第2章 三角恒等变换复习（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二章三角恒等变换复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01和差角公式 题型01和差角公式 第2章三角恒等变换 知识点02二倍角公式 题型02二倍角公式 题型03和差化积与积化和差公式 题型04简单的三角恒等变换 知识点03和差化积与积化和差公式 知识点04角的配凑 教学目标、教学重难点 1.掌握和差角公式、二倍角公式及变形、万能公式、辅助角公式： 教学目标 2.掌握角的配凑技巧； 3.了解和差化积与积化和差公式. 教学重点 和差角公式、二倍角公式、万能公式、辅助角公式、角的配凑技巧 教学难点 和差化积与积化和差公式. 知识清单 知识点01和差角公式 l.和差角公式：cos(a-)=cos acos B+-sin asin(Ca-: cos(aB)=cos acos B-sin asin B(C(a) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(aB)); sin(a+B)=sin acos B++cos asin B(S() tama-间=(T.-(B.a-B+kmke2刀 tama+)=器Ce)(aRa+B++k虹ke2 2.正切和差角公式变形：tan a吐tanB=tan(c-)(1 Ftan atan). 3辅助角公式：asi血x+bcos=a2+sn6十9其中sinp=了，cos0=). h a 特别的sina肚cosa=V2sin(a±)： sin a3cosa=2sin(a±)： 3sin acos a=2sin(). 【即学即练1-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨，期末)cos22°cos38°-sin22°cos52°=( A.cos16' B.-c0s16° c 0.- 第1页共28页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】C【难度】0.94【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解. 【详解】cos52°=c0s(90°-38)=sim38°， cos22cos38-sin22cos52=c0s22cos38-sin22sin38=cos(22°+38)=c0s60°-2故C正确， 故选：C 【即学即练1-2】(24-25高一下.河南洛阳·期末)已知sin(a+B)=,tana=tan6,则sin(a-B)=(） A B.- c. 【答案】B【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值一一同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的正弦公式，及同角三角函数的关系可求得sinacos=,cosasinB=子，进而利用两角 差的正弦公式即可求解 【i详解】由sin(e+)=景可得sinacosp+cosasing=是 由tana=tanB,可得-g,所以2 sinacosp=cosasinB, cosa 2 cosB' 1 所以sinacosB=F,cosasinB-号所以sin(a-B)=sinacosB-cosasinB=-号 2 故选：B 知识点02二倍角公式 sin 2a=2sin acos a: cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a: tan2a =_2tang (a≠k+且a≠受+ke☑. 1+tan2a Cos2=1-tan2a 拓展：万能公式：sin2a=2tang 1+tan2a 4.常用变形结论 (1)降幂公式：sin2a=1-cos2 2 CoS2a =1+cos2a 2 sinacosa=sin2a 2 (2)升幂公式：1+c0sa=2cos2号 1-cos a=2sin2: 1+sin a=(sin+cos)2; 1-sina=(sin号-cos)2, 【即学即练2-1】(25-26高一上·广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角a的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,-4④)，则cos2a的值为) A君 B- 7 C.25 【答案】D【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 第2页共28页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式可得所求三角函数值 【详解】由角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,一4， 所以x=3,y=-4,r=√x2+y2=√32+(-4)2=5， 再根据三角函数的定义得sina==一言c0sa=-号 再由二倍角公式cos2a=c0s2a-sin2a=(-(-)2=-3 故选：D 【即学即练2-2】(24-25高一下·云南临沧·期末)若tana=3,则sin2a=() A.君 B.月 c.是 0.3 【答案】C【难度】0.94【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可， 【详解】因为tana=3,所以sin2a=2 sinacosa= 2sinacosa 2a= aventoos2a taat11 故选：C 知识点03和差化积与积化和差公式 和差化积公式： sina-sinB=2cos生9sin学，sina+sinB=2 sinco号； c0sa+c0sB=2cos2cos号，cosa-c0sB=-2 sinsin号； 积化和差公式： sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)],cosasinB=[sin(a+B)-sin(aB)], cosacosB=[cos(a+B)+cos(a-B)],sinasinB=-[cos(a+B)-sin(a-B)]. 【即学即练3-1】(24-25高一下·云南楚雄月考)下列等式恒成立的是() A.cos(a-β)=cosacosβ-sinasinβ B.sin(a +B)=sinacosB-cosasinB C.tana+tanB=tan(a+β)(1-tanatanβ) D.sinasinB=[cos(a+B)-cos(a-B)] 【答案】C【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、 用和、差角的正切公式化简、求值、积化和差公式 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A,因cos(a-)=cosacosB+sinasinB, 故cos(a-)=cosacosB-sinasinB不能恒成立，即A错误： 对于B,因sin(a+B)=sinacosB+cosasinB,故sin(a+B)=sinacosB-cosasinB不能恒成立，即B错误： 对于c,因a(a+)=品 则有tana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB)在其有意义的条件下恒成立，故C正确： 对于D,因cos(a+B)=cosacosβ-sinasinB,cos(a-B)=cosacosB+sinasinβ， cos(a+B)-cos(a-B)=-2sinasinB;sinasinB=-[cos(c+B)-cos(a-B)], 即sinasinB=cos(a+B)-cos(a-B)]不能恒成立，故D错误. 第3页共28页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 【即学即练32】(2025高三全国专题练习)已知sn(a+)=sm(a-)=号则的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】C【难度】0.85【知识点】积化和差公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】解法一：由两角和与差的正弦展开式化简可得sinacosB、cosasinB,再相除可得答案；解法二： 利用积化和差公式化简可得答案；解法三，利用比例性质可得答案；解法四：由两角和与差的正弦展开式 化简再利用齐次式可得答案 【详解】解法一：由题意可得sin(a+B)=sinacosB+cosasinB=①， sin(a-B)=sinacosB-cosasinB=32. 5 由①②得sinacosB= 2 1 tana 5 cosasinB = 5 两式相除得inacosB =-2 cosasing tang 解法二： sin(a+B)+sin(@-B)] -2 cosa sing [sin(a+B)-sin(a-B)] 5 解法三：设anc=k,即k+1=tanc+tan2=sinccosB+-coscsinB=n(a+) 解得k=-2. tanB k-1 tana-tanB sinacosB-cosasinB sin(a-B) 解法四： sin(a+B)sinacosp+cosasing tana+tang 所以taa=-2tanB,即e=-2. sin(a-B)sinacosB-cosasing tana-tang tanB 故选：C 知识点04角的陪凑 ①a=2 ②a=(a+)-B:a=阝-（β-）： ③a=2I(a+B)+(a-B]:B=[a+B)-(a-B]: ④(+四=：-(-)：=8-（经-四 【即学即练41】(25-26高二上贵州月考)已知a∈(0，m,且sin(a+)=子则cos(?-a)的值为() A-吉 B.吉 c.-9 0.9 【答案】D【难度】0.65【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值一一诱导公式 【分析】利用同角三角函数的平方关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为ae(0,m,所以a+e(低) 又sm(e+)-方且sm写-9>甘>0，所以<a+甘<m所以cos(e+)=-h-目-29 所以os(侣-)cos-(a+引-cos(e+)=9 故选：D 【即学即练42】(2023湖北.二模)已知sinasin(G-a）=3 cossin(a+),则cos(2a+)=() A号 B.-1 C. D. 【答案】C【难度】0.65【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、万能公式、给值求值型问题 第4页共28页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】应用诱导公式、商数关系可得tana=3tan(a+),再由和角正切公式展开求得tanm=-V5,最 后由cos(2a+5)= -am2a+2求值即可. 1+tan2(+) 【详解】由sinasin(G-a）网=sinasin[5-(a+]=sinacos(a+)=3 cossin(a+) 所以taa=3tam(a+君则tana=3×1ma成 tand+tan 3tana+V3 1am 所以tan2a+2v3tana+3=0,则tana=-V,故tan(a+)-得， 3 cos2(a+)-sin2(a+)1-tan2(a+1 由cos(2a+号)=oea+3+na+3 +ta2e+2 故选：C 题型精讲 题型01和差角公式 《典例1-1】(24-25高一上福建莆田期末)已知tan(a-平)=子则tana=() A.2 B.-2 C. D.-2 【答案】A【难度】0.94【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角差的正切展开式计算可得 tana-tan 1+tang ,解得tana=2. 故选：A 典例1-2】(24-25高一下辽宁辽阳：期末已知sim2a=m,sin2B=n,且m≠，则g份=(》 A B.m c.品 D.月 【答案】B【难度】0.65【知识点】同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用2a=(a+B)+(a-B),2B=(a+)-(a-),再结合两角和与差的三角公式进行化简， 然后利用同角三角函数的基本关系可得答案. 【详解】因为sin2a=sinl(a+B)+(a-B)]=sin(a+B)cos(a-)+cos(a+B)sin(a-B)=m, sin2B sin[(a +B)-(a-B)]sin(a+B)cos(a-B)-cos(a +B)sin(a-B)=n, 所以：sm(a+)eos(a-)=士，cos(c+)sin(c-月=“ 2 又tan(a+E= sin(@+B)cos(a-B) m十拉 tan(a-B) cos(a+B)sin(a-B) m-n 2 故选：B 【典例1-3】（多选）25-26高一上·吉林长春.期末)已知a,B分别为第一、第三象限角，且tana=tanB=2,则 () A.sincsing B.cosacos=号 C.cos(a-β)=1 D.cos(a+B)= 【答案】AD【难度】0.65【知识点】和差角公式化简、求值 第5页共28页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先由aa=tan6=2,结合同角三角函数关系可得cosa=9sima=29,cos0-9,sing= 5 进而可判断AB,根据两角和与差的余弦公式可判断CD. 【详解】因tana=二=2，得sima=2cosa,又sin2a+cos2a=1,得5cos2a=1,即cos2a=号 cosa 因a为第一象限角，故cosa=5,sina=华，同理可得cos8=一号 sinB=-25 9 sinasin8=25×(29）=-手故A正确：co=号×(9= ,故B错误： cos(a-)=cosacosB+sinasinB=-号名-1，故c错误； 55 cos(a+B)=cosacosp-sinsin8=-（)=号故D正确， 故选：AD 【典例141(25-26高一上陕西榆林期末)已知α是第一象限角，且cos(a+到= ,则cosa= 【答案】2受V2【难度】065【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、已蜘知正（余法求余时 弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】因为a是第一象限角，所以sin(a+)>0,通过a=(a+)-直接求解或sima>0,cosa>0, 根据同角三角函数的基本关系及三角恒等变换，解方程组求解， 【详解】方法一：因为a是第一象限角，即2km<a<+2kπ(k∈Z), 所以好+2kπ<a+:<g+2km(k∈Z),所以sin(a+>0. 因为cos(a+)=所以sin(a+)=√1-os2(a+)=号 则cosa=cos[(e+9-胃引=cos(e+)cos+sn(e+)sin-竖×（侣+）- 故答案为：7 方法二：因为a是第一象限角，所以sina>0,cosa>0.因为cos(a+月= 所以cosccos-sinasin听-号(eosa-snad）=吾所以cosa-sina=得回 两边同时平方得cos2a+sin2a-2 sinacosa= 13 50 69 ，所以2 sinacosa=9 169 所以(cosa+sna2-1+2 singco-1+号-需 1691 ,所以cos+sina=12Y三.@ 13 由①②解得co80兴放答案为：妥 【变式1-1】(23-24高一下·湖南·月考)2c0s80°-c0s20°=() A.V3sin20° B.sin20° C.-v3sin20° D.-sin20 【答案】C【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据80°=60°+20°，结合两角和差公式分析求解， 【详解】由题意可得：2c0s80°-c0s20°=2c0s(60°+20)-c0s20° =2cos60°c0s20°-2sin60°sin20°-c0s20°=cos20°-V3sin20°-cos20°=-√3sin20°， 第6页共28页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以2cos80°-cos20°=-V3sin20°. 故选：C 凰变式1-2】(24-25高一下.湖南长沙.月考)己知cos(x+y)=3cos(x-y),则tanxtany=() A.月 B.月 C. 0.- 【答案】B【难度】0.85【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】应用两角和差的余弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系弦化切计算求解 【详解】因为cos(x+y)=3cos(x-y),则cosxcosy-sinxsiny=3(cosxcosy+sinxsiny), 2 xcoy=-4 nin,则tanxtany=ar=-专 cosxcosy 故选：B. 【变式13124-25高-下河南南阳期末)已知<a<,-<B<,c0s(任-a)=言cos(任+B)=-吾 则sin(a+B)=(） A-治 B給 c-器 0. 【答案】B【难度】0.65【知识点】和、差角公式化简、求值 【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出sim(任-a,sin(:+B),利用诱导公式，凑角法和 余弦和角公式进行求解 【详解】由题意得-乏<：-a<0,0<亚+B<π， 则sin(任-）=-1-cos2(（任-）=-景sm(俘+B)=1-cos2(g+)）=号 所以sim(a+)=-cos(a+B+)=-cos[《g+B）-(任-] =-[os(腰+P)os(（任-d）+sim(任+p)sin(任--【()×+×()-器 故选：B 【变式1-4】(24-25高-下.湖南长沙期末)已知a∈（习），Be（2),且sina+cosa=simB-cosB,则 () A.a-B= B.B-a=7 C.a+B= D.a+B=-月 【答案】B【难度】0.65【知识点】诱导公式、和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先利用辅助角公式转化为同一形式的正弦函数，再利用正弦函数相等的条件，结合两个角的取值 范围即可求得结果 【详解】因为sima+cosa=V2sin(a+),simB-cosB=V2sin(B-) 所以原式变为：V2sin(a+习=V2sin(B-)→sim(a+日)=sin(B-羽) 根据正弦函数性质可得：a+号=B-+2kπ(ke2)→a-B=-+2kmk∈Z)① 或a+=-(B-)+2km(keZ☑→a+B=+2 kn(k EZ0②， 对于①，当k=0时，a-B=-2即B-a=此时ae（2,Be（习能使上式成立， 第7页共28页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于②，因为ae(-)Be(-故a+Be(-L,四， 而a+B=π+2kπ(kEZ,不存在整数k使得a+B∈(-元)，故舍去 故选：B 【变式1-5】（多选24-25高一下.广东汕头.期末）已知函数f()=sin(x+君+sin(x-君+cosx+a的最大 值为1，则下列结论正确的是() A.a=-1 B.f(x)的最小正周期为π C.f()在能智内递减 D.f≥0在[受习上的解集是0，月 【答案】Ac【难度】0.65【知识点】求six型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周 期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用正弦的和差角公式及辅助角公式得f()=2sin(x+君)+a,结合条件得a=-1,即可判断A 的正误，对B,利用周期的计算公式，即可判断B的正误；对于C,利用y=sx性质，求出f(x)的单调递 减区间，即可求解；对于D,利用y=six性质，求出f(x)≥0的解集，即可求解 【详解】因为f()=sinxcos:+cosxsin;+sinxcos:-cosxsin+cosx+a .6 h 6 3sinx +cosx+a=2sin (x++a, 因为sin(x+)的最大值为1，所以f)m=2×1+a=1,解得a=-1,所以A正确， 对于B,因为最小正周期为T-=2π，所以B错误， 对于C,由2km+≤x+若≤2km+受(kez),得到2km+号≤x≤2km+号，(kez), 2 6 2 f的单调递减区间为+2k,誓+2km,kez 令k=0,得到f()的一个单调递减区间为，引所以C正确， 对于D,f)≥0，即2sin(x+君)-1≥0，整理sin(x+君≥ 得鳄+2km≤x+sg+2km,k∈④，即zm≤x≤号+zkm,k∈) 6 3 又x【引令k=-1,得到-号≤x≤-行令k=0,得到0≤x≤行所以D错误。 故选：AC 【变式1-6】(25-26高一上吉林期末)s34264的值为 sin34° 【答案】-√3【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的正弦公式计算化简可得结果， 【i详解】os34-2n64=eos3'-2sn34+30）=cos34-2sim34cos30-2o34sin30=os34-3sm34-to34=-V5 sin34° sin34 sin34 sin34° 故答案为：-√3 题型02二倍角公式 【典例2-1】(24-25高一下甘肃定西期末)已知0<a<m,c0s号=9，则cosa=() 2 31 A.g C. 第8页共28页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果 【详解】由二倍角公式得c0sa=2c0s2号1=2×（图 -1=-3 故选：D 【典例2212526高-上河南月考-。y A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】A【难度】0.65【知识点】二倍角的正切公式 【分析】根据正切的二倍角公式即可求出. 【详解】由题意可知， tan2#-1 1-tan2 =-2X 1-tan2x 1 1 tang =-2X 故选：A 【典例2-3】（多选2025陕西咸减阳.一模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是α，b,c,下列说法正确的 是( A.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解B.若a2+b2<c2,则sinA+sinB<sinC C.若tanAtanB>1,则△ABC为锐角三角形 D.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形 【答案】AC【难度】0.65【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理判定 三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理求解判断AB:由tanAtanB>1可得A,B均为锐角，再结合同角三角函数的基本关 系、两角和的余弦公式化简可得cosC>0,进而判断C;根据正弦定理、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A,由正弦定理得品=品则导=益所以sinB=号<1，又a<b,则A<B, b 2 所以B有两解，则△ABC有两解，故A正确： 对于B,在△ABC中，a+b>c,由正弦定理得，sinA+sinB>sinC,故B错误： 对于C,由am4tanB>1,可得>1，且A,B均为能角，所以sin4sinB>coco, 则cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)>0,所以C也为锐角， 则△ABC为锐角三角形，故C正确： 对于D,由acosA=bcosB,由正弦定理得，sinAcosA=sinBcosB, 则sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=L, 则A=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误 故选：AC 【典例2-4】(25-26高一上天津-月考)已知tan(a-习=2则3sin2a+sin2a= 【答案】-号【难度】0.65【知识点】已知弦（切）求切弦)、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式转化和化简即可. 【详1因为m(包-习-二 =-cos=2,所以cosu=-2sina, sina 第9页共28页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 3sin2a+in23sin2sinaSsinacosat-sinaosina(-2sina)+sin-12sinsina-11sin11 1 sin2a+cos2a sin2a+(-2sina)2 sin2a+4sin2a 5sin2a 5 故答案为：一号 【变式2-1】(24-25高一下·甘肃兰州期末)下列三角恒等变换错误的是() A.sin2x=2sinxcosx B.sin (x+=cosx C.cos(x+)=-cosx D.tan(3π-x)=tanx 【答案】D【难度】0.94【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角正弦公式可判断选项A:根据诱导公式可逐个判断选项B,C,D. 【详解】由二倍角公式可得：sin2x=2 sinxcosx,故选项A正确： 根据诱导公式可得： sin (x+2) )cosx;cos(x it)=-cosx;tan(3nt-x)=-tanx, 故选项B,C正确，选项D错误 故选：D 【变式2-2】(25-26高一上江苏南京·月考)设全集U=R,集合A={xlsinx=0},B={xlcosx=0},则集合 {xsin2x=0}=(） A.A∩B B.AUB C.(CA)UB D.AU(CuB) 【答案】B【难度】0.85【知识点】并集的概念及运算、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角公式可得集合间的关系 【详解】因为sinm2x=2 sinxcosx,所以sin2x=0,即2 sinxcosx=0, 所以sinx=0或cosx=0.于是集合{xsin2x=0}=AUB. 故选：B 【变式2-3】(25-26高一上山东济南·月考)化简 1-sina \1+sina +s的结果是() 1-sina A品 B.2sinal C. 2cosa D.- 2sina coSa sina cosal 【答案】D【难度】0.65【知识点】同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由题设结合同角三角函数平方和公式和倍角公式即可转化化简. 【详解】由题 1-sina 1+sina 1-2sin-cos? 1+2sinzcos? 1十sin 1-sina 1-2sinzcos? (sin-cos （sin+cos9) sin+cosz sin吃co-si+eog (1-sina)-(1+sina) 2sina (si+cos) sin +cos sin-cos sincos sin受cos29 故选：D 《变式2-4】(25-26高一上·安徽合肥期末)己知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直 线y=-3x上，则c0s20=() A B. c.- 【答案】C【难度】0.65【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意可求出tan0,利用二倍角公式化简即可求出cos26. 第10页共28页丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二章三角恒等变换复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01和差角公式 题型01和差角公式 第2章三角恒等变换 知识点02二倍角公式 题型02二倍角公式 题型03和差化积与积化和差公式 题型04简单的三角恒等变换 知识点03和差化积与积化和差公式 知识点04角的配凑 教学目标、教学重难点 1.掌握和差角公式、二倍角公式及变形、万能公式、辅助角公式： 教学目标 2.掌握角的配凑技巧； 3.了解和差化积与积化和差公式. 教学重点 和差角公式、二倍角公式、万能公式、辅助角公式、角的配凑技巧 教学难点 和差化积与积化和差公式. 知识清单 知识点01和差角公式 l.和差角公式：cos(a-)=cos acos B+-sin asin(Ca-: cos(aB)=cos acos B-sin asin B(C(a) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(aB)); sin(a+B)=sin acos B++cos asin B(S() tama-间=(T.-(B.a-B+kmke2刀 tama+)=器Ce)(aRa+B++k虹ke2 2.正切和差角公式变形：tan a吐tanB=tan(c-)(1 Ftan atan). 3辅助角公式：asi血x+bcos=a2+sn6十9其中sinp=了，cos0=). h a 特别的sina肚cosa=V2sin(a±)： sin a3cosa=2sin(a±)： 3sin acos a=2sin(). 【即学即练1-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨，期末)cos22°cos38°-sin22°cos52°=( A.cos16' B.-c0s16° C. 0.- 第1页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-2】(24-25高一下河南洛阳期末)已知sin(a+B)=号，tana=tanB,则sin(a-B)=() A c 知识点02二倍角公式 sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; tam2a=a≠k+且a≠号+ke刃. 1+tan2a cos2a =1-tan?a 拓展：万能公式：sin2a=2tana 1+tan2a 4.常用变形结论 (1)降幂公式：sim2a=1-cos2e 2 Cos2a =1+cos2a 2: sinacosa=sin2a 2 (2②升幂公式：1+c0sa=2c0s2号 1-cos a=2sin24: 1+sin a=(sin+cos2; 1-sin a=(sing-cos 2. 【即学即练2-1】(25-26高一上广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角c的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,-4),则cos2a的值为) A月 8.- c居 【即学即练2-2】(24-25高一下·云南临沧期末)若tana=3,则sin2a=() A B.月 c. 知识点03和差化积与积化和差公式 和差化积公式： sina-sinβ=2cos4sim“ 2 ，sina+sin6=2sin4cos 2 25 cosa+cosp=2"号，coa-cosB=-2sing2sin" 2 积化和差公式： sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)],cosasinB=[sin(a+B)-sin(a-B)], cosacosB=[cos(a+B)+cos(a-B)],sinasinB=-[cos(a+B)-sin(a-B)]. 【即学即练3-1】(24-25高一下·云南楚雄月考)下列等式恒成立的是（) A.cos(a-B)=cosacosB-sinasinB B.sin(a+β)=sinacosβ-cosasinβ 第2页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.tana tanB tan(a+B)(1-tanatanB) D.sinasinB=[cos(a+B)-cos(a-B)] 【即学即练3-2】(2025高三·全国专题练习)已知sin(a+)=号sin(a-)=号则的值为) A.-1 B.1 C.-2 D.2 知识点04角的陪凑 ①a=2· ②a=(a+β)-B:a=B-(β-)： ③a=[(a+B)+(a-Bl:B=[a+B)-(a-]: ④（匠+a)=2-(匠-a:a=-(匠-四， 【即学即练41】(25-26高二上贵州月考)已知a∈(0，m,且sin(a+)=子则cos(g-a)的值为) A-司 B.月 C.-22 3 0.9 【即学即练42】(2023湖北.二模)已知sinasin(g-a）=3 cosasin(a+),则cos(2a+)=() B.-1 2 C. 0.号 题型精讲 题型01和差角公式 【典例11】(24-25高一上福建莆田·期末)已知tan(a-)-子则tana=() A.2 B.-2 C. 【典例1-2】(24-25高一下辽宁辽阳期末)已知sin2a=m,sin2B=,且m≠n,则aa+坦=(） tan(a-B) A.m-n B.mtn m+n m-n C.m D.9 【典例1-3】（多选）(25-26高一上·吉林长春.期末)已知a,B分别为第一、第三象限角，且tana=tanB=2,则 () A.sinasing= B.cosacosB= C.cos(a-B)=1 D.cos(a+)= 《典例14】(25-26高一上：陕西榆林：期末已知α是第一象限角，且c0s(a+)=音则osa- 【变式1-1】(23-24高一下.湖南·月考)2c0s80°-c0s20°=() A.V3sin20° B.sin20° C.-V3sin20° D.-sin20° 第3页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25高一下·湖南长沙.月考)已知cos(x+y)=3cos(x-y),则tanxtany=(） A月 c. D.- 【变式1-3】24-25高一下河南南阳期末已知<Q<要，-琴<B<,c0s(仔-）=cos(任+B)=-吾 则sin(a+β)=() A- B.胎 c-器 0.号 变式1-4】(24-25高-下.湖南长沙.期末已知a∈(-乏，)，B∈(-乏，)，且sina+cosa=sinB-cosB,则 () A.a-B=7 B.B-a=7 C.a+B=D.a+B=-7 【变式1-5】（多选）24-25高一下·广东汕头·期末)已知函数f()=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a的最大 值为1，则下列结论正确的是() A.a=-1 B.f(x)的最小正周期为π C.f)在售智内递减 D.f≥0在[受习上的解集是0，引 【变式1-6】(25-26高一上.吉林期末os34-2m64的值为 sin34° 题型02二倍角公式 【典例2-1】(24-25高一下甘肃定西期末)已知0<a<m,c0s号=5，则cosa=() A. B.- C. D.-} 【典例22】(25-26高一上河南月考)m二学1 =(） tang A.-2 B.-1 C.1 D.2 【典例2-3】（多选）2025陕西咸阳.一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的 是() A.若A=30°，b=4,Q=3,则△ABC有两解 B.若a2+b2<c2,则sinA+sinB<sinC C.若tanAtanB>1,则△ABC为锐角三角形 D.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形 【典例2-4】(25-26高一上天津-月考)已知tan(a-习=2则3sin2a+sin2a= 第4页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(24-25高一下.甘肃兰州期末)下列三角恒等变换错误的是() A.sin2x=2sinxcosx B. sin (x+)=cosx C.c0s(X+π)=-c0SX D.tan(3π-x)=tanx I变式2-2】(25-26高一上江苏南京·月考)设全集U=R,集合A={xlsinx=0},B={xlcosx=0},则集合 {xlsin2x=0}=() A.A∩B B.AUB C.(CUA)UB D.AU(CuB) 凰变式2-3】（25-26高一上山东济南·月考)化简 1-sina 1+sina +siC的结果是(） V1-sing 2 B.2lsina 2cosal 2sina C. D.- cosa sina lcosal 【变式2-4】(25-26高一上安徽合肥期末)已知角6的项点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直 线y=-3x上，则cos20=() A B. 4 D. 4 【变式25】（多选）25-26高一上吉林期末)已知0E(0,m),且sim6-c0s0=:则下列说法正确的是() A.sin20-号 B.sin20-24 7 25 C.c0s28=-25 D.0s20-云 【变式261(25-26高-上江苏无锡月考)已知sin(a-)=子则c0s(2a+9=一 题型03和差化积与积化和差公式 【典例311(24-25高一上全国课后作业)已知sina+simB=,tam-子则cosa+c0sB=() 2 A 8. c D.1 【典例3-2】25-26高三上甘肃兰州：期中)设t-云则t-(） cost A.1 8.月 C.3 D.3 2 【典例33】（多选202高三全国专题练习]已知c0s(a+)=气，c0s2m-各其中，B为锐角，以下 判断正确的是() A.sin2a=号 B.cos(a-B)=19 65 C.cosacosp=5 65 D.tanctang-号 【典例3-4】(25-26高一下.全国课堂例题)若直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB的最大值为 第5页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式31】(24-25高一上全国.课后作业)m40°-sim20 cos400-c0s20。=() A.-V3 B.-3 2 c.9 D.3 【变式32】(2223高一下全国-课后作业)若sina+sinB=号cos+cos8=合则tam生的值为() A.2 C.-2 【变式33】(2025高三·全国.专题练习)函数y=sinxsin(（低-x)的最小值是() A.22 B.(2+② C.、1+2 D.1-2 4 4 4 4 【变式34】(2025高三·全国.专题练习)c0s72°-cos36°的值为() A.3-2V3 B.月 C. D.3+2V3 【变式35】（多选）25-26高一下·全国·课后作业（多选）下列关系式成立的是() A.sin50+sin30 2sin40cos0 B.cos30-cos50 =-2sin40sin0 C.sinxsiny=[cos(x-y)-cos(+)D.cos0sinB=[sin(@+)+sin(-B)] 【变式36】(25-26高一上·全国课后作业)求值：sin20c0s70°+c0s50c0s10°=. 题型04简单的三角恒等变换 【典例41】(23-24高三下-河北张家口开学考试)已知cos(π+)=-子0是第四象限角，则tan=() A.V2 B.-V2 c.号 D.、② 2 【典例42】(21-22高二下.河南焦作.期中)己知2cos2a+sin2a=2且a≠kπ(k∈Z),则tana=() A.2 B.1 C.0 0.月 【典例43】（多选）25-26高一上·全国课后作业多选)下列化简正确的是() A.a48+ta72=V5 tan48tan72 B.c0s82°sin52°+sin82cos128°=-1 2 C.16sin10°cos20°cos30°cos40°=V3 D.1- 二4 sim10°cos10° 【典例44】(25-26高一上·上海浦东新：期末)已知cos(2a-)=,tandtan(a-)=p,则正实数p的值 为 第6页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】(24-25高一下.黑龙江哈尔滨·月考)已知函数f(x)=sinxcosx+√3cos2x,则函数f(x)的一条对称 轴可以是() A.X=-是 B.(倍 cy=最 0.x=君 【变式42】(22-23高一下·全国课后作业)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若cosB+cosC= sinB+sinC,则△ABC的形状为) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能判断 【变式43】(24-25高三上安徽月考)已知tan2g=3位t+a3 则cos2a的值为() sina A B品 c. 【变式4412425高一下湖南期末)若A是△ABc的内角，且smA-c0sA=吕则的值可以为) 5sinA-7cosA" A号 c-9 【变式45】（多选）24-25高一下-贵州遵义月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,且cos2 :cosBcosC+2则下列说法正确的是() A.tanBtanc=2 B.tanB+tanc-tanA=0 C.A>D.a>b>c 【变式46】(25-26高一上吉林长春期末)若cosa=-号 ，a为第三象限角，则二 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下.陕西商洛·期中)计算：sin30cos15°+sin60°sin15°=() A司 B.月 D.竖 2.(25-26高一上广东珠海·月考tan2=() A号 B.-2+V3 C.2-3 D.2+V3 3.(25-26高一上-安徽马鞍山：期末)已知角a,B满足sim(a+B)=3,sin(a-B)=子则cos2a+sin2B的值为) A.- B. c.- D. 第7页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 42026河北校拟预测已蜘知cos0-字则sm号点 -1=() A.0 B号 C.3 3 . 5.23-24高三下浙江金华月考)已知cos(a-)=号sinasin8=-立则cos2a-sm2B=() A.月 B. c 0. 6(25-26高一上全国单元测试)已知_29=号，则sin20=() cos(0-=2 A c. 0. 7.(2024辽宁丹东.一模)已知a∈(0，)， (1+sina)(1+cosa) (1-sina)(1-cosa) =4v2+1,则sin2a=() A.4②+1 B.4②+1 C.421 D.421 8 16 8 16 8(25-26高三上：山东月考)设an婴是关于x的方程ax-123-6V3x2+12x+V5=0的一个实根，则常 数a=() A.V3 B.1 C.2(6-√② D.2 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是() A.C0s45°c0s150=1+3 4 B.sin45sin150=1-v3 4 C.sin45c0s15°=1+v5 2 D.c0s45sin15°=3-1 4 10.(24-25高一下·福建厦门期末)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为1， 且.asinB--beosA=专则) A.sinA B.tanc C. D.a2+b2+c2≥7 11.(25-26高一上山东青岛·月考)在平面直角坐标系中，己知点A(2,0),定义一次“15°旋转跳”，以原点O为 中心，把当前点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的v3倍.从A出发，连续进行次"15° 旋转跳”得到点列P1,P2,,Pn·参考数据：n1013=6.92,n3=1.10.下列说法正确的是() A.点P1的坐标为(2V3cos15°，2V3sin15) 3n-1 B.Pn的坐标记为(x,yn),那么xn+yn=223zsin(15n+45)° C.△0P1024P2026的面积是2×31525 第8页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.使|0Pml>2026的最小正整数n为12 三、填空题 12.(24-25高一上.天津期末)已知tan(a-)=子tan(a+)=子，则tan(B+习= 13.(24-25高三上辽宁辽阳期末)已知sin(-+a)=-子，ae(0）,则sim(（+)= 14.(20-21高一下·福建莆田·月考)△ABC内接于半径为2的圆，三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆 于A,B1,C1.则428co号cGco的值为】 sinA+sinB+sinc A C B A 四、解答题 15.(25-26高一上新疆巴音郭楞期末)若0<a<2且tana=子 (1)求sin,cosa的值； (2若0<B<子且c0sB=5,求cos(a+)的值. 第9页共11页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16(24-25高一下，广东汕头：期末)已知函数f)=sinxc0sx+V3cos2x-复 (1)求f)的单调递增区间：2)已知f(网=号求cos(侣2a的值. 17.(23-24高一下.内蒙古包头月考)化简求值： （1)m122cos12-卫，(2化简V2+c0s20-$in210 V3-tanl2° 18.25-26高一上浙江杭州月考)已知函数f()=sim(任+x)cos(任+x)+V3 sinxcosx. (1)把f(x)化成y=Asin(wx+p)的形式： 2诺f(侣+)=-识且π<a<g求sim的值。 (3)在△ABC中，若f(月=1，求sinB+sinC的取值范围. 第10页共11页 第二章 三角恒等变换 复习讲义 教学目标 1.掌握和差角公式、二倍角公式及变形、万能公式、辅助角公式； 2.掌握角的配凑技巧； 3.了解和差化积与积化和差公式. 教学重点 和差角公式、二倍角公式、万能公式、辅助角公式、角的配凑技巧. 教学难点 和差化积与积化和差公式. 知识点01 和差角公式 1.和差角公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 2.正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 3.辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin． 【即学即练1-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 【即学即练1-2】(24-25高一下·河南洛阳·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的正弦公式，及同角三角函数的关系可求得，进而利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由，可得， 由，可得，所以， 所以，所以. 故选：B. 知识点02 二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 拓展：万能公式： ， ， 4.常用变形结论 (1)降幂公式： ； ． (2)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． 【即学即练2-1】(25-26高一上·广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式可得所求三角函数值. 【详解】由角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，， 再根据三角函数的定义得， 再由二倍角公式. 故选：D. 【即学即练2-2】(24-25高一下·云南临沧·期末)若，则(  ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 知识点03 和差化积与积化和差公式 和差化积公式： , ; , ; 积化和差公式： ，， ，. 【即学即练3-1】（24-25高一下·云南楚雄·月考）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、积化和差公式 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因， 故不能恒成立，即A错误； 对于B，因，故不能恒成立，即B错误； 对于C，因， 则有在其有意义的条件下恒成立，故C正确； 对于D，因，， 则；故， 即不能恒成立，故D错误. 故选：C. 【即学即练3-2】(2025高三·全国·专题练习)已知，，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】C【难度】0.85【知识点】积化和差公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦(切)求切(弦) 【分析】解法一：由两角和与差的正弦展开式化简可得、，再相除可得答案；解法二：利用积化和差公式化简可得答案；解法三，利用比例性质可得答案；解法四：由两角和与差的正弦展开式化简再利用齐次式可得答案. 【详解】解法一：由题意可得①， ②， 由①②得，，两式相除得. 解法二：. 解法三：设，即，解得. 解法四：，所以，即. 故选：C. 知识点04 角的陪凑 ①； ②；； ③；； ④；. 【即学即练4-1】(25-26高二上·贵州·月考)已知，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用同角三角函数的平方关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，且，所以，所以， 所以. 故选：D 【即学即练4-2】(2023·湖北·二模)已知，则(    ) A． B．－1 C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、万能公式、给值求值型问题 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 题型01 和差角公式 【典例1-1】(24-25高一上·福建莆田·期末)已知，则( ) A．2 B．-2 C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角差的正切展开式计算可得. 【详解】，解得. 故选：A. 【典例1-2】(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用，，再结合两角和与差的三角公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系可得答案. 【详解】因为 ， ， 所以：，. 又 . 故选：B 【典例1-3】(多选)(25-26高一上·吉林长春·期末)已知分别为第一、第三象限角，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.65【知识点】和差角公式化简、求值 【分析】先由，结合同角三角函数关系可得，，，，进而可判断AB，根据两角和与差的余弦公式可判断CD. 【详解】因，得，又，得，即， 因为第一象限角，故，，同理可得，， ，故A正确；，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：AD 【典例1-4】(25-26高一上·陕西榆林·期末)已知是第一象限角，且，则 ． 【答案】/【难度】0.65【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、已知正(余)弦求余(正)弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】因为是第一象限角，所以，通过直接求解或，根据同角三角函数的基本关系及三角恒等变换，解方程组求解. 【详解】方法一：因为是第一象限角，即， 所以，所以. 因为，所以. 则 . 故答案为：. 方法二：因为是第一象限角，所以.因为， 所以，所以，① 两边同时平方得，所以， 所以，所以.② 由①②解得.故答案为：. 【变式1-1】(23-24高一下·湖南·月考)(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据，结合两角和差公式分析求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：C. 【变式1-2】(24-25高一下·湖南长沙·月考)已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】应用两角和差的余弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系弦化切计算求解. 【详解】因为，则， ；则. 故选：B. 【变式1-3】(24-25高一下·河南南阳·期末)已知，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】和、差角公式化简、求值 【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解. 【详解】由题意得， 则，， 所以 . 故选：B 【变式1-4】(24-25高一下·湖南长沙·期末)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】诱导公式、和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先利用辅助角公式转化为同一形式的正弦函数，再利用正弦函数相等的条件，结合两个角的取值范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以原式变为：， 根据正弦函数性质可得：① 或②， 对于①，当时，，即，此时 能使上式成立， 对于②，因为，故， 而，不存在整数k使得，故舍去； 故选：B 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·广东汕头·期末)已知函数的最大值为1，则下列结论正确的是(   ) A． B．的最小正周期为π C．在内递减 D．在上的解集是 【答案】AC【难度】0.65【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦(型)函数的最小正周期、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数 【分析】利用正弦的和差角公式及辅助角公式得，结合条件得，即可判断A的正误，对B，利用周期的计算公式，即可判断B的正误；对于C，利用性质，求出的单调递减区间，即可求解；对于D，利用性质，求出的解集，即可求解. 【详解】因为 ， 因为的最大值为1，所以，解得，所以A正确， 对于B，因为最小正周期为，所以B错误， 对于C，由，，得到，， 的单调递减区间为， 令，得到的一个单调递减区间为，所以C正确， 对于D，由，即，整理， 得到，，即， 又，令，得到，令，得到，所以D错误， 故选：AC. 【变式1-6】(25-26高一上·吉林·期末)的值为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的正弦公式计算化简可得结果. 【详解】. 故答案为： 题型02 二倍角公式 【典例2-1】(24-25高一下·甘肃定西·期末)已知，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 【典例2-2】(25-26高一上·河南·月考)(   ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A【难度】0.65【知识点】二倍角的正切公式 【分析】根据正切的二倍角公式即可求出. 【详解】由题意可知，， 故选：A. 【典例2-3】(多选)(2025·陕西咸阳·一模)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(    )． A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC【难度】0.65【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理求解判断AB；由可得，均为锐角，再结合同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式化简可得，进而判断C；根据正弦定理、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，所以，又，则， 所以有两解，则有两解，故A正确； 对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误； 对于C，由，可得，且，均为锐角，所以， 则，所以也为锐角， 则为锐角三角形，故C正确； 对于D，由，由正弦定理得，， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AC 【典例2-4】(25-26高一上·天津·月考)已知 则 【答案】【难度】0.65【知识点】已知弦(切)求切(弦)、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式转化和化简即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 【变式2-1】(24-25高一下·甘肃兰州·期末)下列三角恒等变换错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角正弦公式可判断选项A；根据诱导公式可逐个判断选项B，C，D. 【详解】由二倍角公式可得：，故选项A正确； 根据诱导公式可得：；；， 故选项B，C正确，选项D错误. 故选：D. 【变式2-2】(25-26高一上·江苏南京·月考)设全集，集合，，则集合(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】并集的概念及运算、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角公式可得集合间的关系. 【详解】因为，所以，即， 所以或.于是集合 . 故选：B 【变式2-3】(25-26高一上·山东济南·月考)化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由题设结合同角三角函数平方和公式和倍角公式即可转化化简. 【详解】由题 . 故选：D 【变式2-4】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意可求出，利用二倍角公式化简即可求出. 【详解】解：角终边在直线上，则， 所以， 故选：C. 【变式2-5】(多选)(25-26高一上·吉林·期末)已知，且，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.65【知识点】同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】将平方，根据题意结合同角的三角函数关系以及正弦二倍角公式可求，判断AB；求出的值后，结合余弦的二倍角公式可求，判断CD. 【详解】由题意知，且，则 即，故， 所以，故A错误，B正确； 又，结合，所以，， 所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 【变式2-6】(25-26高一上·江苏无锡·月考)已知，则 ． 【答案】/【难度】0.65【知识点】诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解. 【详解】令，即，， ， 故答案为：. 题型03 和差化积与积化和差公式 【典例3-1】(24-25高一上·全国·课后作业)已知，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.85【知识点】和差化积公式 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则；所以. 故选：B 【典例3-2】(25-26高三上·甘肃兰州·期中)设，则(    ) A．1 B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】和差化积公式 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】，， 代入，． 故选：A． 【典例3-3】(多选)(2022高三·全国·专题练习)已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.85【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、积化和差公式 【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D. 【详解】因为，，其中，为锐角，故 所以：，故A正确； 因为， 所以 ，故B错误； ，故C正确； 可得， 所以，故D错误． 故选:AC 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)若直角三角形中两锐角为A和B，则的最大值为____________． 【答案】/【难度】0.85【知识点】求cosx(型)函数的值域、积化和差公式 【分析】根据积化和差公式化简得，再由角的取值范围，求出的取值范围即可. 【详解】，， ， 又，，，，有最大值． 故答案为：. 【变式3-1】(24-25高一上·全国·课后作业)(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】和差化积公式 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 【变式3-2】(22-23高一下·全国·课后作业)若，，则的值为(    ) A．2 B． C．－2 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】和差化积公式 【分析】利用和差化积公式即可得到答案. 【详解】由 ， ， 两式相除得. 故选：A. 【变式3-3】(2025高三·全国·专题练习)函数的最小值是(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求cosx(型)函数的值域、积化和差公式 【分析】先利用积化和差公式化简函数解析式，再根据余弦函数的性质求函数的最小值. 【详解】因为 . 故选：B 【变式3-4】(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】和差化积公式、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六 【分析】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】原式 . 故选：C. 【变式3-5】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选)下列关系式成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.51【知识点】积化和差公式、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为， 所以，所以A正确； 因为， 所以，所以B错误； 因为， 所以，所以C正确； 因为， 所以，所以D错误. 故选：AC. 【变式3-6】(25-26高一上·全国·课后作业)求值：______. 【答案】/0.75【难度】0.85 【知识点】积化和差公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】方法一：诱导公式、和差角正弦公式；方法二：诱导公式、积化和差公式化简求值即可. 【详解】方法一：原式 . 方法二：原式= . 故答案为： 题型04 简单的三角恒等变换 【典例4-1】(23-24高三下·河北张家口·开学考试)已知，是第四象限角，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、万能公式 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故，∴． 故选：D． 【典例4-2】(21-22高二下·河南焦作·期中)已知且，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】万能公式、给值求值型问题 【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求. 【详解】由，， 所以，即， 又，可得. 故选：D 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)(多选)下列化简正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以，所以 ，A错误. 对于选项B，因为， 所以 ，B    正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 【典例4-4】(25-26高一上·上海浦东新·期末)已知，则正实数的值为 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】考查转化与化归思想，利用三角恒等变换求解. 【详解】设，则, ,解得, 由,即,解得或(舍去)， 故答案为： 【变式4-1】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考)已知函数，则函数的一条对称轴可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】首先利用二倍角公式和和差角的正弦公式将函数化简，然后利用正弦函数的对称轴性质求得结果. 【详解】因为， 所以对称轴为：，解得. 令，则对称轴为. 故选：D. 【变式4-2】(22-23高一下·全国·课后作业)在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则的形状为(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断 【答案】C【难度】0.85【知识点】和差化积公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据题意利用和差化积分析求解. 【详解】由，得， 因为，整理得， 则，则，即， 又因为，则， 所以，则，可得，故为直角三角形. 故选：C. 【变式4-3】(24-25高三上·安徽·月考)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、万能公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由，得， 则，而． 故选：B 【变式4-4】(24-25高一下·湖南·期末)若A是的内角，且，则的值可以为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值. 【详解】由可得，即， 即,, ① ，所以；所以， 所以. ② ，所以； 所以，所以. 故选：A 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.4【知识点】二倍角公式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】通过已知条件，结合二倍角公式和三角形内角和的性质，及不等式性质，推导出角之间的关系，进而判断选项的正确性. 【详解】因为，所以， 整理得，即 又因为，所以， 即，整理得：， 因为，所以. 选项A： ，与推导结果一致.  正确. 选项B：由，得， 因为， 因此，即.  正确. 选项C： 由，可知均为锐角； 又因为， 又因为，即，所以.  C正确. 选项D：因为，(因)， 得且，但无法确定和的大小，故无法推出.  错误. 故选：ABC. 【变式4-6】(25-26高一上·吉林长春·期末)若， 为第三象限角，则 【答案】【难度】0.65【知识点】同角关系、二倍角的正切公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】首先将正切变为正弦和余弦，再结合二倍角公式，化简求值. 【详解】因为，且为第三象限角，所以， . 故答案为： 一、单选题 1.(24-25高一下·陕西商洛·期中)计算：(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式化简可得解. 【详解】 ， 故选：D. 2.(25-26高一上·广东珠海·月考)(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用正切的倍角公式计算. 【详解】，则，得(负值舍去). 故选：C 3.(25-26高一上·安徽马鞍山·期末)已知角满足，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 4.(2026·河北·模拟预测)已知，则(    ) A．0 B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为，所以，， 故选：A. 5.(23-24高三下·浙江金华·月考)已知，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】和差化积公式、cos2x的降幂公式及应用、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 6.(25-26高一上·全国·单元测试)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】本题的核心在于灵活运用和差公式、二倍角公式等进行化简，关键点在于将分母展开，并通过变量代换将原式转化为关于的方程，最终利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 故选：B. 7.(2024·辽宁丹东·一模)已知，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， 即，所以， 即，所以. 故选：A. 8.(25-26高三上·山东·月考)设是关于的方程的一个实根，则常数(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】A【难度】0.15 【知识点】二倍角的正切公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据题意，，令，利用二倍角的正切公式求出关于的表达式，再由结合二倍角的正切公式可得出关于的等式，化简后可得出的值. 【详解】，设，则，，整理得， 则，与题设方程比较系数可得. 故选：A. 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.65【知识点】特殊角的三角函数值、积化和差公式 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】 ，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 10.(24-25高一下·福建厦门·期末)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，所以. 因为，所以，解得或. 因为，所以，，故A正确； 对于B，在锐角中，，则， 所以，故B错误： 对于C，. 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为的面积为1，即，所以， 所以， 当且仅当，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 11.(25-26高一上·山东青岛·月考)在平面直角坐标系中，已知点，定义一次“15°旋转跳”，以原点O为中心，把当前点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的倍．从A出发，连续进行n次“15°旋转跳”.得到点列，，…，．参考数据：，.下列说法正确的是(   ) A．点的坐标为 B．的坐标记为，那么 C．的面积是 D．使的最小正整数为12 【答案】AC【难度】0.15【知识点】三角函数新定义、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、利用定义求某角的三角函数值 【分析】，设，由三角函数的定义可得点的坐标判断A项；同理可得，利用辅助角公式化简判断B项；依次求出，利用三角形的面积公式计算节课判断C项；将代入计算即可判断D项. 【详解】以原点O为中心，把点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的倍得到点， 则，角的终边为， 设，由三角函数的定义得，解得， ，解得，则，故A正确； 同理类推可得， 则 ，故B错误； ， ， ， ，故C正确； 因，由， 两边取对数，，即，因，， 则，解得，使的取小正整数为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12.(24-25高一上·天津·期末)已知，，则 . 【答案】【难度】0.65【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角差的正切公式可求的值. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 13.(24-25高三上·辽宁辽阳·期末)已知，，则__________. 【答案】【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、半角公式、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，， 所以. 故答案为：. 14.(20-21高一下·福建莆田·月考)△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为 . 【答案】【难度】0.15 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、积化和差公式、正弦定理及辨析 【分析】连，由正弦定理得，利用三角形内角和性质得，进而利用积化和差公式、诱导公式得，同理求、，即可求值. 【详解】连，则， ∴， 同理可得：，. ∴，即. 故答案为： 四、解答题 15.(25-26高一上·新疆巴音郭楞·期末)若，且． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】(1)根据同角三角函数关系，直接求结果即可. (2)根据同角三角函数关系和两角和的余弦公式，求出结果即可. 【详解】(1)因为，所以， 因为，解得. (2)因为，，所以， 则. 16.(24-25高一下·广东汕头·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间；(2)已知，求的值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1)由，然后利用整体代换法即可求解； (2)由，再结合诱导公式可得，即可求解. 【详解】(1)由， 则，，解得，， 所以的单调递增区间为. (2)由(1)得 则. 17.(23-24高一下·内蒙古包头·月考)化简求值： (1)；(2)化简 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】(1)利用和将整理得到，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式得解. (2)利用和将整理即可得解. 【详解】(1) ； (2) 18.(25-26高一上·浙江杭州·月考)已知函数． (1)把化成的形式； (2)若，且，求的值． (3)在中，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3).【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数. (2)由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值. (3)由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【详解】(1) . (2)由(1)知，则， 由，得，则， 则 . (3)在中，，由，得， 则，解得，则， 于是， 由，得，则，即， 所以的取值范围为. 19.(25-26高一上·浙江绍兴·期末)已知函数，，此时设. (1)求，及的取值范围；(2)求的最大值； (3)若，，求证：. 【答案】(1);;；(2)；(3)证明见解析【难度】0.15【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】(1)直接将和代入函数中计算和,再根据的取值范围求的取值范围. (2)先对进行化简,再根据三角函数的性质求其最大值. (3)要证明,可通过构造函数利用函数的单调性来证明. 【详解】(1)已知,将代入可得, , 将代入可得,, 令,因为 在任取两个实数,令.则, 因为,所以；所以在单调递增. 所以 ;. 所以的取值范围. (2)已知,则. 即 利用两角和差公式可得,. 因为, . 则.显然,当时, 取得最大值1. 所以的最大值为. (3)由(2)知道,,因为且, 所以在上先单调递增后单调递减,即存在最大值点使得. 令, 因为,且. 所以.即 因为,所以有. 所以有,化简得, 设 由积化和差公式可以知道, 再由二倍角公式可以知道, 所以 所以可以化简为 可以得到, . 因为,所以有, 因为, 所以要证,即证,只需证. 假设,且,所以 令,则.且则. 因为即且.,可以得到即. 这与余弦函数的值域矛盾,故假设不成立,所以必有.于是 即有. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 三角恒等变换 复习讲义 教学目标 1.掌握和差角公式、二倍角公式及变形、万能公式、辅助角公式； 2.掌握角的配凑技巧； 3.了解和差化积与积化和差公式. 教学重点 和差角公式、二倍角公式、万能公式、辅助角公式、角的配凑技巧. 教学难点 和差化积与积化和差公式. 知识点01 和差角公式 1.和差角公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 2.正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 3.辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin． 【即学即练1-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(   ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(24-25高一下·河南洛阳·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 知识点02 二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 拓展：万能公式： ， ， 4.常用变形结论 (1)降幂公式： ； ． (2)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． 【即学即练2-1】(25-26高一上·广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高一下·云南临沧·期末)若，则(  ) A． B． C． D． 知识点03 和差化积与积化和差公式 和差化积公式： , ; , ; 积化和差公式： ，， ，. 【即学即练3-1】（24-25高一下·云南楚雄·月考）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练3-2】(2025高三·全国·专题练习)已知，，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 知识点04 角的陪凑 ①； ②；； ③；； ④；. 【即学即练4-1】(25-26高二上·贵州·月考)已知，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】(2023·湖北·二模)已知，则(    ) A． B．－1 C． D． 题型01 和差角公式 【典例1-1】(24-25高一上·福建莆田·期末)已知，则( ) A．2 B．-2 C． D． 【典例1-2】(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(25-26高一上·吉林长春·期末)已知分别为第一、第三象限角，且，则(   ) A． B． C． D． 【典例1-4】(25-26高一上·陕西榆林·期末)已知是第一象限角，且，则 ． 【变式1-1】(23-24高一下·湖南·月考)(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高一下·湖南长沙·月考)已知，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高一下·河南南阳·期末)已知，则 (    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(24-25高一下·湖南长沙·期末)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·广东汕头·期末)已知函数的最大值为1，则下列结论正确的是(   ) A． B．的最小正周期为π C．在内递减 D．在上的解集是 【变式1-6】(25-26高一上·吉林·期末)的值为 ． 题型02 二倍角公式 【典例2-1】(24-25高一下·甘肃定西·期末)已知，，则(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·河南·月考)(   ) A．-2 B．-1 C．1 D．2 【典例2-3】(多选)(2025·陕西咸阳·一模)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(    )． A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【典例2-4】(25-26高一上·天津·月考)已知 则 【变式2-1】(24-25高一下·甘肃兰州·期末)下列三角恒等变换错误的是(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一上·江苏南京·月考)设全集，集合，，则集合(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(25-26高一上·山东济南·月考)化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(25-26高一上·吉林·期末)已知，且，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-6】(25-26高一上·江苏无锡·月考)已知，则 ． 题型03 和差化积与积化和差公式 【典例3-1】(24-25高一上·全国·课后作业)已知，则(    ) A． B． C． D．1 【典例3-2】(25-26高三上·甘肃兰州·期中)设，则(    ) A．1 B． C． D． 【典例3-3】(多选)(2022高三·全国·专题练习)已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)若直角三角形中两锐角为A和B，则的最大值为____________． 【变式3-1】(24-25高一上·全国·课后作业)(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(22-23高一下·全国·课后作业)若，，则的值为(    ) A．2 B． C．－2 D． 【变式3-3】(2025高三·全国·专题练习)函数的最小值是(    )． A． B． C． D． 【变式3-4】(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选)下列关系式成立的是(   ) A． B． C． D． 【变式3-6】(25-26高一上·全国·课后作业)求值：______. 题型04 简单的三角恒等变换 【典例4-1】(23-24高三下·河北张家口·开学考试)已知，是第四象限角，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-2】(21-22高二下·河南焦作·期中)已知且，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)(多选)下列化简正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例4-4】(25-26高一上·上海浦东新·期末)已知，则正实数的值为 . 【变式4-1】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考)已知函数，则函数的一条对称轴可以是(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】(22-23高一下·全国·课后作业)在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则的形状为(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断 【变式4-3】(24-25高三上·安徽·月考)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(24-25高一下·湖南·期末)若A是的内角，且，则的值可以为(   ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式4-6】(25-26高一上·吉林长春·期末)若， 为第三象限角，则 一、单选题 1.(24-25高一下·陕西商洛·期中)计算：(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高一上·广东珠海·月考)(    ) A． B． C． D． 3.(25-26高一上·安徽马鞍山·期末)已知角满足，则的值为(   ) A． B． C． D． 4.(2026·河北·模拟预测)已知，则(    ) A．0 B． C． D． 5.(23-24高三下·浙江金华·月考)已知，，则(    ) A． B． C． D． 6.(25-26高一上·全国·单元测试)已知，则(    ) A． B． C． D． 7.(2024·辽宁丹东·一模)已知，，则(    ) A． B． C． D． 8.(25-26高三上·山东·月考)设是关于的方程的一个实根，则常数(    ) A． B．1 C． D．2 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 10.(24-25高一下·福建厦门·期末)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则(   ) A． B． C． D． 11.(25-26高一上·山东青岛·月考)在平面直角坐标系中，已知点，定义一次“15°旋转跳”，以原点O为中心，把当前点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的倍．从A出发，连续进行n次“15°旋转跳”.得到点列，，…，．参考数据：，.下列说法正确的是(   ) A．点的坐标为 B．的坐标记为，那么 C．的面积是 D．使的最小正整数为12 三、填空题 12.(24-25高一上·天津·期末)已知，，则 . 13.(24-25高三上·辽宁辽阳·期末)已知，，则__________. 14.(20-21高一下·福建莆田·月考)△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为 . 四、解答题 15.(25-26高一上·新疆巴音郭楞·期末)若，且． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 16.(24-25高一下·广东汕头·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间；(2)已知，求的值. 17.(23-24高一下·内蒙古包头·月考)化简求值： (1)；(2)化简 18.(25-26高一上·浙江杭州·月考)已知函数． (1)把化成的形式； (2)若，且，求的值． (3)在中，若，求的取值范围． 19.(25-26高一上·浙江绍兴·期末)已知函数，，此时设. (1)求，及的取值范围；(2)求的最大值； (3)若，，求证：. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $