专题3.分式及其运算 讲义 2026年中考数学一轮复习

专题3. 分式及其运算 知识点总纲 1、 分式的概念 如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。分式A/B中，A叫分子、B叫分母。 分式需满足的三个条件： (1) 形如A/B的式子 (2) A、B都是整式 (3) 分母B中含有字母 如：，， 注意：分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线具有括号作用。 2、 分式有意义、无意义的条件 分式有意义的条件：分式的分母不等于0。 分式无意义的条件：分式的分母等于0。 注意： 1 分式有无意义与分母有关，与分子无关。 2 分母不为0。 3、 分式值为0的条件 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式值为0。 真题实战 1. （2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（） A.x>0　B.x≠1　C.x≥0且x≠1　D.x>1 2. （2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（） A.1　B.0　C.-1　D.-3 3. （2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是______。 4. （2025·云南·中考真题）函数的自变量x的取值范围为（） A.x≠4　B.x≠3　C.x≠2　D.x≠1 5. （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______。 6. （2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是______。 7. （2025·黑龙江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是______。 8. （2025·广西·中考真题）写出一个使分式有意义的x的值，可以是______。 4、 分式的基本性质 性质类别 具体内容 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或者除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用字母表示为：，（其中a、b、c是整式，且，） 分式的符号法则 分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。即：， 真题实战 1. （2023·广东）下列变形中，属于利用分式基本性质的是 A.... 2. （2022·湖南长沙）下列等式正确的是 A. B. C. D. 3. （2023·四川成都）与分式 相等的是 A.... 4. （2021·浙江宁波）下列分式中，与相等的是 A.... 5. （2022·江苏苏州）下列变形正确的是 A.（） B.（该等式不成立，仅当时偶然成立） C.（） D.（） 6. （2023·山东济南）把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值 A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的二分之一 C. 不变 D. 无法确定 7. （2022·湖北武汉）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值 A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 8. （2023·河南）下列分式约分正确的是 A= B.=0 C.= D.= 9. （2022无锡市三模）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 10. （2022秦皇岛模拟）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 11. （2022铜仁市三模）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 5、 约分 约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 约分的一般方法： 1 当分子分母都是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式。 2 当分子分母都是多项式时，先把多项式因式分解，再找到分子分母的公因式并约去。 6、 通分 定义：根据分式的基本的性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母。 通分的步骤： 1 确定各分式的最简公分母。 2 用这个最简公分母÷各分式的分母。 3 用所得的商去乘原各分式的分子、分母。 例题：通分 （1），， 解：∵最简公分母是2ab ∴， ， 第二节—分式的运算 类别 法则 式子表示 分式的乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式的除法 分式÷分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方。（其中n是正整数且b≠0） 分式的加减（同分母） 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。 分式的加减（异分母） 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减。 7、 分式的混合运算 分式的加、减、乘、除及乘方的混合运算顺序一般与分数的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的。在运算过程中要注意正确运用运算法则，灵活运用运算律，使运算尽量简便。 真题实战 1. （2023·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（） A.√3+2√3=2√6　B.(-a²)³=a⁶ C.=　D.= 2. （2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（） A.1　B. C. D. 3. （2023·河南·中考真题）化简的结果是（） A.0　B.1　C.a　D.a-2 4. （2023·天津·中考真题）计算的结果等于（） A.-1　B.x-1　C.1/(x+1)　D.1/(x²-1) 5. （2023·黑龙江绥化·中考真题）化简：=______。 6. （2023·上海·中考真题）化简：的结果为______。 7. （2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（） A.b³+b²=b⁵　B.(-2b²)³=-6b⁶　C.=b　D.(-b)³÷(-b²)=b 8. （2025·内蒙古·中考真题）计算： (1) |-5|+√4+(-6)× (2) 9. （2022·陕西·统考中考真题）化简：． 10. （2022·西藏·统考中考真题）计算：． 1． （2023·江苏·统考中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2． （2023·贵州·统考中考真题）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 3． （2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 4． （2022·山东济南·统考中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 5． （2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 6． （2023·福建·统考中考真题）已知，且，则的值为 ． 7． （2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简： ． 8． （2022·山东菏泽·统考中考真题）若，则代数式的值是 ． 9． （2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）化简： ． 10． 已知，则 ． 11． （2022·江苏苏州·统考中考真题）计算：． 12． （2022·内蒙古·中考真题）计算：． 13． （2021·广西梧州·统考中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）． 14． （2023·安徽蚌埠·统考三模）化简：，并给出的值，使得该式的值为0． 15． （2022·福建·统考模拟预测）先化简，再求值：，其中． 16． 如果，那么代数式的值． 17． （2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）先化简，再求值：，其中满足． 18． （2022·陕西·统考中考真题）化简：． 19． （2022·西藏·统考中考真题）计算：． 20． （2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）计算： (1)； (2)． 21． （2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：，其中． 22． （2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 23． （2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 24． （2023·江西·统考中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：    解：原式 …… 解：原式 ……    (1) 甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2) 请选择一种解法，写出完整的解答过程． 25． （2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 26． （2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 27． （2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，． 分式及其运算 真题实战（完整答案+详细解析） 1、 分式的概念、有意义/无意义/值为0条件 真题实战 1. （2023·湖北黄石） 答案：C 解析：函数自变量取值需满足二次根式和分式的双重要求，①二次根式被开方数非负：x≥0；②分式分母不为0：x-1≠0即x≠1。综上，x≥0且x≠1。 2. （2023·浙江湖州） 答案：A 解析：分式值为0的充要条件：分子为0且分母不为0。①分子x-1=0，解得x=1；②验证分母：3×1+1=4≠0，符合条件。故x=1。 3. （2023·黑龙江齐齐哈尔） 答案：x>1且x≠2 解析：需同时满足二次根式、两个分式的要求：①二次根式被开方数非负：x-1≥0；②第一个分式分母不为0：x-1≠0；③第二个分式分母不为0：x-2≠0。联立①②得x>1，结合③得最终范围x>1且x≠2。 4. （2025·云南） 答案：D 解析：分式有意义的唯一条件是分母不为0，即x-1≠0，解得x≠1。 5. （2025·黑龙江齐齐哈尔） 答案：x>3 解析：满足二次根式和分式要求：①二次根式被开方数非负：x-3≥0；②分式分母不为0：x-3≠0。联立得x>3。 6. （2025·黑龙江绥化） 答案：x>-1 解析：分母是二次根式，需满足被开方数为正（根式作分母，不能为0），即x+1>0，解得x>-1。 7. （2025·黑龙江） 答案：x≠-3 解析：分式分母不为0即可，即x+3≠0，解得x≠-3。 8. （2025·广西） 答案：0（答案不唯一，x≠-3均可） 解析：分式有意义需分母x+3≠0，即x≠-3，任取符合条件的数（如0、1、2等）即可。 2、 分式的基本性质 真题实战 1. （2023·广东） 答案：A 解析：分式基本性质：分子分母同乘/除以同一个不为0的整式，分式值不变。 A： 分子分母同除以x（x≠0，否则原式无意义），符合性质； B： 分子分母加1，不符合分式基本性质； C： 仅分母变号，分子不变，分式值改变，不符合； D： 分子分母分别乘方，并非同乘一个整式，不符合。 2. （2022·湖南长沙） 答案：C 解析：逐一验证： A：（如a=1,b=2，左边1/2，右边1/4），错误； 3. B：，符号法则运用错误，错误； C：分子分母同乘(c)（），符合分式基本性质，正确； · D：分子分母加(1)，不符合分式基本性质，错误。 4. （2023·四川成都） 答案：(B) 解析：利用分式符号法则：分子、分母、分式本身，改变任意两个，值不变。 ，直接变形即可得结果。 5. （2021·浙江宁波） 答案：(C) 解析：先对各选项因式分解后约分，再与原式比较： · A：（但需，原式无此限制，不等）； · B：，与原式不符； · C：，无额外限制，与原式相等； · D：，与原式不符。 6. （2022·江苏苏州） 答案：(ACD) 解析：紧扣分式基本性质（同乘/除不为(0)的整式）： · A：分子分母同乘(m)（），符合性质，正确； · B：分子分母加(m)，非乘除运算，不符合性质，错误； · C：分子分母同除以(x)（），符合性质，正确； · D：分子分母同乘(a)（），符合性质，正确（）。 7. （2023·山东济南） 答案：(C) 解析：将(x)、(y)替换为(2x)、(2y)，代入分式化简： ，与原式相等，故值不变。 11. （2022·湖北武汉） 答案：(B) 解析：将(x)、(y)替换为(3x)、(3y)，代入分式化简： ，是原式的(3)倍，故值扩大(3)倍。 8. （2023·河南） 答案：(D) 解析：约分的核心是约去分子分母的公因式，逐一验证： · A：，同底数幂相除法则错误； · B：，分子分母相等（不为(0)），结果为(1)； · C：无法因式分解，无公因式可约，错误； · D：，约去公因式(x + 1)，正确。 9. （2022无锡市三模） 答案：D 解析：要将分式变形为以(x - 2)为分母的形式，需利用符号法则处理分母。因为，所以。根据分式的性质，分母的负号可提至分式前，即，变形过程中需注意符号必须提至分式整体之前，确保分式值的正确性。 10. （2022秦皇岛模拟） 答案：B 解析：对于分式，先对分子和分母分别提取负号。分子，分母，因此原分式可化为。由于分子和分母同时存在负号，根据分式的基本性质，分子分母的负号可以相互抵消，即，此时分式的值保持不变。 11. （2022铜仁市三模） 答案：B 解析：先对分式的分母进行变形，因为，所以原分式可写为。观察分子和分母的符号，分子为(-a)，分母为(-(3a - 2))，此时分子的负号与分母的负号相互抵消，即，变形后分式的符号由负变为正，符合分式的符号法则。 三、分式的运算及混合运算 真题实战 1. （2023·内蒙古） 答案：D 解析：逐一计算各选项： A：，同类二次根式合并错误； B：，幂的乘方符号错误； C：，通分计算错误； D：，除法变乘法（除式倒转），约分正确。 2. （2023·内蒙古赤峰） 答案：D 解析：将(x - 2)通分，化为以(x + 2)为分母的分式，再计算： 。 关键：((x - 2)(x + 2))利用平方差公式展开，消去常数项。 3.（2023·河南） 答案：B 解析：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减： ，分子合并后约分即可。 4.（2023·天津） 答案：C 解析：异分母分式相减，先找最简公分母((x - 1)(x + 1))，再通分计算： 。 5.（2023·黑龙江绥化） 答案： 解析：步骤1：因式分解，找最简公分母 原式，最简公分母为； 步骤2：通分计算括号内的减法 ； 步骤3：展开分子并合并同类项 ，代入得： ； 步骤4：除法变乘法，约去公因式 。 6.（2023·上海） 答案：（(x > 1)）；（(x < 1)） 解析：根据绝对值的定义，分两种情况讨论（，否则原式无意义）： 情况1：(x > 1)时，，则 原式； 情况2：(x < 1)时，，则 原式。 7.（2025·山东威海） 答案：D 解析：逐一验证： A：与不是同类项，不能合并，错误； B：，积的乘方计算错误； C：，繁分式化简错误； D：，同底数幂相除，符号、指数均正确。 8.（2025·内蒙古） 解析： (1) 有理数混合运算，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减： ； (2) 分式乘法，先因式分解，再约去公因式： 。 关键：（平方差），（完全平方）。 9.（2022·陕西） 解析：步骤1：计算括号内的加法，通分合并 原式； 步骤2：因式分解，除法变乘法 ； 步骤3：约去公因式(2a)、(a - 1)，得结果：(a + 1)。 10.（2022·西藏） 解析：步骤1：因式分解，约去分子分母的公因式 原式； 步骤2：同分母分式相减，分子合并后约分 。 关键：先乘除后加减，乘除运算先约分再计算，简化步骤。 四、综合真题模拟·实战 1. （2023·江苏） 答案：B 解析：分式值为0需分子为0且分母不为0： ①分子；②验证分母：，符合条件。故。 2. （2023·贵州） 答案：A 解析：同分母分式相减，分母不变，分子相减： 。 3. （2023·内蒙古赤峰） 答案：D 解析：与本专题“分式的运算”第2题完全一致，步骤如下： 。 4.（2022·山东济南） 答案：D 解析：步骤1：因式分解，约去公因式 原式； 步骤2：代入已知条件 。 关键：先化简代数式，再整体代入，避免直接求(m)、(n)的值。 5.（2023·黑龙江哈尔滨） 答案： 解析：分式有意义的条件是分母不为0，即，解得。 6.（2023·福建） 答案：1 解析：步骤1：对已知条件通分，变形得到(ab)与(a + b)的关系 ，最简公分母(ab)，通分得：，即，整理得； 步骤2：将代入所求代数式 。 7.（2023·黑龙江绥化） 答案： 解析：与本专题“分式的运算”第5题完全一致，详细步骤见该题解析。 8.（2022·山东菏泽） 答案：15 解析：步骤1：化简代数式 原式； 步骤2：因式分解，约去公因式 ； 步骤3：结合已知条件求代数式的值 由，得，代入得结果为15。 9.（2022·辽宁沈阳） 答案：(x - 1) 解析：步骤1：计算括号内的减法，通分合并 原式； 步骤2：因式分解，约去公因式 。 10.（题目缺失，根据解析补充） 答案： 解析：步骤1：对已知条件取倒数，变形得到的值 由，两边取倒数得：，即，整理得； 步骤2：对所求代数式取倒数，变形后代入计算 设，则； 由完全平方公式：，代入得： ，故，即。 11.（2022·江苏苏州） 解析：有理数混合运算，注意零指数幂的性质（任何非0数的0次幂为1）： 。 12.（2022·内蒙古） 解析：综合运算：负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂、立方根，逐一计算： ； ； ； ； 原式。 13.（2021·广西梧州） 解析：步骤1：展开完全平方、单项式乘多项式，约分分式 原式； 步骤2：合并同类项、约分 ； 步骤3：最终合并同类项 。 14.（2023·安徽蚌埠） 解析：第一步：化简代数式 原式； 1 展开分子：； 2 因式分解：； 3 除法变乘法：(\frac{x^2 - 4x}{x - 2} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{ 15.（2022·福建） 步骤1：化简代数式 原式 （将除法转化为乘法，同时对因式分解为((a-1)(a+1))） （分子分母中的(a)和((a+1))约分，得到最简分式） 步骤2：代入求值并分母有理化 将代入，得： 分母有理化（分子分母同乘）： 答案： 解析：步骤1：化简代数式 原式 1 合并括号内分式：（分子合并同类项，，） 2 因式分解：（平方差公式），（平方差公式） 3 除法变乘法并约分：（分子分母中的((m + 1))和((m + 3))约分） 步骤2：结合已知条件求值 由m²-4m-6=0，得m²-4m=6，代入化简结果： 6+3=9。 17.（2023·山东泰安） 解析：第一步：解方程组求a、b的值 解方程组 a+b=5 a-b=1 两式相加得2a=6⇒a=3，代入得b=2。 第二步：化简代数式 当、时， 18.（2022·陕西） 解析：与本专题“分式的运算”第9题完全一致，详细步骤见该题解析，最终结果为a+1。 19.（2022·西藏） 解析：与本专题“分式的运算”第10题完全一致，详细步骤见该题解析，最终结果为1。 20.（2023·重庆九龙坡） 解析： （1） （2） 21.（2023·广东深圳） 当 时： 第22题（2023·四川眉山） 化简过程： 取值分析：要使原式有意义，分母不能为0。在原式中，(x - 1)作为分母，所以，即；作为除数的分母，所以，即且。综上，(x)不能取1、2、-2。选择代入化简后的式子，得。 化简结果为，值为1。 第23题（2023·山东烟台） 化简过程： 取值分析：解不等式，两边同时乘以(2)得，移项可得。正整数解为(1)、(2)、(3)。因为原式分母不能为(0)，当时，，所以排除。当选择代入化简结果，可得；当选择代入时，。 答案：化简结果为，值为(2)（或(0)）。 第24题（2023·江西） (1) 甲同学依据：②分式的基本性质；乙同学依据：③乘法分配律。 (2) 完整解答过程： 答案：(1) 甲：②，乙：③；(2) 化简结果为2x。 第25题（2023·山东枣庄） 化简过程： 取值分析：在不等式中，，所以该不等式的整数解为(0)、(1)、(2)。因为原式中分母不能为(0)，即，所以；同时除数不能为(0)，即，所以。综上，排除、，选择代入化简后的式子，可得。 答案：化简结果为，值为。 第26题（2023·山东滨州） 先解方程： a² - (1/4)^(-1)·a + 6cos60° = 0 a² - 4a + 6×(1/2) = 0 a² - 4a + 3 = 0 (a-1)(a-3) = 0 解得a=1或a=3 化简过程： 取值分析： 不等式组的解集为，其整数解为。当时，原式。 答案：方程的解为或；化简结果为，值为(1)。 取值分析： 分母不能为0，排除a=0、2，选择a=1代入得(1-2)²=1，选择a=3代入得(3-2)²=1。 答案：化简结果为(a-2)²，值为1。整体代入变形式求值，避免单独求字母的值。 第27题（2023·湖北荆州·统考中考真题） 化简过程： 求值： ， 代入得： 答案：化简结果为，值为(2)。 学科网（北京）股份有限公司 $