第3讲：三角函数的图像与性质【10个常考题型】讲义-2026年高考数学二轮复习

2026年高考二轮复习强化讲义 【第3讲：三角函数的图像与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：三角函数的定义域，值域与最值】 【解题策略】 知识梳理 定义域：定义域为；定义域为 值域：； 最值：最大值，最小值 解题方法 1.定义域：若含，需满足；若含根式/分式，需满足被开方数≥0、分母≠0 2.值域/最值： 形如：直接由振幅得最值 形如：换元，转化为二次函数求最值 形如：用辅助角公式化为求最值 3.注意的范围，限制的区间，再求最值 名师点睛 求最值必须先看定义域，否则会出错 换元法要注意或的范围是 辅助角公式是求最值的核心工具，一轮复习必须熟练掌握 （2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·山东青岛·期末）若函数的最大值为2，一个零点为，则________；经典例题2例题 （25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________.小试牛刀1 （2026·重庆·一模）已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·湖北荆州·一模）已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______.小试牛刀3 【题型2：三角函数的单调性】 【解题策略】 知识梳理 基本单调区间： ：增区间，减区间 ：增区间，减区间 ：增区间 复合函数：，令落入基本单调区间，解得单调区间 解题方法 1.令等于的单调区间，解不等式得的范围 2.若，先提取负号，将变为正数，再求单调区间 3.求函数在某区间的单调性：将区间代入，看其在的哪个单调区间内 名师点睛 口诀：“整体代换，先定符号，再解不等式” 时，单调区间会反转，必须先处理符号，避免出错 高考常考“求单调区间”或“判断在某区间的单调性”，是基础题 【多选题】（2026·广东·一模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ）经典例题2例题 A． B．1 C． D．4 （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：三角函数的奇偶性】 【解题策略】 知识梳理 奇函数：，，图像关于原点对称 偶函数：，图像关于轴对称 一般式：为奇函数⇔；为偶函数⇔ 为奇函数⇔；为偶函数⇔ 解题方法 1.定义法：验证（奇）或（偶） 2.图像法：看图像是否关于原点或轴对称 3.公式法：直接由判断或的奇偶性 名师点睛 奇偶性本质是“相位”，对应奇函数（正弦）或偶函数（余弦） 若函数为奇函数，必过原点；若为偶函数，在处取最值 高考常考“由奇偶性求”，是高频考点 （2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ）经典例题2例题 A．0 B． C． D． （2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　）小试牛刀1 A．2 B． C．1 D．0 （2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：三角函数的对称性】 【解题策略】 知识梳理 对称轴：对称轴为；对称轴为 对称中心：对称中心为；对称中心为；对称中心为 一般式：对称轴满足；对称中心满足，且 解题方法 1.令，解得对称轴方程 2.令，解得对称中心横坐标，纵坐标为0 3.验证：对称轴处函数取最值，对称中心处函数值为0 名师点睛 口诀：“对称轴看最值，对称中心看零点” 对称性与奇偶性密切相关：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称 高考常考“由对称性求或”，是中档题 （2026·辽宁抚顺·一模）已知函数 ，若函数与的图象关于直线 对称，且，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·广东深圳·一模）函数 的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______.小试牛刀1 （2026·山西运城·一模）若函数的图象关于点 对称，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：三角函数的图像变换】 【解题策略】 知识梳理 变换顺序：相位变换→周期变换→振幅变换（或周期变换→相位变换，注意平移量不同） 相位变换：，向左（）或向右（）平移个单位 周期变换：，横坐标变为原来的倍 振幅变换：，纵坐标变为原来的倍 解题方法 1.明确变换顺序：先平移后伸缩，或先伸缩后平移 2.先伸缩后平移时，平移量为，不是 3.按变换顺序逐步画图，或写出变换后的函数解析式 名师点睛 高频易错点：先伸缩后平移时，平移量会被缩放，必须除以 口诀：“先移后缩移不变，先缩后移移要除” 高考常考“由变换到”，是基础题 （2026·浙江·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三下·安徽·月考）已知函数的最大值为1.小试牛刀2 (1)求的值； (2)将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. （2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：由图像求三角函数的解析式】 【解题策略】 知识梳理 一般式：（） 求参步骤： 1.由最值求， 2.由周期求 3.由特殊点求（代入最高点、最低点或零点） 解题方法 1.看最值：得 2.看周期：得，再算 3.代点：代入图像上的特殊点（如最高点），解 4.验证：将代入，看是否符合图像 名师点睛 求时，优先代入最高点或最低点，避免多解 若图像过原点，可直接判断奇偶性，简化的求解 高考常考“由部分图像求解析式”，是中档题，一轮复习必须重点练 【多选题】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【多选题】（2026·新疆·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（    ）经典例题2例题 A． B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度 C．的单调递增区间为 D．若方程在上有且只有个根，则 【多选题】（25-26高一上·广西崇左·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．图象的对称轴方程为 D．的单调递增区间为 【多选题】（2026·贵州·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．为偶函数 【多选题】（2026·湖南邵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A． B．若，则 C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称 【题型7：三角函数的性质求参数范围】 【解题策略】 知识梳理 场景：已知三角函数的单调性、奇偶性、对称性、值域等，求参数的范围 核心：将性质转化为不等式或方程，解参数范围 解题方法 1.单调性：令落入单调区间，解不等式得的范围 2.奇偶性：由奇偶性公式得或，求 3.对称性：由对称轴/对称中心方程，解或 4.值域：由的范围得的范围，再由值域求或 名师点睛 此类题是高考中档题，考查性质的灵活应用 关键是“整体代换”，将看作一个整体，转化为基本三角函数的性质 注意参数的取值范围（如），避免漏解 （2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________．经典例题1例题 （2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A． B．3 C．2 D． （2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026·陕西商洛·二模）已知函数，则下列说法正确的是（     ）小试牛刀2 A．若，则的图象关于点中心对称 B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C．若，则在单调递增 D．若在上恰有三个零点，则 （2026·云南大理·二模）若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B．3 C．2 D． 【题型8：三角函数的零点与方程的根】 【解题策略】 知识梳理 零点：的零点即的根 三角函数零点：根为；根为；根为 方程根的个数：转化为函数图像交点个数，数形结合求解 解题方法 1.解方程：令，解三角方程得零点 2.数形结合：画出与的图像，看交点个数 3.求根的和：利用对称性，若零点关于对称，则和为个数 名师点睛 三角方程的根有无数个，需结合定义域求特定区间内的根 数形结合是求根个数的最优方法，避免解复杂方程 高考常考“求在某区间内的零点个数”，是中档题 （2025·福建福州·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·山西晋城·二模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______．小试牛刀2 （2025·河北秦皇岛·一模）如图，记函数在一个周期内的图象为曲线，直线与交于两点，直线与交于两点，连接，若四边形为平行四边形，且其面积为，则______．小试牛刀3    【题型9：三角函数的实际应用】 【解题策略】 知识梳理 场景：物理学（简谐运动、交流电）、工程学（潮汐、摩天轮）、航海等周期性问题 核心：将实际问题转化为三角函数模型，再利用性质求解 解题方法 1.建模：根据题意，设 2.求参：由实际数据求（同题型6） 3.应用：利用模型求最值、周期、特定时间的值等 4.验证：结果是否符合实际意义 名师点睛 建模是关键，要抓住“周期性”“最值”“初始值”等关键词 周期对应实际问题中的“周期”（如一天、一月） 高考常考“摩天轮”“潮汐”等模型，是应用题，难度不大，重点在建模 （2026·贵州六盘水·模拟预测）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________．经典例题1例题 【多选题】（2025·河北廊坊·模拟预测）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【多选题】（2025·安徽池州·二模）某弹簧振子（简称振子）在完成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移（单位：毫米）之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是（    ）小试牛刀1 A．当时间时，该简谐运动的位移 B．该简谐运动的初相为 C．该函数的一个极值点为 D．该函数在上单调递增 【多选题】（2025·河南开封·二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 （24-25高三上·贵州·月考）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．小试牛刀3    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 【题型10：三角函数的综合应用】 【解题策略】 知识梳理 场景：结合向量、解三角形、导数、不等式等知识，考查三角函数的图像与性质 核心：将综合问题转化为三角函数的性质问题，再求解 解题方法 1.转化：将向量、解三角形等问题转化为三角函数表达式 2.化简：用三角恒等变换将表达式化为 3.性质：利用单调性、最值、对称性等性质求解 4.验证：结果是否符合题意 名师点睛 综合题是高考压轴题，一轮复习需重点训练“转化+化简+性质”三步 核心是“三角恒等变换”，将复杂表达式化为单一三角函数 注意定义域、符号、实际意义，避免漏解或错解 （2026·江苏盐城·二模）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 经典例题1例题 【多选题】（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ）经典例题2例题 A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 （2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________.小试牛刀1 （2026·四川成都·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”.已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为________．小试牛刀2 （2026·山东枣庄·一模）记函数，的两个零点为和，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·二模）已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北恩施·二模）已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 7．（2026·广西河池·二模）如图，函数的图象与轴交于点，若的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数与函数的图象在上的交点个数为4 10．（2026·河北邯郸·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 12．（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 13．（2026·湖北黄石·一模）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最大值是2 C．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 D．是函数的单调递减区间 14．（2026·河南开封·模拟预测）对于函数和函数，则下列正确的有（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．在区间上单调递增 D．与的图象有相同的对称轴 15．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 16．（2026·贵州毕节·二模）将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象的一条对称轴为直线 B．函数的图象的一个对称中心为 C．函数的周期为 D．不等式的解集为 17．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 18．（2026·河北衡水·一模）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B．1 C． D．3 三、解答题 19．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 20．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考二轮复习强化讲义 【第3讲：三角函数的图像与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：三角函数的定义域，值域与最值】 【解题策略】 知识梳理 定义域：定义域为；定义域为 值域：； 最值：最大值，最小值 解题方法 1.定义域：若含，需满足；若含根式/分式，需满足被开方数≥0、分母≠0 2.值域/最值： 形如：直接由振幅得最值 形如：换元，转化为二次函数求最值 形如：用辅助角公式化为求最值 3.注意的范围，限制的区间，再求最值 名师点睛 求最值必须先看定义域，否则会出错 换元法要注意或的范围是 辅助角公式是求最值的核心工具，一轮复习必须熟练掌握 （2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【详解】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. （25-26高三上·山东青岛·期末）若函数的最大值为2，一个零点为，则________；经典例题2例题 【答案】 【分析】通过条件，解出的值，再代入可得答案. 【详解】由题意得： ， ，解得：， 所以 ， 则. 故答案为： （25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. （2026·重庆·一模）已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出，记，然后求出即可得解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以，记， 因为函数，且对任意的，都存在，使得恒成立， 所以，又，所以. 故选：A （2026·湖北荆州·一模）已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先根据复数的运算法则求出的值，再将函数化简，最后根据三角函数的性质求出最大值即可. 【详解】因为，整理得， 所以，解得：，， 所以， 利用辅助角公式化简得， 又因为余弦函数的值域是， 所以当时，取得最大值， 即. 故答案为：. 【题型2：三角函数的单调性】 【解题策略】 知识梳理 基本单调区间： ：增区间，减区间 ：增区间，减区间 ：增区间 复合函数：，令落入基本单调区间，解得单调区间 解题方法 1.令等于的单调区间，解不等式得的范围 2.若，先提取负号，将变为正数，再求单调区间 3.求函数在某区间的单调性：将区间代入，看其在的哪个单调区间内 名师点睛 口诀：“整体代换，先定符号，再解不等式” 时，单调区间会反转，必须先处理符号，避免出错 高考常考“求单调区间”或“判断在某区间的单调性”，是基础题 【多选题】（2026·广东·一模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可. 【详解】对于A，因函数在上单调递减，故在区间上单调递增，故A错误； 对于B，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C错误； 对于D，因函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为， 当时，，函数在上单调递减且函数值为正， 故函数在上单调递减，即D正确. （2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ）经典例题2例题 A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由函数的图象关于直线对称，可得；由函数在区间上单调递减，可得，从而得，即可得答案. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 解得， 又因为函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值， 所以, 所以, 解得， 解得. 又因为. 故选：B. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点个数得，再根据，结合三角函数的图象与性质，求得，或，，从而得到，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案. 【详解】因为函数，其中，若在恰有两个零点， 所以， 所以， 所以， 又因为，即， 所以或， 解得，或，， 结合，所以符合题意， 所以， 又因为当，，，即 所以的单调增区间为 函数在上的单调增区间为， 故选：D. （2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性对各个选项进行判断即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以函数的定义域为. 因为，所以不是奇函数，A不满足要求. 对于B，函数的定义域为，且，则是奇函数， 当时，，所以函数在上单调递增，B满足要求； 对于C，函数的定义域为， 且，则函数不是奇函数，C不满足要求； 对于D，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数， 当时，，所以函数在上不单调，D不满足要求. （2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整体法逐一判断各选项中的函数在上的单调性即可. 【详解】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 【题型3：三角函数的奇偶性】 【解题策略】 知识梳理 奇函数：，，图像关于原点对称 偶函数：，图像关于轴对称 一般式：为奇函数⇔；为偶函数⇔ 为奇函数⇔；为偶函数⇔ 解题方法 1.定义法：验证（奇）或（偶） 2.图像法：看图像是否关于原点或轴对称 3.公式法：直接由判断或的奇偶性 名师点睛 奇偶性本质是“相位”，对应奇函数（正弦）或偶函数（余弦） 若函数为奇函数，必过原点；若为偶函数，在处取最值 高考常考“由奇偶性求”，是高频考点 （2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简得，进而可得，利用为奇函数，可求得. 【详解】 ， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以. 故选：B. （2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ）经典例题2例题 A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. （2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　）小试牛刀1 A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性运算，结合正弦函数奇偶性求出值. 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D （2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C （2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解. 【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D 【题型4：三角函数的对称性】 【解题策略】 知识梳理 对称轴：对称轴为；对称轴为 对称中心：对称中心为；对称中心为；对称中心为 一般式：对称轴满足；对称中心满足，且 解题方法 1.令，解得对称轴方程 2.令，解得对称中心横坐标，纵坐标为0 3.验证：对称轴处函数取最值，对称中心处函数值为0 名师点睛 口诀：“对称轴看最值，对称中心看零点” 对称性与奇偶性密切相关：偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称 高考常考“由对称性求或”，是中档题 （2026·辽宁抚顺·一模）已知函数 ，若函数与的图象关于直线 对称，且，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. （2026·广东深圳·一模）函数 的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，所以，故. 令，，则，， 所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合. （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】先利用和差化积公式化简，再根据对称性求出，利用求出，再计算即可 【详解】函数，因为函数图象关于直线对称， 所以，即，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 . （2026·山西运城·一模）若函数的图象关于点 对称，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二倍角公式化简函数的表达式，然后根据余弦函数的对称中心计算即可. 【详解】. 因为，所以. 令，得，所以函数的对称中心为. 因为函数的图象关于点 对称， 所以，解得，取最大的整数. 此时，所以的最大值为. （2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得平移后的函数解析式，再结合对称中心求解即可. 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C 【题型5：三角函数的图像变换】 【解题策略】 知识梳理 变换顺序：相位变换→周期变换→振幅变换（或周期变换→相位变换，注意平移量不同） 相位变换：，向左（）或向右（）平移个单位 周期变换：，横坐标变为原来的倍 振幅变换：，纵坐标变为原来的倍 解题方法 1.明确变换顺序：先平移后伸缩，或先伸缩后平移 2.先伸缩后平移时，平移量为，不是 3.按变换顺序逐步画图，或写出变换后的函数解析式 名师点睛 高频易错点：先伸缩后平移时，平移量会被缩放，必须除以 口诀：“先移后缩移不变，先缩后移移要除” 高考常考“由变换到”，是基础题 （2026·浙江·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出平移变换后函数的解析式，然后计算即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位得到： ， 所以， 故选：A. （2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是 . （2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平移及伸缩变换性质可得，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 将其横坐标缩短到原来的，可得，即， 令，解得， 即图象的对称中心的坐标为. （25-26高三下·安徽·月考）已知函数的最大值为1.小试牛刀2 (1)求的值； (2)将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. 【答案】(1) (2)，值域为 【分析】（1）先结合余弦的两角和差公式及辅助角公式对进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解； （2）对进行伸缩变换，得到，再结合余弦函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）由题意， ， 当时，取得最大值，即， 又函数的最大值为1，即，解得； （2）由（1）得， 将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到， 令 ，解不等式得 ， 所以函数的单调递减区间为 ， 当时，则，所以， 所以，即在区间上的值域为. （2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到. 所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到. 又，所以. 【题型6：由图像求三角函数的解析式】 【解题策略】 知识梳理 一般式：（） 求参步骤： 1.由最值求， 2.由周期求 3.由特殊点求（代入最高点、最低点或零点） 解题方法 1.看最值：得 2.看周期：得，再算 3.代点：代入图像上的特殊点（如最高点），解 4.验证：将代入，看是否符合图像 名师点睛 求时，优先代入最高点或最低点，避免多解 若图像过原点，可直接判断奇偶性，简化的求解 高考常考“由部分图像求解析式”，是中档题，一轮复习必须重点练 【多选题】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为 ，又，所以，故B错误； 因为 ， 由图可知，，所以 ，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得 ，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 【多选题】（2026·新疆·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（    ）经典例题2例题 A． B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度 C．的单调递增区间为 D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；解方程，求出该方程在上的第个根和第个根，可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】由图象知函数的振幅， 因为图象过，所以，可得， 又因为，所以， 因为图象过，所以， 解得， 又因为函数的周期有，即，解得， 所以， 对于A选项，，正确； 对于B选项，， 将函数的图象向右平移个单位长度得到，错误； 对于C选项，令， 解得， 即函数的单调递增区间为，正确； 对于D选项，由得， 解得或，即或， 在上的根依次为、、、、、、、， 有且只有个根，则第个根是，所以，正确. 【多选题】（25-26高一上·广西崇左·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．图象的对称轴方程为 D．的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】根据图像求出，结合余弦函数的图像与性质依次判断选项即可. 【详解】由图可得，由，得． 由，得， 因为，所以，A正确． 由A的分析可得， 令，得， 所以图象的对称轴方程为，C错误． ，B正确． 令，得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：ABD 【多选题】（2026·贵州·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．为偶函数 【答案】AB 【分析】借助图象及三角函数性质分析可得A、B、C；表示出结合三角函数性质可得D. 【详解】由图可得，所以，故A正确； 由图可得，所以， 由图可得， 且为在增区间零点，则，即， 又，故，故，故B正确、C不正确； 则，则 ，所以为奇函数，故D不正确. 故选：AB. 【多选题】（2026·湖南邵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A． B．若，则 C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可. 【详解】对于选项A,由图像可知振幅, 所以.解得.将点代入 即,解得.所以.故A正确. 对于选项B,已知,即. 所以.故B正确. 对于选项C,向左平移个单位. 得.显然是奇函数不是偶函数.故C错误. 对于选项D, 令解得对称中心的横坐标. 当时,.即的图像关于点对称.故选项D正确. 故选:ABD. 【题型7：三角函数的性质求参数范围】 【解题策略】 知识梳理 场景：已知三角函数的单调性、奇偶性、对称性、值域等，求参数的范围 核心：将性质转化为不等式或方程，解参数范围 解题方法 1.单调性：令落入单调区间，解不等式得的范围 2.奇偶性：由奇偶性公式得或，求 3.对称性：由对称轴/对称中心方程，解或 4.值域：由的范围得的范围，再由值域求或 名师点睛 此类题是高考中档题，考查性质的灵活应用 关键是“整体代换”，将看作一个整体，转化为基本三角函数的性质 注意参数的取值范围（如），避免漏解 （2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】本题根据正弦函数的单调性，结合已知条件求出的取值，再根据特定区间，考虑处的函数值得到关于的不等关系求出k的范围即可分析求解. 【详解】显然，可得，所以. 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 ， 于是，所以， 因为且，所以， 所以，解得， 所以由可知当时，有最小为． （2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B （2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 【多选题】（2026·陕西商洛·二模）已知函数，则下列说法正确的是（     ）小试牛刀2 A．若，则的图象关于点中心对称 B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C．若，则在单调递增 D．若在上恰有三个零点，则 【答案】ABD 【分析】根据整体法，结合正弦函数的性质即可判断ACD，根据函数图像平移的性质即可判断B. 【详解】对于A,，令， 当，对称中心为,A选项正确． 对于B，将的图象向左移动个单位得到， 若的图像关于轴对称，则． 又因为，则的最小值为B选项正确． 对于C．， 令，， 即的单调递增区间为， 当时，，又因为C选项错误． 对于D．，因为在上恰有三个零点， 所以D选项正确． （2026·云南大理·二模）若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解. 【详解】函数， 由得，是函数图象的一条对称轴， 则，，解得，； 当时， ， 由函数在有唯一零点，得，解得， 所以当时，取得最大值． 故选：A. 【题型8：三角函数的零点与方程的根】 【解题策略】 知识梳理 零点：的零点即的根 三角函数零点：根为；根为；根为 方程根的个数：转化为函数图像交点个数，数形结合求解 解题方法 1.解方程：令，解三角方程得零点 2.数形结合：画出与的图像，看交点个数 3.求根的和：利用对称性，若零点关于对称，则和为个数 名师点睛 三角方程的根有无数个，需结合定义域求特定区间内的根 数形结合是求根个数的最优方法，避免解复杂方程 高考常考“求在某区间内的零点个数”，是中档题 （2025·福建福州·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而得或，再根据，求出的可能取值，由有3个实根，列出不等式组求解即可. 【详解】若方程， 则， 即或， 当时， ， 则大于的取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以，解得． 所以的取值范围. 故选：D. （2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简解析式，解三角方程可得前四个正数解，再根据集合有三个元素列不等式求解即可. 【详解】 令，得， 则或， 解得①或②， ①②中，分别取，因为，从小到大排列得， 因为集合恰有3个元素， 所以需满足：，解得：. 故选：D. （2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程化为，令，则，所以，令，，则，分、两种情况，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】原方程可化为. 令，则，所以. 令，， 又在上单调递减，所以，则. 当时，，此时在只有个实根，不符合条件； 当时，，此时在有个实根，符合条件， 故选：A. （2025·山西晋城·二模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用整体代换可得，再利用数形结合将零点个数转化为函数图象交点个数，解不等式可得结果. 【详解】令，得． 又，则． 令，因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以的图象与直线在上有且仅有4个交点， 如下图所示： 由图可知，解得， 即的取值范围是． 故答案为： （2025·河北秦皇岛·一模）如图，记函数在一个周期内的图象为曲线，直线与交于两点，直线与交于两点，连接，若四边形为平行四边形，且其面积为，则______．小试牛刀3    【答案】 【分析】根据平行四边形面积公式来计算面积，求出底，再找出平行四边形的底与函数的关系，进而求解的值. 【详解】已知直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，那么平行四边形的高为. 已知平行四边形的面积，由平行四边形面积公式，可得底边. 直线与交于两点，设，则平行四边形底边为. 根据余弦型函数性质知道，，, 两式相减，得到，即，因此解得. 故答案为：. 【题型9：三角函数的实际应用】 【解题策略】 知识梳理 场景：物理学（简谐运动、交流电）、工程学（潮汐、摩天轮）、航海等周期性问题 核心：将实际问题转化为三角函数模型，再利用性质求解 解题方法 1.建模：根据题意，设 2.求参：由实际数据求（同题型6） 3.应用：利用模型求最值、周期、特定时间的值等 4.验证：结果是否符合实际意义 名师点睛 建模是关键，要抓住“周期性”“最值”“初始值”等关键词 周期对应实际问题中的“周期”（如一天、一月） 高考常考“摩天轮”“潮汐”等模型，是应用题，难度不大，重点在建模 （2026·贵州六盘水·模拟预测）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用三角函数的定义表示出点，，在直角三角形中表示出，进而得出，最后写出矩形的面积表达式，利用三角恒等变换化简从而得到最大值. 【详解】设点，，因为，所以，， 所以矩形的面积， ， 因为，所以.， 所以， 所以矩形的面积的最大值为. 故答案为： 【多选题】（2025·河北廊坊·模拟预测）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC 【分析】根据表中数据求出可判断A B C；求出时，轮船从0点到12点在港口可停留的时间，结合的单调性可判断时停留的时间比时停留的时间长可判断D. 【详解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由表格数据可得，解得，， 所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得， 由得， 即，当时，，， 因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误. 故选：BC. 【多选题】（2025·安徽池州·二模）某弹簧振子（简称振子）在完成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移（单位：毫米）之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是（    ）小试牛刀1 A．当时间时，该简谐运动的位移 B．该简谐运动的初相为 C．该函数的一个极值点为 D．该函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】本题可根据三角函数初相的概念、极值点的判断以及单调性的相关性质，分别对选项中的内容进行分析判断. 【详解】当时，将其代入函数中，可得： 则.所以选项A正确. 在函数中，，所以该简谐运动的初相为，选项B正确. 对函数求导，可得. 当时，. 因为极值点处导数为，所以不是该函数的极值点，选项C错误. 令，，解这个不等式求函数的单调递增区间. 得到，. 当时，单调递增区间为，而，所以该函数在上单调递增，选项D正确. 故选：ABD. 【多选题】（2025·河南开封·二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是 ，故D正确. 故选：ACD. （24-25高三上·贵州·月考）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．小试牛刀3    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形可得及周期，根据周期即可求出，再求出点的坐标，进而可得出答案； （2）在中，利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）由题可得， ， 当时，，即， 又，（千米）； （2）在中，设，则， ， ， ， ， （千米）， 折线段赛道的长度为千米. 【题型10：三角函数的综合应用】 【解题策略】 知识梳理 场景：结合向量、解三角形、导数、不等式等知识，考查三角函数的图像与性质 核心：将综合问题转化为三角函数的性质问题，再求解 解题方法 1.转化：将向量、解三角形等问题转化为三角函数表达式 2.化简：用三角恒等变换将表达式化为 3.性质：利用单调性、最值、对称性等性质求解 4.验证：结果是否符合题意 名师点睛 综合题是高考压轴题，一轮复习需重点训练“转化+化简+性质”三步 核心是“三角恒等变换”，将复杂表达式化为单一三角函数 注意定义域、符号、实际意义，避免漏解或错解 （2026·江苏盐城·二模）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据两个交点和得出，根据点的坐标求出解析式代入即可. 【详解】由可得或， 两个相邻交点的横坐标的差为：， 因为，所以，即. 函数为，由图象过点，且该点在递减区间， 所以，解得，故. . 【多选题】（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ）经典例题2例题 A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】A选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B选项，根据对称性的性质判断；C选项，分和两种情况讨论；D选项，结合图象得到的范围和，然后判断即可. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，A正确； ，所以关于对称，B错； 当，时，， ，，则， 当，时，， ，，则， 综上可得的值域为，C错； 时，，图象如下所示： 所以，，则，D正确. （2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. （2026·四川成都·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”.已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上需要至少两个不同的解，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由可得， ， 又（）是上的“完整函数”， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又， ，即在上需要至少两个不同的解， 时，令， 的正根依次为： 区间右端点需满足：，解得. （2026·山东枣庄·一模）记函数，的两个零点为和，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，， 且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则， 且， 可得，， 则，故A错误； 且，故B错误； 故选：D. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个零点可限定出范围，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得， 因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个零点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 2．（2026·四川内江·二模）已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则， 将上述两个等式作差得， 所以 将代入可得， 令，则，则，故的可能取值为， BCD选项均不符合题意. 3．（2026·浙江宁波·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考察函数的对称性，作出图像，寻求交点间的对称性，得到等式求解即可. 【详解】 如图作出的函数图象，其中，是函数的对称轴， 当与的有三个交点时，有，， 所以，， 所以. 4．（2026·湖北恩施·二模）已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解. 【详解】 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意； 图象如图，满足题意，它的对称中心为．故选A． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【详解】由，可知，在处函数单调递减，则， 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为， 所以，解得，则， 所以． 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】C 【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根据单调性分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为函数的最小正周期， 所以，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 可知是函数的对称轴，所以，故B正确； 对于选项C：因为，令，可得， 所以函数在区间上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 7．（2026·广西河池·二模）如图，函数的图象与轴交于点，若的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数周期可求得，又图象过点，可得 或 ，再根据函数图象的单调性，可得 ，进而可求得. 【详解】因为函数的最小正周期为，即，所以， 所以，又函数的图象与轴交于点， 所以，即， 所以 或 ， 当 时，， 令 ， 解不等式得 ， 所以函数在区间 上单调递增， 而当时，， 又，所以函数在附近单调递增， 与图象不符，所以 ， 当 时，， 令 ， 解不等式得 ， 所以函数在区间 上单调递减， 而当时，， 又，所以函数在附近单调递减， 与图象相符，所以 ，所以， 所以，故C正确. 8．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 二、多选题 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数与函数的图象在上的交点个数为4 【答案】BCD 【分析】利用函数最小正周期求出判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代入法求函数的对称中心判断选项C；作出函数图象得交点个数判断选项D． 【详解】由题意可知，函数最小正周期， 则有，故，A项错误； 因为，所以， 所以，B项正确； 令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令，故是图象的一个对称中心，故C项正确； 画出函数与函数的图象， 易知两函数图象在上共有4个交点，故D项正确． 10．（2026·河北邯郸·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】AC 【分析】利用奇偶性的定义判断A，由三角恒等变换化简函数式为，结合正切函数的性质判断B、C，特殊值法说明D即可. 【详解】由，得，则的定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数，A正确． 由， 其最小正周期，且在上单调递增，B不正确，C正确． 由，可得，则，D不正确． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】先确定，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可． 【详解】如图，， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； ，解得，又函数过点， ，解得， ，， 则，又，为最小值， 所以为函数的一个对称轴，故B正确； 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； ，， 因为在上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 12．（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为 ， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 13．（2026·湖北黄石·一模）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最大值是2 C．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 D．是函数的单调递减区间 【答案】BC 【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交点问题. 【详解】 若函数图象关于点对称，则.但是，所以A错误； 因为的最大值为1，所以的最大值为，所以B正确； 方程在上恰好有三个实数解，即在有三个解， 此时，对应的三个解为：，则，所以C正确； 求的单调递减区间：，解得，所以D错误. 14．（2026·河南开封·模拟预测）对于函数和函数，则下列正确的有（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．在区间上单调递增 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】ABD 【分析】根据正弦函数和正切函数的图像性质即可求解. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的，所以的最小正周期为； 的最小正周期为，正切函数加绝对值后，最小正周期不变，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B选项，令得，解得， 令得，解得，故B正确； 对于C选项，取，则，取，则，因为，，所以函数一定不是单调递增，故C错误； 对于D选项，函数的对称轴为，解得， 函数的对称轴为，解得，故D正确. 综上所述，选项ABD都正确. 15．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】先由函数的性质可得，，进而可得，从而判断各个选项可得. 【详解】因为的一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增， 所以，所以，A正确； 由及，得，B错误； 所以，C正确； 因为时，不存在，因为， 所以函数在上单调递增，故D错误． 16．（2026·贵州毕节·二模）将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象的一条对称轴为直线 B．函数的图象的一个对称中心为 C．函数的周期为 D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数， 选项 A：的对称轴为，​不是它的对称轴，A 错误； 选项 B：的对称中心为，当时，对称中心为，B 正确； 选项 C：的周期为，不是​，C 错误； 选项 D：解不等式，得：， 所以不等式的解集为，D 正确. 17．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 18．（2026·河北衡水·一模）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【详解】由，知在内存在唯一的解. 当时，，则，即， 因仅有选项B,C中的值在此范围，故B,C正确. 三、解答题 19．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的解析式，再求函数的单调区间即可. （2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【详解】（1）由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. 又因为，， 解得，， 所以在上的单调递增区间为. （2）因为，所以. 因为，所以， 即，所以. 所以. 20．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $