精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2021-2022学年八年级下学期暑假检测数学试题

2022年初二暑假检测卷（蛟川书院） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图，在中，，，于点D，于点E，．连接DE，将沿直线AE翻折至所在的平面内，得，连接DF．过点D作交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证，得出，再证与是等腰直角三角形，在直角中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长． 【详解】解：∵，于点D， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵沿直线AE翻折得， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴四边形DFEG的周长为： ， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质． 2. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠可知 ，进而得到，过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，由BD＝4AD得到，进而得到，再利用三角形面积公式推出，即可求解． 【详解】解：由折叠可知 ， ∴ ， ∴ ， ∴①， 过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M， ∴ ， ， ∵BD＝4AD， ∴ ， ∴ ②， ①－②得： ， ∵CM⊥AB， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质、全等三角形的性质及三角形面积，解题关键是正确作出辅助线． 3. 如图，图1是一个四边形纸条，其中，E，F分别为边上的两个点，将纸条沿折叠得到图2，再将图2沿折叠得到图3，若在图3中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由折叠得：∠BEF=∠FEM=25°，由平行线的性质得∠EFM=25°，如图③中，根据折叠和平行线的性质得，∠MFC=130°，根据角的差可得结论． 【详解】解：如图②，由折叠得：∠B'EF=∠FEM=25°， ∵AEDF， ∴∠EFM=25°，∠BMF=∠DME=50°， ∵BMCF， ∴∠CFM+∠BMF=180°， ∴∠CFM=180°-50°=130°， 由折叠得：如图③，∠CFM=130°， ∴∠EFC=∠CFM-∠EFM=130°-25°=105°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键． 4. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM=90°，则BE：EM的值为（　　） A. 1：2 B. 3：4 C. 5：6 D. 5：12 【答案】B 【解析】 【分析】由∠BEM=90°，得到∠EBF=45°，推出BF=EF，连接DG，延长BG交CD于N，设EF=x，则BE=EG=x，根据DEBG，DE=BG推出四边形BEDG是平行四边形，得到DG=BE=x，∠HGD=∠EDG=∠EBF=45°，求出∠DGM=90°，证明△MNG∽△MDE，得到，由△CBG∽△NBC，求出BC进而得到NG，求出GM，即可得到答案． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得正方形ABCD与正方形EFGH， ∴∠FEG=45°，∠EFG=∠HEF=90°， ∵∠BEM=90°， ∴∠BEF=45°， ∴∠EBF=45°， ∴BF=EF， 连接DG，延长BG交CD于N， 设EF=x，则BE=EG=x， ∵DE⊥EF，BG⊥EF， ∴DEBG， ∵DE=BG， ∴四边形BEDG是平行四边形， ∴DG=BE=x，∠HGD=∠EDG=∠EBF=45°， ∴∠DGM=90°， ∵GNED， ∴△MNG∽△MDE， ∴， ∵∠CBG=∠NBC，∠BGC=∠BCN=90°， ∴△CBG∽△NBC， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴EM=EG+GM=， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形是判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 5. 若直角三角形的两直角边长是4和12，则它的斜边长为（ ） A. 160 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用勾股定理解答即可． 【详解】解：该直角三角形的斜边长为: ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边平方的和等于斜边的平方． 6. 下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据等腰三角形的定义与性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【详解】①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等（反例：相等的边为一个等腰三角形的腰和另一个等腰三角形的底边），则此说法错误 ②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，则此说法正确 ③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等（反例：一组相等的边为一个直角三角形的直角边和另一个直角三角形的斜边），则此说法错误 ④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等（反例：一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等），则此说法错误 综上，正确的个数为1个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义与性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟记并灵活运用各性质与定理是解题关键． 7. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠FDC=90°， ∠GDC+∠FDC=90°， ∴∠EDF=∠GDC， 于是在Rt△EDF和Rt△CDG中， ， ∴△DEF≌△DCG， ∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1， 所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1． 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题． 8. 如图，在中，，，，是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过D点作于E，首先利用勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过D点作于E ，，， ∴ 是的角平分线， ． 9. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 10. 如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于点，过点作⊥AB，垂足为， 则为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵∠BAC=45°， ∴∠ABH=45°， ∴∠ABH=∠BAC． ∴AH=BH， 在Rt△ABH中， AB=2，， ∴， ∴BH=， ∴BM+MN的最小值是=． 故选∶C． 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12. 如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 13. 如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 由折叠可得：， ， 平分， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ． 15. 两个边长为10cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为_____cm2． 【答案】25 【解析】 【分析】连接OA、OD，证明≌，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形ABCD的面积的关系求得结果． 【详解】解：如图，连接OA、OD， 则∠AOD＝∠GOE＝90°， ∴∠AOM＝∠DON， ∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心， ∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°， 在和中， ， ∴≌（ASA）， ∴， ∴(cm2）， 故答案是：25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于△OAD的面积． 16. 如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长． 【详解】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示， ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴CE＝8， ∴AD＝， 设∠CAD＝x，则∠BAD＝3x， ∵AE⊥BC，AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝2x， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴DE＝DF， 设CD＝a，则DE＝8﹣a， ∵ ， ∴ ， 解得a＝5， 即CD＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是求出AD是∠EAC的平分线． 17. 如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝_____°． 【答案】90 【解析】 【分析】如图（见解析），先证出，即可证得，进而证得，得到，即，即可证得． 【详解】如图，在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ 故答案为：90． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，掌握直角三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 18. 如图，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE交于F，连接AF，则∠AFE的度数是_____． 【答案】63° 【解析】 【分析】证明△BAD≌△CAE，推出∠ADF=∠AEF，推出A，E，D，F四点共圆，利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADF＝∠AEF， ∴A，E，D，F四点共圆， ∴∠AFE＝∠ADE， ∵∠DAE＝54°，AD＝AE， ∴∠ADE＝（180°﹣54°）＝63°， ∴∠AFE＝63°， 故答案为：63°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识．证明△BAD≌△CAE是解答本题的关键． 19. 如图，在中，，，是的中线，，，且，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交的延长线于，证明，得到，，根据垂直平分线的性质解答． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中线， ∴， ，， ， 又∵， ， ，， ， ． 三、解答题（14分+14分） 20. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】（1） （2），16，5 （3）5或11 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． 答：的长为． 【小问2详解】 在中，， 根据勾股定理，得 若，则 ，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，16，5． 【小问3详解】 ①点P在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 21. 已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线交于点D，若，显然直线是的关于点B的二分割线． （1）在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是____． （2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，的度数是____． （3）已知，同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出的度数（用表示）． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析，或 （3）或或或，或时， 【解析】 【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把分成角和角即可； （2）根据二分割线的定义作图即可； （3）设为的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形；第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形分别利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【小问1详解】 解∶所求图形如图所示． ∵，， ∴当时，， ∴是等腰三角形，是直角三角形． 【小问2详解】 解：所求图形如图所示． 或 由图可得或． 【小问3详解】 解：设为的二分割线，分以下两种情况． 第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形，易知和必为底角， ∴． 当时，存在二分割线； 当时，存在二分割线，此时； 当时，存在二分割线，此时且； 第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形， 当时，若，则存在二分割线，此时； 当时，若，则存在二分割线，此时， 综上，或或或，或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年初二暑假检测卷（蛟川书院） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图，在中，，，于点D，于点E，．连接DE，将沿直线AE翻折至所在的平面内，得，连接DF．过点D作交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 2. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，图1是一个四边形纸条，其中，E，F分别为边上的两个点，将纸条沿折叠得到图2，再将图2沿折叠得到图3，若在图3中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM=90°，则BE：EM的值为（　　） A. 1：2 B. 3：4 C. 5：6 D. 5：12 5. 若直角三角形的两直角边长是4和12，则它的斜边长为（ ） A. 160 B. C. D. 或 6. 下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 8. 如图，在中，，，，是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. B. 3 C. D. 9 10. 如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 12. 如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 13. 如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 14. 如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则______． 15. 两个边长为10cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为_____cm2． 16. 如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝______． 17. 如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝_____°． 18. 如图，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE交于F，连接AF，则∠AFE的度数是_____． 19. 如图，在中，，，是的中线，，，且，则____________． 三、解答题（14分+14分） 20. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 21. 已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线交于点D，若，显然直线是的关于点B的二分割线． （1）在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是____． （2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，的度数是____． （3）已知，同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出的度数（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $