精品解析： 江苏省南京十三中集团红山学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷

2024-2025学年江苏省南京十三中集团红山学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人 B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人 C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上 D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务 5. 如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，在反比例函数图像上，点的横坐标为，连接，，，若，的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 的相反数是______，的倒数是______． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 9. 分解因式的结果是____________． 10. 方程的解是__________． 11. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________． 12. 将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，M，N分别是边的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是______． 14. 如图，点O是正六边形的中心，以 为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____． 16. 已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当______时，a取得最大值． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动． （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？ （2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ． 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 21. 如图，点D在 上，点E在上，交于点P，，求证． 22. 如图，的对角线， 相交于点O．E是 的中点，连接并延长交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：． 23. 已知函数（m为常数）． （1）若该函数图像与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； （2）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点． 24. 利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在处悬停，测得建筑物 顶端的仰角为，底端的俯角为，然后，在同一平面内，该无人机以的速度沿着与水平线夹角为方向斜向上匀速飞行，飞行至处悬停，测得顶端的仰角为，求建筑物 的高度．（参考数据：，，，，，） 25. 如图，在中，，点、在 上，，过、、三点作，连接 并延长，交 于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 26. 如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍 ，排尾A处的传令兵从甲地和队伍 沿同一直道同时出发．队伍 以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示． （1）______，______； （2）求线段所表示的与x之间的函数表达式； （3）在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 27. 在中 ， 是边上的中线，是 边上的中线， 、交于点． （1）求证：点在 边的中线上． 如图①，连接 并延长，与 交于点，连接 ，与 交于点．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格； （2）当 时， ①如图②，连接 ，求 证 ：； ②若 ， 则面积的最大值为______． （3）如图③，已知线段、，求作，使 ，，且 ， （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京十三中集团红山学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：13000＝1.3×104， 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、同底数要的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练练握这些运算的法则并正确运用． 根据整式运算的相关法则，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】A、与中的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项正确． 故选：D． 3. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．根据，再得出选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的是3， 故选：B． 4. 党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人 B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人 C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上 D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务 【答案】A 【解析】 【分析】用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A； 用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B； 根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C； 根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D． 【详解】A、1660-551=1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断不合理，符合题意； B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过9000万人，故本选项推断合理，不符合题意； C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289，3046-1660=1386，1660-551=1109，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不符合题意； D、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万农村人口的脱贫任务，故本选项推理合理，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 5. 如图，数轴上 ，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，分式的减法等知识，数形结合是解题的关键．由图可知：，，即可得， 在结合不等式的性质，逐项判断即可作答． 【详解】由图可知：，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，故A、B项错误， ∵， ∴，即，故C项正确， ∵， 又∵，，， ∴， ∴， ∴，故D项错误， 故选： C． 6. 如图，点 ，在反比例函数图像上，点 的横坐标为，连接，，，若，的面积为 ，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．过点 作轴，过点作轴，设点，点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出求出，从而得出，求出即可 【详解】解：设点，过点 作轴，过点作轴，垂足分别为，，如图， 则 设点的坐标为，则， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，或（舍去） ∴（负值舍去） ∴点的坐标为， ∴ ∴ ， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵反比例函数（）图像在第一象限， ∴ ∴ 故选：B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 的相反数是______，的倒数是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相反数与倒数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得，． 故答案为：． 9. 分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案． 【详解】解：. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 10. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解： 经检验：是原方程的根． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验. 11. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________． 【答案】1 【解析】 【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把x＝代入方程得， 解得m＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可. 【详解】∵一次函数的解析式为， ∴设与x轴、y轴的交点坐标为、， ∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转， ∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、， 令，代入点得，， ∴旋转后一次函数解析式为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，M，N分别是边的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】过点轴交与点E ∵M，N分别是边的中点，且点M，N的纵坐标分别是3，2 ∴，点C的纵坐标是4，即 又∵菱形 ∴ 在中， ∴点B的坐标 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理求直角边，熟练掌握相关知识点是解题关键 14. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 【答案】105 【解析】 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图， 则是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出AC:AB＝AD:AC，即可得出结果． 【详解】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D， ∴CD＝BD＝3， ∴∠B＝∠DCB，AB＝AD＋BD＝5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10， ∴AC＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键． 16. 已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当______时，a取得最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出顶点坐标，再根据，，，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵函数的顶点坐标为：， ①当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， ②当，即时，y在处取最小值， 即， ∵当时，， ∴，即， ③当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， 综上所述，a的最大值为0，此时， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和实数运算，解题的关键是掌握实数相关的运算法则和解一元一次不等式组的一般方法． （1）先去绝对值，算负整数指数幂，把特殊角三角函数代入，再计算即可； （2）解出每个不等式，再求公共解集． 【详解】解：（1） ； （2）由得：， 由得：， ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算进行计算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动． （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？ （2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解随机事件的概率． （1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果； （2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4， 画树状图如图所示： ∴共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个， ∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为. 【小问2详解】 解：乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）； 其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三）， ∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是：. 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】（1）9，，； （2）选甲更合适， 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知， 乙得分的方差为， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为， 故答案为：9，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． 21. 如图，点D在上，点E在 上，交于点P，，求证． 【答案】 证明：在和中， ∵． ∴． ∴， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】根据证明可得，从而可得，再根据即可得到结论 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有． 22. 如图，的对角线 ，相交于点O．E是的中点，连接并延长交 于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证； （2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 点 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 23. 已知函数（m为常数）． （1）若该函数图像与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； （2）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论；． （2）证明即可； 【小问1详解】 令，则． ∵函数的图像与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴； 【小问2详解】 令，则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴该方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标． 24. 利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在处悬停，测得建筑物顶端 的仰角为，底端的俯角为，然后，在同一平面内，该无人机以的速度沿着与水平线夹角为方向斜向上匀速飞行，飞行至处悬停，测得顶端 的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．过点作于 ，过点作于，过点作延长线于点 ，可得四边形是矩形，利用锐角三角函数依次解、、、，即可求出建筑物的高度． 【详解】解：如图，过点作于 ，过点作于，过点作延长线于点 ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∵，， ∴，． 设，则， 在中，， ∵， ∴． 在中，， ∵， ∴． 又∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴建筑物的高是． 25. 如图，在中，，点、 在上，，过 、、 三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】（1）连接 、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． 【小问1详解】 证明：连接 、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即， 【小问2详解】 解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 26. 如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发．队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示． （1）______，______； （2）求线段所表示的与x之间的函数表达式； （3）在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 【答案】（1）75；125 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可； （2）先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）（单位：）与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点（点M和与点M类似的那个点），由此画图即可． 【小问1详解】 解：， 解得， 故答案为：75；125； 【小问2详解】 解：， ∴点M的坐标为， ， ∴点N的坐标为， 线段所表示的与x之间的函数表达式为， ∴， ∴， ∴段所表示的与x之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：与x之间的函数图象如图所示． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 27. 在中 ，是 边上的中线，是边上的中线，、交于点． （1）求证：点在边的中线上． 如图①，连接 并延长，与交于点，连接 ，与 交于点．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格； （2）当 时， ①如图②，连接，求 证 ：； ②若 ， 则面积的最大值为______． （3）如图③，已知线段、，求作，使 ，，且 ， （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】（1）①；②；③ （2）①证明：连接并延长交 于点，连接． 由（1）可知，在 边的中线上，即 是边上的中线． 、是 、边的中点， 是的中位线， ，． ，． ． ． 在中，，是 的中点， ． ． ② （3） 作法： 1．作线段； 2．作的垂直平分线，交于点 ；作 的垂直平分线，交于点；以为直径作； 3．以点 为圆心，为半径作弧，交于点 ； 连接 并延长至点 ，使；连接，则即为所求． 理由如下，如图所示，连接， 根据作图可得，是的直径， ∴ 由分别为的中点， ∴ ∴； ∴即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，中位线的性质； （1）根据相似三角形的性质与判定填写即可求解； （2）①并延长交 于点，连接．证明，进而可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证； ②根据①的结论可得，当时，面积最大，根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由为定长， 为中点，为 的中点，为的中点，则的长为，根据则点在直径为的圆上，确定点的位置，进而确定点 的位置，即可求解． 【小问1详解】 ①；②；③ 【小问2详解】 ①略 ②由①可得， ∴ 当时，面积最大，最大值为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $