第四章 因式分解（单元自测·基础卷）数学新教材北师大版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第四章 因式分解·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A B A A C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．3xy/ 13． 14．2035 15． 16．8070 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分） 【详解】（1）解： ；.................3分 （2）解： ．.................6分 18．（6分） 【详解】（1）解： ．.................3分 （2）解： ．.................6分 19．（6分） 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5；.................3分 （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴．.................6分 20．（6分） 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ． ∴ ．.................2分 （2）解： ．.................4分 （3）解： ．.................6分 21．（8分） 【详解】（1）解：由已知式子可得④；⑤；.................2分 （2）解：由已知式子可得规律为；.................5分 （3）证明： ．.................8分 22．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”；.................3分 （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10．.................8分 23．（8分） 【详解】（1）解：由题意得，；.................2分 （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或．.................8分 24．（12分） 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①；.................4分 （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形．.................12分 25．（12分） 【详解】（1）解：根据题意可知：．.................3分 （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个．.................6分 （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或．.................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第四章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需明确平方差公式的形式为，即多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A选项：是两个平方项的和，不符合条件； B选项：，是两个平方项的和的相反数，不符合条件； C选项：，是两个平方项的差，符合平方差公式形式，可分解为，符合条件； D选项：中不是平方项，不符合条件． 3．下列由左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：因式分解的要求是将多项式最终变形为几个整式乘积的形式． 选项A，是将整式乘积变形为多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，该项错误； 选项B，将多项式变形为两个整式和的乘积，符合因式分解的定义，该项正确； 选项C，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误； 选项D，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误． 4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据完全平方式的结构特征：两数平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍，逐一判断每个多项式是否符合该结构，即可得出结果． 【详解】完全平方公式因式分解的结构要求为 ，逐一判断： ① 对于， ①可以用完全平方公式因式分解； ②  对于，完全平方结构要求中间项应为，不符合完全平方结构， ②不能用完全平方公式分解； ③ 对于， ③可以用完全平方公式因式分解； ④ 对于，完全平方结构要求中间项为，与原式不符，不能用完全平方公式分解； ⑤ 对于，常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，不能分解； 综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个． 6．若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴原式． 7．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 8．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【答案】A 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解的应用，熟练进行因式分解，再结合三角形的三边关系，判断每个因式的符号，进而判断积的符号是解题的关键． 将代数式因式分解为平方差形式，利用三角形三边关系判断每个因式的正负，从而确定整个式子的符号. 【详解】解：∵ = = 又∵ 为三角形的三边， ∴ ，，， ∴ ，且 ， ∴ ∴ 代数式的值一定为负数. 故选：A． 9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（   ） A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数” C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2 【答案】B 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； B、，符合“豫数”定义，选项正确； C、不是的倍数，不符合豫数的形式，选项错误； D、最小的“豫数”是，不是，选项错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12．多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 13．若，则多项式应是______________． 【答案】 【分析】根据乘法与除法的互逆关系，可得为除以，对被除式运用平方差公式分解因式，进一步计算即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴ . 14．若，则的值为_____． 【答案】2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 15．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，，则，整体代入所求式子计算即可得出结果，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______． 【答案】8070 【分析】本题考查数的整除知识，灵活运用数的整除性质是解题关键． 礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．被5整除要求个位数字为0或5；被3整除要求数字之和被3整除，即被3整除．为求最小编号，应分类讨论的取值（或），并比较两种情况下得到的最小编号，取其中较小者． 【详解】解：礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除． 由被5整除，可知：或． 若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为． 若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为8175，均大于8070． 故最小编号为8070． 故答案为8070． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1)260 (2)2009 【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键． （1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可； （2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 20．（6分）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)16 (2) (3)32 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，二次根式的乘法，二次根式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先分别求出，，，再将待求式子变形后整体代入求值； （2）平方差公式分解因式，再整体代入求值； （3）将原式分组变形，用含，，的式子表示，再整体代入求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ． ∴ ． （2）解： ． （3）解： ． 21．（8分）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①；②；③． (1)请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________；⑤__________； (2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； (3)试证明（2）中的规律的正确性． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知式子得到规律； （2）将规律进行总结即可； （3）由平方差公式因式分解即可证明． 【详解】（1）解：由已知式子可得④；⑤； （2）解：由已知式子可得规律为； （3）证明： ． 22．（8分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【答案】(1)45是“完美数” (2)符合条件的的值为10 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果； （2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”； （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10． 23．（8分）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 24．（12分）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，① (2) (3)是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 25．（12分）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)需要②号长方体个，③号长方体个，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可； （2）根据题中的给定的长方体组合把进行计算即可； （3）先把进行分解，据此分解，得，整理得，再度化简得，根据是完全平方数，可得出的可能取值． 【详解】（1）解：根据题意可知：． （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个． （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第四章 因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列由左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 7．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 8．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（   ） A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数” C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：______． 12．多项式中，各项的公因式是___________． 13．若，则多项式应是______________． 14．若，则的值为_____． 15．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______． 16．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 20．（6分）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 21．（8分）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子： ①；②；③． (1)请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④__________；⑤__________； (2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________； (3)试证明（2）中的规律的正确性． 22．（8分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 23．（8分）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 24．（12分）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 25．（12分）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第四章因式分解·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.把多项式2x2+4y分解因式，应提取的公因式是() A.x B.y C.2x D.2y 2.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是() A.x2+y2 B.-x2-y2 C.-x2+y2 D.x2-y 3.下列由左到右的变形属于因式分解的是() A.（x-3)x+1=x2-2x-3 B.2x2y-3xy2=xy(2x-3y) C.x2-3=(x-1(x+1-2 D.ma+mb+nc=m(a+b+nc 4.下面是小明做的因式分解的题：-6ab-3v2ab2+3ab=-3ab(2a+☐)，其中有一部分被墨汁遮盖住了， 则被遮盖住的式子是() A.√2b-1 B.a-2b C.b2+1 D.√2b2-2 5.下列多项式：04w-8a+4:290+16-20ab:@y+1:国r+2x+4:⑤g2-6a-9.我中能 用完全平方公式因式分解的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.若a+b=√3，ab=1,则ab+2ab2+ab的值为() A.1 B.3 C.6 D.9 7.在对二次三项式x2+bx+c因式分解时，小刚看错了常数项c,分解成(x-3)(x-4),小明看错了一次项 系数b,分解成x-1)(x-2),则b+c的值为() A.-5 B.7 C.9 D.21 8.己知a,b,c是一个三角形三边的长，则代数式(a-b)2-c2的值() A.一定是负数B.一定是正数 C.一定是零 D.可能是零 9.定义：任意两个数a,b,按规则c=a+b-ab扩充得到一个新数c,称所得的新数c为鸿蒙数”.若 1/5 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a=2,b=x2-2x+2,则b,c的大小关系为() A.b<c B.bxc C.b2c D.b≤c 10.【新方向如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”.如 4=2-0,12=42-22,20=62-42，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是() A.所有“豫数”都是6的倍数 B.28是“豫数” C.50是“豫数” D.最小的“豫数”是2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.因式分解：x2-4y2=· 12.多项式9x2y+3xy2-6xyz中，各项的公因式是 13.若My2+3x=y-9x2,则多项式M应是 14.若a+b=3,则a2-b2+6b+2026的值为 15. 新情境)2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周 长为14，面积为12√2(a、b分别为休息区的长和宽，a>b),则ab+ab2的值为 b a 16.山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四 位数8a7b(a,b为0-9的整数).已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到 大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.(6分)把下列各式因式分解： (1)6m2-3m; (2)x2(a-b)+y2(b-a. 18.(6分)利用因式分解进行计算： (1)39×37-13×91: (2)29×20.09+72×20.09+13×20.09-20.09×14. 19.(6分)仔细阅读下面例题，解答问题： 2/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例题：己知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n),得 x2-4x+m=(x+3)(x+n则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n n+3=-4 m=3n n=-7 解得： m=-211 .另一个因式为x-7),m的值为-21. 问题： (I)已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是(x+5),求另一个因式以及a的值： (2)已知二次三项式2x2-bx-15有一个因式是(x+3),请仿照例题将2x2-bx-15因式分解. 20.(6分)已知a=√7+2，b=√7-2，求下列代数式的值： (1)a2-2ab+b2; (2)a2-b2: (3)2a2+2b2-a2b+ab2. 21.(8分)[核心素养]张老师在黑板上写了下列三个式子： ①32-1=8×1；②52-32=8×2；③72-52=8×3. ()请结合上述三个式子的规律，写出式子： ④ ；⑤ (2)用含n(n为正整数)的式子表示上述规律： (3)试证明(2)中的规律的正确性， 22.(8分)若一个数能表示成a2+b2(Q、b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 10=12+32,所以10是“完美数”，再如：M=x2+2xy+2y2=(x+y)+y2(x、y是整数)，所以M也是“完 美数” (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (②)已知S=4x2+y2+4x-6y+k(x、y是整数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值. 3/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.(8分)整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法(x+p)(x+q=x2+(p+q)x+pq,反过来为 x2+(p+qx+pg=(x+p)(x+q,恰好是因式分解.基于上述原理，将式子x2-x-6分解因式如下： x2-x-6 二次项x2 常数项-6分 分解为xx 解为2×(-3)》 次项-x=x·-3)+x·2,①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x·2+x(-3)=-x;③横 向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3). 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：x2-3x+2= ； (②)若x2+px-8可分解为x+a)(x+b)(a,b均为整数)，求出整数p的所有可能值有哪些？ 24.(12分)瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式x2-36y2+x-6y进行因式分解. x2-36y2+x-6y解：原式=x2-36y2)+(x-6y)第一步 ①提公因式法； =（x-6y)x+6y+x-6y)第二步 ②公式法. =(x-6y)(x+6y+1第三步 ()瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法，第二步到第三步因式分解运用的方法是 法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式：x2-6xy+9y2-3x+9y (3)应用：已知ABC的三边长a、b、c满足条件：a-b4+b2c2-a2c2=0,试判断ABC的形状. 25.新情境(12分)【实践探究】在学习因式分解时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④ 的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究. 1 4 图1 图2 图3 ()若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数 4/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 恒等式 ； (②)【问题解决】若要拼成一个棱长为2x+y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通 过计算说明理由： (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，直接写出y3-x3因式分解 的结果，并解答以下问题： 己知2a和b分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式8a3-b3=(2a-b)(5+2ab),若2a-b为整数 时，求ab的值. 5/5