19.3函数的表示 教学设计2025-2026学年冀教版数学八年级下册

学科网（北京）股份有限公司 19.3 函数的表示 课题 19.3 函数的表示 课型 新授课 课时 1 总课时 教材分析 本节内容选自冀教版数学八年级下册第十九章《一次函数》第3节《函数的表示》。本章是函数学习的起始章节，而本节《函数的表示》是函数概念的具体化和操作化，在整章乃至整个函数知识体系中起着承上启下的关键作用。教材在19.1节引入函数概念后，于19.2节学习函数关系式的建立，本节则系统介绍函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。教材编排遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，通过大量贴近学生生活的实例（如气温变化、行程问题等）引导学生体会不同表示方法的优缺点及相互转化。本节内容不仅是对前面所学函数概念的巩固和应用，也为后续学习一次函数的图象与性质、用函数观点看方程（组）与不等式等内容奠定了方法论基础。教材注重数形结合思想的渗透，强调根据具体情境选择适当的表示方法，旨在培养学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养。 学情分析 授课对象为八年级下学期学生。在知识基础上，学生已经学习了平面直角坐标系、变量与常量的概念，并在19.1节和19.2节初步理解了函数的概念，知道函数是刻画变量之间依赖关系的数学模型，并能根据简单问题列出函数关系式。在认知特点上，八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，具备一定的观察、分析和归纳能力，但将抽象的函数关系进行多角度表征以及在不同表示方法间灵活转换仍存在困难。部分学生对数形结合思想的应用尚不熟练，对图象的理解可能停留在“画图”层面，未能深刻理解图象作为函数关系直观表征的本质。此外，学生容易混淆函数的三种表示方法，尤其是对列表法中数据对应关系的理解，以及对解析法中自变量取值范围的确定存在疏漏。教学中需通过丰富的、与学生生活经验紧密相连的实例，搭建脚手架，引导学生主动探究、对比归纳，实现知识的同化与顺应。 核心素养 （教学） 目标 1. 知识技能：理解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的含义和具体形式；能根据具体问题情境，选择恰当的方法表示函数关系，并能进行三种表示方法之间的相互转化（在可行范围内）；能根据函数的某种表示求出对应的函数值或自变量的值。 2. 数学思维：经历从具体实例中抽象出函数表示方法的过程，体会数学抽象；通过对比分析三种表示方法的特征与优劣，发展批判性思维和优化选择意识；在实现不同表示方法转化的过程中，特别是“数”与“形”的转化，深化数形结合思想。 3. 问题解决：能够运用函数的多种表示方法分析和解决简单的实际问题，如解释现实世界中的变化规律，预测趋势等；能根据问题背景和需求，灵活选用或综合运用不同的表示方法来分析和表述问题，增强应用意识和模型观念。 4. 情感态度：在探索函数多种表示方法的活动中，感受数学的多样性与统一性，体会数学表达的精确与直观之美；通过小组合作与交流，养成乐于探究、敢于表达、严谨求实的科学态度；认识到函数表示方法在实际生活中的广泛应用价值。 教学重点 1. 函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的理解与识别。这是本节最基础、最核心的知识点。重点在于引导学生通过具体实例，准确把握每种方法的定义、表现形式和关键特征。例如，解析法强调用含自变量的数学式子表示；列表法强调用表格列出自变量与函数的对应数值；图象法强调在坐标系中用平滑曲线（或点）表示。 2. 根据具体情境选择适当的函数表示方法。这是知识的应用关键。重点在于引导学生分析不同情境（如需要精确计算、需要观察趋势、数据为离散值等）对函数表示的不同需求，理解三种方法各自的优缺点（解析法精确但抽象，列表法具体但有限，图象法直观但不精确），从而做出合理选择，培养优化意识。 教学难点 1. 函数三种表示方法之间的相互转化，特别是根据图象获取信息并转化为解析式或列表。难点在于学生需要综合运用数形结合思想，从图形的形状、位置、关键点（如与坐标轴交点）中抽象出数量关系。例如，根据一个分段函数的图象写出其分段解析式，需要学生准确识别图象在不同区间的变化规律及其转折点。 2. 对函数图象本质的理解，即图象上点的坐标与函数对应关系的统一性。学生容易将函数图象理解为一条单纯的“线”，而忽略其本质上是由满足函数关系的所有点组成的集合。难点在于引导学生理解“图象上的每一个点，其横坐标是自变量的一个值，纵坐标是对应的函数值”，并能运用这一本质进行判断和求解。例如，判断某点是否在函数图象上，或根据图象求特定自变量对应的函数值。 教法学法 教法：采用“情境创设-探究发现-合作交流-讲练结合”的多元教学方法。 1. 情境导入法：以近期（如2024年）某城市24小时气温变化预报数据为引例，自然呈现函数的列表法和图象法，激发学生兴趣，引出课题。 2. 探究发现法：围绕核心实例（如共享单车计费、手机套餐流量使用等），设计系列问题链，引导学生自主探究、对比分析三种表示方法的特点、适用情境及相互联系，主动构建知识体系。 3. 合作学习法：在难点突破环节，如进行表示方法转化时，组织学生小组讨论，鼓励他们交流想法、相互质疑、补充完善，在思维碰撞中深化理解。 4. 讲练结合法：教师精讲关键概念、易错点和思想方法，随即配以层次分明、贴近生活的例题和随堂练习，让学生及时巩固，教师巡视指导，针对共性问题进行集中点拨。整个教学过程以学生为主体，教师为主导，注重启发和引导。 教学准备 1. 教师准备：精心设计教学课件（PPT），包含导入情境素材（如近期的气温变化图表、共享单车计费规则文字说明）、核心探究例题、课堂练习题、小结框架等。准备实物教具如可书写表格的白板贴。预设学生可能出现的疑问及应对策略（如对图象是“点集”的理解困难，用描点法强调）。 2. 学生准备：复习函数的概念、平面直角坐标系相关知识。准备课堂练习本、直尺、铅笔等学习用具。 3. 环境准备：确保多媒体设备（投影、电脑）运行正常。将学生分成若干4人异质小组，便于合作探究。黑板划分为主板（用于呈现知识结构）和副板（用于例题演算和学生板演）。 教学过程设计 复备栏 • *一、 创设情境，导入新课 (约5分钟)** 师：同学们，这是气象台发布的我市昨天24小时的气温变化情况。这里有一张表格，列出了每隔2小时的气温数据（呈现列表）。为了更直观，气象员又绘制了这样一条曲线（呈现折线统计图式的图象）。从数学角度看，时间t和气温T之间是否存在函数关系？ 生：存在，对于每一个时间t，都有唯一的气温T与之对应。 师：很好。这里，我们用了两种不同的方式来描述这个函数关系：表格和图形。除了这两种，我们以前还学过用什么方式表示两个变量之间的关系？ 生：用式子，比如之前学过的路程=速度×时间。 师：对，用数学式子。这就是我们今天要深入学习的《19.3 函数的表示》，一起来探索如何多角度地表示函数。 • *二、 合作探究，建构新知 (约20分钟)** • *活动一：认识三种表示方法** 师：请看探究1：某共享单车使用规则为：前30分钟收费1.5元，超过30分钟后每分钟收费0.1元。设用车时间为t分钟（t>0），应付费用为y元。 1. 你能写出y与t之间的函数关系式吗？（引导得出分段函数解析式：y=1.5 (0<t≤30)； y=1.5+0.1(t-30) (t>30)） —— 这叫解析法。 2. 请你计算t=20, 30, 45时的费用，并填入表格。 —— 这叫列表法。 3. 如果我在平面直角坐标系中，以t为横轴，y为纵轴，描出上面表格中数据对应的点，并用线段连接（注意分段），得到的是什么？ —— 这叫图象法。 请各小组讨论：解析法、列表法、图象法各有什么特点？尝试用关键词概括。 （学生讨论后汇报，教师板书关键词：解析法-精确、全面、抽象；列表法-具体、直接、有限；图象法-直观、趋势、连续） • *活动二：表示方法的转化与应用** 师：掌握了它们的“长相”和特点，我们来看看它们如何“变身”。探究2：已知函数 y=2x-1 (0≤x≤3)。 1. （解析法→列表法）请独立完成下表：（学生计算，教师巡视） x | ... 0 | 1 | 2 | 3 ... y | ... -1 | 1 | 3 | 5 ... 2. （解析法→图象法）根据上表，在坐标系中描点、连线。提问：连线时要注意什么？（自变量取值范围，线段端点） 3. （图象法→数值）观察你画的图象，当x=1.5时，y大约是多少？这体现了图象法的什么特点？（直观但存在读数误差） • *三、 典例精析，突破难点 (约10分钟)** 师：现在挑战升级。请看例1：下图是某函数的图象（教师描述或简单勾勒：一条从(-2,0)到(0,2)的线段，和一条从(0,2)到(2,0)的线段）。 1. 根据图象，你能列出一些对应值吗？（图象法→列表法） 2. 你能尝试写出这个函数的解析式吗？（图象法→解析法，难点突破） 引导学生观察图象特征：由两条线段组成，需要分段求解析式。利用待定系数法或根据端点坐标求直线方程。最终得到：y=x+2 (-2≤x≤0)； y=-x+2 (0<x≤2)。强调自变量取值范围的确定依据图象。 • *四、 巩固练习，分层反馈 (约8分钟)** • *A组（基础）**：1. 判断下列表示中，哪些是y关于x的函数？并指出表示方法。① 某城市2023年各月平均降水量表；② 公式S=πr²；③ 心电图波形图。 2. 已知函数y=3x-2，当x分别取-1, 0, 1时，求函数值。 • *B组（提升）**：3. 某快递公司省内寄件收费规则为：1kg以内12元，超过1kg后，每增加1kg加收2元（不足1kg按1kg计）。设快件重量为x kg（x>0），运费为y元。用解析法表示y与x的函数关系，并计算一个2.3kg快件的运费。 （学生练习，教师巡视，针对A组第1题函数判断的细节、B组第3题分段和“不足1kg按1kg计”的处理进行个别辅导和集中讲评） • *五、 课堂小结，梳理升华 (约5分钟)** 师：通过本节课的学习，你收获了哪些？请从知识、方法、思想层面谈谈。 引导学生总结：1. 函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）及其特点、联系。2. 根据实际问题需要选择合适的方法。3. 体会了数形结合和转化的数学思想。 教师完善板书结构图。 • *六、 布置作业，拓展延伸 (约2分钟)** • *必做题**：课本本节后练习第1、2、3题。 • *选做题**：查阅资料，找出一个用函数关系描述的现实生活现象（如手机剩余流量与使用时间），尝试用三种不同的方法来表示这个函数关系，并简要说明每种表示方法的优势。 【作业答案预设（部分）】 必做题1：①列表法；②解析法；③图象法。2：略。3：y=15+2(x-1) (x≥1, x为整数)，当x=5时，y=23。 选做题提示：鼓励学生自主探究，答案开放，重在过程的合理性。 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $