7.1.1 角的推广(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“角的推广”核心知识点，系统梳理从初中静态角到动态旋转生成的任意角（正角、负角、零角），进而延伸至终边相同的角的集合表示及象限角的概念与集合表示，构建完整知识支架。 以“小明调整闹钟”情境导入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过辨析判断、变式训练（如终边相同角的表示）培养数学思维，结合图示增强直观想象。课中助力教师引导探究，课后便于学生练习巩固，查漏补缺。

7.1.1　角的推广 1.了解任意角的概念，能区分各类角（数学抽象）. 2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法（数学运算）. 3.理解象限角的概念并能用集合表示各类象限角（直观想象）. 　　周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习. 【问题】　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　角的概念的推广 1.角的概念 一条　　　绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的　　　和　　　. 2.角的表示 如图所示： （1）始边：射线OA； （2）终边：射线OB； （3）顶点：射线的端点O； （4）记法：图中的角α也可记为“　　　”或“　　　　”. 3.角的分类 名称 定义 图示 正角 按照　　　　方向旋转而成的角 负角 按照　　　　方向旋转而成的角 零角 一条射线　　　旋转而成的角 由于角是旋转生成的，所以也常称为　　　. 4.角的加减运算的一个几何意义（β＞0°） （1）α＋β：把角α的终边　　　　方向旋转角β，如图①； 图①　　　　　图② （2）α－β：把角α的终边　　　　方向旋转角β，如图②. 　　提醒：对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置. 【想一想】 1.角的三要素是什么？ 2.用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？ 　经过1个小时，时针转过的角度是　　　　. 知识点二　象限角 1.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为　　　　　　　.如果终边在　　　　　上，就认为这个角不属于任何象限. 2.终边相同的角 （1）所有与α终边相同的角连同角α在内组成一个集合，这个集合可记为S＝　　　　　　； （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内都可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°），k∈Z； ④终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍，相等的角终边一定相同. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）终边相同的角一定相等.（　　） （2）钝角为第二象限角.（　　） （3）第一象限的角一定是锐角.（　　） （4）第二象限角大于第一象限角.（　　） 2.〔多选〕给出下列四个选项，其中正确的选项是（　　） A.－75°角是第四象限的角 B.225°角是第三象限的角 C.475°角是第二象限的角 D.－315°角是第四象限的角 3.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为　　　　，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为　　　　. 题型一｜有关角的概念问题 【例1】　下列命题正确的是（　　） A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 【跟踪训练】 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A.150°　 B.－150°　 C.390°　 D.－390° 2.若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为　　　　；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为　　　. 题型二｜终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 120°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z）的形式，其中0°≤β＜360°； （2）写出与角α终边相同的角θ的集合S，并求出S中满足不等式－720°≤θ ≤0°的元素. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.求终边落在直线上的角的集合的步骤 （1）写出在0°～360°范围内相应的角； （2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合； （3）根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁. 2.与终边相同的角的有关结论 （1）终边相同的角之间相差360°的整数倍； （2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； （3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 【跟踪训练】 1.与角－2 026°6'终边相同的角是（　　） A.－406°6'　B.－226°6'　C.313°54'　D.673°54' 2.若角α与角β的终边相同，则角β－α的终边在（　　） A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上 题型三｜象限角与区域角的表示 【例3】　（1）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为　　　　； （2）已知α是第二象限角，求角所在的象限. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第三象限角”，求角2α的终边的位置. 2.（变条件）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第一象限角”，如何求解？ 通性通法 1.表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的相应范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°（k∈Z），即得区间角集合.对于对顶区域，始边、终边再加上k·180°（k∈Z）即得区间角集合. 2.解决角终边所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论. 【跟踪训练】 1.已知α是第二象限角，则180°－α是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.写出图中终边在阴影部分的角的集合（包括边界）. 1.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是（　　） A.第一、三象限　　　 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 2.如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A.{α｜120°≤α≤330°} B.{α｜－30°≤α≤120°} C.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋330°，k∈Z} D.{α｜k·360°－30°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 3.〔多选〕已知集合A＝{θ｜θ为锐角}，B＝{θ｜θ为小于90°的角}，C＝{θ｜θ为第一象限角}，D＝{θ｜θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　） A.A＝B B.B⊇C C.A⊆C D.A＝D 4.已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝　　　　，它是第　　　　象限角. 5.在四个角－20°，－400°，2 400°，600°中，第四象限角的个数是　　　　　. 提示：完成课后作业　第七章　7.1　7.1.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.1　角的推广 【基础落实】 知识点一 1.射线　始边　终边　2.（4）α　∠AOB 3.逆时针　顺时针　没有　转角 4.（1）逆时针　（2）顺时针 想一想 1.提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 2.提示：在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边. 自我诊断 　－30° 知识点二 1.第几象限角　坐标轴 2.（1）{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.ABC　因为－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，所以A、B、C是正确的. 3.－25°　395° 【典例研析】 【例1】　C　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A不正确；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B不正确；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D不正确，故选C. 跟踪训练 1.B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 2.－180°　－150°　解析：若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为－×360°＝－180°.若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为－×360°＝－150°. 【例2】　解：（1）用－1 120°除以360°，得商为－4，余数为320°， ∴α＝320°＋（－4）×360°. （2）法一　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝320°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤320°＋k·360°≤0°，得－≤k≤－，k∈Z，∴k＝－2或－1. 当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°； 当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 法二　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝－1 120°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤－1 120°＋k·360°≤0，得≤k≤，k∈Z，∴k＝2或3. 当k＝2时，θ＝－1 120°＋2×360°＝－400°； 当k＝3时，θ＝－1 120°＋3×360°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 跟踪训练 1.B　－2 026°6'＝－5×360°－226°6'，故选B. 2.A　由题意得β＝α＋k·360°，k∈Z，故β－α＝k·360°，k∈Z，则角β－α的终边在x轴的非负半轴上. 【例3】　（1）{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z} 解析：终边落在OA位置上的角的集合为{γ｜γ＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{γ｜γ＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. （2）解：法一　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）. 当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得 n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，n∈Z， 这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得 n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，n∈Z， 这表明是第三象限角. ∴为第一或第三象限角. 法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角. 母题探究 1.解：∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°（k∈Z）， ∴k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°（k∈Z）， ∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上. 2.解：∵k·360°＜α＜k·360°＋90°（k∈Z）， ∴k·180°＜＜k·180°＋45°（k∈Z）. 当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＜＜n·360°＋45°， ∴是第一象限角. 当k＝2n＋1（n∈Z）时，n·360°＋180°＜＜n·360°＋225°， ∴是第三象限角. ∴是第一或第三象限角. 跟踪训练 1.A　由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°），k∈Z.－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角. 2.解：（1）先表示出一个周期内满足条件的不等式45°≤α≤120°，再加360°的整数倍，得{α｜45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}. （2）从135°角的终边开始逆时针旋转到与－45°终边相同的角应为135°＋180°＝315°，所以{α｜135°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}. 随堂检测 1.A　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限.综上，α终边所在的象限是第一或第三象限. 2.D　330°角的终边与－30°角的终边相同，因此终边落在阴影部分（包括边界）的一个区间角为{α｜－30°≤α≤120°}，在此区间角的两端分别加上“k·360°”，右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 3.CD　集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A⊆C，A＝D. 4.240°　三　解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角. 5.2　解析：－20°是第四象限角；－400°＝－360°－40°是第四象限角；2 400°＝6×360°＋240°是第三象限角；600°＝360°＋240°是第三象限角，故第四象限角有2个. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $