培优01 全等三角形的性质与判定（4种题型13重难点突破）（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

培优06 全等三角形的性质与判定 （4种题型13重难点突破） 题型1 选用合适的方法证明全等 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 常见的全等三角形模型（基础） 重难点一 选用合适的方法证明全等（一次全等） 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，且，过点M作交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键．先由得，再用证出，进而即可得证． 【详解】证明： 平行于， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 2．（2025·陕西渭南·三模）如图，已知，点是线段的中点，且，，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．由点是线段的中点，得，由，得，则，而，，即可根据证明，得． 【详解】证明：点是线段的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的两底角相等及三线合一性质得到，，再证明，得到，即得答案； （2）设，根据等腰三角形的两底角相等，可得，，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 4．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，得； （2）证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵，点D是的中点， ∴． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在中，E、F分别是和上的点，，M，N分别是和的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，，因为，，所以，由，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）由得， ，， ，N分别是和的中点， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理． （1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等即可证明结论； （2）根据证明即可得出，代入数据可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴． 重难点二 选用合适的方法证明全等（二次全等） 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，进而利用三角形的内角和定理可求解； （2）延长，交点，先证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 10．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 【答案】（1）平行四边形；理由见解析；（2）①，；理由见解析； ②2 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质得到，，进而由三角形中位线的判定与性质得到，，最后由平行四边形的判定即可得证； （2）过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示，由（1）的证明过程得到得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得到相关边与角度关系，再结合三角形全等的判定与性质得到，，再结合平行线性质，数形结合表示出角度关系得到得证； （3）延长到点，使得，连接，，，如图2所示，由①的证明过程得到，由全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质得到，，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴和都是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①，． 理由如下： 过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示： ∴，分别是，的中点， ∴，． 由（1）得四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长到点，使得，连接，，，如图2所示： 由①，可得， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线性质、等腰直角三角形判定与性质等知识．熟练掌握相关几何性质、数形结合构造辅助线求解是解决问题的关键． 题型2 利用全等三角形的性质与判定解决实际问题 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 重难点一 测量河宽 11．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．，点B、O、Q在同一水平线上，，．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 【答案】红方军队能命中目标，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，利用全等的性质可得，再作答即可． 【详解】解：红方能命中目标．理由如下： 由题意可知， 所以． 又因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以， 故红方军队能命中目标． 12．（20-21七年级下·河南郑州·期末）在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度． 将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理． 如图，如果AB⊥CD于点A，　 ，那么AC＝AD．说明AC＝AD的理由． 【答案】∠ABC＝∠ABD，见解析 【分析】由题意易得△ABC≌△ABD，从而可得AC=AD． 【详解】如果AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD，那么AD＝AC． 理由如下： ∵AB⊥CD， ∴∠BAD＝∠BAC， 在△ABC与△ABD中，， ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC＝AD． 故答案为：∠ABC＝∠ABD． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质在实际生活中的应用，关键是理解题意，并转化为数学问题． 13．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，小刚站在河边的点A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，从点A出发开始他共走了110步． (1)若小刚走一步的长度约为米，请直接写出A，B两点间的距离为 米； (2)如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C，D，使得点A，B，C在同一条直线上，且，测得，，在的延长线上取点E，使得，测得的长为42米．小华认为A，B两点之间的距离为42米．你认为小华的做法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释． 【答案】(1)42 (2)正确．证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得（米），（米），（米），再证，得到（米），由此即可求解； （2）根据三角形内角和可得，再证，得到，则，所以（米），由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，有20步，有20步， ∴有（步）， ∵小刚走一步的长度约为米， ∴（米），（米），（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴A，B两点间的距离为米， 故答案为：42； （2）解：正确，理由如下， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小华的做法正确． 14．（24-25八年级上·湖南常德·期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到C点，此时测得． 观测者从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上． 观测者从B点出发，沿着南偏西（）的方向走到点C，此时恰好测得． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要测出线段 的长度； (2)第二小组测得米，则 米； (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)方案可行，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明是等腰三角形，即可解答； （2）通过证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （3）利用三角形的外角性质得到，再证出是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 又， ， ， ， 要知道河宽，只需要测出线段的长度． 故答案为：． （2）解：由题意得，，， 在和中， ， ， 米． 故答案为：30． （3）解：方案可行，证明如下： ，， ， ， ， 只要测得就能得到河宽． 重难点二 测量高度 15．（22-23七年级下·陕西西安·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 【答案】这幢楼的高度米． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得米即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：这幢楼的高度米． 16．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（），都为米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为米的米尺 测量步骤 测量出线段FD的长度 测量出线段AB的长度 测量数据 米，米 请你根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． 【答案】；见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据测量的数据可知，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得：，所以两个滑梯的长度相等． 【详解】解：， 理由如下： 由题意可知，， 米，， 在和中，，（）， ， 和的长相等． 17．（24-25八年级上·河南安阳·期末）元旦假期，小莉同学与爸妈在内黄公园里荡秋千．如图，小莉坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，爸爸在C处接住小丽时，求C处距离地面的高度． 【答案】C处距离地面的高度是 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵妈妈与爸爸到的水平距离分别为和， ∴ ∴， ∵点B与地面距离为， ∴， ∴， 即C处距离地面的高度是． 18．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． (1)请你先补全方案，再说明这样设计的理由； (2)若测得，，求的长度． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：，                 理由： 在与中 ； （2）解： ，， ， 即 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；先证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴即 ∵米，米， ∴米 ∴米 题型3 构建辅助线证明全等 全等三角形的对应边相等，对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据，在解题过程中若不能直接运用，则需要通过作辅助线来构造全等三角形.添加辅助线的基本作图方法： 重难点一 连接法 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 21．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用菱形的性质得出角相等，再通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，进而得到对应角相等． 利用菱形对角线平分一组对角的性质，得到；再利用“边角边”定理证明两三角形全等，从而得到其对应角相等． 【详解】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图1，正方形中，点M是边上的一点（不与点A、D重合），连接，点关于对称，连接并延长，交于点F，交于点N． (1)求证：； (2)如图2，当点M为中点时，连接，求的值； (3)如图3，连接并延长，交的延长线于点G，连接，探索线段、、之间的等量关系，请写出关系式，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)．理由见解析 【分析】(1)证明，即可得到； (2)证明是的中位线，得到，再证明，得到,结合推出是等腰直角三角形，据此求解即可； (3)连接，作于点H，先求得，再证明，和以及是等腰直角三角形，根据，进一步计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵点关于对称， ∴垂直平分，即， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图2， ∵点关于对称， ∴，， ∵点M为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴； （3）解：．理由如下， 连接，作于点H，如图3， ∵点关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∵，在四边形中， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴和是等腰直角三角形，, ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 23．（24-25七年级下·广东佛山·期中）综合探究 “特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题． 是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且． (1)如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系： ． (2)如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由． (3)如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)时，有最小值，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可得到； （2）连接，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，则，再利用等角的余角相等得到，则可证明，从而得到； （3）作 ，截取，可证，连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值，则，即，即可求证. 【详解】（1）解： ∵是等腰直角三角形，点为边的中点 ∴ ∵点与点重合，点与点重合 ∴ （2）解：连接， ， ，点为中点， ， ， ， （AAS）， ． （3）解：作 ，截取， ． ， ， （SAS）， ， ， 连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值． 此时，， （AAS）， ， 即， ， 当时，有最小值． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 重难点二 延长法 24．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长到点E，使得，证明，得到，推出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 25．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)点为边的中点，连接，过作交边于点，连接，已知，若，，，求与的值． 【答案】(1)见解析 (2)的长是，的长是 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由，得，而，所以，则，所以四边形是平行四边形； （2）延长交于点G，由，得，而，所以，则，进而得，由，得，所以，根据勾股定理求出，所以，再解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：延长、交于点， ， ， 点为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ，， 的长是，的长是． 26．（24-25八年级下·北京昌平·期中）数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁   B．乙、丙   C．乙、丁   D．全正确 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； (3)【定理应用】 如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点A和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）． 【答案】(1)D (2)见解析 (3) 【分析】（1）观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得（米），就可得（米）． 【详解】（1）解：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理， 故答案为：D； （2）如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ； （3）连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，全等三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，三角形中位线定理等，解题关键是找准三角形证明全等． 重难点三 作垂线 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，过点作交于点．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，理解题意、作合适的辅助线是解题关键． 过点作于点，得，通过平行线的判定与性质得，结合题意则可证得，可得，通过即可求解的长． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 28．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 重难点四 作平行线法 29．（24-25七年级下·山东淄博·期末）【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 仍然成立，证明见解答过程；（3） ． 【分析】（1）根据等边三角形性质得，再根据三角形外角性质得，进而得，由此即可得出与的数量关系； （2）过点作交于点，证明是等边三角形得，进而得，，，由此可判定和全等得，据此即可得出答案； 延长到，使，连接，设的中点为，连接，证明和全等得，进而得，，由此可判定和全等得，根据得，证明得是等边三角形，继而得，则，由此得，然后由勾股定理求出即可得出的面积． 【详解】解：（1）与的数量关系为：，理由如下： 是等边三角形， ∴，， 点是的中点， ∴，， ∵， ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ； （2）仍然成立，证明如下： 过点作交于点，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 在和中，， ， ， 故（1）中与的数量关系仍然成立； （3）延长到，使，连接，设的中点为，连接，如图所示： 点是的中点， ， 在和中， ∴， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 即， 是等边三角形， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 的面积为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理及外角性质，等腰三角形的性质等知识，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 30．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在正方形中，点是边上一点，且点不与，重合，过点作的垂线交延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长； (3)如图3，连接，交于点，判断点是否为线段的中点，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质结合已知条件证明，可得； （2）由得，结合，利用勾股定理解即可； （3）过点作的垂线交于点．则是等腰直角三角形，，证明，可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ． ， ． ， 即． 在和中， ， ． . （2）解：， ， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， ． ． ，． ． （3）解：点是的中点． 证明：过点作的垂线交于点． 四边形是正方形， ． ，． ． ． ， ． 在和中， ． ． 点是的中点． 重难点四 倍长中线法 31．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】【尝试应用】见解析，；【问题处理】证明见解析；【拓展提升】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键： （1）利用证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证； （3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论． 【详解】解：尝试应用：延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题处理：延长至点，使，连接，   同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展提升：在上截取，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 32．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长至E，使得，连接，证明，可得，再结合三角形三边关系解答即可； （2）延长至F，使得，连接，证明，可得，再由平分，以及三角形外角的性质可得，然后根据，可得，从而得到，继而得到，即可解答； （3）由（2）得：， ，根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，延长至E，使得，连接， ∴． ∵是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ∴ ． ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：延长至F，使得，连接． ∴． ∵ 是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如（2）图， 由（2）得：， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线法证明三角形全等是解题的关键． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在探索问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图1在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至，使，连接．利用边角边证全等即可以将边转化到，在中利用三角形三边关系先可以求出的范围是______，就可以得到的取值范围是______． 我们定义：如图2，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【探索一】如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．请仿照上面材料中的方法，猜想图2中与的数理关系，并给予证明． 【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 【答案】[材料]，；[探索一]，证明见解析；[探索二]是，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】材料：由题意得：，， 由三角形三边关系可得：，即， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：；； 探索一：； 证明：如图1，延长至点使，连接， 是的“旋补中线”， 是的中线，即， 又， ， ， ， ， 是的“旋补中线”， ， ，， ， ，，， ， ． 探索二：是的“旋补中线” 证明：如图，作于，作交延长线于， ， ， ， ，即， ， ， 又， ， ， 同理：， ， ， ，， ， ， 是的中线， 是的“旋补中线”． 重难点五 截长补短法 34．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接，过E作的垂线，交正方形外角的平分线于点F， 求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据正方形的性质得到，然后根据同角的余角相等证明即可； （2）取中点G，连接，然后根据证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， 又， ， ∴； （2）证明：如图，取中点G，连接， ∵E为中点， ∴，， ∵是正方形外角平分线， ， 在和中， ， ∴， ∴． 35．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．      【答案】（1）证明见解析（2），理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）由正方形性质可得，可证得，，即可证得结论； （2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 36．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可； 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 37．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型4 角平分线的性质与判定 遇到角平分线问题时，牢记以下做辅助线的口诀: 1）图中有角平分线，可向两边做垂直； 2）图中有角平分线，对折一看关系现； 3）角平分线加垂线，三线合一试试看； 4）角平分线平行线，可得等腰三角形. 重难点一 角平分线的性质 38．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 【答案】40 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，由于平分，所以点到距离相等， 即为边上的高，等于，由此可求面积． 【详解】解：过点作于点，即为边上的高，如图所示， ∵， ∴， 平分， ， 的面积为． 39．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据角平分线的性质，过点作于点，作于点，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵，是的角平分线，，， ∴，， 在中，， 设 ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴，即． 40．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知中，是的角平分线，于E． (1)求的度数； (2)若，求． 【答案】(1)60度 (2)18 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用； （1）先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可； （2）过点作于点．结合是的角平分线，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， ∴， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． 是的角平分线，， ， 又， . 41．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 重难点二 角平分线的判定 42．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 43．（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 44．（24-25八年级下·四川雅安·期中）课本再现：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)如图1已知：，若为，求的度数． (2)如图2，，求证：平分． (3)如图3，四边形中， ，，求的值（用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求出答案； （2）过点D作，作的延长线，垂足为F，根据条件证明，得到，即可求解； （3）过点D作，作的延长线，垂足为F，连接，由（1）同理可得：，从而证明，即可得到，即可求解 【详解】（1）解：∵，为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点D作，作的延长线，垂足为F，    ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分． （3）解：过点D作，作的延长线，垂足为F，连接，如图，    由（1）同理可得： ∴， ∴平分， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 45．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 【答案】[定理] 平分；[运用]证明见解析；[拓展] 【分析】本题考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质； [定理]直接证明，得到，即平分； [运用]过C点于E，作，交延长线于点H，证明，得到，根据角平分线判定定理可得平分； [拓展]过作于，过作于，于，先有等边三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性质可得，，此时同[运用]的模型一样，证明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可． 【详解】[定理]解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； [运用]证明：过C点于E，作，交延长线于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． [拓展]解：过作于，过作于，于， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点三 角平分线与面积法 46．（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 47．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 48．（23-24八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，，并延长交于点，如果，求的度数（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，角平分线的判定； （1）先根据等角的余角相等证明，进而根据，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）过点分别作于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据三角形内角和定理，由，得出，证明，得出，得出平分，则进而根据，即可求解； （3）由（2）可知则，进而根据三角形的面积公式，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）过点分别作于点，如图 为的中点，， ， 又， ， 又， ， ， 在和中 ， ， 平分， ， ， ， 由（1）可知， ； （3）由（2）可知， ， ， 又， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优06 全等三角形的性质与判定 （4种题型13重难点突破） 题型1 选用合适的方法证明全等 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 常见的全等三角形模型（基础） 重难点一 选用合适的方法证明全等（一次全等） 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，且，过点M作交于点E．求证：． 2．（2025·陕西渭南·三模）如图，已知，点是线段的中点，且，，连接、，求证：． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 4．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在中，E、F分别是和上的点，，M，N分别是和的中点．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 重难点二 选用合适的方法证明全等（二次全等） 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 8．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 10．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 题型2 利用全等三角形的性质与判定解决实际问题 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 重难点一 测量河宽 11．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．，点B、O、Q在同一水平线上，，．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 12．（20-21七年级下·河南郑州·期末）在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度． 将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理． 如图，如果AB⊥CD于点A，　 ，那么AC＝AD．说明AC＝AD的理由． 13．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，小刚站在河边的点A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，从点A出发开始他共走了110步． (1)若小刚走一步的长度约为米，请直接写出A，B两点间的距离为 米； (2)如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C，D，使得点A，B，C在同一条直线上，且，测得，，在的延长线上取点E，使得，测得的长为42米．小华认为A，B两点之间的距离为42米．你认为小华的做法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释． 14．（24-25八年级上·湖南常德·期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到C点，此时测得． 观测者从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上． 观测者从B点出发，沿着南偏西（）的方向走到点C，此时恰好测得． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要测出线段 的长度； (2)第二小组测得米，则 米； (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 重难点二 测量高度 15．（22-23七年级下·陕西西安·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 16．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（），都为米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为米的米尺 测量步骤 测量出线段FD的长度 测量出线段AB的长度 测量数据 米，米 请你根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． 17．（24-25八年级上·河南安阳·期末）元旦假期，小莉同学与爸妈在内黄公园里荡秋千．如图，小莉坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，爸爸在C处接住小丽时，求C处距离地面的高度． 18．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． (1)请你先补全方案，再说明这样设计的理由； (2)若测得，，求的长度． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 题型3 构建辅助线证明全等 全等三角形的对应边相等，对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据，在解题过程中若不能直接运用，则需要通过作辅助线来构造全等三角形.添加辅助线的基本作图方法： 重难点一 连接法 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 21．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 22．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图1，正方形中，点M是边上的一点（不与点A、D重合），连接，点关于对称，连接并延长，交于点F，交于点N． (1)求证：； (2)如图2，当点M为中点时，连接，求的值； (3)如图3，连接并延长，交的延长线于点G，连接，探索线段、、之间的等量关系，请写出关系式，并加以证明． 23．（24-25七年级下·广东佛山·期中）综合探究 “特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题． 是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且． (1)如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系： ． (2)如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由． (3)如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由． 重难点二 延长法 24．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：，，．求度数． 25．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)点为边的中点，连接，过作交边于点，连接，已知，若，，，求与的值． 26．（24-25八年级下·北京昌平·期中）数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁   B．乙、丙   C．乙、丁   D．全正确 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； (3)【定理应用】 如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点A和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）． 重难点三 作垂线 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，过点作交于点．若，，，求的长． 28．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 重难点四 作平行线法 29．（24-25七年级下·山东淄博·期末）【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面积． 30．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在正方形中，点是边上一点，且点不与，重合，过点作的垂线交延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长； (3)如图3，连接，交于点，判断点是否为线段的中点，并证明你的结论． 重难点四 倍长中线法 31．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 32．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在探索问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图1在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至，使，连接．利用边角边证全等即可以将边转化到，在中利用三角形三边关系先可以求出的范围是______，就可以得到的取值范围是______． 我们定义：如图2，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【探索一】如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．请仿照上面材料中的方法，猜想图2中与的数理关系，并给予证明． 【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 重难点五 截长补短法 34．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接，过E作的垂线，交正方形外角的平分线于点F， 求证： (1)； (2) 35．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．      36．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 37．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 题型4 角平分线的性质与判定 遇到角平分线问题时，牢记以下做辅助线的口诀: 1）图中有角平分线，可向两边做垂直； 2）图中有角平分线，对折一看关系现； 3）角平分线加垂线，三线合一试试看； 4）角平分线平行线，可得等腰三角形. 重难点一 角平分线的性质 38．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 39．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 40．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知中，是的角平分线，于E． (1)求的度数； (2)若，求． 41．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 重难点二 角平分线的判定 42．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)．   43．（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 44．（24-25八年级下·四川雅安·期中）课本再现：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)如图1已知：，若为，求的度数． (2)如图2，，求证：平分． (3)如图3，四边形中， ，，求的值（用含a的代数式表示） 45．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 重难点三 角平分线与面积法 46．（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理．∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 47．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 48．（23-24八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，，并延长交于点，如果，求的度数（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $