （3）∵销售B型电脑的利润不低于10000元， ∴250（80﹣x）≥10000， 解得x≤40， ∴26x≤40， 根据题意得：y＝（200+m）t+250（80﹣x）＝（m﹣50）x+20000， ①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x＝27时，y取最大值， 即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大． ②m＝50时，m﹣50＝0，y＝20000， 即商店购进A型电脑数量满足26x≤40的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝40时，y取得最大值． 即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大， 答：当0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26x≤40的整数时，均获得最大利润；当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 15．（2025•启东市二模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60． （1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是 　1200元　 ． 【答案】（1）y1x+60（0＜x≤120）； （2）若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元； （3）1200元． 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）先求出m＝90时，y2与x之间的函数关系式，再根据：总利润＝销售量×（售价﹣成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况； （3）用含m的式子表示出y2与x之间的函数关系式，根据：总利润＝销售量×（售价﹣成本）列出函数关系式，再结合60＜m≤70判断其最值情况． 【解答】解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1， 根据题意，得：， 解得：， ∴y1与x之间的函数关系式为y1x+60（0＜x≤120）； （2）若m＝90，设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x+90， 根据题意，得：50＝120k2+90， 解得：k2， 这个函数的表达式为：y2x+90（0＜x≤120）， 设产量为xkg时，获得的利润为W元，根据题意，得： W＝x[（x+90）﹣（x+60）] x2+30x （x﹣90）2+1350， ∴当x＝90时，W取得最大值，最大值为1350， 答：若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元； （3）设y＝k2x+m，由题意得：120k2+m＝50，解得：k2， 这个函数的表达式为：yx+m， W＝x[（x+m）﹣（x+60）] x2+（m﹣60）x， ∵60＜m≤70， ∴a0，b＝m﹣60＞0， ∴0，即该抛物线对称轴在y轴左侧， ∴当0＜x≤120时，w'随x的增大而增大， ∴当x＝120时，w'的值最大，w'max＝1200元． ∴60＜m＜70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大，最大利润为1200元． 故答案为：1200元． 16．（2025•南京一模）如何设置挡板？ 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ 　2　 ． 【数学思考】 （2）如图③，若，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值． 【问题解决】 （3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值； （Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值． 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把P（0，3）代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PG⊥OA于G，解直角三角形求出PG＝2，OG＝2，则P（﹣2，2），当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为y1，当粒子的轨迹与OP相切（有唯一交点）时，函数图象为y2刚好落在B1处，此时由于OP遮挡，粒子无法落到BB1上，类似（1）可求B（2，0），设B1（n，0），抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线OP解析式为y＝﹣x，联立方程组，化简得x2+（1﹣n）x﹣3n＝0根据直线OP与y2的图象有唯一的交点，可得出Δ＝（1﹣n）2﹣4（﹣3n）＝0，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当OP与y1在点O处相切时，∠AOP 最小，此时，设直线OP解析式为y＝kx，联立方程组，化简得x2+（3+2k）x＝0，根据直线OP与y1的图象有唯一的交点，可得出Δ＝（3+2k）2＝0，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PH⊥OA于H，根据正切的定义可求出PH＝OH•tanα，设OH＝p，则PH＝xtanp，则P（﹣p，ptanα），类似（1）求出y2的解析式为，把P（﹣p，ptanα） 代入求出，根据勾股定理得出OP2＝p2+（ptanα）2，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则OB＝m， ∴B（0，m）， ∵OA＝3，OP＝3， ∴A（﹣3，0），P（0，3）， 设抛物线解析式为， 把P（0，3）代入，得， 解得m＝2， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PG⊥OA于G， ∵，∠AOP＝45°， ∴PG＝OP•sin 45°＝2，OG＝OP•cos45°＝2， ∴P（﹣2，2）， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为y1， 当粒子的轨迹与OP相切（有唯一交点）时，函数图象为y2，刚好落在B1处，此时由于OP遮挡，粒子无法落到BB1上， 设B（m，0）， ∵y1经过A（﹣3，0）、P（﹣2，2）、B（m，0）， ∴设抛物线解析式为， 把P（﹣2，2）代入，得， 解得m＝2， ∴B（2，0）， 设B1（n，0）， ∵y2经过A（﹣3，0）、B1（n，0）， ∴设抛物线解析式为， 设直线OP解析式为y＝kx，则﹣2k＝2，解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x， 联立方程组， 化简得x2+（1﹣n）x﹣3n＝0， ∵直线OP与y2的图象有唯一的交点， ∴方程x2+（1﹣n）x﹣3n＝0有两个相等的实数根， 即Δ＝（1﹣n）2﹣4（﹣3n）＝0， 解得n＝25或（舍去）， ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当OP与y1在点O处相切时，∠AOP 最小， 此时， 设设直线OP解析式为y＝kx， 联立方程组， 化简得x2+（3+2k）x＝0， 直线OP与y1的图象有唯一的交点， ∴方程x2+（3+2k）x＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（3+2k）2＝0， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PH⊥OA于H， 则， ∴PH＝OH•tanα， 设OH＝p，则PH＝xtanp， ∴P（﹣p，ptanα）， ∵AO＝BO＝3， ∴B（3，0）， ∴y2的解析式为y2（x+3）（x﹣3）x2， ∵点P在y2的图象上， ∴， 又OP2＝p2+（ptanα）2， ∴， ∴当p2＝7时，OP2有最小值为8， ∴OP的最小值为． 17．（2024•高港区三模）背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，′数′说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为3m，则AB＝　3　 m； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用竹竿CD（竹竿可看成线段）模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道； ②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 　45°　 ； ③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用长方形纸板PQMN模拟汽车通过宽均为3m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 　7　 ．（参考数据：1.4，，， 【分析】（1）延长内侧交外侧于点B′，则BB′⊥AB′，由勾股定理可求得AB的长； （2）由图形可知△ACD是等腰直角三角形，进而可得结论； （3）如图3，设AB与MN相交于点G，根据题意得∠ANM＝∠NAG＝45°，易证△AGM≌△AGN，所以GM＝GN，则MN＝2AG＝（64）m，求出MN的估算值即可得出结论； （4）过点A作AA′⊥x轴于点A′，由勾股定理可得OA′＝AA′m，可得A（，），进而可得反比例函数的解析式为y；设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2m，过点P作PP′⊥x轴于点P′，可得PP′＝OP′＝3m，由此可得点P的坐标，进而可求得直线MN的解析式，联立直线MN和反比例函数的解析式，可得M，N的坐标，进而可求出MN的长度，即可得出b的最大整数值． 【解答】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点B′，则BB′⊥AB′， ∴AB′＝BB′＝3m， ∴AB3m， 故答案为：3； （2）由图形可知△ACD是等腰直角三角形，则∠ADC＝45°， 故答案为：45°； （3）解法一：如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°， ∴∠AGN＝∠AGM＝90°， 又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°， ∴△AGM≌△AGN（ASA）， ∴GM＝GN， ∴MN＝2AG， 又∵AB＝3m，NP＝BG＝2m， ∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝（64）m， ∵1.4（m）， ∴64≈4.4（m）， ∴根据实际情况可得：a的最大整数值为4． 解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H， 根据题意得： ∵NPQM为矩形， ∴PQ∥MN， ∴∠IHA＝∠MNA＝45°， 又∵∠MAN＝90°， ∴IH＝2AB＝6m，IQ＝MQ＝2m，PH＝PN＝2m， ∴PQ＝HI﹣IQ﹣PH＝（64）m， ∵1.4（m）， ∴84≈4.4（m）， ∴根据实际情况可得：a的最大整数值为4m． （4）如图4，过点A作AA′⊥x轴于点A′， 由勾股定理可得OA′＝AA′m， ∴A（，）， ∴反比例函数的解析式为y； 设直线AB与MN的交点为P，则BP＝2m， 过点P作PP′⊥x轴于点P′，则OP＝OA+AP＝BP+AP＝AB＝3m， ∴PP′＝OP′＝3m， ∴P（3，3）， ∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+6； 令x+6， 解得x＝3±， ∴M（3，3），N（3，3）， ∴MN2， ∵78， ∴b＝MN的最大整数值为7． 故答案为：7 18．（2025•锡山区校级一模）任意y关于x的函数对于实数m、n（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m到n（含m、n）这段取值范围为该函数的一个“翻倍取值范围”． （1）若一次函数y＝ax+b（a＞0）存在“翻倍取值范围”，求a、b的值； （2）已知二次函数y＝x2+kx+h的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，h＝2，若实数c、d（c＜d）从c到d（含c、d）的取值范围为函数y＝x2+kx+h的“翻倍取值范围”，求c、d的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意和一次函数的性质，可以求得a、b的值； （2）根据题意和二次函数的性质，可以求得c、d的值． 【解答】解：（1）∵a＞0， ∴一次函数 y＝ax+b 中y随x增大而增大， ∵一次函数 y＝ax+b 存在“翻倍取值范围”， ∴当 x＝m 时，y＝2m，当 x＝n 时，y＝2n， 即一次函数 y＝ax+b 的图象过点（m，2m）、（n，2n）， ∴， 解得， ∴a＝2，b＝0； （2）∵h＝ 2， ∴y＝x2+kx+2， ∵两点（s，t）和（u，t）在抛物线上且为对称点，s+u＝4， ∴2， ∴k＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， 当c≥2时，2c＝c2﹣4c+2，2d＝d2﹣4d+2， 解得c＝3±，d＝3±， ∵c＞2，d＞c， ∴不符合题意； 当d≤2时，2d＝c2﹣4c+2，2c＝d2﹣4d+2， 解得c＝1±，d＝1±， ∵d＞c， ∴不符合题意； 当c＜2＜d时，2c＝﹣2， ∴c＝﹣1； 当2d＝d2﹣4d+2时，解得d＝3或3（舍）； 当2d＝c2﹣4c+2时，解得d； 综上所述：c＝﹣1，d＝3或． 19．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　﹣2　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 【分析】（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，即可求解； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2，即可求解；②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2，根据函数的增减性即可求解； （3）当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，即可求解；当t≥1时、t≤﹣2时，同理可解． 【解答】解：（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，则t＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 当k＝t时，g为定值2； ②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 若g随x的增大而增大，则k＞t； （3）由题意得：g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx， 函数g的对称轴为直线x＝t，顶点为（t，2t2﹣3）， 当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，同理可得：当x＝1时，g＝t2+2t﹣4， 当t≥1时，x＝1时，ymax＝t2+2t﹣4＝2，则t＝﹣1（不合题意的值已舍去）； 当t≤﹣2时，当x＝﹣2时，ymax＝t2﹣4t﹣7＝2，则t＝2±（舍去）； 当﹣2＜t＜1时，顶点处取得最大值，即2t2﹣3＝2，则t， 综上，t＝﹣1或． 20．（2025•宿迁校级一模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】例如：函数上的点（2，2），到两个坐标轴的距离相等，我们就称点（2，2），是函数图象的完美点． （1）若点（a+1，﹣2a）是一次函数y＝kx+4（k≠0）第四象限图象的完美点，求k的值； （2）求二次函数y＝x2+x﹣4图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数y＝（x﹣m）2+3m﹣2（m≥0）的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值． 【答案】（1）k＝﹣3； （2）（2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，1）或（﹣1，1）； （3）或1或． 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程，即可求解； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点是二次函数y＝（x﹣m）2+3m﹣2（m≥0）与y＝x的交点；第二种情况，设这个完美点是二次函数y＝（x﹣m）2+3m﹣2（m≥0）与直线y＝﹣x的交点；联立方程组即可求解． 【解答】解：（1）∵点（a+1，﹣2a）是一次函数y＝kx+4（k≠0）第二象限图象的完美点， ∴a+1﹣2a＝0， 解得：a＝1， ∴点（a+1，﹣2a）的坐标为（2，﹣2）， 将（2，﹣2）代入y＝kx+4得： ﹣2＝2k+4， 解得：k＝﹣3； （2）∵完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，即完美点在直线y＝x或直线y＝﹣x上， 分别联立抛物线和上述两个函数表达式得：x＝y＝x2+x﹣4或y＝x2+x﹣4＝﹣x， 解得：x＝2或﹣2或﹣1， 即二次函数y＝x2+x﹣4图象的完美点分别是：（2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，1）或（﹣1，1）； （3）∵二次函数y＝（x﹣m）2+3m﹣2（m≥0）的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，即完美点在直线y＝x或直线y＝﹣x上， ①当y＝x时， 即（x﹣m）2+3m﹣2＝x， 整理得：x2﹣（2m+1）x+m2+3m﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+3m﹣2）＝﹣8m+9≥0， ∴m， ∵m≥0， ∴0≤m， 当x＝m时，y＝x＝m，如图1， 将（m，m）代入y＝（x﹣m）2+3m﹣2， 解得m＝1， 当x＝﹣m时，y＝x＝﹣m，如图2， 将（﹣m，﹣m）代入y＝（x﹣m）2+3m﹣2， 解得m（舍去）或， ∵|x|＝m， 则m或1； ②当y＝﹣x时， 时，如图3，（x﹣m）2+3m﹣2＝﹣x， 整理得x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+3m﹣2）＝﹣16m+9≥0， 则m， ∵m≥0， m， 当x＝m时，y＝﹣x＝﹣m， 将（m，﹣m）代入y＝（x﹣m）2+3m﹣2， 解得m， 当x＝﹣m时，y＝﹣x＝m， 将（﹣m，m）代入y＝（x﹣m）2+3m﹣2， 解得m＝﹣1或， ∵|x|＝m， ∴m， 综上所述m或1或． 43 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的图象与性质综合压轴考点 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中函数的图象与性质压轴考点主要有以下几类：①二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）；②二次函数与系数的关系（每年1~2题，3~5分）；③一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质的综合运用，多出现在新定义题型中（每年1~2题，3~15分）；④函数的平移、旋转和轴对称（每年1~2题，3~15分）；⑤一次函数、反比例函数、二次函数的应用（每年1道，6~10分）考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，难度中等偏上． 预测2026年：函数的图象与性质一直都是中考的重要考点，包括二次函数的对称性、增减性、求最值问题例如2025年常州中考T27；3种函数相结合的新定义问题，例如2024、2025年无锡中考T10，2025年镇江中考T26等；函数的的应用，基本上每个市必考题型；所以对于以上考点需要熟练掌握。 考向01 二次函数图象与性质 题型1 二次函数对称性 1、对于二次函数的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标：（- ）` 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 4、在二次函数的图象上，若,那么A、B两点对称，抛物线的对称轴为，也可以反过来利用对称性求点的坐标。 1．（2023•工业园区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 题型2 求函数范围或最值问题 1、 根据点到对称轴的距离比较函数值大小 是二次函数图象上的两点，对称轴为 ①当a＞0时，若，则 点到对称轴的距离越远，函数值越大；距离越近，函数值越小； ②当a＜0时，若，则 点到对称轴的距离越近，函数值越大；距离越远，函数值越小； 2、 定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间分析思路相同，都可以将对称轴当做定值，分类讨论区间与对称轴的关系 3．（2024•惠山区校级一模）当﹣3≤x≤2时，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax﹣7a+12的图象在x轴上方，则a的取值范围为 　 　 ． 4.（2025•淮安）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 5．（2025•兴化市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣x2﹣2ax+3（a≠0）． （1）若函数的图象经过点（1，4），并与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的表达式； ②若点D在该二次函数图象上，且D在直线BC上方，当△BCD的面积最大时，试求出点D到直线BC的距离； （2）点M（x1，y1），N（3a，y2）是二次函数图象上两点，当1≤x1≤3时，始终有y1＜y2，求a的取值范围． 6．（2025•靖江市校级三模）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）． （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围． （3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围． 7．（2025•江阴市一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0，c＞0）的图象顶点C的坐标是． （1）若c＝5，求二次函数表达式； （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两个不同的点，若x1+x2＞c，请判断y1，y2的大小关系，并说明理由； （3）等腰直角△BOD的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若S△BOD＝8，直接写出a的值． 考向02 函数的性质综合 题型3 函数的性质综合 1. 一次函数：,当 2. 反比例函数： ,当； 3. 二次函数：性质如上。 8．（2025•南京）（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 9．（2025•靖江市一模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的横坐标分别为m﹣1，m+a（m，a为常数，a＞﹣1），且在抛物线y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m﹣2am+1上，抛物线顶点记为C． （1）对称轴方程为x＝ 　 ；（用含m的代数式表示） （2）过A作x轴的平行线交该抛物线于点A′，若S△ACA′＝2S△ABA′，求a的值； 10．（2025•苏州二模）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若C（1，6），求三角形ABD的面积． （3）在（2）的条件下，设y＝2x﹣2和y交于E（a，b）和F（c，d）两点，请直接写出（a﹣1）（b+2）的值为　 　 ． 题型4 函数的平移、旋转和翻折 1. 平移：函数平移规律相同，左加右减自变量，上加下减常数项，一次函数平移k相等，二次函数平移a相等； 2. 二次函数的对称变换 11．（2025•宿城区校级一模）已知抛物线y＝﹣x2﹣（3m﹣1）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，设点P的坐标为（n，nk+3），当n变化时，是否存在常数k，使得△PAD的面积始终为定值，若存在，求出k的值及△PAD面积的定值；若不存在，请说明理由． （3）若将该抛物线在﹣5≤x≤0间的部分记为图象M，并将图象M在直线y＝t（﹣12≤t≤3）上方的部分沿着直线y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤9．求t的取值范围． 12．（2025•海陵区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上， （1）当x0＝1，p＝q时， ①求b的值； ②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y＝x2﹣8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由． （2）当b＜﹣2时，若对于，都有p＞q，求b的取值范围． 13．（2024•宝应县三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　　 ；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 考向03 函数的应用 题型5 函数在生活中的应用 1.利润问题 2.一次函数的行程问题 ①审题/审图，提取关键信息 文字题：圈画出发时间、出发地点、速度、方向（同向/相向/背向）、总路程 图象题：标注横轴/纵轴单位、关键点坐标（起点、拐点、交点、终点），明确每个点的“时间+路程”含义 避坑：不同时出发的，以晚出发者时间为，早出发者时间记为（为提前时间） ②列写各物体的一次函数解析式 设运动时间为，路程为，结合速度、初始路程列解析式；未知参数（速度、初始距离）代入图象定点求解。 ③结合行程模型，列方程/不等式求解 设两物体路程解析式为、，对应场景列关系式： ④验证+作答 检查结果是否符合实际（时间非负、路程不超总路程、无矛盾状态），规范书写答案，标注单位。 14．（2025•江宁区校级模拟）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A1的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于p1，p2，p3大小关系的表述中，正确的是（　　） A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p3＞p1＞p2 D．p3＞p2＞p1 15．（2025•鼓楼区校级模拟）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）图中t＝　　 min． （2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍， ①则甲登山的上升速度是 　　 m/min； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式； ③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值． 16．（2025•梁溪区三模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　　 ． 17．（2025•盐城一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 18．（2025•海州区二模）某服装店销售A、B两种服装，它们的进价和售价如表，若老板进A种服装20套和B种服装30套，则需资金18000元；若老板进A种服装30套和B种服装40套，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 480 660 （1）求A、B两种衣服每套的进价； （2）若老板用不超过36000元的资金进A、B两种服装共100套，则老板按售价卖出这100套服装的最大利润是多少？ （3）根据市场情况，老板在11月份按售价可卖A种服装14套．假设老板按售价每套A种服装每降价10元，就可多卖出一套A种服装，请问当售价定为多少时，老板在11月份卖A种服装获得的利润最大． 19.（2024•海陵区校级三模） 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【设计杆秤】 设定m0＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 题型6 函数的新定义问题 挖掘新定义考察的知识点。 20．（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1； ③若1是函数y1＝kx+3与函数y2的“对偶值”，则k＝2； ④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 21．（2025•镇江）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点． （1）二次函数的图象如图所示． ①在t的不同取值5中，使该函数图象有T～6生长点的t的值是 　 ； ②已知P（m，n）是该函数图象的T～6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由． （2）二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，求该函数的表达式． （建议用时：120分钟） 1．（2025•天宁区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax+3（a＜0）的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），顶点为C． （1）若x1＝﹣3， ①求a，x2的值； ②D为线段AB上一点，过点D作AC的平行线交抛物线于点E，若点E在x轴上方，且，求E的坐标． （2）若4＜x2﹣x1＜6，直接写出a的取值范围． 2．（2024•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上． （1）当n取最小值时，a＝　　 ． （2）用含m的代数式表示a． （3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 3．（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 4．（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为　　 ； （2）当2≤h≤4时，求证：； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是　 ． 5．（2025•丹阳市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点C，与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点（m﹣2，y1）、（m﹣1，y2）、（m+1，y3）在抛物线上，且满足y1＞y2＞y3，求m的取值范围； （3）当2n﹣1≤x≤2n+1时，函数的最大值记为s，函数的最小值记为t，当s﹣t＝4时，直接写出n的值　　 ． 6．（2025•东海县模拟）已知二次函数y1＝x2+（b﹣2）x． （1）①该二次函数图象的顶点坐标为　　 （用含有字母b的代数式表示）； ②求证：该二次函数图象的顶点不在第三象限； （2）当m≤x≤2时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，y1的最大值与最小值的差为5，求m的值； （3）已知一次函数y2x+1，若当0≤x≤2时，总有y2＞y1，请直接写出b的取值范围． 7．（2025•无锡二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）． （1）二次函数的顶点坐标为　　 ； （2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ①求线段AB的长； ②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值． 8．（2025•溧阳市一模）实验操作： 如图是初中物理用伏安法测电阻的简易示意图，该串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为I，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写：m＝ 　　 ，n＝ 　　 ； 探究尝试： （2）根据以上实验，构建出函数y（x≥0），结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数y（x≥0）的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质； 拓展延伸： （3）结合上述函数图象，直接写出不等式的解集． 9．（2025•亭湖区校级二模）学科实践 “科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型… 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　　 个单位，再向上平移　　 个单位得到： ②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 10．（2025•淮安区校级一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． （1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴交于点A（3，0）、B（0，6），把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得OC＝OA，所以点C坐标为　 　 ，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线y＝﹣2x+6上一点（m，﹣2m+6），沿y轴翻折得点（﹣m，﹣2m+6），则x＝﹣m，y＝﹣2m+6，即m＝﹣x，代入y＝﹣2m+6得翻折后所得直线的表达式为　 ． （2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式． （3）下列说法中正确的有　　 （填序号）． ①将一次函数y＝kx的图象沿直线y＝x翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线x＝1翻折所得图象的表达式为；③将二次函数y＝ax2+bx+c的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为y＝ax2﹣bx+c；④将函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象沿直线y＝3翻折得到图象的表达式为y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6． （4）将抛物线y＝2x2+1沿直线y＝x翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），且|n1﹣n2|≤3，求b的取值范围． 11．（2024•淮安模拟）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2． （1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值； （2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2； （3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围． 12．（2025•沭阳县校级模拟）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是　　 千米/时，乙车行驶的时间t＝　　 小时； （2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式； （3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米． 13．（2025•梁溪区一模）【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象记作直线l，l与x轴的夹角为α． （1）若α＝30°，则k＝　　 ； （2）当k＞0时，求证：tanα＝k． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇A利用被动声呐发现敌方潜艇B正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇A测得潜艇B在其北偏东69°方向，2点05分，测得潜艇B在其北偏东60°方向，经过解算，潜艇B将在2点10分航行至潜艇A的北偏东56°方向． 请利用以上信息，以我方潜艇A为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇B的航线图象的函数表达式．[参考数据：] 14．（2025•如皋市校级模拟）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元． 求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案，直接写出进货方案即可． 15．（2025•启东市二模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60． （1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是 　 　 ． 16．（2025•南京一模）如何设置挡板？ 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ 　　 ． 【数学思考】 （2）如图③，若，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值． 【问题解决】 （3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值； （Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值． 17．（2024•高港区三模）背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，′数′说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为3m，则AB＝　3　 m； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用竹竿CD（竹竿可看成线段）模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道； ②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 　 　 ； ③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用长方形纸板PQMN模拟汽车通过宽均为3m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 　　 ．（参考数据：1.4，，， 18．（2025•锡山区校级一模）任意y关于x的函数对于实数m、n（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m到n（含m、n）这段取值范围为该函数的一个“翻倍取值范围”． （1）若一次函数y＝ax+b（a＞0）存在“翻倍取值范围”，求a、b的值； （2）已知二次函数y＝x2+kx+h的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，h＝2，若实数c、d（c＜d）从c到d（含c、d）的取值范围为函数y＝x2+kx+h的“翻倍取值范围”，求c、d的值． 19．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　 　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 20．（2025•宿迁校级一模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】例如：函数上的点（2，2），到两个坐标轴的距离相等，我们就称点（2，2），是函数图象的完美点． （1）若点（a+1，﹣2a）是一次函数y＝kx+4（k≠0）第四象限图象的完美点，求k的值； （2）求二次函数y＝x2+x﹣4图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数y＝（x﹣m）2+3m﹣2（m≥0）的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m的完美点，请直接写出m的值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $