精品解析：山东省临沂市兰陵县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题

2021～2022学年度上学期质量检测 八年级数学 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A B. C. D. 4. 要使分式有意义，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，，，，的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，4块完全相同长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm 9. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 10. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 计算：的值是（ ） A. B. C. 0 D. 12. 在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（ ） A B. 1 C. D. 13. 如图所示，在中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F．则（ ） A. B. C. D. 14. 如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 15. 计算：______． 16. 把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若，则度数为________． 17. 计算：______． 18. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF＋EF的最小值为________． 三、解答题 20. 计算与因式分解 （1）计算：． （2）因式分解：． 21. 解答下列各题 （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 22. 如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空 ①同学甲：设__________，则方程为__________； ②同学乙：设__________，则方程为． （2）请选择其中一名同学设法，写出完整的解答过程． 24. 已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021～2022学年度上学期质量检测 八年级数学 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．，故本选项错误； B．=x2+4x+4，故本选项错误； C．c6÷c=c5，故本选项错误； D． (2b3)2=4b6，故本选项正确． 故选D 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵选项A中，左边是多项式，等式右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，∴本选项符合题意. ∵选项B中，等式右边不是几个整式的积的形式，∴不是因式分解，本选项不符合题意. ∵选项C，选项D的变形是将整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，∴这两个选项不符合题意. 4. 要使分式有意义，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴对于分式，可得， 解得． 5. 如图，在△ABC中，，，，度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，根据角的和差关系可得出∠DBC+∠DCB的度数，根据三角形内角和即可得答案． 【详解】∵， ∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°， ∵，，∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=130°， ∴∠DBC+∠DCB=130°-30°-40°=60°， ∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=120°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟记任意三角形内角和为180°是解题关键． 6. 如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵阴影部分的面积为=4ab，或是：(a+b)2−(a−b)2 ∴. 故选C. 点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，分阴影部分割成四个长方形的面积和补成大正方形的面积减去中间小正方形的面积整理即可．解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的面积． 7. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理求得正九边形的9个相同外角的度数和，即可求得1个外角的度数，再根据1个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得每个内角的度数． 【详解】解：∵正九边形的外角和为， ∴正九边形每个外角的度数是， ∴正九边形每个内角的度数是． 故选：C． 8. 如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证明即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴， ∵∠ACE＝90°， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 9. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角所对直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 10. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件， 根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11. 计算：的值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，可通过提取公因式化简式子，直接得出结果． 【详解】解： ． 12. 在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过题意，得，然后解这个分式方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 当时， ∴这个方程的解为 故选：A． 【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键． 13. 如图所示，在中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可以得到，，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线与三角形内角和的综合应用，利用垂直平分线的性质得到两对等边和两对等角是解题关键． 14. 如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，，再逐项分析即可得出结果． 【详解】解：如图：如图作于点，于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∴，即的值不变，故（2）正确； ∵，， ∴，， ∴，即四边形的面积不变，故（3）正确； ∵为定角， ∴，为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故（4）错误； 综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 15 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若，则的度数为________． 【答案】##128度 【解析】 【分析】由题意根据对顶角性质可得∠1=∠3，再根据三角形外角定理可得∠2=90°+∠3计算即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对顶角的性质及三角形外角定理，熟练应用对顶角的性质及三角形外角定理进行求解是解决本题的关键． 17. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂的法则将原式转化为分式形式，再对分母因式分解，通分后合并分子，约分得到最终结果． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，是的平分线， ∴， ∴的面积． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF＋EF的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】在射线BC上取一点，使得．过点A作AH⊥BC于H．证明，推出AF+FE=AF+，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线BC上取一点，使得．过点A作AH⊥BC于H． 在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°， ∴AHAC＝12， ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBE＝， ∵，BF＝BF， ∴△FBE≌△（SAS）， ∴， ∴AF＋FE＝AF＋， 根据垂线段最短可知，当A，F，共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小， 最小值＝12， 故答案为12． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，角平分线的定义，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题 20. 计算与因式分解 （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ， ． 21. 解答下列各题 （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简分式后，代入给定的值计算结果． （2）先将方程变形，确定最简公分母，去分母化为整式方程，解整式方程后进行检验，确认根的有效性． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：把代入， 所以，是原方程的根． 22. 如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）60° 【解析】 【分析】（1）利用“边角边”证明全等，即可证明． （2）利用（1）中全等三角形的性质可得：，再根据“八字型”证明即可． 【小问1详解】 ∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． 23. 为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ （1）填空 ①同学甲：设__________，则方程为__________； ②同学乙：设__________，则方程． （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①购进第一批防护口罩只、2②第一批防护口罩的单价为元；x+2； （2）200只，过程见解析 【解析】 【分析】（1）①根据等量关系：第二批的单价﹣第一批的单价＝2元，设未知数列方程即可；②根据等量关系：第一批防护口罩的单价×3＝第二批防护口罩的单价，设未知数列方程即可； （2）根据（1）中的方程，写出过程即可． 【详解】解：（1）①同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为﹣＝2； ②同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×＝． 故答案是：①药店第一批防护口罩购进了x只；2；②药店第一批防护口罩的单价为x元；x+2； （2）同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为﹣＝2， 解得x＝200． 经检验x＝200是原方程的解，且符合题意． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 同学乙：设药店第一批防护口罩单价为x元，则方程为3×＝． 解得x＝8． 经检验x＝8是所列方程的解， 所以，＝200． 答：药店第一批防护口罩购进了200只； 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24. 已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； （2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 【详解】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=AD．∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形． （2）△DEF为等腰直角三角形． 证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一）， ∴∠DAC=∠ABD=45°． ∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE， ∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB． ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形． 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $