专项02 立体几何7种题型（大题专练）（北京专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项02 立体几何 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年北京卷考情，立体几何是必考大题，分值约13-17分． 命题趋势：立体几何考查重点明确，聚焦于空间几何体的体积、面积计算以及空间角（特别是二面角）的求解，整体难度稳定但强调综合应用。 2026年预测：预计2026年将延续以柱、锥为载体，重点考查利用空间向量求解二面角或线面角。 备考核心：备考中应强化空间向量法的熟练度，特别是准确求解法向量并计算空间角，这是解答题的拿分关键。同时，要回归几何法的基本方法，对几何法解决角度跟距离问题也要掌握。 题型01 立体几何中证明平行关系 析典例·建模型 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 研考点·通技法 在立体几何中证明平行关系有以下方法： 1、遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行 2、从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 3、过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 4、从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 破类题·提能力 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 2．（2026高三·北京·专题练习）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为.求证：平面. 题型02 立体几何中证明垂直关系 析典例·建模型 1．（2026高三·北京·专题练习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 研考点·通技法 立体几何证明垂直的常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 破类题·提能力 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面. 2．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.求证：平面平面. 题型03 立体几何中求线面角 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 研考点·通技法 求线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 （3）向量法： 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 注意：线面角的范围为 破类题·提能力 1．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型04 立体几何中求二面角 析典例·建模型 1．（2026·北京密云·一模）如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 研考点·通技法 二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 （6）向量法：若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 注意：二面角的范围为 破类题·提能力 1．（2026·北京延庆·一模）如图，在四棱锥中，底面是一个等腰梯形，，，，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若平面． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值． 2．（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 题型05 立体几何中求距离 析典例·建模型 1．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 研考点·通技法 求点到平面的距离的方法： （1）体积法：可根据体积、底面积可求出点到平面的距离，使用的时候通常可涉及到体积的转换。 （2）向量法：A为平面α外一点， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 破类题·提能力 1．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且． (1)求证：； (2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． 2．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 题型06 立体几何中求线段长度 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 研考点·通技法 已知线面角、二面角、距离等，求线段的长度。可设线段长度，再根据题目条件建系，列出线段相关的方程求取线段长度。 破类题·提能力 1．（2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 2．（2025·北京房山·一模）如图，在长方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 题型07 立体几何中存在性探索 析典例·建模型 1．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．    (1)求证：为的中点； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分． 研考点·通技法 先判断动点的运动轨迹。根据运动轨迹选择合适的方法： 几何法：利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。 建系法：建立坐标系，设动点 将运动轨迹写成方程，将题目条件转化为方程或不等式。 向量法（适合向量已知的几何条件）将长度、垂直、共线等用向量表示。 破类题·提能力 1．（25-26高三下·北京·开学考试）如图所示，在多面体 中， 为平面六边形，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ， 与 都是边长为 2 的等边三角形， ， 分别为 的中点． (1)求证： ， 平面 ； (2)棱 ED 上是否存在点 ，使得 与平面成角 ？ 若存在，求 的值：若不存在，说明理由． 2．（25-26高三上·北京石景山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 2．（2025·北京顺义·一模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，. (1)若平面与棱交于点，且平面，求证：是中点； (2)若是棱上一点，且满足，当时，求与平面所成角的正弦值. 3．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 4．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱中，，，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，点为的中点，求点到平面的距离． 6．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 7．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面平面； (2)若， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．（25-26高三上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，、分别为棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)若平面平面，； （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在请说明理由. 9．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 刷真题 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 5．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 立体几何 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年北京卷考情，立体几何是必考大题，分值约13-17分． 命题趋势：立体几何考查重点明确，聚焦于空间几何体的体积、面积计算以及空间角（特别是二面角）的求解，整体难度稳定但强调综合应用。 2026年预测：预计2026年将延续以柱、锥为载体，重点考查利用空间向量求解二面角或线面角。 备考核心：备考中应强化空间向量法的熟练度，特别是准确求解法向量并计算空间角，这是解答题的拿分关键。同时，要回归几何法的基本方法，对几何法解决角度跟距离问题也要掌握。 题型01 立体几何中证明平行关系 析典例·建模型 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 研考点·通技法 在立体几何中证明平行关系有以下方法： 1、遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行 2、从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 3、过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 4、从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 破类题·提能力 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 2．（2026高三·北京·专题练习）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】在线段上取一点，使得，先证平面平面，再根据面面平行证线面平行. 【详解】在线段上取一点，使得， 如图： 因为平面，平面，所以平面， 由平行线性质可得：， 且，，则， 即，则，且，则， 又因为平面，平面，所以平面， 且，平面，则平面平面， 又平面，则平面. 题型02 立体几何中证明垂直关系 析典例·建模型 1．（2026高三·北京·专题练习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 研考点·通技法 立体几何证明垂直的常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 破类题·提能力 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，故. 又因为，，平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. 2．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.求证：平面平面. 【答案】根据面面垂直的判定定理和性质定理得平面，再利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】平面 平面， ∴平面平面， 又∵平面平面，且，平面， 平面， 又平面，故. 在中，，E为线段的中点，则. 因为平面，平面，，平面. 平面，∴平面平面. 题型03 立体几何中求线面角 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 法二：根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，可得，且， 在三棱台中，可得，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面． 法二：在三棱台中，为的中点，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，于是平面． （2）解：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则． 设平面的法向量为，则， 令，可得．所以． 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角正弦值为． 研考点·通技法 求线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 （3）向量法： 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 注意：线面角的范围为 破类题·提能力 1．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线线平行证平面，平面，再由线面平行证明平面平面，利用面面平行的性质即可证得结论； （2）先由平面平面证明平面，即得，结合条件证明平面，即得，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）由四边形为矩形，可得，因 平面，平面，故平面； 因，平面，平面，故平面， 又因平面，故有平面平面. 再由平面可得平面. （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面. 又因为平面，所以，在矩形中，. 因为平面，，故平面. 因为平面，所以. 故分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则 即 令，则，.于是. 因为，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)选条件②或条件③， 【分析】（1）由正三棱锥的性质以及正三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直，可得答案； （2）由题意，建立空间直角坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接和 ∵，∴ 又为等边三角形，∴ ∵，，面， ∴平面，又面，∴ ∵三棱柱中， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形. （2）条件①：不符合题意 条件②：取中点为，连接，交于点 则底面 三棱柱的体积为，底面积为，所以高， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过点且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 因为，． 则，取，可得， 又， 设直线与平面所成角为， 所以． 条件③：为正四面体，∴ 取中点为，连接，交于点 则底面 由等边易得， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过点且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 因为，． 则， 取，可得， 又， 设直线与平面所成角为， 所以． 题型04 立体几何中求二面角 析典例·建模型 1．（2026·北京密云·一模）如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，则根据线面平行的判定定理证明； （2）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形. 所以，因为平面平面， 所以平面. （2）由题知平面，所以， 又因为， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 所以， 则. 根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为， 则即， 令，则.于是， 设二面角的平面角为， 则，由图可知为锐角，所以. 研考点·通技法 二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 （6）向量法：若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 注意：二面角的范围为 破类题·提能力 1．（2026·北京延庆·一模）如图，在四棱锥中，底面是一个等腰梯形，，，，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若平面． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）通过作辅助线证明为平行四边形，再利用线面平行的判定定理判断即可； （2）利用已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （3）通过建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再代入公式即可. 【详解】（1）取的中点，连接， M为的中点，， 又，，，四边形为平行四边形， 且平面，平面, 平面； （2）（ⅰ）平面，平面，， 又底面是一个等腰梯形，，，， ，则，，即， 又平面，，平面. （ⅱ）由（ⅰ）知平面，平面，， 故建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图 则，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 为平面的一个法向量，， 故二面角的余弦值为. 2．（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选择①②，根据面面垂直的性质可得，勾股定理可得，然后根据线面垂直的判定即可证明；选择①③，根据面面垂直的性质可得，根据三角形全等得，然后根据线面垂直的判定即可证明；选择②③，勾股定理可得，根据三角形全等得，然后根据线面垂直的判定即可证明； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，，利用向量法求解即可 【详解】（1）选择①②， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由②知，，，，所以， 又在平面内相交于点A，所以平面， 选择①③， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面， 选择②③， 由②知，，，，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面 （2）由（1）知，平面， 又为正方形，所以， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则。 所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 题型05 立体几何中求距离 析典例·建模型 1．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 研考点·通技法 求点到平面的距离的方法： （1）体积法：可根据体积、底面积可求出点到平面的距离，使用的时候通常可涉及到体积的转换。 （2）向量法：A为平面α外一点， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 破类题·提能力 1．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且． (1)求证：； (2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接底面菱形对角线交点，利用线面平行得，结合菱形对角线垂直及推出平面，进而平面，从而，由中点性质即得. （2）由及第一问知底面ABCD，建立空间直角坐标系，根据菱形边长与角度得各点坐标，利用与平面所成的角为60°，求出P点坐标，再求平面PCD的法向量以确定点A关于该平面的对称点M，最后通过平面PAB的法向量计算点M到该平面的距离. 【详解】（1）证明：连，相交于点，连．∵底面为菱形，∴且． 又平面，平面，平面平面，∴， ∴，又，而． ∴平面，又，∴平面，而平面， ∴，，为等腰三角形，即．    （2）若，则，由（1）知，∴平面， 以为原点以，，分别为轴，轴，轴建立直角坐标系， 又，∵，则，，，， ∵，，∴平面，与平面所成的角为60°， ∴，∴，∴．     ∴，，．     设平面的法向量为 则取，，，∴，     设，，则，到平面的距离相等， ， ∴． 又，∴，解得 ， 设平面的法向量为，∵，． 则取，，，∴，     则点到平面距离为． 2．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据勾股定理可证，根据等边三角形可证，由线面垂直的判定定理可证平面，故可证； （2）以向量，，所在方向建立空间直角坐标系，设，则可通过向量法求出面面角的余弦值，结合已知正切值可求，再根据点面距的向量法可求距离，我们也可以过做，垂足为，过做，垂足为，连接，则是二面角的平面角，根据已知正切值可求 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 在中，由余弦定理得: ，所以， 因为为中点，所以， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 则，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以 （2）解法一：以向量，，所在方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为在线段上，设， 则，， 设平面的法向量为， 则即取. 又平面的法向量为， 因为二面角的正切值为， 所以， 整理得，解得或（舍去），所以， 设平面的法向量为，则即 取，则， 所以点到平面的距离. 解法二：过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，故，所以是二面角的平面角， 而二面角的正切值为，故， 设，，所以， 在中，，，， 故，故为等腰直角三角形， 故，故， 所以，，故，故， 又， 设到平面的距离为，则可得， 故，故到平面的距离为. 题型06 立体几何中求线段长度 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 研考点·通技法 已知线面角、二面角、距离等，求线段的长度。可设线段长度，再根据题目条件建系，列出线段相关的方程求取线段长度。 破类题·提能力 1．（2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析； (2)所选条件见解析，. 【分析】（1）由题设得，，应用线面平行的判定证明平面，平面，再由面面平行的判定及性质证明结论； （2）根据已知证明，，，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距，列方程求的长. 【详解】（1）由四边形为平行四边形，则，又， 平面，平面，则平面，同理平面， 由，都在平面内，则平面平面， 平面，则平面； （2）平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则，， 选条件①：，都在平面内，则平面， 平面，则； 选条件②：由，，， 则，又，故， 所以，则， 综上，，，， 以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系， 所以，令，则， 故，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则， 由题设，可得， 所以. 2．（2025·北京房山·一模）如图，在长方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）运用长方体性质，得到面面平行，再用面面平行性质得到线线平行，进而得到是平行四边形.则.借助勾股定理和已知条件得到即可. （2）建立空间直角坐标系，设，求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合向量夹角公式得到，解出即可. 【详解】（1）在长方体中，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以.同理. 所以是平行四边形.所以. 又， . 所以. 所以为的中点. （2）在长方体中，建立空间直角坐标系，设， 则. 因此. 设平面的法向量为， 则即 令，则，因此. 易知平面的法向量为，则 . 解得.所以. 题型07 立体几何中存在性探索 析典例·建模型 1．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．    (1)求证：为的中点； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由已知可得平面，由线面平行可得，进而得四边形为平行四边形，即可证得为的中点； （2）选择条件①：取中点，连接，由已知条件可证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面的一个法向量，设，再利用坐标运算和直线与平面所成角的正弦值为，解出，即可解答； 选择条件②：先证得平面，同①建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，然后解答同①. 【详解】（1）在菱形中，． 因为平面平面， 所以平面． 又平面，平面平面， 所以． 又四棱柱中，， 所以四边形为平行四边形． 所以，所以为的中点． （2）选择条件①：    取中点，连接， 在菱形中，． 因为，所以为等边三角形． 因为为中点，所以，故． 因为平面，且平面， 所以， 所以两两垂直． 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，则． 设， 所以． 设直线与平面所成角为， 所以． 解得， 所以存在符合条件的点． 选择条件②： 取中点，连接． 因为平面，且平面， 所以， 又，且平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又因为为中点，所以． 在菱形中，， 所以为等边三角形， 所以，故． 所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系， 则， 所以． 因为平面， 所以取平面的一个法向量为． 设， 所以． 设直线与平面所成角为， 所以． 解得， 所以存在符合条件的点． 研考点·通技法 先判断动点的运动轨迹。根据运动轨迹选择合适的方法： 几何法：利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。 建系法：建立坐标系，设动点 将运动轨迹写成方程，将题目条件转化为方程或不等式。 向量法（适合向量已知的几何条件）将长度、垂直、共线等用向量表示。 破类题·提能力 1．（25-26高三下·北京·开学考试）如图所示，在多面体 中， 为平面六边形，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ， 与 都是边长为 2 的等边三角形， ， 分别为 的中点． (1)求证： ， 平面 ； (2)棱 ED 上是否存在点 ，使得 与平面成角 ？ 若存在，求 的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】(1)：借助空间位置关系，利用线面平行与垂直的定义和性质，证明线线平行与线面垂直； (2)：建系，借助空间向量解决线面角的问题，将已知条件转化为线段关系计算即可. 【详解】（1） 与 为等边三角形，且 分别为 中点． 所以 ． 平面 平面 ，平面 平面 平面 ． 平面 ； 同理 平面 ， ，又 平面 平面 ． 又平面 平面 ． ，又 平面 ． 平面 ． （2）过 作 ， 因为 ， 所以在 中， ， 同理 ． 分别为 中点，所以 ，所以 ． 又 平面 ，所以 ，所以 两两垂直，如图建系， 分别为 中点，所以 ，又 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ． 设平面 法向量 ， 则 ，令 ，所以 设 ． 因为 与平面 成角 ， 所以 ． ，解得 ． 所以存在点 ，使得 与平面 成角 ，此时 ． 2．（25-26高三上·北京石景山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点，是靠近的三等分点. 【分析】（1）证明平面平面，即可得到答案. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （3）假设存在，设，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）因为正方形，所以，平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，所以平面. （2）由，则，， 在正方形中，，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，故，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，设，又，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 由题得平面，则，又，，平面， 所以平面，故为平面的法向量，且， ，解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2026高三·北京·专题练习）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. 2．（2025·北京顺义·一模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，. (1)若平面与棱交于点，且平面，求证：是中点； (2)若是棱上一点，且满足，当时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的性质，可得答案； （2）由题意，利用线面垂直的性质与判定，并建立空间直角坐标，求得平面法向量，根据线面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）记，连接，如下图： 因为平面，平面，平面平面，所以， 在中，由为的中点，则为的中点. （2）在菱形中，易知，由，，则，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，由，则， 因为，平面，所以平面， 取的中点为，易知，则平面，则两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，， 可得，，，， 由，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设与平面所成角为，. 3．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由平面平面证明平面，即得线线垂直； （2）选条件①，先根据线面平行的性质定理，推出为的中点，建系后，求出相关点和向量的坐标，由空间向量的夹角公式计算即得；选条件②，由条件先证，再证为的中点，接着证平面，取的中点，连接，证明平面，求出，再证明是平面与平面夹角或补角，求解即得. 【详解】（1）因为在中，，， 所以，即． 因平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又因平面，所以． （2） 选条件①：平面． 如图，因为平面，平面， 平面平面，所以． 因为为平行四边形，为的中点，所以为的中点． 所以．因为，所以． ．由（1）已得平面，因平面，故， 又，即两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，则， ，因此． 设平面的法向量为，则，即． 令，则，所以． 易知平面的一个法向量， ，所以平面与平面夹角为． 选条件②：． 如图，由（1）得，则， 又，由，可得，因，则为的中点， 则，即，可得， 因平面平面，平面平面，平面，故平面. 取的中点，连接，则，故平面，因平面，则， 又，，且， 又平面，故平面， 因平面，则，即是平面与平面夹角或补角， 在中，，则，故平面与平面的夹角为. 4．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）（ii） 【分析】（1）取中点G，连接，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答； （2）（i）建立空间直角坐标系，即可求解平面的法向量，利用二面角夹角公式求解二面角余弦；（ii）由点到平面距离公式计算求解. 【详解】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为， 则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 5．（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱中，，，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求距离即可. 【详解】（1）连接和， 在斜三棱柱中，由， 所以为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形， 又为的中点，所以， 又，，，所以， 所以，又为的中点， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由，所以，又为等腰直角三角形， 所以，又，所以， 又，所以和为等边三角形， 所以，所以，所以，又， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， ， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点到平面的距离为. 6．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在符合题意的点， 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； （3）利用等体积法将体积比转化为对应三角形面积比，结合另一组同高棱锥的体积比等于底边长之比，从而求出线段的长度，确定满足条件的点. 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 【点睛】本题以长方体为载体，先通过菱形性质与线面垂直判定证明线线垂直，再利用面面垂直确定线面角，最后结合等体积法与线段比例关系探究存在性问题，核心是立体几何中垂直关系的转化与体积比的代数化处理. 7．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面平面； (2)若， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii）存在， 【分析】（1）面面垂直转化为线面垂直，只需证明面； （2）（i）先由面面垂直得到平面的垂线，从而得到直线与平面所成角，求解；（ii）取的中点，证明线面平行. 【详解】（1）由题意得平面，， 设，， ，解得， 所以， ， ，面， 面，平面平面. （2）（i）过点作交于点，连接， 因为面面，面面， 所以面， 即为直线与平面所成角， 在中，，， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在线段上存在一点，使平面， 取点为的中点，连接， 由题意可知点为的中点， 所以，平面， 所以平面， . 8．（25-26高三上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，、分别为棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)若平面平面，； （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析. 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）（i）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解；（ii）假定存在，利用空间位置关系的向量证明推理判断. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为棱中点，得， 又是长方形边的中点，则， 因此，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面.      （2）（i）由平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 易得平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （ii）假设在棱上存在点，使平面， 而，， 令，则， 由平面，得，因此，无解， 所以在棱上不存在点，使平面. 9．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案； （2）建系，利用面面角的向量计算公式计算可得答案. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在四边形中，易知，因为，所以， 又，故， 所以，故， 因为，平面， 所以平面， 又平面, 所以平面平面. （2）由（1）知三条直线两两垂直. 以为坐标原点、所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设（）， 则：，，，，， 设平面的一个法向量为， ，即，令，得，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，， 所以， ， 解得或（舍）. 所以. 刷真题 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 5．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $