5.5 数学归纳法（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

5.5 数学归纳法 知识点归纳 知识点、数学归纳法证题的关键点 1．验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． 2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 3．利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 典例分析 一、猜测、证明 例1 数列{an}中，a1＝1，a2＝eq \f(1,4)，且an＋1＝eq \f((n－1)an,n－an)(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明． 解析 ∵a2＝eq \f(1,4)，且an＋1＝eq \f((n－1)an,n－an)(n≥2)， ∴a3＝eq \f(a2,2－a2)＝eq \f(\f(1,4),2－\f(1,4))＝eq \f(1,7)，a4＝eq \f(2a3,3－a3)＝eq \f(2×\f(1,7),3－\f(1,7))＝eq \f(1,10). 猜想：an＝eq \f(1,3n－2)(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n＝1,2易知猜想正确． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确，即ak＝eq \f(1,3k－2). 当n＝k＋1时， ak＋1＝eq \f((k－1)ak,k－ak)＝eq \f((k－1)·\f(1,3k－2),k－\f(1,3k－2))＝eq \f(\f(k－1,3k－2),\f(3k2－2k－1,3k－2))＝eq \f(k－1,3k2－2k－1)＝eq \f(k－1,(3k＋1)(k－1)) ＝eq \f(1,3k＋1)＝eq \f(1,3(k＋1)－2) ∴n＝k＋1时猜想也正确． 由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确． 二、用数学归纳法证明等式或不等式 例2 用数学归纳法证明：eq \f(1,2