专题05 平面向量数量积的最值与范围问题（专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题05 平面向量数量积的最值与范围问题 题型一 求向量的数量积的最值（范围） ⑴代数法：利用基底法或坐标法，将问题转化为函数或不等式问题，通过二次函数、基本不等式、三角函数有界性求最值（范围）； ⑵几何法：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ⑶ 极化恒等式。 例1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】（基底+二次函数）在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 例2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（几何法+基本不等式）（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 例3．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（坐标+二次函数）如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选；B. 例4．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】【解法一：坐标法+二次函数】以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 【解法二：极化恒等式】设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 相似题1：（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 相似题2：（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 相似题3：（25-26高三上·湖南娄底·期末）在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 所以，， 所以，因为，所以， 所以的取值范围为. 故选：A    相似题4：（25-26高三上·陕西榆林·期末）在等腰梯形中，，，，为线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1：如图以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作垂足为，过点作垂足为， 在等腰梯形中，，，，所以，， 则，，设，其中， 所以，， 所以，即的取值范围是. 解法2：设在上的投影长为，则，所以. 故选：C. 相似题5：（25-26高一上·江苏南通·月考）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 题型二 求向量的模的最值（范围） 求平面向量数量的模的最值（或范围）的主要方法： （1） 利用转化为实数问题、通过二次函数、基本不等式、三角函数有界性或数量积的性质求最值（范围）； （2） 数形结合，应用图形的几何性质求最值（范围）； （3） 坐标法。 例1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】（+二次函数）因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 例2．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】（+三角函数有界性）由，得，而，则，， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：C 例3．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】（数形结合法）令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 例4．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】（坐标法）在平面直角坐标系中，设， ， ，得. 由， 得， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：D. 相似题1：（25-26高三上·北京房山·期末）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】（）因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 相似题2：（24-25高三上·河北保定·开学考试）平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 相似题3：（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即，即， 则. 故选:D． 相似题4：（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解法一：由， 即， 而（为与的夹角）， 所以， 解得， 所以的最小值为． 解法二：设，由，得， 取线段上靠近的三等分点，则，且． 由，得． 如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则． 设，由，得，易得点的轨迹是圆， 所以的最小值为，所以的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 相似题5．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】（向量的三角不等式）平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 题型三 求向量的夹角的最值（范围） 求向量的夹角的最值（范围）往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为函数的最值（范围），要注意变量间的关系。 例1．（25-26高三上·辽宁营口·期中）已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. 例2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 相似题1：（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 【答案】1 ； 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 题型四 求参数的最值（范围） ⑴若题目含有一个参数，则利用已知条件得到关于次参数的不等式，解不等式得到参数的取值范围； ⑵若题目含有两个参数，则根据已知条件得到两个参数的等量关系，然后利用基本不等式求参数的取值范围。 例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 例2．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵向量，∴， ∴在上的投影向量是，∴， ∴， ∴当时，取最小值. 故选：D. 相似题1：（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， ，即， 整理得， ，又， ，即， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为8. 故选：D. 相似题2：（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 【答案】C 【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ， 若 ， ∵ 存在θ使得 成立， 整理可得 ，即（其中不能为2） ，则， 移项并化简可得 由解得，由 解得 综上所述，所以λ的取值范围为 ． 故选：C 相似题3：（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作，垂足为， 和是等腰三角形， 为中点，为中点， 设， 则， ， ， 因为， ， 即 ， 即 联立解得：， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 相似题4：（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 ； 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 1．（25-26高三上·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 2．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 3．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的方程有实根， 所以， 因为，所以，，所以， 即与的夹角的取值范围是． 故选：B 5．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：B． 6．（25-26高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 7．（25-26高三上·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 8．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知非零向量的夹角为且，当取最小值时，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 则 ，故当时，取最小值. 故选：B 9．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 10．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 11．（25-26高三上·山西大同·期中）已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又，所以 所以， 所以，所以， 所以（是向量与的夹角）. 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为3. 故选：A. 12．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 13．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 ； 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 15．（2026高一·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 16．（2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】如图： 设（）， 则， 又， 所以. 所以 ，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以. 17．（25-26高三下·天津河西·开学考试）在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】； 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、， 由题意得，所以，则， 故， 因为、不共线，且，则，，故， 因为，故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 18．（2026高一·全国·专题练习）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】以的中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 由正的边长为1，得，， 由分别在边上，设， 则， 由，得，即（*）， 因， 则， 因此 将（*）代入上式，可得， 因，当且仅当时取等号， 即，解得， 则， 则，故， 所以的取值范围是. 19．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 【答案】2 【详解】如图， 取中点为，连接，则，且， 设为和的夹角，则 ， 且， 当且仅当时，即与反向时等号成立， 因， ，则当时，有最大值， 此时三点共线. 于是共线且点在点与之间，故. 20．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】 【详解】解法1：已知，则， 又，满足， 则， 则， 又，即， 即，又， 即， 则在上投影向量为， 所以， 即在上投影向量的模的最小值为. 解法2：由， 又，故， 在上投影向量的模为， 由，得， 故投影向量的模为， 当时，在上的投影向量的模最小，最小值为， 所以在上投影向量的模的最小值为. 21．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 【答案】 【详解】设， ，， ， ， 即，故， ， ， 由基本不等式得， ，故，当且仅当时取等号， ，故的最大值为． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 专题05平面向量数量积的最值与范围问题 题型突破 遥法接炼 代数法 题型一：求向量的数量积的最值（范围） 几何法 极化恒等式法 利用d2=d2 题型总结 题型二：求向量的模的最值（范围） 数形结合法 坐标法 题型三：求向量的夹角的最值（范围） 含一个参数，解含参的不等式 题型四：求参数的取值范围 含两个参数，得两个参数的等量关系，再利用基本不等式 题型一 求向量的数量积的最值（范围） 点方法 (①)代数法：利用基底法或坐标法，将问题转化为函数或不等式问题，通过二次函数、基 本不等式、三角函数有界性求最值（范围）； (2)几何法：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围，然后根据平 面图形的特征直接进行判断： (3)极化恒等式。 例1.(2026-辽宁抚顺一模)已知菱形4BCD的边长为2，∠BAD= 3,点p在线段BC上， 点P在线段DC上，BP=OC,则DP.0的最大值为() 3 B.2 c.2 D.-2 例2.(25-26高一下·全国课堂例题)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则P1(PB+PC的最小值为() 1/11 学科网·上好课 wWw.z×xk.com 上好每一堂课 8、3 4 A.-2 2 c.3 0.1 例3.(25-26高三下安徽阜阳开学考试)在△1BC中， AB=AC=2,BC=2W5,P为线段 上的动点，则P1PB BC 的最小值为() 3 ⑤ A 2 B.4 C.2 D.4 例4.(25-26高三上安徽月考)在等腰梯形ABCD中，AB1/DC, AB=2BC=2CD=2 P CD 是线段 上的动点，则 PA·PB 的最小值为() 1 3 A.-22 B.-4 c.-4 D.0 相似题1：(2026四川模拟预测)已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则 A正，BE的最小值为(） 3 A.-4 1 1 B.-2 C.-4 1 D.8 相似题2：(25-26高三下·天津红桥·开学考试)在等腰梯形ABCD中，已知AB/1DC, B-2,BC=,∠ABC=60°动点E和F分别在线段BC和DC上，且B配=ABC DF=gDC,则花，征的最小值为（） 91 29 19 29 19 A.9 B.9 C.18 D.18 相似题3：(25-26高三上湖南娄底·期末)在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=3, D二2·点G在边DG上满足DG=DC,点E为线段1B上的动点（不含端点），则 GE·AC 的取值范围为() 2/11 命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 A.（-11, B.（-1,11 c.-65,-3W3 D.(33,6W3 相似题4：(25-26高三上陕西榆林期未)在等腰梯形ABCD中，AB/DC,AB=2, CD=1,E为线段 上的动点（包括端点），则亚AB D 的取值范围是() c.[1,3 0 相似题5：(25-26高一上·江苏南通·月考)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老 的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图 形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八 AP.AB 条边上的动点，则 的范围是() B 图1 图2 A.[-2,2√2] B.[-22,22 c.[-24+25] D.[-2V2,4+22] 题型二 求向量的模的最值（范围） 点方法 求平面向量数量的模的最值（或范围）的主要方法： (1)利用=转化为实数问题、通过二次函数、基本不等式、三角函数有界性或数 量积的性质ab≤a求最值（范围）； (2)数形结合，应用图形的几何性质求最值（范围）； (3)坐标法。 3/11 命学科网·上好课 wWw.z×xk.com 上好每一堂课 例1.(25-26高三上·湖北期末)已知向量ā，6满足d=2,万在a上的投影向量是20，则 2a- 的最小值为() A.5 B.4 C.3 D.2 例2.（2526高=上云南普洱期末)已知向量a6满足a2,a-6=4,则2a-1的最小 值为() A.4 B.3 C.2 D.1 例3.(25-26高三下·安徽开学考试)已知向量°是单位向量，向量“在°上的投影向量为 22,向6在e上的投影向量为32，则点-可的最小值为 例4。(2026高三全国专题练习)已知平面向量a6,c满足a年1，a-6=1,a-c=-2,6.c=0, 则6+c的最小值为() A.1 8. C.2 D.3 相似题1：(2526高三上北京房山期末)已知向量a,6满足=2，=3，ā与5的夹角为 ,则+之eR的取值范围是() A.[1.5] B.0,+) c.10,5j D.1,+) 相似题2：(24-25高三上河北保定开学考试)平面向量ā，方满足=1，=5， a6=0,若-d=6-,则月最小值为() A.1 B.2 4/11 命学科网·上好课 wWw.z×xk.com 上好每一堂课 5 √5 C.3 D.2 相似题3：(25-26高三上河北沧州月考)已知平面向量m=(a,2列，n=(1,6-,p=(a,b), 若m⊥n, 则回的最小值为《) 23 5 2W5 A.3 B.3 C.5 D.5 相似题4：(2026高-下全国专题练习)已知向量a,万满足2a+=3,且aa-6列=3， 则a-可的最小值为 相似题5。.(25-26高一下湖北武汉月考)已知平面向量8，万，色，且同=l已知向量6 与所成的角为60°，且5-≥5-d对任意实数t恒成立，则6+2+6-司的最小值为 () A.3+1 8.25 C.v3 D.4 题型三求向量的夹角的最值（范围） 点方法 求向量的夹角的最值（范围）往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为 函数的最值（范围），要注意变量间的关系。 例1.(25-26高三上辽宁营口期中)已知a,6均为单位向量，且a+2b3a-b,则4与 6 的夹角的取值范围是() 。. 5/11 命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 例2.(2025江苏苏州模拟预测)已知平面向量a=(m,l,万=(m,2)(m>0),记@与 b sinθ 的夹角是，则的最大值为() 2 22 √2 A.4 B.3 c.3 D.2 相似题1：(2526高一上广东深圳期末)若平面向量ā，万满足日--日，同=2，则当 3a+列a+2最小时， :记3a+b与a+2b的夹角为0，则tan0的最大值为 题型四求参数的最值（范闺） 点方法 (1)若题目含有一个参数，则利用己知条件得到关于次参数的不等式，解不等式得到参数的 取值范围： (2)若题目含有两个参数，则根据已知条件得到两个参数的等量关系，然后利用基本不 L等式求参数的取值范围。 例1.(25-26高三上·上海徐汇·期中)在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1,P为 1B边上的点且MD=A丽，若C币.B≥P.P ,则2的取值范围是（） 2-√2√2 B. 22 2-51 2-√22+√2 C. 2 D. 22 例2.(2526高二上广东揭阳月考）》已知向量a=2,6=(x,川，若5在a上的投影向量 是a,则2+y的最小值为() 2 A.9 8. c.4 D.5 6/11 命学科网·上好课 wWw.z×xk.com 上好每一堂课 相似题1：(25-26高三上江苏镇江·期中)已知△ABC角A,B,C的对边分别为a,b, 。·A60,D为C上一点，且4DV5,D-西+号元，则6女的放大值是 4 4 () A.2 B.4 C.6 D.8 相似题2：(25-26高一上江苏盐城期中)设向量ā，万的夹角为9，若=2-=2， 且存在0使得2a+6-a计6 成立，则实数的取值范围为) A.[-7,-1 B.[5,7] c.【-7,-u3 。.【7,-小u5,刃 相似题3：(2025高三上河南鹤壁：专题练习)已知AMBC的外接圆圆心为0，∠BAC= 若10=xMB+yAC(xye),则x+3y的最大值为() 8+2V3 8-25 A.4+25 B.4-25 C.3 D.3 相似题4：(25-26高三上·北京海淀·月考)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E, 使DE=CD,若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点， 设向量P=B+u证 则2+“的最小值为 最大值为 D 1.(25-26高三上江西·月考)已知正方形ABCD的边长为2，点M,N分别为边AB,DA 7/11 命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 上的动点，则M爪 的取值范围是() A.[-4,1 B.[-22,22] c.[-4,0 0.[-22,] 2.(25-26高三上·北京昌平·期末)已知正方形ABCD的边长为1，E为线段AB的中点， F CD EF.AB 为边上的动点，则 的取值范围为() a[44.[4周 e. 别 3.(2026辽宁抚顺一模)已知菱形4CD的边长为2，∠BD-骨，点p在线段BC上， 点'在线段DC上，BP=C,则DP.B0的最大值为() 3 B.2 C.2 D.-2 4.(2526高一下全国误堂例题)已知同=2月，月*0，且关于x的方程 x2+x+a-6=0有实根，则a与乃的夹角9的取值范围是（） 。 5.(25-26高三上·重庆月考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AB=2AD=8, B =3,若M,N是线段BC上的动点，且M四=2，则DMD的最小值为（) A A.10 B.11 C.12 D.13 6。(2525商三上北京月考)在平面直角坐标系0中，1OO死5,2.设 8/11 命学科网·上好课 wWw.z×xk.com 上好每一堂课 C3,4) 则27+指 的取值范围是() A.16,20) B.16,22 c.18,221 D.[8,121 7.(25-26高三上江苏·月考)P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点， 则AB.Ap 的最大值是() A.4 B.4v3 C.6 D.6V3 8.(2526高三上江苏泰州期中)已知非零向蓝.5的夹角为证1回=且(-+：当 回取最小值时，则实数的值为(） √2 -1 -2 A.2 B.2 c.2 D.-2 9.（2526高三上山东泰安期末)已知向量a=(cos8,si8),.6=1,v5),若0与5的夹角 不超过3，则|a-b的范围是() 1V3 A.L,5] B.22 C.[1,3] 10.(2025高一下·江苏南京·专题练习)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的 传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的 示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边 上的动点，则AP.AB的最小值为( ) A 图1 图2 9/11 命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 A.-V2 B.2 c.-22 D.4V2 1.(25-26高三上山西大同期中)已知向量回-同=5，且a-6=0,若向量满足 -a-=1,则的最大值为() A.3 C.1 D.2+1 12.（24-25高-下黑龙江齐齐哈尔月考)a,6C起点重合， 同=25，=4<a,6>a-d6-d=0,则的最大值为(） A.25+1 B.3 c.g-1 D.3+1 13.（25-26高一上湖南衡阳：期末)ā，6均为单位向量，且a16,向量°满足 E-石-=1，则的取值范围是 14.(25-26高一下·全国·单元测试)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三 等分点，CE=DE,丽=A+uBC,则A+A F为线段BE上的动点， 6为4“中点，则FD 的最小值为 15.(2026高一·全国·专题练习)设P是△ABC所在平面内的一点，若2P-B即-C可=2， 则Pi-Pi+PAPc 的最小值为一· 62026高一全国专题练习)在平面直角坐标系中，原点00.0，己知2’2， BL,0,C是线段HB上的动点（含端点），且D为O4的中点，则OCCD的取值范围是 10/11