甘肃定西市第一中学2025-2026学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷

2026年甘肃省定西市第一中学高三数学第五次模拟考试试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（    ） A．12 B． C．20 D． 4．已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 5．已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．已知直线与平面.命题：在平面外，命题：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3 B．四面体的体积为 C．平面截正方体所得截面的面积为 D．平面 11．已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D．为定值 三、填空题（每题5分，共15分） 12．的展开式中，项的系数为 .（用数字作答） 13．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为 . 14．已知向量满足，则与的夹角为 四、解答题（5个小题，共77分） 15（13分）．在中，内角所对的边分别为，，为锐角. (1)求； (2)若，延长至，使得，，求的面积. 16（15分）．如图，是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 17（15分）．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 18（17分）．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 19（17分）．已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围； (3)时，讨论关于的方程的根的个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C D D B ACD ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13．/ 14．/ 15．【详解】（1）因为，由正弦定理，得 （*）. 又，所以， 代入（*），可得. 因为，所以， 所以，即. 因为，所以， 所以，即. （2）在中，由正弦定理得① 在中，， 由正弦定理，②. 由①②可得，展开化简得， 因为，所以. 因为，所以. 所以. 16．【详解】（1）在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面，平面，故平面. （2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面的夹角为，则有 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）已知，平面的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 17．【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 18．【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 19．【详解】（1）因为，所以， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）由（1）知，， 因为在内有两个极值点，所以 在内有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根． 设，则， ①当时，， 所以在上单调递增，不符合条件． ②当时，令得 ， 当，即时，， 所以在上单调递减，不符合条件； 当，即时，， 所以在上单调递增，不符合条件； 当，即时， 在上单调递减，上单调递增， 若要在上有两个不相等的正实根，则 ，解得． 综上所述，所以的取值范围为. （3）由可得，， 设， 令，则，所以 在上单调递增，在上单调递减． （ⅰ）当时，，则 ，所以． 因为，所以 ，因此在上单调递增． （ⅱ）当时，，则 ， 所以． 因为，所以，即 ， 又， 所以， 因此 在上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时， ， 当，即 时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 当，即 时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 当，即 时， ①当时， ，要使，可令，即 ； ②当时，，要使 ， 可令，即， 所以，当时，有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2， 综上所述：当时，关于 x的方程根的个数为0， 当时，关于x的方程根的个数为1， 当时，关于x的方程根的个数为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $