5.5 数学归纳法（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 选修三第五章数列 5.5数学归纳法 知识网络 理清脉络 A稠举目轮 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： 、公侣钠蜀员鸡时合泡成立”为条件，旺明当一k+时鱼 归纳奠基 归纳假设 (3)只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，从而 归纳递推 法 命题得证. 数学归纳法 这种证明方法称为数学归纳法 得出结论 1,初始值不一定取1： 2,证明当n=k+1时命题也成立，一定要用到“当n=k(便≥o,k∈N)时命题 学 成立”这个假设，否则不是数学归纳法： 用数学归纳法证明 对于数学归纳法的理解 3.解决“归纳一猜想一证明”题的关键是分清楚=k与=k+1时对应的式子. 恒等式或不等式 识梳理 (1)弄清楚n-o时等式或不等式两端的表达式； (②)弄清楚从n-k到n-k+1的过程中，等式或不等式两端各增加或 用数学判归纳法证明 减少了哪些项： 整除问题 法 (3)证明当n=k+1时命题也成立，要设法将特征式与归纳假设联系 用数学归纳法证明恒等式或不等式 用数学归纳法证 起来，并向k+1时需要证明的目标表达式变形 明数列问题 分 用数学判归纳法证 明其他问题 知识梳理 梳理教材 A秀实基欧 ◇知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n=no(no∈N*)时命题成立： (2归纳递推)以“当n=k(k≥o,k∈N*)时命题成立”为条件，证明当n=k+1时命题也成立. (3)只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从0开始的所有正整数n都成立，从而命题得证. 这种证明方法称为数学归纳法. 《。即学即练 1.(20-21高二下…浙江嘉兴·期中)用数学归纳法证明：1+2+3+..+2n=n(2n+1)时，从n=k推证n= k+1时，左边增加的代数式是() A.(2k+1)+(2k+2)B.4+2C.2k+2D.2k+1 2(多选2122商二下辽宁大连月考)用数学归纳法证明不等式品+2+点十…十>的过程中，下 列说法正确的是() A.使不等式成立的第一个自然数no=1 B.使不等式成立的第一个自然数o=2 C.n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是2k+2k+2 D.n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是2k+2a+ 1 第1页共8页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型突破 抓住核心 突破重点 >题型01用数学到归纳法证明恒等式或不等式 点方法 奥1例引精杨 1.(20-21高二上·上海-课后作业)在用数学归纳法求证：(n+1)(n+2)…(n+n)=2m.1·3…(2m-1),(n为 正整数)的过程中，从“k到k+1"左边需增乘的代数式为) A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) c.器0.22k+1) 2(2.23高二下辽宁大连·期中)用数学归纳法证明1+++…+六<m(m∈N,n>1刂少的过程中，从 n=k(k∈N,k>1)到n=k+1时，左边增加的项数为) A.2k B.2k-1 C.2k-1 D.k 3.(19-20高一下浙江宁波·期中)用数学归纳法证明(m+2)(m+3)…(2n+2)=2n+1.1·3…(2n+ 1)∈)时，从“k"到“k+1"的证明等式左边需增添的代数式是() A.2k+4 B.(2k+3)2k+④C. D.2k+3(2k+4 k+2 4.(25-26高二下.全国课后作业)用数学归纳法证明(1+1)(2+2)3+3)…(n+n)=2m-1·(n2+n)时，对于 表达式Sn=(1+1)(2+2)(3+3)…(m+n=2n-1·(n2+n),从Sk到Sk+,表达式需要添加的因式是 舞易绪 从n=k到n=k+1时，左右两边分别增加了多少项，这是容易出错的. 1.(2023高二上江苏.专题练习)利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n.1·3…(2n-1)"时，由 k到k+1时，左边应添加因式 变式巩圆 1.(20-21高二下·黑龙江哈尔滨期中)用数学归纳法证明：1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…+n×1= 名n0m+1)m+2),当n=k时，左式为f(W,当n=k+1时，左式为f(k+1),则fk+1)-fk应该是() A.1×(k+1)B.1+2+3+·+(k+1)C.1+2+3+…+kD.k×(k-2) 第2页共8页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高二上全国课后作业)已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及其证明： (1)当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，所以等式成立. (2)假设n=k(k∈N+)时等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1成立，则当n=k+1时，1+2+22+ …+2-1+2==21-1,所以n=k+1时等武也成立 由(1(2)知，对任意的正整数n命题都成立.判断以上评述() A.命题、证明都正确 B.命题正确、证明不正确 C.命题不正确、证明正确 D.命题、证明都不正确 3.(20-21高二下-浙江期末)利用数学归纳法证明等式：1·n+2·(m-1)+3·0m-2)+…+n·1=(0m+ 1)(n+2)(n∈W*),当n=k时，左边的和1·k+2·(k-1)+3·k-2)+…+k·1记作Sk,则当n=k+1 时左边的和记作Sk+1,则Sk+1-Sk=() A.1+2+3+…+(k-2) B.1+2+3+…+(k-1) C.1+2+3+…+k D.1+2+3+…+(k+1) 4.(24-25高二下·辽宁沈阳·月考)下列命题错误的个数是() ①用数学归纳法证明2m>n时，正整数n的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明站+2+点3++六≥n之1，nEM,由n=k到n=k+1时，不等式左边应添 加的项是+42 ③设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k+1)≥(k+1)成 立”，若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 ④对于不等式Vn2+n<n+1(n∈N+),用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n=1时，左边=V12+1,右边=1+1，不等式成立 (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即V2+k<k+1, 那么当n=k+1时， 、(k+1)2+(k+1)=Vk2+3k+2<√k2+3k+2)+k+2=J(k+2)2=(k+1)+1, 所以当n=k+1时，不等式成立. 综上vn2+n<n+1(n∈W+). A.1 B.2 C.3 D.4 5多选2018上海宝山，二模)用数学归纳法证明品>扁对任意n≥（红k∈的自然数都成立，则以下满 J2n+1 足条件的k的值中正确的为() 第3页共8页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 6.(23-24高二上·上海宝山期末)用数学归纳法推断2”>n2时，正整数n的第一个取值应为 ◆题型02用数学归纳法证明整除问题 皮方法 奥例精饲 1.(16-17高二上河北衡水，周测)用数学归纳法证明34n+1+52m+1(n∈N)能被8整除时，当n=k+1时， 34(k+1)+1+52k+1)+1可变形为) A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34k+1+52k+1 C.34×34k+1+52×52k+1 D.25(34k+1+52k+1) 2.(21-22高二.全国.课后作业)已知f(n)=(2n+7)·3"+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整 除f(n),则最大的m的值为 3.(20-21高二上·上海·课后作业)在证明1+2+22+23+…+25m-1(n∈N*)是31的倍数时，n=1时验证的 表达式是 ;k到k+1增加的表达式是 4.(18-19高二下江苏连云港.期中)用数学归纳法证明“当n∈N时，f(m)=5”+2×3m-1+1能被8整除"时， 第二步“假设当n=k(k∈N)时，f(=5k+2×3k-1+1能被8整除，证明当=k+1时f(k+1)也能被 8整除“的过程中，得到f(k+1)=5+1+2×3k+1)-1+1=f(+A,则A的表达式为 度式巩1国 1.(20-21高一下·上海宝山·开学考试)用数学归纳法证明“对任意偶数n,a”-b”能被a一b整除时，其第二步论 证应该是() A.假设n=k(k为正整数)时命题成立，再证n=k+1时命题也成立 B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立 C.假设n=k(k为正整数)时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立 D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再证n=2(化+1)时命题也成立 2.(22-23高三上山东潍坊·期中)斐波那契数列又称黄金分割数列，因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子 繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上， 第4页共8页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 斐波那契数列被以下递推的方法定义：数列{an}满足：a1=a2=1,am+2=an+1+an(neW).则下列结论正确 的是()） A.ag=13 B.a2023是奇数 C.a+a吃+a吲+…+a3021=a2021a2022D.a2022被4除的余数为0 3.(24-25高二上.甘肃庆阳·月考)若f(n)=1+2+22+23+.+25m-1用数学归纳法证明1+2+22+23+ .+25n-1是31的倍数(n∈N+),在验证n=1成立时，原式为 4.(20-21高二全国.课后作业)对任意n∈N34n2+㎡n1都能被14整除，则最小的自然数a= 5.(24-25高二上，全国.单元测试)用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中，当n=k+1时， 34k+1)+2+52k+1)+1应变形为 6.(16-17高二下·江西南昌月考)n为正奇数时，求证：xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k-1命题为 真时，进而需证n=,命题为真. ◆题型03用数学归纳法证明数列问题 点方法 奥引例精胡 12023高=上江苏专题练习别在正项数列a,中，a=3,a+1=3云则a,() A.为递减数列B.为递增数列C.先递减后递增D.先递增后递减 22:23高二下北京：期中已知数列a,3满足a1=1,a+1=a-品给出下列四个结论： ①数列{an每一项an都满足0<an≤1(n∈N):②数列{a}是递减数列： 国数列a的前n项和S。<2;④数列a,海一项都满足a≤片成立 其中，所有正确结论的序号是() A.①②B.①③ c.①②③ D.①②④ 3.(多选24-25高三下湖北月考)已知数列{an}中，a1=2,an+1=√an+1,n∈N,则(） A.as>a4 B.数列a,}提递减数列C.H5<a≤2D.an≥1+高 2 第5页共8页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (n,n为奇数； 4.(24-25高二上·江苏扬州·期末)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a= (agn为偶数则 S22025-1-S22024-1= 度1式1巩1国 1.(21-22高二·全国课后作业)在数列{an}中，a1=1,Sn表示前n项和，且Sn,Sn+1,2S1成等差数列，通过 计算S1、S2、S3的值，猜想Sn等于(). A.2可 2m+1 B. C.n(n+1) 2(21-22商二·全国课后作业已知数列a,]满足a1=1,且a+1=an为正整数)，利用数列的递推公式猜 想数列a,的通项公式为a:=下面是用数学归纳法的证明过程： (1)当n=1时，a1=1满足am=,命题成立； 2慢设n=k为正整数时合题成立，即a:=放立，侧当n=k+1时，由a1=得品=是=亡+1， an 即侣是以片=1为首项，1为公差的等差数列，所以=n,即a。=÷所以a+1=本，命题也成立.12) "as a 知，a=片 判断以下评述：() A.猜想正确，推理(1)正确 B.猜想不正确 C.猜想正确，推理(12)都正确 D.猜想正确，推理1)正确，推理(2)不正确 324-25高二上全国课后作业)数列a,}满足：a1=01=哈-2，则[a20zl除以7的余数为) A.1 B.2 C.4 D.以上都不对 420-21高三上北京强基计划已知a1=,a+1= -,1-a 2 (n∈N*),则a12=(） A.sin3210 B.sin32 C.sin π D.sin32 π 5.(多选)24-25高二下辽宁鞍山-期中)已知a+1=a比(m∈N,t≠0)，且当方程tx2+2x-r=0有解时， tan+3 有：tp2+2p-r=0,则下列说法正确的是() A.若t>-1,数列+2a为等差数列 (t(an-p)2 B.若t=-1,数列}为等差数列 第6页共8页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若=4t=2.a=3,数列a道项公式为0=哥 D.若rt<-1,则存在一个自然数T,k∈N,使得ak+r=ak成立 612526高二上辽宁月考)设正整数数列03满足站十动 1 1.+=1一b2之3，则{b}的前 儿=1 2025项中偶数的个数是 >题型04用数学到归纳法证明其他问题 点方法 奥1例精杨 1.(18-19高二·全国课后作业)已知8>7,16>9,32>11，…，则有() A.2m>2n+1B.2+1>2n+1C.2m+2>2n+5D.2n+3>2n+7 2.(21-22高二·全国·课后作业)下列结论能用数学归纳法证明的是() A.ex≥x+1(x∈R) B.1+2+3++0m+3)=@+30a+9(meW) 2 C.1++z++点=2-(（)周'om∈N)D.sinm(a+)=sinacosR+-cossin8(aBeR) 3.(多选22-23高二下·全国课后作业)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f()≥k2成立时， 总可推出f(k+1)≥(k+1)成立”，那么下列命题不成立的是() A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f()≥k2成立 B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立，则当k≥4时，均有f()≥k2成立 4.(19-20高一下·上海宝山·月考)用数学归纳法证明2m>n2对任意n≥k,(,k∈N的自然数都成立，则k的 最小值为 变式|巩1固 1.(24-25高二下·全国·课后作业)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可 推出f(k+1)≥(k+1)成立”，那么下列命题总成立的是() A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 第7页共8页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有fk)≥k2成立 C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立，则当k≥4时，均有f()≥k2成立 2.(23-24高二下辽宁沈阳·期中)平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测a的表达式，再 利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当n=k+1时，需证ak+1=ak+(). A.k+1 B.k2-k+2 C.k(k+1) D.2k 321-22商二全国课后作业函数，()-f2)=f16)=而…则函数02a(是（人 A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 4.(21-22高三上湖北·月考)记B(x)为实数x的十进制表示下小数点后任意连续六位数字组成的集合.例如： B(π)=141592,415926,159265,592653,926535,265358,653589，}当x取遍区间0,1)中的所有无理数 时，集合B(x)的元素个数的最小值是() A.5 B.6 C.7 D.8 5.(多选(20-21高二，全国·课后作业)一个与正整数n有关的命题，当n=2时命题成立，且由n=k时命题成立 可以推得n=k+2时命题也成立，则下列说法正确的是() A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k取值无关 D.以上答案都不对 6.(20-21高二下.全国课后作业)函数f:N+→N+,满足f(1)=f(2)=1,f(n)=f(f(n-1)+f(n-f(n- 1),n=3,4,,则f(65536)= 第8页共8页学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 选修三第五章数列 5.5数学到归纳法 知识网络 理清脉络 钢举朗轮 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基 解 (3)只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，从而 归纳假设 命题得证. 归纳递推 数学归纳法 这种证明方法称为数学归纳法， 得出结论 撞 1,初始值不一定取1： 2,证明当n=k+1时命题也成立，一定要用到“当n=k(k2o,keN)时命题 学 成立”这个假设，否则不是数学归纳法： 识 对于数学归纳法的理解 用数学归纳法证明 3.解决“归纳一猜想一证明”题的关键是分清楚n=k与=k+1时对应的式子. 恒等式或不等式 (1)弄清楚n-时等式或不等式两端的表达式； (②)弄清楚从n-k到n-k+1的过程中，等式或不等式两端各增加或 用数学判归纳法证明 理 减少了哪些项： 整除问题 法 (3)证明当n=k+1时命题也成立，要设法将特征式与归纳假设联系 用数学归纳法证明恒等式或不等式 用数学归纳法证 起来，并向k+1时需要证明的目标表达式变形 明数列问题 分 用数学判归纳法证 明其他问题 知识梳理 梳理教材 A秀实基欧 ◇知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n=no(no∈N*)时命题成立： (2归纳递推)以“当n=k(k≥o,k∈N*)时命题成立”为条件，证明当n=k+1时命题也成立. (3)只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从o开始的所有正整数n都成立，从而命题得证. 这种证明方法称为数学归纳法. 《。即学即练 1.(20-21高二下·浙江嘉兴期中)用数学归纳法证明：1+2+3+..+2n=n(2n+1)时，从n=k推证n= k+1时，左边增加的代数式是() A.(2k+1)+(2k+2)B.4+2C.2k+2D.2k+1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数学归纳法证明恒等式 【分析】根据1+2+3+..+2n=n(2n+1),对n分别赋值k和k+1,比较左式即得. 【详解】根据数学归纳法的规定，当n=k时，等式为1+2+3+..+2k=k(2k+1), 当n=k+1时，等式为1+2+3+..+2k+(2k+1)+(2k+2)=(k+1)[2(k+1)+1], 则左边增加的代数式是(2k+1)+(2k+2), 第1页共24页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：A 2多选训21-22高二下辽宁大连月考)用数学归纳法证明不等式+2+++>是的过程中，下 n+n241 列说法正确的是() A.使不等式成立的第一个自然数no=1 B.使不等式成立的第一个自然数o=2 C.n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是2+2k+2 1 D.n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是2k+22k+ 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当n=1时，可得<品当肌=2时，可得+号景 即使不等式成立的第一个自然数no=2,故A错误，B正确： 当n=k时，可得品+品+品+“+ 1 1 当n=k+1时，可得+高+十点 1 1 +k中k+2中+2k+2 两式相减得：本十2行++可 11 1 所以n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是2k+2+可 1 故C正确，D错误： 故选：BC 题型突破 抓住核心 突欧重点 ◆题型01用数学归纳法证明恒等式或不等式 点方法 奥引例引精1初 1.(20-21高二上·上海课后作业)在用数学归纳法求证：(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n-1),(n为 正整数)的过程中，从“k到k+1”左边需增乘的代数式为) A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) c. D.2(2k+1) 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明恒等式 【分析】根据题意，分别得到=k和n=k+1时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果 第2页共24页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】当n=k时，左边A=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k), 当n=k+1时，左边B=(k+2)k+3)(+1+k+1)=(k+2)(k+3)(2k+2) 则2-+2+3292+D2k+2-2+12+2-2(2k+1). A (k+1)(k+2)…(2k) k+1 故选：D. 2(2-23高二下辽宁大连期中)用数学归纳法证明1+++…十<n(meN,n>1少的过程中，从 n=k(k∈N,k>1)到n=k+1时，左边增加的项数为) A.2k B.2k-1 C.2k-1 D.k 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据n=k和n=k+1时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】n=k时，可得：1+计号+…+<k n=k+1时，可得：1+号+计…+2<k+1, 故增加了2+1-1-(2k-1)=2*项. 故选：A 3.(1920高一下浙江宁波·期中)用数学归纳法证明(n+2)(n+3)…(2n+2)=2+1.1·3…(2n+ 1)(∈N)时，从“k"到k+1"的证明等式左边需增添的代数式是() A.2k+4 8.(2k+3列2k+到C. D.2k+3(2k+4) k+2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【解析】左边用“k+1"替换“k”,观察增加变化项，可解 【详解】由n=k到n=k+1时，等式左端的项为(k+1+2)k+1+3)…(2(k+1)+2), 等式左端增加的项为+3)2k+型 k+2 故选：D 4.(25-26高二下·全国·课后作业)用数学归纳法证明(1+1)(2+2)3+3)(n+n)=2m-1·(m2+n)时，对于 表达式Sm=(1+1)(2+2)(3+3)…(n+m)=2m-1.(n2+n),从Sk到Sk+1,表达式需要添加的因式是 【答案】2k+2 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据条件写出n=k+1时左边的表达式，进一步分析即可. 第3页共24页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】当n=k时，左端为：Sk=(1+1)(2+2)(k+k), 当n=k+1时，左端为：Sk+1=(1+1)(2+2)…(k+)(k+1+k+1): 由Sk到Sk+1需添加的因式为：(2k+2) 故答案为：2k+2 辨易猪 从n=k到n=k+1时，左右两边分别增加了多少项，这是容易出错的. 1.(2023高二上江苏.专题练习)利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2”.1·3…(2n-1)”时，由 k到k+1时，左边应添加因式 【答案】2(2k+1) 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据条件写出n=k+1时左边的表达式，进一步分析即可. 【详解】当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k), 当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)(2k+1) 所以左边应添加因式为2(2k+1). 故答案为：2(2k+1). 变|式|巩1固 1.(20-21高二下·黑龙江哈尔滨.期中)用数学归纳法证明：1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…+n×1= 名n0m+1)0m+2),当n=k时，左式为f(W,当n=k+1时，左式为fk+1),则fk+1)-f)应该是() A.1×(k+1)B.1+2+3+…+(k+1)C.1+2+3+…+kD.k×(k-2) 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【分析】根据题意表示出f(k)和f(k+1),然后代入计算f(k+1)-f(k)即可， 【详解】由题意，f(k)=1·k+2k-1)+3(k-2)+4(k-3)+..+k·1,f(k+1) =1·(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+..+k·2+(k+1)·1, 所以f(k+1)-f()=1·[(k+1)-k+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-k-2]+4·[(k-2)-(k 3)]+.+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+.+k+(k+1). 故选：B. 2.(24-25高二上.全国课后作业)已知命题1+2+22+…+2m-1=2n-1及其证明： 第4页共24页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，所以等式成立： (2)假设n=k(k∈N+)时等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1成立，则当n=k+1时，1+2+22+ …+2*-1+2=1=”=21-1,所以n=k+1时等式也成立 1-2 由(12)知，对任意的正整数n命题都成立.判断以上评述() A.命题、证明都正确 B.命题正确、证明不正确 C.命题不正确、证明正确 D.命题、证明都不正确 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求等比数列前n项和、数学归纳法 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解 【详解】证明不正确，错在证明当n=k+1时，没有用到假设n=k时的结论， 由等比数列求和公式知1+2+22+…+2-1=-2=2”-1，命题正确 1-2 故选：B 3.(20-21高二下.浙江期末)利用数学归纳法证明等式：1·n+2·(n-1)+3·(m-2)+…+n·1=二n(n+ 1)(n+2)(n∈N),当n=k时，左边的和1·k+2·(k-1)+3·(化-2)+…+k·1记作Sk,则当n=k+1 时左边的和记作Sk+1,则Sk+1一Sk=() A.1+2+3+…+(k-2) B.1+2+3+.+(k-1) C.1+2+3+…+k D.1+2+3+·+(k+1) 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【分析】通过分别写出Sk与Sk+1的表达式，对应相减即得结论. 【详解】解：依题意，Sk=1k+2(k-1)+3(k-2)+…+k1, 则Sk+1=1(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+.+k2+(k+1)1, ·Sk+1-Sk=1[(k+1)-k]+2[k-(k-1)]+3[(k-1)-(k-2)]+4[(k-2)-(k-3)]++ k(2-1)+(k+1)1=1+2+3+.+k+(k+1), 故选：D 4.(24-25高二下·辽宁沈阳·月考)下列命题错误的个数是() ①用数学归纳法证明2n>n2时，正整数n的第一个取值是1. ②用数学白纳法证明市+高+点+十京≥艺n≥1，n∈)，由m=k到n=k+1时，不等式左边应添 加的项是年+2 ③设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“"当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k+1)≥(k+1)成 立”，若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立. 第5页共24页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ④对于不等式Vn2+n<n+1(n∈N+),用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n=1时，左边=√12+1，右边=1+1，不等式成立 (2)假设当n=kk≥1且k∈N+)时，不等式成立，即V2+k<k+1, 那么当n=k+1时， √k+1)2+(k+1)=Vk2+3k+2<V欣2+3k+2)+k+2=k+2)2=(k+1)+1, 所以当n=k+1时，不等式成立. 综上Vn2+n<n+1(n∈N+). A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，n=1时，21>12成立，而n=2时，22=22，不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误： 对于②，当n=k时，左边的代数式为品+点十桌+十品 当n=k+1时，左边的代数式为十++十品 故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为： +2一站=一2故②错误： 对于③，由题意，f(7)<49无法推出k≥8时，均有f(k)<k2成立，故③错误： 对于④，在=k+1时，没有用到n=k的假设结论，故④错误. 故选：D. 5(多选12018上海宝山.二模)用数学归纳法证明>品对任意n≥k(,k的自然数都成立，则以下满 足条件的k的值中正确的为) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】推理证明解决探究问题、数学归纳法 【分析】先验证四个选项中符合要求的k的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当k=1时，结=不合要求，舍去 1 当k=2时，品-品不合要求，合去 23-173 当k=3时，异名>3符合题意， 第6页共24页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当k=4时， ,符合题意， 下证：当n之3时，成立， 当n=3时， 假设当n=kk≥3)时，均有给>点解得：达>2欢+1 当n=k+1时，有品=1>1-器 2 4k+1 因器器阿>0，所品>成立， 由数学归纳法可知：名>子对任意n二3的自然数郁成立， 故选：CD 6.(23-24高二上·上海宝山期末)用数学归纳法推断2m>n2时，正整数n的第一个取值应为 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得n≥5时，2m>n恒成立. 【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立： 结合本题现将2"看成函数y=2(x∈N)上的点，将n2看成y=x(x∈N)上的点， 两函数图像有两个交点，即n2=2n,解得n=2或n=4,根据两函数图像分析， V (4,16)/y=x2 (2,4) n≥5时，2m>n2恒成立，所以正整数n的第一个取值应为5. 故答案为：5 ◆题型02用数学到归纳法证明整除问题 点方法 奥例精韧 1.(16-17高二上河北衡水，周测)用数学归纳法证明3n+1+52+1(m∈N)能被8整除时，当n=k+1时， 34(k+1)+1+52k+1)+1可变形为) A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34k+1+52k+1 第7页共24页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.34×34k+1+52×52k+1 D.25(34k+1+52k+1) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明整除问题 【分析】根据归纳假设化简需归纳证明的代数式，从而可得正确的选项 【详解】当n=k+1时，34(k+1)+1+52k+1)+1=34×34k+1+25×52k+1=56×34k+1 +2534+1+52k+1),两个表达式都能被8整除， 故选：A 2.(21-22高二·全国课后作业)已知f(n)=(2n+7)·3”+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整 除f(n),则最大的m的值为 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】求出f(1),f(2),f(3),归纳出m=36,然后用数学归纳法证明 【详解】f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360,都能被36带除，猜想fn)能被36带除， (1)n=1时，f(1)=36是36的整数倍， (2)假设n=k时，f(k)=(2k+7)·3+9是36的整数倍，即f(k)=36p(p∈N*, n=k+1时，f(k+1)=(2k+9):3k+1+9=3(2k+7+2)·3k+9 3(2k+7)·3+2·3k+1+9-3[(2k+7)3+9]+2.3k+1-18=3fk)+183-1-1), 由假设f(k)是36的整数倍，又3k-1-1是偶数，18(3-1-1)是36的整数倍， 所以f(k+1)是36的整数倍， 综上，对一切正整数n,f(m)是36的整数倍，即f(n)能被36整除，而f(1)=36, 所以36是最大的数，即m=36. 故答案为：36。 3.(20-21高二上·上海·课后作业)在证明1+2+22+23+…+25n-1(n∈N*)是31的倍数时，n=1时验证的 表达式是 ;k到k+1增加的表达式是 【答案】 1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】从式子1+2+22+23+…+25m-1(n∈N),观察n=1时的表达式及当从n=k到n=k+1的变 化情况，从而解决问题， 【详解】解：当n=1时，原式=1+2+22+23+24， 当n=k时，原式=1+2+22+23+…+25-1， 当n=k+1时，原式=1+2+22+23+…+25k-1+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 第8页共24页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则从k到k+1增加的表达式是25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 故答案为：1+2+22+23+24；25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 4.(18-19高二下·江苏连云港·期中)用数学归纳法证明"当n∈N时，f(n)=5”+2×3n-1+1能被8整除"时， 第二步“假设当n=k(化∈N*)时，f(=5k+2×3k-1+1能被8整除，证明当n=k+1时f(k+1)也能被 8整除"的过程中，得到f(飞+1)=5k+1+2×3k+1)1+1=f(k+A,则A的表达式为 【答案】4(5+3-1) 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】根据数学归纳法的证明步骤，结合题意中的f(k)以及f化+1)即可容易求解. 【详解】因为f(k)=5+2×3-1+1, fk+1)=5k+1+2×3k+)-1+1=5×5+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1 =f()+4(5+3-1): 故A=4(5k+3k-1) 故答案为：4(5+3k-1) 度式巩国 1.(20-21高一下·上海宝山·开学考试)用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a-b整除时，其第二步论 证应该是() A.假设n=k(化为正整数)时命题成立，再证n=k+1时命题也成立 B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立 C.假设n=k(k为正整数)时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立 D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再证n=2(k+1)时命题也成立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案， 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再证n=2(k+1)时命题也成立， 即当n=2k(k为正整数)时，a2k-b2能被a-b整除， 再证n=2(k+1)时，a+-b2(k+0能被a-b整除. 故选：D 2(22-23高三上·山东潍坊·期中)斐波那契数列又称黄金分割数列，因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子 繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用在数学上， 斐波那契数列被以下递推的方法定义：数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N).则下列结论正确 第9页共24页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的是() A.ag =13 B.a2023是奇数 C.a+a吃+a3+…+a2021=a2021a2022D.a2022被4除的余数为0 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明整除问题、数学归纳法证明恒等式、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】A:直接法写出第8项即可B:数列有3的倍数项为偶数，其他项为奇数的规律，用数学归纳法证明即可；C: 只需证明a好+a吃+a吃+…+a哈=ana+1即可，用数学归纳法证明D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的 倍数即可. 【详解】解：由题知，关于选项A,a1=a2=1, 六a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=11,ag=19,故选项A错误； 关于选项B,3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明： ①当n=1,2,3时，a1=a2=1,ag=2,满足规律， ②假设当n=3k-3,3k-2,3k-1时满足a3k-3为偶数，a3k-2,a3k-1为奇数， ③当n=3k,3k+1,3k+2时， 3k=a3k-2十Q3k-1"a3k-2,a3k-1为奇数，·a3k为偶数， a3k+1=a3k-1十a3k,a3k-1为奇数，a3k为偶数，a3k+1为奇数， a3k+2=a3k十a3k+1agk+1为奇数，a3k为偶数，∴a3k+2为奇数， 故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证，2023项是非3的倍数项，故选项B正确； 关于选项C,有a好+a吃+a吃+…+a听=anan+1成立，用数学归纳法证明如下： ①当m=1时，a12=1=a1·a2,满足规律， ②假设当n=k时满足a好+a吃+a好+…+a=akak+1成立， ③当n=k+1时， a+a+a3+…+a呢+a呢+1=akak+1+a候+1=ak+1(ak+ak+1)=ak+1ak+2 成立，满足规律，故a好+a吃+a3+…+a=anan+1, 令n=2021,则有a+吃+a写+…+a2021=a2021a202z成立，故选项c正确； 关于选项D,有α6k能被4整除成立，用数学归纳法证明如下： ①当m=6时，a6=8,满足规律， ②假设当n=6k时，满足a6k=4m,m∈Z ③当n=6(k+1)时， a6(k+1)=a6k+6=a6k+5+a6k+4=2a6k+4+a6k+3=3a6k+3+2a6k+2=5a6k+2+3a6k+1 =8a6k+1+5a6k=8a6k+1+20m=4(2a6k+1+5m) ~a6k+1,m∈Z;∴a6k+6能被4整除得证，a2022=a6×337,∴a2022能被4整除得证，故选项D正确. 故选：BCD 第10页共24页 选修三 第五章 数列 5.5 数学归纳法 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当()时命题成立； (2)(归纳递推)以“当(，)时命题成立”为条件，证明当时命题也成立. (3)只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，从而命题得证. 这种证明方法称为数学归纳法. 即学即练 1.(20-21高二下·浙江嘉兴·期中)用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是(　　) A． B． C． D． 2.(多选)(21-22高二下·辽宁大连·月考)用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 题型01 用数学归纳法证明恒等式或不等式 典｜例｜精｜析 1.(20-21高二上·上海·课后作业)在用数学归纳法求证：，(为正整数)的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为(　　) A． B． C． D． 2.(22-23高二下·辽宁大连·期中)用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为( ) A． B． C． D． 3.(19-20高一下·浙江宁波·期中)用数学归纳法证明时，从“”到“”的证明等式左边需增添的代数式是(    ) A． B． C． D． 4.(25-26高二下·全国·课后作业)用数学归纳法证明时，对于表达式，从到,表达式需要添加的因式是________. 从到时，左右两边分别增加了多少项，这是容易出错的. 1.(2023高二上·江苏·专题练习)利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式__________. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二下·黑龙江哈尔滨·期中)用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二上·全国·课后作业)已知命题及其证明： (1)当时，左边，右边，所以等式成立． (2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述(    ) A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 3.(20-21高二下·浙江·期末)利用数学归纳法证明等式： ，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·辽宁沈阳·月考)下列命题错误的个数是(   ) ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： (1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当(且)时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 5.(多选)(2018·上海宝山·二模)用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 6.(23-24高二上·上海宝山·期末)用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 题型02 用数学归纳法证明整除问题 典｜例｜精｜析 1.(16-17高二上·河北衡水·周测)用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为(    ) A． B． C． D． 2.(21-22高二·全国·课后作业)已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为______． 3.(20-21高二上·上海·课后作业)在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________． 4.(18-19高二下·江苏连云港·期中)用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时也能被8整除”的过程中，得到，则的表达式为________. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高一下·上海宝山·开学考试)用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是(    ) A．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 B．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 C．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 D．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 2.(22-23高三上·山东潍坊·期中)斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是(    ) A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 3.(24-25高二上·甘肃庆阳·月考)若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________． 4.(20-21高二·全国·课后作业)对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________. 5.(24-25高二上·全国·单元测试)用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为______. 6.(16-17高二下·江西南昌·月考)为正奇数时，求证：被整除，当第二步假设命题为真时，进而需证_______，命题为真． 题型03 用数学归纳法证明数列问题 典｜例｜精｜析 1.(2023高二上·江苏·专题练习)在正项数列中，，，则( ) A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 2.(22-23高二下·北京·期中)已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足；②数列是递减数列； ③数列的前项和；④数列每一项都满足成立. 其中，所有正确结论的序号是( ) A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 3.(多选)(24-25高三下·湖北·月考)已知数列中，，，，则(   ) A． B．数列是递减数列 C． D． 4.(24-25高二上·江苏扬州·期末)设数列的前项和为，已知则____________． 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二·全国·课后作业)在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于(    )． A． B． C． D． 2.(21-22高二·全国·课后作业)已知数列满足，且(为正整数)，利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： (1)当时，满足，命题成立； (2)假设(为正整数)时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立．由(1)(2)知，． 判断以下评述：(    ) A．猜想正确，推理(1)正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理(1)(2)都正确 D．猜想正确，推理(1)正确，推理(2)不正确 3.(24-25高二上·全国·课后作业)数列满足：，则除以7的余数为(    ) A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 4.(20-21高三上·北京·强基计划)已知，则(    ) A． B． C． D． 5.(多选)(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)已知，且当方程有解时，有：，则下列说法正确的是(    ) A．若，数列为等差数列 B．若，数列为等差数列 C．若，数列通项公式为 D．若，则存在一个自然数，，使得成立 6.(25-26高三上·辽宁·月考)设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是_______． 题型04 用数学归纳法证明其他问题 典｜例｜精｜析 1.(18-19高二·全国·课后作业)已知，，，，则有(    ) A． B． C． D． 2.(21-22高二·全国·课后作业)下列结论能用数学归纳法证明的是(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(22-23高二下·全国·课后作业)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是(    ) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 4.(19-20高一下·上海宝山·月考)用数学归纳法证明对任意，的自然数都成立，则的最小值为______. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·全国·课后作业)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是(    ) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 2.(23-24高二下·辽宁沈阳·期中)平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证(    ). A． B． C． D． 3.(21-22高二·全国·课后作业)函数，，…，，…，则函数是(    )． A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 4.(21-22高三上·湖北·月考)记为实数的十进制表示下小数点后任意连续六位数字组成的集合.例如：当x取遍区间(0，1)中的所有无理数时，集合的元素个数的最小值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 5.(多选)(20-21高二·全国·课后作业)一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是(    ) A．该命题对于时命题成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与取值无关 D．以上答案都不对 6.(20-21高二下·全国·课后作业)函数，满足，，，则___________. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选修三 第五章 数列 5.5 数学归纳法 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当()时命题成立； (2)(归纳递推)以“当(，)时命题成立”为条件，证明当时命题也成立. (3)只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，从而命题得证. 这种证明方法称为数学归纳法. 即学即练 1.(20-21高二下·浙江嘉兴·期中)用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数学归纳法证明恒等式 【分析】根据，对分别赋值和，比较左式即得. 【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为， 当时，等式为， 则左边增加的代数式是. 故选：A. 2.(多选)(21-22高二下·辽宁大连·月考)用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 题型01 用数学归纳法证明恒等式或不等式 典｜例｜精｜析 1.(20-21高二上·上海·课后作业)在用数学归纳法求证：，(为正整数)的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明恒等式 【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 2.(22-23高二下·辽宁大连·期中)用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 3.(19-20高一下·浙江宁波·期中)用数学归纳法证明时，从“”到“”的证明等式左边需增添的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【解析】左边用“”替换“”，观察增加变化项，可解 【详解】由到时，等式左端的项为， 等式左端增加的项为 故选：D． 4.(25-26高二下·全国·课后作业)用数学归纳法证明时，对于表达式，从到,表达式需要添加的因式是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据条件写出时左边的表达式，进一步分析即可. 【详解】当时，左端为：， 当时，左端为：， 由到需添加的因式为：. 故答案为： 从到时，左右两边分别增加了多少项，这是容易出错的. 1.(2023高二上·江苏·专题练习)利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据条件写出时左边的表达式，进一步分析即可. 【详解】当时，左边， 当时，左边 所以左边应添加因式为. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高二下·黑龙江哈尔滨·期中)用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【分析】根据题意表示出和，然后代入计算即可. 【详解】由题意，， ， 所以. 故选：B. 2.(24-25高二上·全国·课后作业)已知命题及其证明： (1)当时，左边，右边，所以等式成立． (2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述(    ) A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求等比数列前n项和、数学归纳法 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解. 【详解】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确. 故选：B． 3.(20-21高二下·浙江·期末)利用数学归纳法证明等式： ，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【分析】通过分别写出与的表达式，对应相减即得结论． 【详解】解：依题意，， 则， ， 故选：． 4.(24-25高二下·辽宁沈阳·月考)下列命题错误的个数是(   ) ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： (1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当(且)时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 5.(多选)(2018·上海宝山·二模)用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】推理证明解决探究问题、数学归纳法 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为，所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：CD 6.(23-24高二上·上海宝山·期末)用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 题型02 用数学归纳法证明整除问题 典｜例｜精｜析 1.(16-17高二上·河北衡水·周测)用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明整除问题 【分析】根据归纳假设化简需归纳证明的代数式，从而可得正确的选项. 【详解】当时， ，两个表达式都能被整除， 故选：A． 2.(21-22高二·全国·课后作业)已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为______． 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明． 【详解】，，，都能被带除，猜想能被36带除， (1)时，是36的整数倍， (2)假设时， 是36的整数倍，即()， 时， ， 由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍， 所以是36的整数倍， 综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而， 所以是最大的数，即． 故答案为：36． 3.(20-21高二上·上海·课后作业)在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】从式子，观察时的表达式及当从到的变化情况，从而解决问题. 【详解】解：当时，原式， 当时，原式， 当时，原式. 则从到增加的表达式是. 故答案为：；. 4.(18-19高二下·江苏连云港·期中)用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时也能被8整除”的过程中，得到，则的表达式为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】根据数学归纳法的证明步骤，结合题意中的以及即可容易求解. 【详解】因为， . 故 . 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(20-21高一下·上海宝山·开学考试)用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是(    ) A．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 B．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 C．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 D．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立， 即当(为正整数)时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 2.(22-23高三上·山东潍坊·期中)斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是(    ) A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明整除问题、数学归纳法证明恒等式、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】A:直接法写出第8项即可;B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可;C:只需证明即可,用数学归纳法证明;D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可. 【详解】解:由题知,关于选项A, ,故选项A错误; 关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足为偶数,为奇数, ③当时, ,为奇数,为偶数, ,为奇数,为偶数,为奇数, ,为奇数,为偶数,为奇数, 故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证,2023项是非3的倍数项,故选项B正确; 关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足成立, ③当时, 成立,满足规律,故, 令,则有成立,故选项C正确; 关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时,满足 ③当时, 能被4整除得证,,能被4整除得证,故选项D正确. 故选:BCD 3.(24-25高二上·甘肃庆阳·月考)若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】数学归纳法 【分析】将代入计算可得结果. 【详解】当时，. 故答案为： 4.(20-21高二·全国·课后作业)对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________. 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】当n＝1时，求出a＝3或5，再由当a＝3且n＝2时，不能被14整除，即可得出答案. 【详解】当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5； 当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5. 故答案为：5 5.(24-25高二上·全国·单元测试)用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明数列问题 【分析】根据数学归纳法规则计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：  . 6.(16-17高二下·江西南昌·月考)为正奇数时，求证：被整除，当第二步假设命题为真时，进而需证_______，命题为真． 【答案】2k＋1 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【详解】题中是数学归纳法是关于所有正奇数的命题，之后的正奇数为， 据此可得第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝2k＋1，命题为真． 题型03 用数学归纳法证明数列问题 典｜例｜精｜析 1.(2023高二上·江苏·专题练习)在正项数列中，，，则( ) A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断数列的增减性、数学归纳法证明数列问题 【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论. 【详解】由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 2.(22-23高二下·北京·期中)已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足；②数列是递减数列； ③数列的前项和；④数列每一项都满足成立. 其中，所有正确结论的序号是( ) A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、数学归纳法证明数列问题、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】利用数学归纳法判断①④，计算判断②，计算判断③. 【详解】对①：，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，； 综上，，正确； 对②：，故数列是递减数列，正确； 对③：，，，，，错误； 对④：当时，成立， 假设时成立，即， 当时，函数在上单调递增， 则， 故时成立. 综上所述：数列每一项都满足成立，正确. 故选：D. 3.(多选)(24-25高三下·湖北·月考)已知数列中，，，，则(   ) A． B．数列是递减数列 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、数学归纳法证明数列问题 【分析】利用数学归纳法证明，即可得到，从而得到的单调性，即可判断A、B、C，结合说明D. 【详解】因为， 所以， 下证， 当时，，假设当时， 当时，， 所以， 所以， 所以，即，所以数列是递减数列，则，，故A错误，B、C正确； 当时，， 当时，，所以，故D正确. 故选：BCD 4.(24-25高二上·江苏扬州·期末)设数列的前项和为，已知则____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、数学归纳法证明数列问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用数列前项和与通项关系转化所求为连续项和式，令由前几个连续和发现规律，猜想并证明再应用结论求解即可. 【详解】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若，则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二·全国·课后作业)在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数学归纳法 【分析】利用等差中项求出，的关系，然后求出，，的值，化简表达式的分子与分母，然后猜想结果． 【详解】由题意可知．当时，， 时，，． ，，分别为：、、． 猜想当时，． 故选：B 2.(21-22高二·全国·课后作业)已知数列满足，且(为正整数)，利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： (1)当时，满足，命题成立； (2)假设(为正整数)时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立．由(1)(2)知，． 判断以下评述：(    ) A．猜想正确，推理(1)正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理(1)(2)都正确 D．猜想正确，推理(1)正确，推理(2)不正确 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数学归纳法 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】根据数学归纳法可知，猜想正确，推理(1)正确，推理(2)没有使用归纳假设，故推理(2)不正确. 故选：D 3.(24-25高二上·全国·课后作业)数列满足：，则除以7的余数为(    ) A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、整除和余数问题、数学归纳法证明数列问题、累乘法求数列通项 【分析】构造数列满足，由猜测并运用数学归纳法证得；再由利用累乘法求得，从而得到，由结合为3的倍数、为7的倍数可求除以7的余数. 【详解】设数列满足，则， 当时，若，则 ， 因此，对任意，均有. 由，两边取对数，可得， 则有，即， 可得，此时也符合，所以. 因为，故若为3的倍数，则必有为3的倍数， 而时，为3的倍数，故为3的倍数，依次有为3的倍数， 因为且时，为7的倍数， 故同理可得为7的倍数. 又， 故被7除余数为1，故除以7的余数为2. 故选：B. 4.(20-21高三上·北京·强基计划)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明数列问题、由递推关系式求通项公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用数学归纳法可求数列的通项，从而可求. 【详解】根据题意，有，用数学归纳法对n进行归纳证明． 当时，有，命题成立． 假设命题对n成立，则， 因此命题对也成立， 综上所述，有． 故选：C. 5.(多选)(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)已知，且当方程有解时，有：，则下列说法正确的是(    ) A．若，数列为等差数列 B．若，数列为等差数列 C．若，数列通项公式为 D．若，则存在一个自然数，，使得成立 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、数学归纳法证明数列问题 【分析】令，，此时，且满足，解得或.可知此时数列是等比数列，即可判断选项A；当时，方程的根，，通过化简可得，可知数列是首项为，公差为的等差数列，即可判断选项B；当，时，，利用数学归纳法即可判断选项C；当，不存在满足，数列具有周期性，即可判断选项D. 【详解】由题可知为方程的解. 令，，则，满足，此时，且满足，解得或. 当时，，∴， ∴此时数列是公比为的等比数列； 当时，，∴， ∴此时数列是公比为的等比数列，故选项A错误； 当时，，此时方程的根， ∴，∴ ， ∴数列是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确； 当，时，，数列通项公式为，选项C正确. 下面用数学归纳法证明如下：当时，，∴满足； 假设当 时，命题成立，即； 则当 时， ，命题也成立. 综上， ，故选项C正确； 当，此时对应的方程无实数根，即不存在满足，所以数列具有周期性，故选项D正确. 故选：BCD. 6.(25-26高三上·辽宁·月考)设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是_______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数列周期性的应用 【分析】分别令、、，求出数列前项的值，猜想得出，再利用数学归纳法证明出猜想成立，然后列举出数列前若干项的值，可知，即可得解. 【详解】当时，由题意可得， 因为数列是正整数数列，假设，则， 为了满足为正，只需，即， 假设，则，可得，合乎题意， 假设，则，可得不是正整数，故，从而可得， 当时，则有，即，解得， 当时，，即，解得， 当时，， 猜想， 假设当时，猜想成立，即， 当时，， 由猜想可得，则， 所以 ， 所以 ， 这说明当时猜想也成立，故数列满足， 所以，数列的各项依次为：，，，，，，，，，，， 由上可知均为偶数， 又因为，故的前项中偶数的个数是. 故答案为：. 题型04 用数学归纳法证明其他问题 典｜例｜精｜析 1.(18-19高二·全国·课后作业)已知，，，，则有(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法证明其他问题 【分析】由， ， ，可求解. 【详解】由，，可知 第一项为 第二项为 第三项为 以此类推第项为 故选C. 2.(21-22高二·全国·课后作业)下列结论能用数学归纳法证明的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明. 故选：BC. 3.(多选)(22-23高二下·全国·课后作业)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是(    ) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法 【分析】根据题设结论逐项分析判断. 【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误； 对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误； 对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误； 对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确； 故选：ABC. 4.(19-20高一下·上海宝山·月考)用数学归纳法证明对任意，的自然数都成立，则的最小值为______. 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】推理证明解决探究问题、数学归纳法 【分析】利用数学归纳法进行分析. 【详解】当时，成立，此时只针对时成立， 当时，不成立， 当时，不成立， 当时，不成立， 当时，恒成立， 故的最小值为， 故答案为：5. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·全国·课后作业)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是(    ) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法 【分析】根据“当成立时，总可推出成立”判断. 【详解】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 2.(23-24高二下·辽宁沈阳·期中)平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法 【分析】利用归纳法可得个圆最多把平面分成个区域，可得结论. 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 3.(21-22高二·全国·课后作业)函数，，…，，…，则函数是(    )． A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明其他问题、数学归纳法、函数奇偶性的定义与判断 【分析】因为是奇函数，可得也是奇函数，再根据数学归纳法证明对任意的 ，有 是奇函数. 【详解】易知是奇函数，， ，，满足，所以也是奇函数， 假设 是奇函数，则 ， 即也是奇函数，因此对任意的 ，有 是奇函数， 故：也是奇函数. 故选：A 4.(21-22高三上·湖北·月考)记为实数的十进制表示下小数点后任意连续六位数字组成的集合.例如：当x取遍区间(0，1)中的所有无理数时，集合的元素个数的最小值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数学归纳法证明其他问题 【分析】分别证得存在无理数，使得集合中元素的个数不超过7；以及对于实数，若中的元素个数不大于6，则必为有理数，即可得出结论. 【详解】集合中至少有7个元素， 需证明：(1)存在无理数，使得集合中元素的个数不超过7； (2)对于实数，若中的元素个数不大于6，则必为有理数. 令在十进制下的小数的第一位数字为1，后面接5个0，后面又是1，接下来6个0，后面接一个1，接下来7个0，依次类推……，则，即集合中恰有7个元素， 若为无理数，反证法：假设为有理数，则存在正整数，使得的小数点后位之后出现循环节，设循环节长度为，由于必包含无数组长度超过个连续的0，于是，必有一组位于小数点后位之后，这表明，循环节为个0，这与小数点后含有无数个1矛盾，从而若为无理数， 设为的小数点后任意连续的位数字组成的集合，用数学归纳法证明：若的元素个数不大于，则为有理数，当时，结论显然成立，假设结论对成立，则当时，每个的小数点后位数字均对应一个位的数字，显然对于的小数点后任意位数字，至少存在一个位数字与之对应，于是的元素个数必不多与的个数，对给定的，由归纳假设，知若的元素的个数不大于，则为有理数，又的元素的个数必不超过，否则的元素的个数多与，于是，的元素的个数均为，从而的小数点后任意位数字均能由它的前位数字唯一确定，因为存在类不同的连续位数字，所以必存在使得当时，第位后的位数字与第位后的位数字相同，即之间的数字为循环节，故为有理数，令即可得证. 故选：C. 5.(多选)(20-21高二·全国·课后作业)一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是(    ) A．该命题对于时命题成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与取值无关 D．以上答案都不对 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法 【分析】利用数学归纳法原理可判断各选项的正误. 【详解】命题对于时成立，那么它对于也成立， 若当时命题成立，则对时命题成立，从而对时命题成立， 假设当时命题成立，则当时命题也成立， 因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当为奇数时，无法确定该命题的真假. 故选：AB. 6.(20-21高二下·全国·课后作业)函数，满足，，，则___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反证法证明、数学归纳法证明其他问题 【分析】结合数学归纳法以及反正法证得，进而可以求出结果. 【详解】由知，用数学归纳法证对于任意的整数，可由的值唯一确定，且，① 当时，，结论成立，假设对于任意整数， ，的值唯一确定，且，则，进而，故由归纳法假设知与的值唯一确定， 从而可由    ②的值唯一确定， 又， 则， 故由②知：，因此结论对也成立，由数学归纳法知存在唯一函数，满足 ， 接下来证明，对任意正整数，有 ③， 当时，③式成立，假设③式在时成立，由②知 ④ 由归纳假设知，若，由于，故由④及归纳假设知， 若，则，故由④及归纳假设知，因此③在时，也成立，因此由数学归纳法知③式对一切成立，最后证明对于任意正整数有，当时，结论成立，假设当时结论成立，即，当时，假如，由①式知，而为整数，故，又因为，故由③式知存在一个最小的正整数，使得，进而由的最小性得，再由，故矛盾，因此，即时成立，所以对于任意正整数有， 令，则，所以， 故答案为：. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $