培优02 全等三角形的八大经典模型（8种题型13重难点突破）（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

培优02 全等三角形的八大经典模型 （8种题型13重难点突破） 题型1 中点的处理方法 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 2.倍长类中线模型 条件：在△ABC中，D是BC的中点 图示： 作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论：， BF=CE且BF∥CE 重难点一 倍长中线模型 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)AD (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，求得，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长至E，使得，连接，证明，可得，再结合三角形三边关系解答即可； （2）延长至F，使得，连接，证明，可得，再由平分，以及三角形外角的性质可得，然后根据，可得，从而得到，继而得到，即可解答； （3）由（2）得：， ，根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，延长至E，使得，连接， ∴． ∵是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ∴ ． ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：延长至F，使得，连接． ∴． ∵ 是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如（2）图， 由（2）得：， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线法证明三角形全等是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 【答案】（1）①B；②（2）27（3） 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质． （1）①由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ②由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （2）延长至，使得，可证得，得，，，可知，得，结合，可证，即可证得，再由 即可求解； （3）①延长交于，证明，得，，可知，再结合，即可证明结论； ②由①可知，则，，结合题意可知，可得垂直平分，进而可得． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； ②解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）①延长交于， ∵， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； ②由①可知，则，， ∵， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 重难点二 倍长类中线模型 5．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得； （2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得； （3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到． 【详解】（1）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）延长到G，使得，连接，如图：    ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）4 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为4． 题型2 截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 重难点一 截长法 1．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 重难点二 补短法 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）截长补短法是一种在几何证明中常用的方法，它通常通过构造辅助线，将一条线段截短或补长，使其与另一条线段相等或具有某种特定关系，从而简化证明过程． (1)例如，如图1，在中，，，，求．此题就可以利用截长补短法．如图2，延长至点，使得，即可求出______． (2)如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； (3)如图，为等腰直角三角形，，点为外一点，连接，，，其中交于点．且，则，，的数量关系为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）求得证明，即可解答； （2）在上取一点，使得，证明，即可解答； （3）在上取一点，使得，证明，即可解答； 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，在上取一点，使得， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，即， ， ， ； （3）解：如图，在上取一点，使得， ，， 为等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 题型3 一线三等角 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 重难点一 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）； （2）成立，证明见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）证，得，即可得出结论； （2）证，得，即可得出结论； （3）过D作于点D，交直线于点F，证明，推出，得出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 【详解】解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 (3)，与的夹角为，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 重难点二 构造一线三垂直模型 4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：：__________；：__________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式． 小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，可求出点的坐标为__________，从而求得直线的表达式为__________． 【答案】(1)，； (2)点的坐标，直线的表达式为． 【分析】（）分别把和代入解答即可求解； （）过点作轴于点，证明，得到，，即可求出点的坐标，设直线的表达式为，把的坐标代入计算即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定和性质，余角性质，等角对等边，待定系数法求一次函数解析式，利用全等三角形的性质求出点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，由得，， ∴点的坐标为； 当时，由得，， ∴点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：，． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 6．（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）    ∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，    则由（1）易得 ， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H，    则由（1）易得， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，若，求点的坐标； (3)点为线段上一点，点为轴正半轴上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）设直线函数表达式为，将，代入，即可解答； （2）设点的坐标为，求出点，，则可推导出，，继而得到，求出a的值，即可解答． （3）分类讨论：①当时，，②当时，，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：设直线函数表达式为 将，代入，得 解得， 直线函数表达式为； （2）设点的坐标为 直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时， ， 或 或 答：点的坐标为或； （3）点为线段上一点，点为轴正半轴上一点， 设点的坐标为，点的坐标为 是以为直角边的等腰直角三角形 ①当时，， 如图，过点作轴于点，过点作于点 ， 点的坐标为． ②当时，， 如图，过点作轴， 过点作于点，过点作于点 ， ， ， ， 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数和几何综合，一元一次方程，等腰直角三角形，全等三角形，掌握知识点是解题的关键． 8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点C的坐标为 ； （2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、B． ①过点B在y轴右侧作，且，连接，则的面积为 ； ②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值是 ； 【模型拓展】 （3）如图5，在中，，，分别以、为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰直角和等腰直角，连接，交的延长线于点，则的长为 ； （4）如图6，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，过点A作x轴的垂线l，点C是直线l上一动点，点D是一次函数图象上的一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，则点D的坐标为______． 【答案】（1）；（2）①2；②2；（3）3；（4） 【分析】（1）过点作于，则，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）①过点作于，则．由全等三角形的性质得，即可求解； ②由三角形的三边关系得，则当、、共线时，，的长最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）过点作于，同理得．由全等三角形的性质得，，再证．即可得； （4）过点作轴于，过点作于，同理得．则，，设，可得，解得，即可得点的坐标． 【详解】解：（1）过点作于， ， 将线段绕点逆时针旋转得线段， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故答案为：； （2）①如图3，过点作于， 一次函数的图象与坐标轴分别交于点、， ， ， 同（1）得， ， ， 故答案为：2； ②如图4，连接， ， 当、、共线时，，的长最小，如图， ，， ， 长的最小值是 2． 故答案为：2； （3）如图5，过点作于， 是等腰直角三角形， ， 同理得， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 故答案为：3； （4）如图6，过点作轴于，过点作于， 同理得． ，， 点是一次函数图象上的一动点， 设， 点坐标为，点坐标为， ，解得， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 题型4 手拉手模型 模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 模型特点：共顶点，等顶角. 常见模型种类： 等腰三角形 手拉手模型 等边三角形 手拉手模型 等腰直角三角形 手拉手模型 正方形 手拉手模型 【小结】 1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右. 2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE. 重难点一 等腰三角形手拉手模型 1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到，即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，再结合图形及全等三角形的判定和性质即可证明； （2）由（1）知且，结合图形及等腰直角三角形的性质求解即可； （3）作，垂直于的延长线于，根据全等三角形的判定得出，，，再由全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：和是顶角相等的等腰三角形 ，，， 即 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知且， 是等腰直角三角形，且， ， ， ； （3）作，垂直于的延长线于， ， ， ，同理， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，，， 设， ， ， ， ， 解得， ． 4．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)，，理由见解析． 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：且， 理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”． 【熟悉模型】 问题1：如图1，已知和均为等腰三角形，，，且，求证：． 【运用模型】 问题2：如图2，P为等边内一点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想并进行证明． 【深化模型】 问题3：如图3，在四边形中，，，，请直接写出线段的长度． 【答案】问题1：见解析；问题2：；证明见解析；问题3： 【分析】问题1：证明，即得； 问题2：将绕点B逆时针旋转到，连接、，证明，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，根据勾股定理得出即可； 问题3：过点C作，取，连接、，证明，根据勾股定理求出，，证明，得出． 【详解】问题1：证明：， ，即， ，， ， ； 问题2：；证明如下： 将绕点B逆时针旋转到，连接、，如图所示： 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 问题3：过点C作，取，连接、，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 重难点二 等边三角形手拉手模型 6．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 【答案】(1)①；② (2)①成立；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质和外角的性质可求解； ②由可证，可得，，即可求解； （2）①由可证，可得，，由面积公式可求，即可求解； ②通过证明和是等边三角形，可得，，，由可证，，可得，，即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②如图，在上截取，连接， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ； （2）①如图，过点A作于F，于G， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 又，， 平分， 故答案为：成立； ②如图，在上截取，在上截取，连接，， ， ， ，， ， ， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ，， ， ， ，， 7．（23-24八年级上·广东珠海·期中）【模型定义】 “手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为　　；线段与之间的数量关系是　　． 【模型应用】 （2）如图2，，，求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点P，则和的数量关系和位置关系是：　　． 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有　　．（选填序号） 【答案】（1）；；（2）见解析；（3），；（4）①②③⑥⑤ 【分析】（1）由条件证明，从而得到：，．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）如图2中，延长到E，使得．首先证明是等边三角形，再证明即可解决问题； （3）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （4）利用证得，可得，故结论①正确．利用证得，可得，故结论③正确．利用等边三角形的性质推出，再运用平行线的判定可得，故结论②正确．没有条件证出，故结论④错误．利用三角形外角性质可得，故结论⑤正确；过点C作于H，于G，根据全等三角形的性质得到⑥正确；由，，，不能说明与全等，，故结论⑦错误． 【详解】（1）解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图中，延长到E，使得． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）且； 理由：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：，； （4）∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，故结论③正确． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故结论②正确． 没有条件证出，故结论④错误． ∵，， ∴，故结论⑤正确． 过点C作于H，于G， ∵， ∴， ∴平分，故⑥正确； ∵，，， ∴不能说明与全等， ∴，故结论⑦错误． 综上所述，正确的结论有①②③⑥⑤， 故答案为：①②③⑥⑤． 【点睛】本题考查等边三角形性质，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 8．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 重难点三 正方形手拉手模型 9．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】（1）利用正方形性质可得、，然后利用即可证明结论； （2）①根据，可得，又因为，，所以四边形是矩形，再证明可得从而证明结论；②如图：作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，然后求出的最小值即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：①证明：如图中，设与相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， 又，   ， ， 矩形是正方形； ②如图∶作交于点，作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ，， 最大时，最小，即点与点重合时，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 故答案为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，寻找并证明全等三角形是解题的关键． 10．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 题型5 半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 正方形外延型半角 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 正方形ABCD，∠EAF=45° 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 在CD上截取DG=BF，连接AG 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE-BF 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    【答案】（1）；（2）22；（3）18 【分析】（1）利用旋转的性质，可得，则可得出答案，证明即可； （2）根据旋转的性质得到，推出三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可； （3）证明和，即可求解． 【详解】解：（1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，   ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 五边形的周长； （3）解：在上截取，   ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，补角的定义等知识点，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（21-22七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)210海里 (4) 【分析】（1）延长到点G，使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）连接，延长、相交于点C，根据题意得到，，，根据图2的结论计算； （4）作，使，连接，，先证明，再证明，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：；理由如下： 如图1，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里． （4）解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 题型6 对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 2.模型引申 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.[来源:学科网ZXXK] 提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF 结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 2.模型引申 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③. 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)为等边三角形，证明见解析 (2)的值是定值， 【分析】（1）如图，作于E，于F，只要证明即可； （2）证明，可得，由，可得，进而可求的值． 【详解】（1）为等边三角形． 证明：如图作于，于． ， ， ， 又， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ． 又，， ， 为等边三角形． （2）的值是定值． 理由：在和中， ， ， ，， 又， ， ． 在中，， ， ，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 题型7 与角平分线有关的热考模型 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+垂直→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE 重难点一 角平分线+垂一边 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图1是一个可调节的平板支架，图2是其结构示意图；已知该平板的宽度为，支架的长度为，此时，若保持的形状不变，当平分时，求点B到的距离（）． 【答案】点到的距离是 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，先运用勾股定理得出，再由等面积法求出，由平分，，则． 【详解】解：过点B分别作，垂足为D，如图所示： ∵该平板的宽度为，支架的长度为，， ∴， ∵， ∵， ∵平分，， ∴，即点到的距离是． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过P作于Q，根据角平分线的性质可得出，根据证明，得出，同理得出，则，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：过P作于Q， ∵平行，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形的面积为． 3．（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）问题提出：已知，在四边形中，对角线平分， ，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 重难点二 角平分线+分垂线 5．（福建省莆田市文献中学2024-2025学年下学期八年级期中考试数学卷）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 8．（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ， ， ； 应用：延长、交于点，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 重难点三 角平分线+截线 9．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 重难点四 角平分线+平行线 11．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图：，点P是角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，于点D，若． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）根据OP平分AOB，可得POB=POA，再由PC//OA，可得POA=OPC，从而得到POB=OPC，即可求证； （2）过点P作PEOB ，垂足为E，由（1）和三角形的外角性质，可得PCE=30°，再根据直角三角形的性质，可得PE=PC=3，然后根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵OP平分AOB， POB=POA， 又∵PC//OA POA=OPC POB=OPC， OC=PC △OPC是等腰三角形； （2）解：过点P作PEOB ，垂足为E， ∵OP平分AOB，AOB=30° POC=AOB=15° 又∵POC=POA=OPC=15° ∴PCE=POC+OPC=15°+15°=30° ∵PEOB PEC=90° PE=PC=×6=3 ∵OP平分AOB，PEOB， PDOA PD=PE=3 即PD=3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识带你，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得与的关系，与的关系，根据平行线的性质可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定可得即可证明结论； （2）同（1）可得，然后根据三角形的周长公式计算即可； （3）根据角平分线的性质和判定证得是的平分线，即可求得． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． （3）解：过点O分别作于M，于N， ∵和的平分线相交于点，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 题型8 婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 2．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可； ②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可； ③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可． 【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD ∵点F为BD中点， ∴DF=BF， 在△DQF和△BAF中， ∴△DQF≌△BAF（SAS）， ∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA， ∴DQ∥BA， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD ∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°， ∴AR=AC=AB=QD，RD=CE， ∵∠CAB=90°， ∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°， ∴R、A、B三点共线， ∵DQ∥BA， ∴∠QDA=∠RAD， 在△DQA和△ARD中， ∴△DQA≌△ARD（SAS）， ∴AQ=DR， ∴2AF=AG=DR=CE， ∴2AF=CE． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 全等三角形的八大经典模型 （8种题型13重难点突破） 题型1 中点的处理方法 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 2.倍长类中线模型 条件：在△ABC中，D是BC的中点 图示： 作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论：， BF=CE且BF∥CE 重难点一 倍长中线模型 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 重难点二 倍长类中线模型 5．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 题型2 截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 重难点一 截长法 1．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】（1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】（2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 重难点二 补短法 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）截长补短法是一种在几何证明中常用的方法，它通常通过构造辅助线，将一条线段截短或补长，使其与另一条线段相等或具有某种特定关系，从而简化证明过程． (1)例如，如图1，在中，，，，求．此题就可以利用截长补短法．如图2，延长至点，使得，即可求出______． (2)如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； (3)如图，为等腰直角三角形，，点为外一点，连接，，，其中交于点．且，则，，的数量关系为______． 5．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 题型3 一线三等角 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 重难点一 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 重难点二 构造一线三垂直模型 4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：：__________；：__________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式． 小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，可求出点的坐标为__________，从而求得直线的表达式为__________． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 6．（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，若，求点的坐标； (3)点为线段上一点，点为轴正半轴上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点C的坐标为 ； （2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、B． ①过点B在y轴右侧作，且，连接，则的面积为 ； ②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值是 ； 【模型拓展】 （3）如图5，在中，，，分别以、为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰直角和等腰直角，连接，交的延长线于点，则的长为 ； （4）如图6，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，过点A作x轴的垂线l，点C是直线l上一动点，点D是一次函数图象上的一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，则点D的坐标为______． 题型4 手拉手模型 模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 模型特点：共顶点，等顶角. 常见模型种类： 等腰三角形 手拉手模型 等边三角形 手拉手模型 等腰直角三角形 手拉手模型 正方形 手拉手模型 【小结】 1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右. 2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE. 重难点一 等腰三角形手拉手模型 1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长．   3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 4．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”． 【熟悉模型】 问题1：如图1，已知和均为等腰三角形，，，且，求证：． 【运用模型】 问题2：如图2，P为等边内一点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想并进行证明． 【深化模型】 问题3：如图3，在四边形中，，，，请直接写出线段的长度． 重难点二 等边三角形手拉手模型 6．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 7．（23-24八年级上·广东珠海·期中）【模型定义】 “手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为　　；线段与之间的数量关系是　　． 【模型应用】 （2）如图2，，，求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点P，则和的数量关系和位置关系是：　　． 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有　　．（选填序号） 8．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 重难点三 正方形手拉手模型 9．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ． 10．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 题型5 半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    3．（21-22七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 4．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 题型6 对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 2.模型引申 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.[来源:学科网ZXXK] 提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF 结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 2.模型引申 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③. 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 题型7 与角平分线有关的热考模型 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+垂直→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE 重难点一 角平分线+垂一边 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图1是一个可调节的平板支架，图2是其结构示意图；已知该平板的宽度为，支架的长度为，此时，若保持的形状不变，当平分时，求点B到的距离（）． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，平行，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，，求四边形的面积？ 3．（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，平分，于点，．求证：． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）问题提出：已知，在四边形中，对角线平分， ，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 重难点二 角平分线+分垂线 5．（福建省莆田市文献中学2024-2025学年下学期八年级期中考试数学卷）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 6．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 8．（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    重难点三 角平分线+截线 9．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数．   ∵平分， 10．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 重难点四 角平分线+平行线 11．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图：，点P是角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，于点D，若． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的长． 12．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． (3)如图2，过点作于点，连接，当，求的度数． 题型8 婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 2．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $