专题04：平面向量【8个题型专项练习】-2026年高考数学二轮复习

2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题04：平面向量】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面向量的线性运算】 【练方法】 知识梳理 核心运算：加法（三角形/平行四边形法则）、减法、数乘 关键结论： 中线向量：（为中点） 三点共线：共线 运算律：满足交换律、结合律，数乘满足分配律 解题方法 1.几何分解：复杂图形中，将目标向量拆解为已知边向量的和差 2.基底表达：选取一组不共线基底，将所有向量用基底线性表示后合并 3.坐标运算：若已知点坐标，直接用“终点-起点”求向量坐标，再加减数乘 高考注意事项 减法易错：，指向被减向量 数乘结果是零向量，不是实数 线性运算结果仍是向量，不可写成数量形式 名师点睛 二轮核心：快速识别几何结构（中线、中点、平行四边形），直接套用结论简化运算 口诀：“加法首尾连，减法指向被减，中线平均和” （2026·湖北孝感·二模）已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 （2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·云南保山·开学考试）在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：平面向量的基本定理及求参数】 【练方法】 知识梳理 基本定理：若不共线，则平面内任意向量可唯一表示为 核心：基底不共线是分解唯一的前提 应用：已知向量分解式，求系数 解题方法 1.基底法：将所有向量用同一组基底表示，令等式两边基底系数相等，列方程组求解 2.坐标法：若已知坐标，直接令对应分量相等，解方程得参数 3.共线简化：若涉及共线向量，可降为单参数（如） 高考注意事项 基底必须不共线，否则分解式不唯一，无法求参 系数对应相等，不可混淆的系数 若题目未给基底，优先选图形中两边作为基底 名师点睛 二轮核心：“向量相等⇔系数/坐标相等”，本质是方程思想 高频考法：结合三点共线推论（）快速求参 （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ）经典例题1例题 A．-1 B． C．0 D．1 （2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·福建泉州·二模）已知，则实数的值为___________．小试牛刀1 （2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（    ）小试牛刀2 A． B．，4 C．4，3 D．3，4 （2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ）小试牛刀3 A．1 B． C． D． 【题型3：平面向量的共线定理及其推论】 【练方法】 知识梳理 共线定理：，使（） 坐标形式：，则 三点共线推论：共线且（为平面内任意点） 解题方法 1.共线判定：用坐标交叉相乘相等，或向量线性表示 2.三点共线：转化为，列方程求参 3.推论速解：已知三点共线，直接用求参数和 高考注意事项 共线定理中，否则不唯一 坐标共线公式不可记为，这是典型错误 推论中是“三点共线”的充要条件 名师点睛 二轮核心：推论是解题提速关键，看到“三点共线+向量线性表示”，直接用 口诀：“三点共线，系数和为1” （2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ）经典例题1例题 A．4 B． C． D． （2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·湖南永州·模拟预测）在数列中，，，，，若在中，为内一点，有，直线的延长线交于点，求的值为______．小试牛刀1 （24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．2 【题型4：几何中的平面向量的数量积】 【练方法】 知识梳理 定义：（） 几何意义：等于与在方向上投影的乘积 核心性质：（） 解题方法 1.基底法：将向量用已知边向量表示，展开数量积（优先选互相垂直或夹角已知的基底） 2.定义法：已知模长与夹角，直接代入定义计算 3.坐标法：建系后用计算 高考注意事项 数量积是数量，不是向量，结果可正可负可零 不满足结合律： 几何中注意三角形内角与向量夹角的关系（向量夹角是内角或其补角） 名师点睛 二轮核心：几何问题优先基底法，将复杂图形转化为已知边向量的运算 高频场景：三角形中线、高线、角平分线相关的数量积计算 （2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ）经典例题1例题 A． B．4 C． D．8 （2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示________；若，则的值为________．经典例题2例题 （2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则________．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则________．小试牛刀1 （2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B．3 C． D． （2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．1 【题型5：平面向量数量积计算模长与夹角】 【练方法】 知识梳理 模长公式：，即 夹角公式：（） 核心：数量积是连接模长与夹角的桥梁 解题方法 1.求模长：先平方，展开后代入数量积计算，再开方 2.求夹角：先算，再算，代入夹角公式求，再定 3.已知模长求数量积：由列方程求解 高考注意事项 模长一定非负，开方只取正根 夹角范围是，只能说明是锐角或，不可直接说“锐角” 计算时注意符号，钝角对应 名师点睛 二轮核心：“求模先平方，求角先算点积”，这是最通用的解题套路 口诀：“模长平方点积，夹角余弦比值” （2026·广东江门·一模）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________.经典例题1例题 （2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ）经典例题2例题 A． B．2 C． D． （2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ）小试牛刀1 A． B． C．7 D．21 （2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________．小试牛刀2 （2026·河北邢台·一模）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ）小试牛刀3 A．1 B． C．2 D．2 【题型6：平面向量的坐标运算】 【练方法】 知识梳理 坐标运算： 加减： 数乘： 数量积： 模长： 位置关系： 共线： 垂直： 解题方法 1.求向量坐标：用“终点坐标-起点坐标” 2.直接套用公式：线性运算、数量积、模长、共线、垂直均按坐标公式计算 3.建系简化：规则图形（矩形、直角三角形）优先建立平面直角坐标系，将几何问题代数化 高考注意事项 向量坐标是“终点-起点”，顺序不可颠倒 共线公式易错，必须是 坐标法是高考最稳妥的方法，计算直接，不易出错 名师点睛 二轮核心：坐标法是保底手段，遇到复杂几何图形，优先建系坐标化 高频考法：坐标运算求模长、夹角、共线、垂直，是基础中档题 （2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ）经典例题2例题 A．2 B．1 C． D．-1 （2026·四川内江·二模）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．1 C． D． （2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______.小试牛刀2 （2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ）小试牛刀3 A． B．0 C． D． 【题型7：平面向量中的最值与范围问题】 【练方法】 知识梳理 核心：将目标量（模长、数量积、夹角）转化为函数，求值域 常见模型： 模长最值：，转化为二次函数或三角函数 数量积最值：（柯西不等式），或用三角函数有界性 几何最值：向量终点在圆/直线上，用几何意义（距离）求最值 解题方法 1.函数化：设参数（角度、坐标），将目标量表示为单变量函数 2.求值域： 二次函数：配方求顶点最值 三角函数：用辅助角公式 几何法：圆上点到定点的距离最值为“圆心距±半径” 3.验证等号：确认最值可取到（如向量共线、角度满足范围） 高考注意事项 必须注意变量范围（如，坐标满足图形约束） 几何意义法可大幅简化计算，优先考虑 等号成立条件不可遗漏，否则范围会出错 名师点睛 二轮核心：“几何意义优先，函数法兜底”，能画图分析就不要硬算函数 高频考法：向量终点在圆上，求模长/数量积的最值 （2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.经典例题1例题 （2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______.经典例题2例题 （2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·湖北孝感·二模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______．小试牛刀3 【题型8：平面向量与三角函数解三角形综合】 【练方法】 知识梳理 核心关联： 向量数量积：，与余弦定理直接联动 向量垂直：，对应三角形高线 向量共线：对应三角形中线、角平分线 场景：向量条件+解三角形，求边长、角度、面积最值 解题方法 1.向量转边角：将向量条件转化为三角形边角关系（如） 2.正余弦定理：结合边角关系，列方程求边长/角度 3.三角变换：化简三角函数式，求面积/周长最值 4.坐标法：建系将三角形与向量坐标化，联立求解 高考注意事项 向量夹角是三角形内角，范围 注意三角形内角和为，边角对应关系不可混淆 解答题步骤要完整，逻辑要清晰，不可跳步 名师点睛 二轮核心：“向量→边角→正余弦定理→三角最值”是标准解题链条 高频考法：向量+解三角形的解答题，是二轮复习重点突破的中档题 （2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若，则（    ）经典例题1例题 A． B．0 C． D． （2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知.经典例题2例题 (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 【多选题】（2026·重庆九龙坡·一模）在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（    ）小试牛刀1 A． B．的最大值为 C．的周长的取值范围是 D．的最大值为 （2026·山东枣庄·一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______．小试牛刀2 （2026·福建泉州·一模）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知.小试牛刀3 (1)求； (2)点满足，且，求. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2026·广西河池·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）已知向量，，，若与共线，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·一模）已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 8．（2026·河南南阳·一模）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 10．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 13．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 14．（25-26高三上·广西·期末）等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 15．（2026·甘肃·一模）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 三、填空题 16．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 17．（2026·河北唐山·一模）已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 18．（2026·重庆·一模）若中，，点满足且，则的取值范围为_____． 19．（2026·江苏南通·一模）在中，，，则的最小值为_____． 20．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考冲刺模拟真题二轮复习专练 【专题04：平面向量】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面向量的线性运算】 【练方法】 知识梳理 核心运算：加法（三角形/平行四边形法则）、减法、数乘 关键结论： 中线向量：（为中点） 三点共线：共线 运算律：满足交换律、结合律，数乘满足分配律 解题方法 1.几何分解：复杂图形中，将目标向量拆解为已知边向量的和差 2.基底表达：选取一组不共线基底，将所有向量用基底线性表示后合并 3.坐标运算：若已知点坐标，直接用“终点-起点”求向量坐标，再加减数乘 高考注意事项 减法易错：，指向被减向量 数乘结果是零向量，不是实数 线性运算结果仍是向量，不可写成数量形式 名师点睛 二轮核心：快速识别几何结构（中线、中点、平行四边形），直接套用结论简化运算 口诀：“加法首尾连，减法指向被减，中线平均和” （2026·湖北孝感·二模）已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】若，，三点共线， 则存在实数满足，即， 又因为向量，不共线，所以， 因此. （2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量的加减法结合数乘运算计算求解. 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. （2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质,结合向量加法的平行四边形法则来求解即可. 【详解】因为,，, 所以 则. 故选：D. （2025·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，分析图中的几何关系，用基底的方法表示即可． 【详解】已知在等腰梯形中，，如下图：   ， ， 故选：B （25-26高三上·云南保山·开学考试）在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解. 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 【题型2：平面向量的基本定理及求参数】 【练方法】 知识梳理 基本定理：若不共线，则平面内任意向量可唯一表示为 核心：基底不共线是分解唯一的前提 应用：已知向量分解式，求系数 解题方法 1.基底法：将所有向量用同一组基底表示，令等式两边基底系数相等，列方程组求解 2.坐标法：若已知坐标，直接令对应分量相等，解方程得参数 3.共线简化：若涉及共线向量，可降为单参数（如） 高考注意事项 基底必须不共线，否则分解式不唯一，无法求参 系数对应相等，不可混淆的系数 若题目未给基底，优先选图形中两边作为基底 名师点睛 二轮核心：“向量相等⇔系数/坐标相等”，本质是方程思想 高频考法：结合三点共线推论（）快速求参 （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ）经典例题1例题 A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. （2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 又，则，故. （2026·福建泉州·二模）已知，则实数的值为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用向量线性运算转化为，根据系数相等可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，得. 故答案为： （2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（    ）小试牛刀2 A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】如图，   ， ，则. 故选：B. （2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ）小试牛刀3 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 【题型3：平面向量的共线定理及其推论】 【练方法】 知识梳理 共线定理：，使（） 坐标形式：，则 三点共线推论：共线且（为平面内任意点） 解题方法 1.共线判定：用坐标交叉相乘相等，或向量线性表示 2.三点共线：转化为，列方程求参 3.推论速解：已知三点共线，直接用求参数和 高考注意事项 共线定理中，否则不唯一 坐标共线公式不可记为，这是典型错误 推论中是“三点共线”的充要条件 名师点睛 二轮核心：推论是解题提速关键，看到“三点共线+向量线性表示”，直接用 口诀：“三点共线，系数和为1” （2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ）经典例题1例题 A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C （2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线、辅助角公式可得，结合的范围即可求解. 【详解】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. （2025·湖南永州·模拟预测）在数列中，，，，，若在中，为内一点，有，直线的延长线交于点，求的值为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知条件推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可得出，再结合平面向量线性运算、平面向量共线的推论可求出的值. 【详解】已知，因为，等式两边同时除以， 得到，即，所以数列是等差数列． 已知，，则，． 所以等差数列的公差． 根据等差数列通项公式得，那么． 所以，，，． 由，可得． 因为，所以． 展开可得，移项整理得． 设，即，即①， 又设，即，可得②， 由①②得， 因为，所以， 由可得， 因为为内一点，则、不共线， 由平面向量的基本定理可得，解得，即，故. 故答案为：. （24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C （24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 【题型4：几何中的平面向量的数量积】 【练方法】 知识梳理 定义：（） 几何意义：等于与在方向上投影的乘积 核心性质：（） 解题方法 1.基底法：将向量用已知边向量表示，展开数量积（优先选互相垂直或夹角已知的基底） 2.定义法：已知模长与夹角，直接代入定义计算 3.坐标法：建系后用计算 高考注意事项 数量积是数量，不是向量，结果可正可负可零 不满足结合律： 几何中注意三角形内角与向量夹角的关系（向量夹角是内角或其补角） 名师点睛 二轮核心：几何问题优先基底法，将复杂图形转化为已知边向量的运算 高频场景：三角形中线、高线、角平分线相关的数量积计算 （2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ）经典例题1例题 A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. （2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示________；若，则的值为________．经典例题2例题 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 （2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则________．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则________．小试牛刀1 【答案】 / 【分析】根据图形得到 ，结合三点共线即可求参数值，延长交于，设，进而有，可得，且，分别过作，交于，可得，，进而有，最后应用向量数量积的运算律求解. 【详解】由题设 ， 又三点共线，则，可得， 如下图，延长交于， 由 ， 若，则，而三点共线， 所以，即， 由， 分别过作，交于， 若，则，， 所以，， 即，， 综上，，则，为边长为1的正三角形， 所以 . 故答案为：， （2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. （2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 【题型5：平面向量数量积计算模长与夹角】 【练方法】 知识梳理 模长公式：，即 夹角公式：（） 核心：数量积是连接模长与夹角的桥梁 解题方法 1.求模长：先平方，展开后代入数量积计算，再开方 2.求夹角：先算，再算，代入夹角公式求，再定 3.已知模长求数量积：由列方程求解 高考注意事项 模长一定非负，开方只取正根 夹角范围是，只能说明是锐角或，不可直接说“锐角” 计算时注意符号，钝角对应 名师点睛 二轮核心：“求模先平方，求角先算点积”，这是最通用的解题套路 口诀：“模长平方点积，夹角余弦比值” （2026·广东江门·一模）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________.经典例题1例题 【答案】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. （2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ）经典例题2例题 A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 又，得， 则， 故选：A. （2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ）小试牛刀1 A． B． C．7 D．21 【答案】A 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. （2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点. 则有， ，. 因为的面积为，， 所以，解得. 所以 . 解得，即. （2026·河北邢台·一模）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ）小试牛刀3 A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 【题型6：平面向量的坐标运算】 【练方法】 知识梳理 坐标运算： 加减： 数乘： 数量积： 模长： 位置关系： 共线： 垂直： 解题方法 1.求向量坐标：用“终点坐标-起点坐标” 2.直接套用公式：线性运算、数量积、模长、共线、垂直均按坐标公式计算 3.建系简化：规则图形（矩形、直角三角形）优先建立平面直角坐标系，将几何问题代数化 高考注意事项 向量坐标是“终点-起点”，顺序不可颠倒 共线公式易错，必须是 坐标法是高考最稳妥的方法，计算直接，不易出错 名师点睛 二轮核心：坐标法是保底手段，遇到复杂几何图形，优先建系坐标化 高频考法：坐标运算求模长、夹角、共线、垂直，是基础中档题 （2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. （2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ）经典例题2例题 A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【分析】根据向量投影相等的条件，推导出，再利用向量垂直的数量积为列方程求解. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以，解得. （2026·四川内江·二模）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出向量，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以. （2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______.小试牛刀2 【答案】 【详解】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. （2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ）小试牛刀3 A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】计算出,再根据,两边平方化简即可求解. 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即， 得到. 故选：B. 【题型7：平面向量中的最值与范围问题】 【练方法】 知识梳理 核心：将目标量（模长、数量积、夹角）转化为函数，求值域 常见模型： 模长最值：，转化为二次函数或三角函数 数量积最值：（柯西不等式），或用三角函数有界性 几何最值：向量终点在圆/直线上，用几何意义（距离）求最值 解题方法 1.函数化：设参数（角度、坐标），将目标量表示为单变量函数 2.求值域： 二次函数：配方求顶点最值 三角函数：用辅助角公式 几何法：圆上点到定点的距离最值为“圆心距±半径” 3.验证等号：确认最值可取到（如向量共线、角度满足范围） 高考注意事项 必须注意变量范围（如，坐标满足图形约束） 几何意义法可大幅简化计算，优先考虑 等号成立条件不可遗漏，否则范围会出错 名师点睛 二轮核心：“几何意义优先，函数法兜底”，能画图分析就不要硬算函数 高频考法：向量终点在圆上，求模长/数量积的最值 （2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. （2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______.经典例题2例题 【答案】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及数形结合确定的最小值. 【详解】由题设，如下图有，且， 所以， 要使最小，只需反向共线，此时， 所以的最小值为. （2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. （2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. （2026·湖北孝感·二模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______．小试牛刀3 【答案】 【分析】先求出两个轨迹方程，可设，，则，由辅助角公式，结合二次函数的性质可求解. 【详解】因和是互相垂直的单位向量，则可建立分别以和为轴的单位方向向量的平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 此式表示动点到两点和的距离之和为4， 又， 所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，. 所以点的轨迹方程为. 设，由可得， 表示动点 的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 所以动点的轨迹方程为. 故可设，，， 则 ，其中. 因为，所以 . 又 , 因，则当时，取得最大值4， 所以，等号成立时，，， 由 可得，故. 所以，，即当，时取等号. 所以的最小值为. 【题型8：平面向量与三角函数解三角形综合】 【练方法】 知识梳理 核心关联： 向量数量积：，与余弦定理直接联动 向量垂直：，对应三角形高线 向量共线：对应三角形中线、角平分线 场景：向量条件+解三角形，求边长、角度、面积最值 解题方法 1.向量转边角：将向量条件转化为三角形边角关系（如） 2.正余弦定理：结合边角关系，列方程求边长/角度 3.三角变换：化简三角函数式，求面积/周长最值 4.坐标法：建系将三角形与向量坐标化，联立求解 高考注意事项 向量夹角是三角形内角，范围 注意三角形内角和为，边角对应关系不可混淆 解答题步骤要完整，逻辑要清晰，不可跳步 名师点睛 二轮核心：“向量→边角→正余弦定理→三角最值”是标准解题链条 高频考法：向量+解三角形的解答题，是二轮复习重点突破的中档题 （2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若，则（    ）经典例题1例题 A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可． 【详解】根据题意可知，， ， 即． （2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知.经典例题2例题 (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及三角恒等变换得到，求出； （2）根据向量数量积为0和（1）可知，设，则，得到，在中，由正弦定理得可得，又，从而可得方程，求出故，为锐角，结合同角三角函数平方关系求出答案. 【详解】（1）因为在的内， 所以 则， 可得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. （2）因为，所以. 由（1）可知， 则. 如图，设， 则. 在中，，即， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 又因为，所以， 又，故， 即， 可得，即， 故，故为锐角， 又，为锐角，则， 所以的值为. 【多选题】（2026·重庆九龙坡·一模）在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（    ）小试牛刀1 A． B．的最大值为 C．的周长的取值范围是 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可判断；对于B，先由余弦定理得，进而结合基本不等式可得，再结合平面向量的线性运算、数量积的运算律可得，进而求解判断即可；对于C，结合B及基本不等式可得，进而判断即可；对于D，根据正弦定理及三角恒等变换公式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理得，， 则， 即， 在中，，则， 即，又，则，故A正确； 对于B，由余弦定理得，， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于为的中点，则， 所以 ， 则的最大值为，故B正确； 对于C，由B知，， 解得，当且仅当时等号成立，又， 则的周长的最大值为3，故C错误； 对于D，由正弦定理得， 则， 所以 ， 因为，所以， 则，即时，，取得最大值为，故D正确. 故选：ABD （2026·山东枣庄·一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】因为， 且， 则， 又因为，且与所成的夹角为， 则， 可得， 当且仅当时，的最大值为. 故答案为：. （2026·福建泉州·一模）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知.小试牛刀3 (1)求； (2)点满足，且，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可. （2）求出向量，对进行平方可得到，将对应向量代入化简可得，结合余弦定理求出，代入求值即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. （2）因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2026·广西河池·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 2．（2026·云南·模拟预测）已知向量，，，若与共线，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算及向量共线的充要条件求解即可. 【详解】，， 因为与共线， 所以，解得. 3．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用向量的模与数量积的关系计算可判断ABC；利用数量积可判断D. 【详解】因为，所以，所以， 对于A，，所以 ， 当时，即时，，故A错误； 对于B，由A可知， 又 ， 当时，，可得，故B错误； 对于C，当，，可得， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：D. 4．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：A 5．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可. 【详解】 . 因为，，三点共线，根据向量共线定理可知， ，解得. 6．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意小船实际航行的方向应与保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得. 【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与保持一致， 设小船的船头方向为，水流方向为，为河宽， 在中，，， 则，，则， 设小船在静水中航行的速度大小为， 在中，由余弦定理，， 解得，即小船在静水中航行的速度大小为. 7．（2026·江苏·一模）已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以． 8．（2026·河南南阳·一模）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 9．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 10．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 11．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值． 【详解】依题意，， 则由可知：，即. 又因为非零向量与的夹角为， 得：， 化简可得：， 则的最小值即为圆上一点到两射线一点连线的最小值， 即圆心到两射线的距离减去半径， 圆心到射线的距离为，圆的半径为2， 则的最小值为. 故选：A. 12．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，， 在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为. 取，所以， 所以. 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上. 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 13．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 因为，所以， 所以点的轨迹方程为， 直线方程为， 联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，， 此时直线方程为， 令，解得，所以， 设，其中， 则，， 所以 ， 其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 14．（25-26高三上·广西·期末）等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 二、多选题 15．（2026·甘肃·一模）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 三、填空题 16．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    17．（2026·河北唐山·一模）已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 【答案】 【分析】设与轴正向夹角为，可得到，由此求得；代入可求得，进而得到点坐标. 【详解】， 设与轴正向夹角为，则， 即∴ 由题意得： 设，则，∴，， ∴. 18．（2026·重庆·一模）若中，，点满足且，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】令，由及向量数量积的运算律得，应用余弦定理得，进而有，分离常数法求范围. 【详解】由题设， 所以， 令，则，且，    由， 所以， 令，， 令，， 由在上单调递减，则， 所以，则. 故答案为： 19．（2026·江苏南通·一模）在中，，，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，由结合正弦定理可得，两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 故答案为：. 20．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得. 【详解】设，则，代入得， 根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8， 根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上， 所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离， 由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $