专题01 概率初步（8大题型）（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题01 概率初步 目录 A题型建模・专项突破 题型一、事件的分类 1 题型二、用频率估计概率的综合应用 3 题型三、根据列举法求概率 7 题型四、几何概率——面积法 8 题型五、几何概率——圆心角法 10 题型六、根据概率求数量 12 题型七、根据概率判断游戏是否公平 13 题型八、概率在转盘抽奖中的应用 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、事件的分类 1．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 【答案】C 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析，需根据三类事件的定义判断各选项语句对应的事件类型，然后即可求解． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误； B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误； C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确； D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误． 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚普通硬币出现正面向上是随机事件，该选项不符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0是不可能事件，该选项符合题意； C、做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，该选项不符合题意； D、从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王是随机事件，该选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．阜阳人正月十五逛灯会时，一定能看到游龙灯表演 B．阜阳格拉条制作原料中必定包含面粉 C．临泉老集种植的生姜，每块重量都超过50克 D．阜阳人除夕守岁时，都会观看央视春晚 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：A、阜阳人正月十五逛灯会时，一定能看到游龙灯表演，是随机事件，故该选项不符合题意； B、阜阳格拉条制作原料中必定包含面粉，是必然事件，故该选项符合题意； C、临泉老集种植的生姜，每块重量都超过50克，是随机事件，故该选项不符合题意； D、阜阳人除夕守岁时，都会观看央视春晚，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型二、用频率估计概率的综合应用 5．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 6．（25-26九年级下·江西·开学考试）某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 【答案】(1)， (2)0.1 (3)这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【分析】（1）用频数11除以总数100即可求出频率m，用总数400乘以频率0.095即可求出频数n； （2）根据频率估计概率得0.1； （3）先用300除以概率0.1得到鱼塘中大约有3000条鱼，再列式即可求出总价值． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据频率估计概率得随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为0.1； （3）解：（条）， （元）． 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 题型三、根据列举法求概率 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 10．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）在化学实验课上，老师给出5种变化描述，分别是：①冰雪融化；②纸张燃烧；③酒精挥发；④玻璃破碎；⑤钢铁生锈．小明从中随机抽取2种变化均为化学变化的概率是________． 【答案】 【分析】先区分化学变化与物理变化，根据概率公式，求解即可． 【详解】解：②纸张燃烧、⑤钢铁生锈属于化学变化；①冰雪融化、③酒精挥发、④玻璃破碎属于物理变化； 从5种变化中随机抽取2种的所有可能情况为：①②、①③、①④、①⑤、②③、②④、②⑤、③④、③⑤、④⑤，共10种； 其中抽取的2种均为化学变化的情况只有②⑤这1种； 故所求概率为． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于6的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：所有可能的结果有9种：， ， ， ， ， ， ， ， ．其中两次标号的和等于6的结果有， ， 共3种，因此概率为． 故答案为． 12．（25-26九年级上·广东·月考）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了求概率. 根据题意列出甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况，再由概率公式计算即可． 【详解】解：甲出1一定输，所以甲最多有3次卡片上的数字大于乙， 若有3次卡片上的数字大于乙，就只有一种组合； 若有2次卡片上的数字大于乙有三类，分别列举如下： ①出3和出5的赢，其余输：； ②出3和出7的赢，其余输：；；； ③出5和出7的赢，其余输：；；；；；；； 综上，甲有3次卡片上的数字大于乙有1种情况，有2次卡片上的数字大于乙有11种情况，故甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况共有种， 而所有情况为种， 甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为． 故答案为：． 题型四、几何概率——面积法 13．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查概率，掌握概率的公式是解题的关键． 由图形可知，共有9种等可能的结果，阴影区域有5种，根据概率公式，计算即可． 【详解】解：由图可知，投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），共有9种等可能的结果， 击中阴影区域有5种， 击中阴影区域的概率是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查概率中几何面积概率的计算，直接由图可知阴影部分占图形总面积的，即可求解． 【详解】由图可知：每一个小三角形是小正方形面积的一半， ∴阴影部分占图形总面积的， ∴若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是. 故答案为：． 16．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积为___________． 【答案】65 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：65． 题型五、几何概率——圆心角法 17．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，某事件的概率等于这个事件所占的面积与总面积之比．计算阴影部分的面积在圆的面积中的占比即可． 【详解】解：∵图中6个扇形的面积相等， ∴随机投掷飞镖落在阴影部分的概率 故答案为：． 18．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，有一个质地均匀的圆形转盘，其中阴影部分的圆心角为，转动转盘，转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，用白色区域的圆心角的度数除以360度，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，指针指向白色区域的概率是， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，转盘被分成6个面积相等的扇形，转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 【详解】解：转盘被分成6个面积相等的扇形，其中阴影部分占2份， 指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】/ 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 题型六、根据概率求数量 21．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 【答案】18 【分析】设未知数，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到黄球的频率稳定在附近， ， 解得：，经检验是原方程的解， 则估计口袋中白球大约有18个． 22．（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 23．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数最可能是 ______ ． 【答案】 【分析】先计算出摸到白球的频率，再利用频率估计概率，结合总数频率频数计算白色球的个数，即可求解． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和， ∴摸到白球的频率为， ∴口袋中白色球的个数为． 24．（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共600个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为________个． 【答案】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据概率求数量． 由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， ∴摸到红球的概率为， ∴（个）． 故答案为：． 题型七、根据概率判断游戏是否公平 25．（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 【答案】(1)不公平．因为小花获胜的概率为，小佳获胜的概率为，所以这个游戏对双方不公平． (2)①③公平，②④不公平 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）（2）通过计算小佳获胜的概率和小花获胜的概率，从而可判断游戏规则是否公平． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： ∵小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∴这个游戏对双方不公平． （2）解：①因为个数中奇数和偶数各个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则①公平； ②因为个数中为的倍数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则②不公平； ③因为个数中大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则③公平； ④因为个数中不大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则④不公平； 故①③公平，②④不公平． 28．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1)； (2)这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性， （1）根据概率公式计算即可； （2）比较（1）中求出的概率求解即可． 【详解】（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数， ∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是； （2）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵， ∴乙获胜的概率大． 题型八、概率在转盘抽奖中的应用 29．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 30．（25-26七年级下·全国·单元测试）某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【答案】(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 31．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）“煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，需根据各类事件的定义，结合俗语描述的事件进行判断即可，解题的关键是正确理解不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：由不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件， ∵煮熟的鸭子不具备飞行能力，“煮熟的鸭子飞了”这一事件在现实中一定不会发生， ∴该事件是不可能事件， 故选：． 2．（25-26九年级下·河南安阳·月考）在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用列举法计算概率，先求出所有等可能的选择结果，再找出两人选择相同文化标识的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记龙门石窟、少林寺、殷墟三项标识分别为A、B、C， ∵两人各自独立选择， ∴所有等可能的结果为，共9种， 其中两人选择相同文化标识的结果共3种， ∴两人所选择的文化标识相同的概率为． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 【答案】D 【分析】根据概率的计算公式、概率的意义以及随机事件的定义，逐个判断选项的正误． 【详解】解：A、∵袋中总球数为个，红球共3个， ∴任意摸出一个红球的概率为，不是，A错误； B、∵是中奖的可能性描述，不是说买100张一定有5张中奖，结果是随机的， ∴B错误； C、∵射击的中靶与不中靶不是等可能事件， ∴击中靶的概率不一定是，C错误； D、∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，结果事先不确定， ∴“抛掷一次结果正面朝上”是随机事件，D正确． 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，如表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（   ） 移植总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9 B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株 C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，需明确频率与概率的关系，概率是频率的稳定值，是估计值而非确定值． 利用频率估计概率，逐一判断即可． 【详解】解：大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，可利用频率估计概率，但概率是估计值，不是必然结果，A选项，表格中各频率均在0.9左右，由此估计这种幼苗成活的概率约为0.9，该选项正确； B选项，“必定成活18000株”表述错误，概率是估计值，移植20000株幼苗只是大约成活18000株，不是必然结果； C选项，试验次数累计最多时的频率更稳定，可作为概率的估计值，该选项正确； D选项，大量重复试验中，随着试验次数增加，成活频率会越来越稳定，因此可用频率估计概率，该选项正确； 不正确的是B选项． 二、填空题 5．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的实验数据整理如下表： 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为____________． 【答案】0.55 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到1000次及以上时，频率稳定在0.55， 所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故答案为：0.55． 7．（25-26九年级上·山东威海·期末）一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，请估计口袋中有_____个红球． 【答案】28 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 设红球有个，由题可得摸到白球的概率约为，列方程，求解即可． 【详解】解：设红球有个，则总球数为个， 摸到白球的概率为，解得． 经检验，是该分式方程的解， ∴红球有28个． 故答案为：28． 8．（25-26九年级上·广东广州·期末）在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用．根据频率统计图确定白球的稳定频率，将其作为白球的概率，设黑球的个数为，列出方程进而求出黑球个数． 【详解】解：由频率统计图可知，摸到白球的频率稳定在左右， 根据频率估计概率的思想，可得白球的概率约为． 设黑球的个数为，则总球数为， 由概率公式得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． (1)小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是_________ (2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜．问该游戏对双方是否公平，为什么？ 【答案】(1) (2)该游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】此题考查了概率公式和游戏的公平性，熟练掌握概率公式是关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据概率公式求出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． ∴小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是； 故答案为：； （2）该游戏对双方是公平的，理由如下： 由题意可知小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， 他们获胜的概率相等，所以游戏是公平的． 10．（25-26九年级上·江苏·月考）盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． (1)摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； (2)求盒中黑球的个数； (3)若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【答案】(1)不可能事件； (2)盒中黑球个数为7； (3)往盒中再加入4个红球． 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键． （1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答即可； （2）设盒中黑球的个数为，列出方程并求解即可； （3）设往盒中再加入个红球，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵盒子中没有黄球， ∴不可能摸到黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件； （2）设盒中黑球的个数为，则 解得． 答：盒中黑球个数为7； （3）设往盒中再加入个红球，则 解得． 答：往盒中再加入4个红球． 11．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 93 118 300 480 602 摸到白球的频率 (1)上表中的______； (2)估计摸到白球的概率（精确到）； (3)如果袋中有21个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球． 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频率与频数和样本容量的关系、概率的应用等知识点，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）根据频率、频数、样本容量的关系求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近，据此即可解答； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）解： (个)． 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 12．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率初步 目录 A题型建模・专项突破 题型一、事件的分类 1 题型二、用频率估计概率的综合应用 3 题型三、根据列举法求概率 7 题型四、几何概率——面积法 8 题型五、几何概率——圆心角法 10 题型六、根据概率求数量 12 题型七、根据概率判断游戏是否公平 13 题型八、概率在转盘抽奖中的应用 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、事件的分类 1．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．阜阳人正月十五逛灯会时，一定能看到游龙灯表演 B．阜阳格拉条制作原料中必定包含面粉 C．临泉老集种植的生姜，每块重量都超过50克 D．阜阳人除夕守岁时，都会观看央视春晚 题型二、用频率估计概率的综合应用 5．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 6．（25-26九年级下·江西·开学考试）某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 7．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 题型三、根据列举法求概率 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 10．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）在化学实验课上，老师给出5种变化描述，分别是：①冰雪融化；②纸张燃烧；③酒精挥发；④玻璃破碎；⑤钢铁生锈．小明从中随机抽取2种变化均为化学变化的概率是________． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是_____． 12．（25-26九年级上·广东·月考）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为______． 题型四、几何概率——面积法 13．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 15．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是_________． 16．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积为___________． 题型五、几何概率——圆心角法 17．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是______． 18．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，有一个质地均匀的圆形转盘，其中阴影部分的圆心角为，转动转盘，转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是______． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，转盘被分成6个面积相等的扇形，转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是________． 20．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 题型六、根据概率求数量 21．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 22．（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 23．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数最可能是 ______ ． 24．（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共600个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为________个． 题型七、根据概率判断游戏是否公平 25．（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 28．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 题型八、概率在转盘抽奖中的应用 29．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 30．（25-26七年级下·全国·单元测试）某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 31．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）“煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 2．（25-26九年级下·河南安阳·月考）在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，如表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（   ） 移植总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9 B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株 C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 二、填空题 5．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的实验数据整理如下表： 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为____________． 7．（25-26九年级上·山东威海·期末）一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，请估计口袋中有_____个红球． 8．（25-26九年级上·广东广州·期末）在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 三、解答题 9．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． (1)小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是_________ (2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜．问该游戏对双方是否公平，为什么？ 10．（25-26九年级上·江苏·月考）盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． (1)摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； (2)求盒中黑球的个数； (3)若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 11．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 93 118 300 480 602 摸到白球的频率 (1)上表中的______； (2)估计摸到白球的概率（精确到）； (3)如果袋中有21个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球． 12．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $