平方根及其性质、算数平方根及其性质、以算数平方根为背景的规律探究问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

平方根及其性质、算数平方根及其性质、以算数平方根为背景的规律探究问题专项训练 平方根及其性质、算数平方根及其性质、以算数平方根为背景的规律探究问题 专项训练 考点目录 平方根及其性质 算数平方根及其性质 以算数平方根为背景的规律探究问题 考点一 平方根及其性质 例1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）16的平方根是（　　） A．2 B． C．4 D． 例2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 例3．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）的平方根是_________． 例4．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）填空：的平方根是___________． 变式1．（25-26七年级上·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·月考）的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 变式3．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的是______． 变式4．（25-26八年级上·四川达州·期末）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 考点二 算数平方根及其性质 例1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 例4．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为_____ ． 变式1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）“16的算术平方根是4”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）若的算术平方根是2，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为_________ ． 变式4．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 考点三 以算数平方根为背景的规律探究问题 例1．（24-25七年级下·广东广州·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 例2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 例3．（24-25七年级下·福建厦门·月考）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 例4．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 变式1．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 变式2．（25-26八年级上·福建漳州·月考）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平方根及其性质、算数平方根及其性质、以算数平方根为背景的规律探究问题专项训练 平方根及其性质、算数平方根及其性质、以算数平方根为背景的规律探究问题 专项训练 考点目录 平方根及其性质 算数平方根及其性质 以算数平方根为背景的规律探究问题 考点一 平方根及其性质 例1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）16的平方根是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 例2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 例3．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）的平方根是_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 例4．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）填空：的平方根是___________． 【答案】 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 变式1．（25-26七年级上·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵， ∴9的平方根是，即的平方根是． 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·月考）的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 变式3．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的是______． 【答案】49 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是49； 故答案为：49． 变式4．（25-26八年级上·四川达州·期末）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【答案】 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 考点二 算数平方根及其性质 例1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 例2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：A． 例3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【答案】2 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：2 例4．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为_____ ． 【答案】1 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 变式1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）“16的算术平方根是4”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵16的算术平方根是4， ∴， 故选：B． 变式2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）若的算术平方根是2，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， 故选：A． 变式3．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为_________ ． 【答案】2026 【详解】解：∵且，且， ∴且． 解得，． ∴． 故答案为：2026． 变式4．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 考点三 以算数平方根为背景的规律探究问题 例1．（24-25七年级下·广东广州·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 例2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 例3．（24-25七年级下·福建厦门·月考）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 例4．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 变式1．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 变式2．（25-26八年级上·福建漳州·月考）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【详解】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 2 学科网（北京）股份有限公司 $