培优03 通过添加辅助线构造全等三角形（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

培优03通过添加辅助线构造全等三角形 题型1 连接两点构造全等 全等三角形的对应边相等，对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据，在解题过程中若不能直接运用，则需要通过作辅助线来构造全等三角形.添加辅助线的基本作图方法： 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题关键，连结，过点D作交于点M，再作交于点N．结合等边三角形性质证明，得出，进一步证明，即可得出结论． 【详解】证明：连结，过点D作交于点M，再作交于点N． 是等边三角形，D为的中点， 是的平分线，， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ． 在与中， ， ， ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)）见解析；）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键 （）连接，证明和全等即可得到； （））延长到，使得，连接，证明和全等，然后证明和全等，即可得到结论； ）根据平分，可以证出，，从而得到和的关系，即和的关系，根据的面积求出，从而求得的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵，，是中点， ∴，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2））证明：延长到，使得，连接，如图： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ）解：如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（2）中的结论不成立，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）连接，根据全等三角形的性质可得，可证明，即可解答； （2）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可求证； （3）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、，当时，求的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； (3)如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由“”可证，可得，根据线段的和差求出，据此可求解； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解； （3）由 ，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：若， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴； 若， ∴, ∴, ， ∵， ， ∴； 综上所述:，或 ； （3）解：如图③, 连接，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． (3)如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】（1）先证明，则，再由等边对等角得到，然后通过即可求解； （2）过点作的平行线交的延长线于点，先证明，则，再证明，则，得到，由可知，则，故； （3）连接，可得为等边三角形，然后证明，则，故当时，最短，再根据角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：过点作的平行线交的延长线于点， 由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最短， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型2 作平行线构造全等 6．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)过P点作，求证：是等边三角形； (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； (3)当时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)嘉琪的说法正确，见解析 (3)1 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题． （1）根据得到，则，即可证明； （2）过P点作，交于F，证明即可； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：嘉琪的说法正确，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，由，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过E作交于点G，由（1）可得，然后根据两直线平行内错角相等得到，再根据，利用三角形的内角和定理得到，由等边三角形的性质也得到，从而得到两角相等，再由，利用“”证得，根据全等三角形的对应边相等得到，再由为等边三角形得到，等量代换可得，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“”证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图：过E作交于点G， 由（1）可得，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵为等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不成立，正确的结论是． 【分析】（1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 题型3 作垂线构造全等 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）是两条相互垂直的直线，四边形的顶点分别在上，且． (1)如图1，当时，点B到的距离分别为________； (2)如图2，当点C在射线上运动，点A在射线上运动，射线在内部时，作于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直的全等模型，是解题的关键： （1）作，证明，得到，即可得出结果； （2）作，证明，得到，再根据，得到即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵是两条相互垂直的直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B到的距离分别为1和3； （2），是定值，理由如下： 作于点，由题意可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 11．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【建立模型】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，，，过点、作于点，于点E．求证：，．萌萌发现只需证明即可； 【类比迁移】（2）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． ①如图2，求点的坐标； ②如图3，若交轴于点，交轴于点M，N是上一点，且，连接．求证； 【拓展延伸】（3）如图4，点，点，若点不动，点在x轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请直接写出其长度． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3）的长度不变化，且． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，余角的性质，证明全等即可． （2）①过点B作轴于点G，证明，得，．，结合已知解答即可； ②过点B作于点B，交轴于点，先证明，得到，再证明，结合，得到，等量代换可得． （3）过点于点Q，连接， 证明，四边形是平行四边形，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：； （2）①解：过点B作轴于点G， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵点，点， ∴，． ∴， 由点在第四象限． 故． ②解：如图，过点B作于点B，交轴于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：的长度不变化，且，理由如下： 过点E作于点Q，连接， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴， ∴， 故的长度不变化，且． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 14．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【答案】(1)①，见解析；②时， (2)当点F在A点右边时，；当点F在A点左边时， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形，分类讨论是解题的关键． （1）①先证明，得出，再得出，在 中，，即可的得出结论； ②在上截取，使，证明，得出，根据，得出时，即时，； （2）分两种情况，当点F在A点右边时，过点D作，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；同理，当点F在A点左边时，通过证明三角形全等即可得出结论． 【详解】（1）①解：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∵， ∴ ， 在 中，， ∴； ②在射线上截取，使，如图所示， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，即时，， ∴； （2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点，探究：如图3，连接．当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)7 (2)或 (3)的大小不变，为定值 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得，，然后由三角形面积公式列式计算即可； （2）分两种情况，①点在第一象限时，②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，证，得，，即可解决问题； （3）过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， ； （2）解：分两种情况： ①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， 则，，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得：， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 题型4 倍长中线构造全等 16．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 【答案】（1）（2） （3） 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明， 得到，，，根据勾股定理的逆定理，证明．根据勾股定理解答即可． （3）延长到点Q；使，连接，先证明，再证明，得到直角三角形，利用勾股定理，线段垂直平分线解答即可得证． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握判定，性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 故答案为：． （2）解：延长到点G；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵． ∴． ∴， 故． （3）解：延长到点Q；使，连接． ∵点D是的中点，， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 18．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到使，连接； 方法二：过点作的平行线交的延长线于． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在四边形中，，、分别在、上，且，，为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）、三角形三边关系、四边形内角和、等腰三角形三线合一以及构造辅助线的方法，解题的关键是通过倍长中线或延长线段构造全等三角形，将分散的线段和角的关系进行转化． （1）延长至E使，利用证得，再根据三角形三边关系（ ）求出的取值范围． （2）延长至H使，证得且，再证得，最后由等腰三角形三线合一证． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， ， 在和中，， ， ， ∵在中，， ， 即：， ； （2）证明：延长到点，使，连接、、， 因点为的中点，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ，且， ，又， ， 在和中， ， ， 又， ． 19．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 20．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型5 截长补短构造全等 21．（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ； (2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法. （1）先证是等边三角形，再证然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证△，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证△，可得，然后证得∠，可证，即可得出，据此计算即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：，； （2）（1）问的两个结论还成立； 证明：如图②，在的延长线上截取，连接， ，， ， ， ∴， ， ， ∵， ， ， 的周长为：， ； （3）如图③，在上截取，连接， 同（2）可证， ， ∴， ， ， ， 又， ， ， ， ， ∵等边的周长为， ， 的周长 ， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，，点在的延长线上（）．连接，E为边上一点，且，连接并延长交于F． (1)猜想与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得出，即可推出； （2）延长至H，使，先证，得出，，再由，即知，推出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至H，使， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为． 24．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 【答案】(1)点 (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）当点和点重合时取得最小值，即可求解； （2）①证明，根据全等三角形的性质，即可求解； ②设交于点，连接，在上取点使得，根据，得出，则，进而证明是等边三角形，证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：在中，时，点为所求费马点． ∵当点和点重合时取得最小值， ∴点为所求费马点． 故答案为：点． （2）解：①，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②如图，设交于点，连接，在上取点使得， ∵， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，则， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型6 补全图形构造全等 25．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用， （1）连接，先证明，再证明，即可得出结论； （2）先证明，得到，再根据线段和差求出，进而得到，再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 的平分线与的垂直平分线相交于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ∵是的角平分线， ∴ 在和中， ， ， ， 由（1）可知，， 设， ， ∴，， ， 解得：， ， ， 在中，， ． 26．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，进而利用三角形的内角和定理可求解； （2）延长，交点，先证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1） 如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明． （2）如图2，在中，平分，于，若，，通过（1）中构造全等的办法，可求得 ． （3） ①如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． ②如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．若的面积为64，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①，证明见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的性质得，垂直得性质得，结合，可利用证明； （2）延长交于点F，由问题情境可知，得出，结合三角形的外角性质即可得出结论； （3）①延长、交于点F，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论； ②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，说明，即可证明，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）延长交于点F，如图， 由问题情境可知，， ∴， ∵， ∴， （3）①，证明如下： 延长、交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由问题情境可知，， ∴， ∴； ②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 在和中 ∴， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键． 29．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 30．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，和都是等边三角形，点E在边上，点D在直线上，连结．    (1)如图1，当点D在的延长线上时，延长到M，使，连结，判断的形状，并说明理由； (2)由（1）可容易得到，从而可得，因而可得结论．如图2，当点D在边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)当点D在的延长线上，点F在下方时，等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)，图见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握借助作辅助形构造全等三角形，利用全等三角形的判定与性质解决问题是解答的关键． （1）根据等边三角形的判定与性质即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质和平角定义即可证得结论；在上截取点M，使，连结，证得是等边三角形 ，进而可证明，根据全等三角形的性质可得，即可； （3）根据题意画出图形，仿照（1）（2）中解答方法解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ， ， 是等边三角形； （2）解：成立，理由如下： 证明：在上截取点M，使，连结，如图所示， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3）解：证明：补全图形，过D作，交延长线于M，连接，做出辅助线，如图所示， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 31．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等； (2)见解析； (3)9． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案； （2）先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； （3）延长、交于点，先推出，得到，再推出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）， 依据2是：全等三角形的对应边相等； （2）∵ ． 即 ； （3）延长交于点F． 平分 在和中 ， 在中， 在中， 在和中 题型7 旋转构造全等 32．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 33．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）小明将两个大小不同的含角的直角三角板按如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），其中，，，B、C、E三点在同一条直线上． (1)连接．请分别直接写出线段与的数量关系和位置关系：___________，___________； (2)若不动，将绕着点A旋转一个角度，与交于点O，如图3，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出与的数量关系，再根据三角形内角和为180度，进而推出与的位置关系； （2）同（1）即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， 在和中， ∵ ， ，， ， 在中，， ， 在中，， ． （2）解：成立；理由如下： ， ，即， 在和中， ， ，， ， 在中，， ， 在中，， ． 34．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)40 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）旋转在几何学中扮演着重要的角色，通过图形的旋转，可以巧妙地构造出全等条件，从而解决问题． (1)如图1，点D，E分别为等边边，上的点，以为边作等边交于点G．连接．判断，，的数量关系； A同学的思路：将绕点D逆时针旋转； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转； 请你参考以上方法判断，，的数量关系为__________； (2)如图2，点D为等边外一点，连接，，，其中与交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，，，其中交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理； （1）A同学的思路：将绕点D逆时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，由旋转可得，，，得到为等边三角形，得到，，点在线段上，根据，得到； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，由旋转可得，，，得到为等边三角形，推出，，则点在线段上，由，得到； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，，由旋转可得，，，，得到为等边三角形，，再证明，则点在线段上，由，得到； （2）如图，在上取一点，使，连接，则为等边三角形，再证明，得到，根据得到； （3）如图，在上取一点，连接，使，连接，则为等腰直角三角形，得到，再证明，得到，根据得到． 【详解】（1）解：∵等边和， ∴，， A同学的思路：将绕点D逆时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，， 由旋转可得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上取一点，使，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，在上取一点，连接，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03通过添加辅助线构造全等三角形 题型1 连接两点构造全等 全等三角形的对应边相等，对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据，在解题过程中若不能直接运用，则需要通过作辅助线来构造全等三角形.添加辅助线的基本作图方法： 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、，当时，求的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； (3)如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值． 5．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． (3)如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 题型2 作平行线构造全等 6．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)过P点作，求证：是等边三角形； (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； (3)当时，直接写出的长度． 7．（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 题型3 作垂线构造全等 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）是两条相互垂直的直线，四边形的顶点分别在上，且． (1)如图1，当时，点B到的距离分别为________； (2)如图2，当点C在射线上运动，点A在射线上运动，射线在内部时，作于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 11．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 12．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【建立模型】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，，，过点、作于点，于点E．求证：，．萌萌发现只需证明即可； 【类比迁移】（2）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． ①如图2，求点的坐标； ②如图3，若交轴于点，交轴于点M，N是上一点，且，连接．求证； 【拓展延伸】（3）如图4，点，点，若点不动，点在x轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请直接写出其长度． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 15．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点，探究：如图3，连接．当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 题型4 倍长中线构造全等 16．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】（1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】（3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 18．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到使，连接； 方法二：过点作的平行线交的延长线于． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在四边形中，，、分别在、上，且，，为的中点，求证：． 19．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 20．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 题型5 截长补短构造全等 21．（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ； (2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）． 22．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 23．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，，点在的延长线上（）．连接，E为边上一点，且，连接并延长交于F． (1)猜想与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 24．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 题型6 补全图形构造全等 25．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 26．（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 27．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 28．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1） 如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明． （2）如图2，在中，平分，于，若，，通过（1）中构造全等的办法，可求得 ． （3） ①如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． ②如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．若的面积为64，求的长． 29．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 30．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，和都是等边三角形，点E在边上，点D在直线上，连结．    (1)如图1，当点D在的延长线上时，延长到M，使，连结，判断的形状，并说明理由； (2)由（1）可容易得到，从而可得，因而可得结论．如图2，当点D在边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)当点D在的延长线上，点F在下方时，等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论． 31．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 题型7 旋转构造全等 32．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 33．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）小明将两个大小不同的含角的直角三角板按如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），其中，，，B、C、E三点在同一条直线上． (1)连接．请分别直接写出线段与的数量关系和位置关系：___________，___________； (2)若不动，将绕着点A旋转一个角度，与交于点O，如图3，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 34．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）旋转在几何学中扮演着重要的角色，通过图形的旋转，可以巧妙地构造出全等条件，从而解决问题． (1)如图1，点D，E分别为等边边，上的点，以为边作等边交于点G．连接．判断，，的数量关系； A同学的思路：将绕点D逆时针旋转； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转； 请你参考以上方法判断，，的数量关系为__________； (2)如图2，点D为等边外一点，连接，，，其中与交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，，，其中交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $