培优05 与全等三角形有关的情景创新问题（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

培优05 与全等三角形有关的情景创新题 题型1 新定义问题 1．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材第页的数学活动中有这样一段描述： 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图，四边形中，，．      如图，四边形中，，． 如图、图所示的四边形中，其中是筝形的有________（填序号）． 【性质探究】 （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等；关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形中，，． 求证：________． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：有一条对角线平分一组对角． 结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： 【拓展应用】 （4）如图，在中，，，点分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．    (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”． ① 若一个内角为，则 ° ② 若一个内角为，则_____ (2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”， 0为与的友好点．，，求的值． (3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 6．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 题型2 阅读理解问题 8．（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 9．（24-25八年级上·吉林·期中）【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）阅读理解 如图①，在中，若，，为边上的中线，则的取值范围是_______． 解决此问题可用如下方法：延长到K，使，再连接，这样就把、、转化到了中，利用三角形三边关系即可得出结论． （2）实践探究 如图②在中，点D是边的中点，，交边于E，交边于F，连接，判断与的大小关系，并说明理由； （3）拓展延伸 我们发现直角三角形三边之间存在一种关系，若直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么．等腰三角形顶角的平分线，底边上的高线和中线互相重合．如图③，在（2）的条件下，当，，的长度是关于x、y的方程组的两个根，求的面积． 11．（24-25八年级上·广西柳州·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 12．（21-22八年级下·贵州贵阳·期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ； （2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明； （3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．    13．（23-24八年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 该定理可以通过以下方法进行证明． 已知：如图1，在中，点，分别是边，的中点，连接． 求证：，． 证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，其中点与原点重合，点在轴正半轴上，则点． 设，， 点，分别是，的中点， 点的坐标为①，点的坐标为②． 点和点的③坐标相同， 轴．即． 又由点和的坐标可得的长为④． ． 请完善以上证明过程，并按照番号顺序将相应内容填写在下列横线上： ①　　；②　　；③　　；④　　． 【联系拓展】 如图3，在中，，是线段上的动点（点不与，重合），将射线绕点顺时针旋转得到射线，过作于点，点是线段的中点，连接． （1）若，，，求的长； （2）请探究线段与之间满足的数量关系． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 题型3 综合与实践 15．（山西省大同市天镇县2024-2025学年上学期期中测试八年级数学试卷）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 16．（黑龙江省哈尔滨市风华中学校2024-2025学年八年级上学期9月测试数学试卷）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 17．（福建省泉州市永春县崇贤中学片区2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 18．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为 ．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 19．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 20．（22-23八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，，当时，的面积最大，最大值为_________． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，且，求四边形的面积． 问题解决 （3）为了迎接五一旅游高峰的到来，某景区将规划四边形区域作为观景池，如图3，按照设计要求，需满足，求观景池面积的最大值． 21．（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合与实践 根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点B，F，G，C四点在一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．    素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． 【问题解决】： (1)小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． (2)小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 题型4 从特殊到一般 22．（23-24八年级上·江西赣州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 23．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）【问题背景】 数学活动课上，“智慧小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系． 【特例探究】 （1）“智慧小组”的同学决定从特例入手探究，他们将含的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，则之间的数量关系为___________． 【类比探究】 （2）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，连接，若，求的面积． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）【特例探究】（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明想到了其中一种解题思路是：延长到，使，连接，先证明，再证明．即可得出结论：．小明在证明时用到的全等判定定理是 ；在证明时用到的全等判定定理是 ． 【探索延伸】（2）如图②，在四边形中，已知，，，且，，求的长． 【实践运用】（3）2024年10月13日，中国人民解放军东部战区组织四大军种在台湾岛四周开展“联合利剑—”军演，以震慑“台独”分裂势力谋“独”行径．如图③，在这次军事演习中，西宁舰在台湾岛（处）北偏西的处，无锡舰在台湾岛南偏东的处，并且两舰艇到台湾岛的距离相等，接到行动指令后，西宁舰向正东方向以80海里/小时的速度前进，4小时后，无锡舰沿南偏西的方向以80海里/小时的速度前进，再过1小时后，西宁舰、无锡舰分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为 海里． 25．（17-18八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 26．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）【问题背景】 在中，，，在边上取一点，使，连接．点是射线上一动点，连接，以为一边作等边三角形，且点和点在直线的异侧，连接． 【特例探究】 （1）如图1，当点是线段的中点时，的度数为______________． 【归纳证明】 （2）如图2，当点在线段上运动时，的度数是否发生变化，并说明理由． 【类比迁移】 （3）如图3，当点在线段的延长线上运动时，根据题意补全图形，不要求尺规作图，并直接写出的度数． 【拓展应用】 （4）若，设线段的中点为，连接．当是直角三角形时，直接写出的长． 27．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 28．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境：在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 29．（2024·山东济南·二模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 (1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 (2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 30．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在和中，，，，． 操作发现： （1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 特例分析： （2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数． （3）如图3，，点，，在一条直线上，连接． ①求的度数； ②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优05 与全等三角形有关的情景创新题 题型1 新定义问题 1．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材第页的数学活动中有这样一段描述： 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图，四边形中，，．      如图，四边形中，，． 如图、图所示的四边形中，其中是筝形的有________（填序号）． 【性质探究】 （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等；关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形中，，． 求证：________． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：有一条对角线平分一组对角． 结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： 【拓展应用】 （4）如图，在中，，，点分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（）；（）证明见解析；（）筝形的性质为筝形是轴对称图形；筝形的两条对角线互相垂直； 垂直平分（答案不唯一）；（）的度数为或． 【分析】（）利用全等三角形的判定方法即可求解； （）连接，证明即可； （）设与交于点，根据筝形的定义即可求解； （）分当，时和当，时两种情况分析即可． 【详解】（）解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， 又，符合“筝形”的定义； 如图， 在和中， ， ∴， ∴， 又，符合“筝形”的定义； 故答案为：； （）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等； （）解：如图，设与交于点， ∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分， 综上可知：筝形的性质为筝形是轴对称图形；筝形的两条对角线互相垂直； 垂直平分（答案不唯一）； （）解：如图，当，时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同上理得：垂直平分， ∴， ∴， ∴； 如图，当，时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，筝形的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．    (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”． ① 若一个内角为，则 ° ② 若一个内角为，则_____ (2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”， 0为与的友好点．，，求的值． (3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由． 【答案】(1)① 80  ② 或 (2)80 (3)不变，见解析 【分析】（1）① 根据是等腰三角形，且一个内角为，得到顶角为，根据定义，得． ② 根据题意，得是等腰三角形，且一个内角为，当得；当时，，此时． （2）过点O作于点E，于点F，确定，，，，重合为一条直线，证明，，结合，计算即可． （3）延长到点N，使得，连接，证明，即可． 【详解】（1）① 解：∵是等腰三角形，且一个内角为， ∴顶角为， 根据定义，得． 故答案为：80． ② 解：根据题意，得是等腰三角形，且一个内角为， 当，根据定义，得； 当时，，此时． 故答案为：或． （2）解：过点O作于点E，于点F， ∵直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4， ∴，，， ∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴，重合为一条直线， ∵与互为“友好三角形”， 为与的友好点． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：不变，理由如下： 延长到点N，使得，连接， ∵与互为“友好三角形”， 为与的友好点． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， ∴， ∴． ．   【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等和勾股定理是解题的关键． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又 ，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又 ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又 ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，设与交于点， ，， ； 如图所示，延长到G，，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是友谊三角形． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 【答案】(1)真，真，真 (2) (3) 【分析】（1）根据“幸福点”的定义和角平分线的性质进行判断即可； （2）根据“幸福点”的定义可得，，求得，再根基三角形内角和定理求得，即可得，即可求解； （3）过点D作的延长线于点G，连接，根据“幸福点”的定义可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质得，，设，则，，由（2）得，，过点D作交的延长线于点G，，可得，证明，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：①每个三角形都有3个“幸福点”，是真命题； ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部，是真命题； ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等，是真命题； 故答案为：真，真，真； （2）解：∵点I是的“幸福点”， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵，， 又∵，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作的延长线于点F，连接， ∵点D是的一个“幸福点”， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）得，， ∴， 过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． 【点睛】本题考查命题与定理、新定义、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，理解新定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型2 阅读理解问题 8．（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）4；（3），见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； （2）由“”可证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长至，使，利用证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，延长，交于点． ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ； （3）． 证明：如图，延长至F，使， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ，． 是的中线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 即，． 9．（24-25八年级上·吉林·期中）【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 【答案】阅读理解：，，，方法运用：（1）．（2）见解析，拓展提升：7． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质与判定等等： 阅读理解：根据已给推理过程，结合线段之间的关系证明即可； 方法运用：（1）根据阅读理解的结论求解即可； （2）延长到点G，使，连接．证明，得到． 连接，再证明，得到，由，即可证明； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，则． 【详解】阅读理解：证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 方法运用：（1）延长至点E，使，连接， 由阅读理解可知， ∴， ∴； （2）证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G， ∵在中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）阅读理解 如图①，在中，若，，为边上的中线，则的取值范围是_______． 解决此问题可用如下方法：延长到K，使，再连接，这样就把、、转化到了中，利用三角形三边关系即可得出结论． （2）实践探究 如图②在中，点D是边的中点，，交边于E，交边于F，连接，判断与的大小关系，并说明理由； （3）拓展延伸 我们发现直角三角形三边之间存在一种关系，若直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么．等腰三角形顶角的平分线，底边上的高线和中线互相重合．如图③，在（2）的条件下，当，，的长度是关于x、y的方程组的两个根，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）延长到K，使，再连接，证明，结合，再进一步解答即可； （2）如图，延长到G，使，连接、，证明，可得，证明，可得，再进一步解答即可； （3）解方程组可得，，连接，证明，可得，，延长到K，使，连接、，同理：，可得，，结合勾股定理可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）延长到K，使，再连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，延长到G，使，连接、， ∵D是中点， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵， ∴． （3）∵， 解得：， ∵， ∴，， 连接， ∵，，点D是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到K，使，连接、， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，而，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，二元一次方程组的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．（24-25八年级上·广西柳州·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由，可得，，则，证明，即可得解； （2）同理可证；则，，计算求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点，证明得到，得出 ，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：与的数量关系是． 证明：， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点坐标为 12．（21-22八年级下·贵州贵阳·期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ； （2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明； （3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．    【答案】（1），；（2），见解析；（3）见解析 【分析】（1）由“”可证，由“”可证； （2）由“”可证，可得，，可得结论； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：，； （2），理由如下： ，， ， ， ， ， 平分， ， 又，， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，   平分， ， 又，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．（23-24八年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 该定理可以通过以下方法进行证明． 已知：如图1，在中，点，分别是边，的中点，连接． 求证：，． 证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，其中点与原点重合，点在轴正半轴上，则点． 设，， 点，分别是，的中点， 点的坐标为①，点的坐标为②． 点和点的③坐标相同， 轴．即． 又由点和的坐标可得的长为④． ． 请完善以上证明过程，并按照番号顺序将相应内容填写在下列横线上： ①　　；②　　；③　　；④　　． 【联系拓展】 如图3，在中，，是线段上的动点（点不与，重合），将射线绕点顺时针旋转得到射线，过作于点，点是线段的中点，连接． （1）若，，，求的长； （2）请探究线段与之间满足的数量关系． 【答案】[阅读理解] ①；②；③纵；④；[联系拓展]（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了几何图形的变换，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线，中点坐标公式，关键是构造三角形的中位线． [阅读理解] 点，分别是，的中点，根据中点坐标公式可求中点坐标，完成填空． [联系拓展] （1）连结，是等边三角形，证明，，三点共线，是的中位线，可求的长是的一半． （2）在射线上截取，连结，．是的中位线，，再证，，可得与的关系． 【详解】解：[阅读理解] ①是的中点，，， ． ②，，是的中点， ． ③点和点的纵坐标相同． ④． 故答案为：①；②；③纵；④． [联系拓展] （1）是的中点，， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，三点在同一直线上，为的中点． 为的中点， 是的中位线， ． ， ， ． （2）在射线上截取，连结，． ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，， ， ． ， ， ， ， ，， ． ， ． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明，根据三角形三边之间的关系即可进行解答； （2）交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证及即可； （4）过点C作交于点M，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】解：（1）延长到点E，使． ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）解：如下图，延长交延长线于点， ∵， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点， ， ， ，，， ， ∵， ， ， 则， ． （3）延长至点，使得，连接、、， ∵， ， ，， ，且， ， ， ∵， ， ，， ∵， ， ， 同理可得，， ． （4）过点C作交于点M，如图， 由（3）可知， ， ， 和互余， ， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，作出辅助线推理论证是解题的关键． 题型3 综合与实践 15．（山西省大同市天镇县2024-2025学年上学期期中测试八年级数学试卷）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证明和全等得，由三角形三边之间关系得，进而得，再根据得，则，由此得中线的取值范围； （2）延长交的延长线于，证明△和△全等得，，则，再证明为线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长到，使，连接，则，证明和全等得，，则，从而得，根据得，由此可证明和全等得，，由此得和的数量关系；然后根据得，则，由此得和的位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系及等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 16．（（命卷人合作版权试卷，重复的已下线）黑龙江省哈尔滨市风华中学校2024-2025学年八年级上学期9月测试数学试卷）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】(1) (2)见解析 (3)修建小路的总造价为元． 【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）过点作，交的延长线为，先证明，则，，依据三角形的面积公式可知，然后再依据偏等积三角形的定义即可得出结论； （3）过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为，由题意可得，由可证得，则米，根据的面积为1500平方米，可得米，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）证明：如图2中，过点作，交的延长线为， 和均为等腰直角三角形， ，，，． ． 在和中， ， ． ，， ，， ， 与为偏等积三角形； （3）解：如图3中，过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为， ， ，四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，， ， ， 米， 的面积为1500平方米， ， 米， （米）， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 17．（福建省泉州市永春县崇贤中学片区2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9； (2)见解析； (3)能，理由见解析． 【分析】本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据AAS证明得，从而点是三边垂直平分线的交点，延长AO交BC于点，根据角的性质求出即可求解； （2）作于于，设与交点为．根据SAS证明得，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于一点，该点即为所求的点，证明，得，，从而可判断当D，K，Q，C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）是等边三角形， ， ． 点是等边的费马点， ， ， 同理可得 点是三边垂直平分线的交点， 延长交于点，如图1， ． ， ． ， ， 故答案为：9； （2）如图2，作于于，设与交点为． 与都是等边三角形 ． 又 ， ， ， ， 平分． 点是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站的位置． 证明如下：如图3，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与都是等边三角形 ． 当四点共线时，为最小值， 又， 这时． ， 点是的费马点 即当点是的费马点时，的值最小． 18．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为 ．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）见解析；（2）①与是偏等积三角形，理由见解析；②修建小路的总造价为元 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；②过点作，交的延长线于，则，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求；              （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于， ∴， ∵、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； ②如图，过点作，交的延长线于，则， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 由①得：与是偏等积三角形， ∴，， ∴（）， ∴（元）． 答：修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 19．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 【答案】（1）； （2）；（3）河流另一边森林公园的面积为． 【分析】（）证明，得，，进而可以解决问题； （）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积； （）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题； 【详解】解：（）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∴， ∵面积为，且的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴河流另一边森林公园的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 20．（22-23八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，，当时，的面积最大，最大值为_________． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，且，求四边形的面积． 问题解决 （3）为了迎接五一旅游高峰的到来，某景区将规划四边形区域作为观景池，如图3，按照设计要求，需满足，求观景池面积的最大值． 【答案】（1）9；（2）36；（3）50 【分析】（1）利用勾股定理先求解，，再利用面积公式进行计算即可； （2）连接．由，可得．由勾股定理可得，可得，从而可得答案． （3）过点A作于点E，交的延长线于点F．证明，可得．证明，可得，由（1）中的结论，可得当时，的面积最大，从而可得答案． 【详解】解：（1）在中，，． 当时，而， ∴， ∴； （2）如图2，连接． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的面积为36． （3）如图3，过点A作于点E，交的延长线于点F． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（1）中的结论，可得当时，的面积最大， ∵， ∴， ∴ ∴四边形面积的最大值是50． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21．（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合与实践 根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点B，F，G，C四点在一条直线上．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．    素材二 因考虑牢固耐用，小聪计划选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米． 【问题解决】： (1)小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由． (2)小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值． 【答案】(1)他的说法对，理由见解析 (2)长度的最大值为0．25米 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一元一次不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． （1）过点B作于点G，可证得，据此即可判定； （2）设，可得，的高为米，列不等式，即可求解． 【详解】（1）他的说法对，理由如下： 如图：过点作于点， ． 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， ． 最高点到地面的距离就是线段长． （2）该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， 设，则． 又的高为1.2米， 三角形的面积． 又长方形的面积为：（平方米）， 总费用：． 解得， 故长度的最大值为0.25米． 题型4 从特殊到一般 22．（23-24八年级上·江西赣州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）【问题背景】 数学活动课上，“智慧小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系． 【特例探究】 （1）“智慧小组”的同学决定从特例入手探究，他们将含的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，则之间的数量关系为___________． 【类比探究】 （2）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，连接，若，求的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的面积为8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出答案； （2）先求出，证明，得到，即可得出答案； （3）过点C作交的延长线于点P，得到，证明，得出，即可求出的面积． 【详解】解：（1），理由如下： 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作交的延长线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）【特例探究】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明想到了其中一种解题思路是：延长到，使，连接，先证明，再证明．即可得出结论：．小明在证明时用到的全等判定定理是 ；在证明时用到的全等判定定理是 ． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形中，已知，，，且，，求的长． 【实践运用】 （3）2024年10月13日，中国人民解放军东部战区组织四大军种在台湾岛四周开展“联合利剑—”军演，以震慑“台独”分裂势力谋“独”行径．如图③，在这次军事演习中，西宁舰在台湾岛（处）北偏西的处，无锡舰在台湾岛南偏东的处，并且两舰艇到台湾岛的距离相等，接到行动指令后，西宁舰向正东方向以80海里/小时的速度前进，4小时后，无锡舰沿南偏西的方向以80海里/小时的速度前进，再过1小时后，西宁舰、无锡舰分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为 海里． 【答案】（1）；；（2）；（3）320 【分析】本题是三角形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到M，使，连接，求证，即可推出的数量关系，进而得出答案； （2）延长到点G，使，连接可证得，得出，再证得，即可求得答案； （3）在上截取，连接，可证得，得出，再证得，即可求得答案． 【详解】解：（1）延长到M，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；． （2）如图2，延长到点G，使，连接 ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图③，在上截取，连接， 由题意得，（海里），（海里）， ， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴（海里）． 25．（17-18八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出 ，证明，即可作答． （3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图： 易得， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：如图： ∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积 ∴此时它们的高是相等的，即的面积是：， 由（2）可知，， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是8， 答案为：8． 26．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）【问题背景】 在中，，，在边上取一点，使，连接．点是射线上一动点，连接，以为一边作等边三角形，且点和点在直线的异侧，连接． 【特例探究】 （1）如图1，当点是线段的中点时，的度数为______________． 【归纳证明】 （2）如图2，当点在线段上运动时，的度数是否发生变化，并说明理由． 【类比迁移】 （3）如图3，当点在线段的延长线上运动时，根据题意补全图形，不要求尺规作图，并直接写出的度数． 【拓展应用】 （4）若，设线段的中点为，连接．当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）的度数不发生变化，理由见解析； （3）见解析，的度数为； （4）2或8 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，根据等边三角形的性质可得，，，，可证，得到，由，即可求解； （2）证明方法同（1），根据，是等边三角形，可证，得到，由，即可求解； （3）根据作图，由等边三角形的性质可证，得到，在中，由三角形内角和定理即可求解； （4）由（2）、（3）的证明可得，当是直角三角形时，分类讨论：第一种情况，如图所示，，可得点重合得到；第二种情况，，在中， ，根据含角的直角三角形的性质可得，根据中点可得，再证明，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为一边作等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）不会变化，理由如下， ∵由（1）可得，，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，的度数是否发生变化； （3）根据题意，作图如下， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）由（2）可得，当点在线段上运动时，的度数为， ∵，， ∴， 根据（3）的证明可得，当点在线段延长线上运动时，， ∵，， ∴， ∴当是直角三角形时，， ∴第一种情况，如图所示，， ∴，即点重合， ∵， ∴； 第二种情况，如图所示，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ．证明，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，证明是等腰直角三角形，进一步进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）解：过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．解题的关键是证明三角形全等． 28．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形全等： （1）证明，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果； （3）同法（1）得到，进而得到，再证明，得到，，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 又因为，， 所以 所以． 又因为， 所以． 所以． （2）同（1）可得：， ∴， ∵， ∴． （3）由（2），知． 同理（1），得． 所以． 又因为，， 所以． 所以，． 所以． 所以． 29．（2024·山东济南·二模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 (1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 (2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，再由三角形中位线性质可得； （）如图， 延长至点， 使得， 连接，同理（）即可求解； （）如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）． 证明： 如图， 延长至点， 使得， 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ，    ； （3）解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，                  ∴ ∵，， ， ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值， 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为． 30．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在和中，，，，． 操作发现： （1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 特例分析： （2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数． （3）如图3，，点，，在一条直线上，连接． ①求的度数； ②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）①，②，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握类比推理的方法是解题的关键． （1）可证，从而可证，即可求解； （2）可证，可求，即可求解； （3）①可证，从而可证，可求，即可求解；②由，可得，再结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1） ，，， ， ， 在和中 ， ()， ； （2）∵，，， ∴和是等边三角形， ∴， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ∴， ， （3）① ， ，， ∴， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ②∵， ∴， ， ． ∵，，， ∴，即， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $