专题01 数与式（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型01 有理数的概念与性质 题型02 科学记数法 题型03 求一个数的平方根、立方根 题型04 代数式的求值 题型05 整式的混合运算 题型06 因式分解 题型07 分式的概念与性质 题型08 二次根式的概念与性质 题型09 实数的混合运算 题型10 分式的化简求值 必备知识 知识1 实数 知识2 整式 知识3 因式分解 知识4 分式 知识5 二次根式 命题预测 命题透视 1.命题形式： 概念型：直接考查相反数、绝对值、科学记数法。 运算型：考查整式运算、幂的运算。 2.命题内容： 绝对高频（5年5考）：科学记数法、幂的运算、绝对值/相反数。这三块是送分题，必须满分。 次高频（3年3考）：实数混合运算、一元二次方程（判别式）、一元一次不等式。需熟练掌握。 中频（2年2考）：分式化简求值、二元一次方程组、规律探究、新定义运算。这些是拉分点，需专项训练。 低频（1年1考）：乘法公式、因式分解、二次根式概念等，虽出现少，但一旦出现往往是新题，不能忽视。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T1：有理数的大小比较 T2：科学记数法T11：绝对值与有理数运算 T1：实数的相关概念 T2：科学记数法 T1：实数的相关概念 T12：科学记数法 T11：平方根、算术平方根、立方根 T1：实数的分类T2：科学记数法T15：实数的运算 T1：实数的相关概念 T2：科学记数法 T11：实数的运算 整式及因式分解 T4：整式的运算 T4：整式的运算 T3：整式的运算 T4：整式的运算 T4：整式的运算 分式 T15：分式化简求值 T11：分式有意义的条件 T15：分式化简求值 二次根式 T12：二次根式的估值 T12：二次根式的估值 命题预测 1. 考情预测 基础性、稳定性：基本概念（相反数、绝对值、科学记数法）和基本运算（幂的运算、实数混合运算）每年必考，题型和难度保持稳定。 计算能力持续强化：近两年明显加强了对分式化简求值、二次根式运算的考查，计算量和细致度要求更高。 创新性渗透：2024年出现平方差公式的规律探究，2025年出现“新定义变换”问题，体现对代数式变形和即时学习能力的考查。 2. 备考建议 1) 基础夯实阶段 概念清：彻底弄清绝对值、相反数、倒数、科学记数法的定义，避免混淆。 幂的运算法则：am⋅an=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn，am÷an=am−n。 实数运算：熟练掌握平方根、立方根，牢记零指数幂、负整数指数幂。 二次根式：最简二次根式、同类二次根式、分母有理化。 2)分式熟练：分式有意义条件（分母≠0）。分式基本性质、约分、通分。 分式混合运算顺序，化简求值（注意代入时使分式有意义）。 题型01有理数的概念与性质 1）忽略0的特殊性0的相反数是0，绝对值是0，没有倒数。0既不是正数也不是负数，但属于整数、有理数。平方等于本身的数：0和1；立方等于本身的数：-1、0、1。 2）绝对值符号处理错误当a<0时，∣a∣=−a∣容易丢掉负号。化简∣a−b∣时，要先判断a−b的正负，不能直接写成a−b或b−a。 3）倒数概念混淆倒数是乘积为1，而不是和或差为0。负数的倒数仍是负数。 4）数轴上的方向:数轴从左到右逐渐增大，但有时题目会给出反向数轴，需仔细读题。 5）分类讨论不全面:涉及绝对值化简时，若未知数取值范围未定，需分情况讨论。 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）的相反数是（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“数的相反数是”是解题的关键． 根据相反数的定义，求-7的相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 3．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 4．（2025·安徽·中考真题）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 题型02科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 4．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 题型03求一个数的平方根、立方根 【易错失分点】1）求√a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根 2）把实际问题抽象成数学问题. 3）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 1．（2015·浙江宁波·中考真题）实数8的立方根是_____． 【答案】2 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 2．（2025·江西·中考真题）化简：________ 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 3．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是___________． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，寻找平方等于4的非负实数即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根， ∵，且2是正数， ∴4的算术平方根是2． 4．（2016·浙江宁波·中考真题）的立方根是___________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 题型04代数式的求值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算. 1．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 2．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 3．（2025·山东威海·中考真题）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 题型05整式的运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可． 【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意； B、，原选项错误，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意； D、，原选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 题型06因式分解 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 以上步骤可以概括为“一 提 二 套 三 检查 ”。 1．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·四川·中考真题）分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 题型07分式的概念与性质 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 2．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 题型08二次根式的概念与性质 1）二次根式：被开方数为非负数； 2）分式：分母不等于0； 3）“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母的取值范围的公共部分. 1．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 2．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 3．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 题型09实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 2．（2025·西藏·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算算术平方根，零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 题型10分式的化简求值 分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 3．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 知识1实数 1. 定义与分类：实数包括有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数之比的数（分数形式），包括整数、有限小数和无限循环小数。无理数是无限不循环小数，如π、√2等。 2. 数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之亦然。实数与数轴上的点一一对应。 3. 相反数、绝对值、倒数： · 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 · 绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离。非负性是其核心性质。 · 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 4. 科学记数法：把一个数表示为a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|<10，n为整数）。 5. 平方根与算术平方根： 5. 平方根：若x²=a，则x是a的平方根。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 5. 算术平方根：正数a的正的平方根，记作√a。0的算术平方根是0。 6. 立方根：若x³=a，则x是a的立方根。任何实数都有且只有一个立方根，符号与原数相同。 7. 实数大小比较与运算：遵循加、减、乘、除、乘方的运算法则，满足交换律、结合律、分配律。运算时需注意运算顺序。 知识2 整式 1. 基本概念： · 单项式：由数字与字母的积组成的代数式。系数、次数是关键。 · 多项式：几个单项式的和。每个单项式称为项，不含字母的项叫常数项。多项式的次数是最高次项的次数。 · 整式：单项式和多项式统称为整式。 2. 整式的加减运算：本质是合并同类项。同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 3. 整式的乘法运算： 3. 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘。 3. 单项式×多项式：用单项式去乘多项式的每一项。 3. 多项式×多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加（即“十字相乘法”的扩展）。 4. 乘法公式（必须熟练掌握）： 4. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 4. 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 知识3 因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。它与整式乘法是互逆变形。 2. 基本方法： · 提公因式法：首先考虑的方法。找出多项式各项的公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）并提取。 · 公式法：利用乘法公式的逆运算进行分解。 · 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b) · 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)² · 十字相乘法（针对二次三项式x²+px+q或ax²+bx+c）：寻找两个数，使其积等于常数项，和等于一次项系数。 3. 一般步骤：一提（公因式）、二套（公式）、三查（是否分解彻底，即每个因式都不能再分解）。 知识4 分式 1. 定义：形如A/B（A、B为整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。 2. 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。是通分和约分的依据。 3. 约分与最简分式：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为约分。分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 4. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式。关键是确定最简公分母。 5. 分式的运算： · 加减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母后再计算。 · 乘除法：乘法：分子乘分子，分母乘分母；除法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 · 乘方：分子、分母分别乘方。 6. 分式方程：分母中含有未知数的方程。解法：①去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）；②解整式方程；③检验（将解代入最简公分母，使公分母为0的根是增根，必须舍去）。 知识5 二次根式的运算 1. 定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。被开方数必须是非负数。 2. 双重非负性：√a ≥ 0，且 a ≥ 0。 3. 最简二次根式：满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就是同类二次根式。 5. 性质： · (√a)² = a (a≥0) · √(a²) = |a| = a (a≥0)， -a (a<0) · √(ab) = √a × √b (a≥0, b≥0) · √(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0) 6. 运算： 6. 加减法：先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 6. 乘除法：运用性质√a × √b = √(ab)， √a / √b = √(a/b) 进行计算，结果化为最简。 6. 分母有理化：把分母中的根号化去。常用方法是分子分母同乘分母的有理化因式。 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·二模）的相反数是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．先化简绝对值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得． 【详解】解：，4的相反数是， 即的相反数是， 故选：A． 2．（2025·安徽合肥·二模）2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法的表示较大的数．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此确定a和n的值即可解答． 【详解】解：万． 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义，掌握“若两个数的乘积为，则这两个数互为倒数”是解题的关键． 根据倒数定义，用除以这个数即可求出其倒数． 【详解】解：∵ 倒数定义为的倒数为， ∴的倒数为． 故选：C． 4．（2025·安徽·模拟预测）下列各数中，比小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小的比较，根据实数大小的比较方法，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 5．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，积的乘方，合并同类项，单项式乘单项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由得，即 ；由得，结合条件，可得；，则，由已知可判断，则，题目可解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ， ∴； ， ， 由可知， 则， 又， 故， ； 综上， 且 ． 故选： A． 7．（2025·安徽滁州·三模）已知x，y是实数，且满足，若，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式进行配方成为解题的关键． 用完全平方公式将已知方程变形成，再根据非负数的性质确定x和y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：原方程变形为：， 对x和y分别配方： ， ∵， ∴， ∴， 将代入得：． 故选：A． 8．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意得出，因式分解得出，分类讨论得出或，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴， ∴或 即或，故A，B不正确 ∵ ∴，故C选项不正确，D选项正确 故选：D． 9．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形求值，利用二次函数图象解不等式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由得到，则，再由得到，再结合二次函数的图象解不等式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 10．（23-24七年级上·四川南充·月考）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 二、填空题 11．（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 12．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 13．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 14．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为______ 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 三、解答题 15．（2025·安徽淮南·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的混合运算，二次根式的性质，零次幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先化简绝对值，利用二次根式的性质化简，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式． 16．（2025·安徽·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、乘方进行计算即可． 【详解】解： ． 17．（2025·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，最后将给定的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解、约分等知识，熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19．（2025·安徽合肥·模考）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 20．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 21．（2025·安徽·模拟预测）用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖． 【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推． 【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块； （2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）． 【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？ 【答案】（1）2；（2）；；（3）长砖用了310块 【分析】本题主要考查了图形规律探索，用代数式表示图形规律，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据图形找出规律． （1）根据已知图形找出规律进行解答即可； （2）根据图形找出规律，列出代数式即可； （3）根据健身道的长度列出方程，解方程得出花砖的块数，然后再求出长砖的块数即可． 【详解】解：（1）根据给出的图形可知：若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加2块； （2）∵有1块花砖时，方砖块数为4，有2块花砖时，方砖块数为6， ∴有n块花砖时，方砖块数为， 这条健身道长度为：米． （3）令， 解得：， 当时，， 即长砖用了310块． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型01 有理数的概念与性质 题型02 科学记数法 题型03 求一个数的平方根、立方根 题型04 代数式的求值 题型05 整式的混合运算 题型06 因式分解 题型07 分式的概念与性质 题型08 二次根式的概念与性质 题型09 实数的混合运算 题型10 分式的化简求值 必备知识 知识1 实数 知识2 整式 知识3 因式分解 知识4 分式 知识5 二次根式 命题预测 命题透视 1.命题形式： 概念型：直接考查相反数、绝对值、科学记数法。 运算型：考查整式运算、幂的运算。 2.命题内容： 绝对高频（5年5考）：科学记数法、幂的运算、绝对值/相反数。这三块是送分题，必须满分。 次高频（3年3考）：实数混合运算、一元二次方程（判别式）、一元一次不等式。需熟练掌握。 中频（2年2考）：分式化简求值、二元一次方程组、规律探究、新定义运算。这些是拉分点，需专项训练。 低频（1年1考）：乘法公式、因式分解、二次根式概念等，虽出现少，但一旦出现往往是新题，不能忽视。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T1：有理数的大小比较 T2：科学记数法T11：绝对值与有理数运算 T1：实数的相关概念 T2：科学记数法 T1：实数的相关概念 T12：科学记数法 T11：平方根、算术平方根、立方根 T1：实数的分类T2：科学记数法T15：实数的运算 T1：实数的相关概念 T2：科学记数法 T11：实数的运算 整式及因式分解 T4：整式的运算 T4：整式的运算 T3：整式的运算 T4：整式的运算 T4：整式的运算 分式 T15：分式化简求值 T11：分式有意义的条件 T15：分式化简求值 二次根式 T12：二次根式的估值 T12：二次根式的估值 命题预测 1. 考情预测 基础性、稳定性：基本概念（相反数、绝对值、科学记数法）和基本运算（幂的运算、实数混合运算）每年必考，题型和难度保持稳定。 计算能力持续强化：近两年明显加强了对分式化简求值、二次根式运算的考查，计算量和细致度要求更高。 创新性渗透：2024年出现平方差公式的规律探究，2025年出现“新定义变换”问题，体现对代数式变形和即时学习能力的考查。 2. 备考建议 1) 基础夯实阶段 概念清：彻底弄清绝对值、相反数、倒数、科学记数法的定义，避免混淆。 幂的运算法则：am⋅an=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn，am÷an=am−n。 实数运算：熟练掌握平方根、立方根，牢记零指数幂、负整数指数幂。 二次根式：最简二次根式、同类二次根式、分母有理化。 2)分式熟练：分式有意义条件（分母≠0）。分式基本性质、约分、通分。 分式混合运算顺序，化简求值（注意代入时使分式有意义）。 题型01有理数的概念与性质 1）忽略0的特殊性0的相反数是0，绝对值是0，没有倒数。0既不是正数也不是负数，但属于整数、有理数。平方等于本身的数：0和1；立方等于本身的数：-1、0、1。 2）绝对值符号处理错误当a<0时，∣a∣=−a∣容易丢掉负号。化简∣a−b∣时，要先判断a−b的正负，不能直接写成a−b或b−a。 3）倒数概念混淆倒数是乘积为1，而不是和或差为0。负数的倒数仍是负数。 4）数轴上的方向:数轴从左到右逐渐增大，但有时题目会给出反向数轴，需仔细读题。 5）分类讨论不全面:涉及绝对值化简时，若未知数取值范围未定，需分情况讨论。 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）的相反数是（   ） A． B．7 C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 4．（2025·安徽·中考真题）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 题型02科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型03求一个数的平方根、立方根 【易错失分点】1）求√a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根 2）把实际问题抽象成数学问题. 3）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 1．（2015·浙江宁波·中考真题）实数8的立方根是_____． 2．（2025·江西·中考真题）化简：________ 3．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是___________． 4．（2016·浙江宁波·中考真题）的立方根是___________． 题型04代数式的求值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算. 1．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为_______． 3．（2025·山东威海·中考真题）若，则___________． 4．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 题型05整式的运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型06因式分解 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 以上步骤可以概括为“一 提 二 套 三 检查 ”。 1．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式：______． 2．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 3．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解：__________． 4．（2025·四川·中考真题）分解因式：_________． 题型07分式的概念与性质 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 2．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 4．（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是______． 题型08二次根式的概念与性质 1）二次根式：被开方数为非负数； 2）分式：分母不等于0； 3）“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母的取值范围的公共部分. 1．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 4．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 题型09实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 2．（2025·西藏·中考真题）计算：． 3．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 题型10分式的化简求值 分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 3．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 4．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 知识1实数 1. 定义与分类：实数包括有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数之比的数（分数形式），包括整数、有限小数和无限循环小数。无理数是无限不循环小数，如π、√2等。 2. 数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之亦然。实数与数轴上的点一一对应。 3. 相反数、绝对值、倒数： · 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 · 绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离。非负性是其核心性质。 · 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 4. 科学记数法：把一个数表示为a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|<10，n为整数）。 5. 平方根与算术平方根： 5. 平方根：若x²=a，则x是a的平方根。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 5. 算术平方根：正数a的正的平方根，记作√a。0的算术平方根是0。 6. 立方根：若x³=a，则x是a的立方根。任何实数都有且只有一个立方根，符号与原数相同。 7. 实数大小比较与运算：遵循加、减、乘、除、乘方的运算法则，满足交换律、结合律、分配律。运算时需注意运算顺序。 知识2 整式 1. 基本概念： · 单项式：由数字与字母的积组成的代数式。系数、次数是关键。 · 多项式：几个单项式的和。每个单项式称为项，不含字母的项叫常数项。多项式的次数是最高次项的次数。 · 整式：单项式和多项式统称为整式。 2. 整式的加减运算：本质是合并同类项。同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 3. 整式的乘法运算： 3. 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘。 3. 单项式×多项式：用单项式去乘多项式的每一项。 3. 多项式×多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加（即“十字相乘法”的扩展）。 4. 乘法公式（必须熟练掌握）： 4. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 4. 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 知识3 因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。它与整式乘法是互逆变形。 2. 基本方法： · 提公因式法：首先考虑的方法。找出多项式各项的公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）并提取。 · 公式法：利用乘法公式的逆运算进行分解。 · 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b) · 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)² · 十字相乘法（针对二次三项式x²+px+q或ax²+bx+c）：寻找两个数，使其积等于常数项，和等于一次项系数。 3. 一般步骤：一提（公因式）、二套（公式）、三查（是否分解彻底，即每个因式都不能再分解）。 知识4 分式 1. 定义：形如A/B（A、B为整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。 2. 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。是通分和约分的依据。 3. 约分与最简分式：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为约分。分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 4. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式。关键是确定最简公分母。 5. 分式的运算： · 加减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母后再计算。 · 乘除法：乘法：分子乘分子，分母乘分母；除法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 · 乘方：分子、分母分别乘方。 6. 分式方程：分母中含有未知数的方程。解法：①去分母（方程两边同乘最简公分母，化为整式方程）；②解整式方程；③检验（将解代入最简公分母，使公分母为0的根是增根，必须舍去）。 知识5 二次根式的运算 1. 定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。被开方数必须是非负数。 2. 双重非负性：√a ≥ 0，且 a ≥ 0。 3. 最简二次根式：满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就是同类二次根式。 5. 性质： · (√a)² = a (a≥0) · √(a²) = |a| = a (a≥0)， -a (a<0) · √(ab) = √a × √b (a≥0, b≥0) · √(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0) 6. 运算： 6. 加减法：先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 6. 乘除法：运用性质√a × √b = √(ab)， √a / √b = √(a/b) 进行计算，结果化为最简。 6. 分母有理化：把分母中的根号化去。常用方法是分子分母同乘分母的有理化因式。 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·二模）的相反数是（   ） A． B．4 C． D． 2．（2025·安徽合肥·二模）2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·一模）的倒数是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）下列各数中，比小的是（    ） A． B． C． D．0 5．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（2025·安徽滁州·三模）已知x，y是实数，且满足，若，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 9．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·四川南充·月考）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 12．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 13．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为_____． 14．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为______ 三、解答题 15．（2025·安徽淮南·一模）计算：． 16．（2025·安徽·一模）计算：． 17．（2025·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 18．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 19．（2025·安徽合肥·模考）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 20．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 21．（2025·安徽·模拟预测）用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖． 【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推． 【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块； （2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）． 【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $