第2讲：三角恒等变换【10个题型归纳】讲义-2026年高考数学二轮复习

2026年高考二轮复习强化讲义 【第2讲：三角恒等变换】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正余弦正切两角和差公式的直接应用】 【解题策略】 知识梳理 核心公式： 记忆要点：正弦“正余余正，和同差异”；余弦“余余正正，和差异号”；正切“分子同号，分母异号” 解题方法 1.识别目标角，直接套用对应公式 2.代入已知等三角函数值 3.先确定各三角函数符号，再计算结果 4.若已知，优先用正切和差公式 名师点睛 符号是高频丢分点，正切公式分母符号与分子相反，务必牢记 若已知等，需先判断象限，避免符号错误 直接应用是基础，一轮复习需熟练到“见角就套公式”的程度 （2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______．经典例题2例题 （2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C．2 D． （2025·河南·三模）已知，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：正余弦正切两角和差公式的逆用】 【解题策略】 知识梳理 逆用场景：将合并为；将合并为；将合并为 核心：识别公式结构，逆向构造和差角，简化复杂三角式 解题方法 1.观察式子结构，匹配“正余±余正”“余余∓正正”“正切分式”形式 2.提取公因子，使系数匹配公式（如） 3.合并为单一三角函数、或 4.进一步化简或求值 名师点睛 逆用是高考高频考点，常用于化简、求周期、求最值 口诀：“正余余正同号和角正弦，余余正正异号和角余弦，正切分式看符号” 若系数不匹配，先提取公因子，再逆用公式，避免强行计算 （2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·江西·二模）已知，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·安徽·模拟预测）已知，，则_______，_______.小试牛刀1 （2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：正余弦正切两角和差公式中角的拼凑】 【解题策略】 知识梳理 核心技巧：将未知角拆为已知角的和或差，如、、 本质：利用角的和差关系，将未知角转化为可套用和差公式的形式 解题方法 1.分析角的关系，将目标角拼凑为已知角的和或差 2.代入两角和差公式展开 3.代入已知三角函数值，计算目标角的三角函数值 4.结合角的范围，确定符号，避免多解 名师点睛 角的拼凑是三角恒等变换的核心技巧，一轮复习必须重点掌握 常见拼凑模型：、、 先定角的范围，再算函数值，防止符号错误，这是高考易错点 （2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．或 （2026·河北·一模）已知，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知为锐角，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：正余弦正切二倍角公式的应用】 【解题策略】 知识梳理 核心公式： 降幂公式：，（由余弦二倍角变形得到） 解题方法 1.识别二倍角结构：是的二倍，或是的二倍 2.直接套用二倍角公式，或用降幂公式降次 3.若已知或，先求，再求 4.化简求值时，优先用降幂公式将二次式化为一次式 名师点睛 余弦二倍角有三种形式，根据已知条件选择最合适的一个 降幂公式是高考高频考点，常用于化简、求周期、求最值 注意的定义域：且 （2026·江西·一模）已知，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·江苏·一模）求值：___________．小试牛刀1 （2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·陕西西安·一模）已知，则___________.小试牛刀3 【题型5：辅助角公式的应用】 【解题策略】 知识梳理 公式：，其中（），或， 本质：将同角的正弦和余弦线性组合，化为单一三角函数，便于求周期、最值、单调区间 解题方法 1.提取系数，将式子化为 2.令，，则原式 3.化简为或形式 4.求周期、最值、单调区间等 名师点睛 辅助角公式是高考解答题的核心工具，必须熟练掌握 注意，若，先提取负号，再用公式 的象限由决定，，不要只看比值 一轮复习重点：将复杂三角式化为形式，为后续三角函数图像性质打基础 （2026·辽宁抚顺·一模）当时，函数取得最大值，则的最小值是（   ）经典例题1例题 A． B．1 C．2 D．3 （2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______．经典例题2例题 （2026·江西萍乡·一模）已知，，当取得最大值时，的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·四川遂宁·一模）已知，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·云南昆明·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．-1 D． 【题型6：正余弦正切两角和差公式的联系与求值】 【解题策略】 知识梳理 核心：和差公式、二倍角公式、同角公式之间的相互转化，如， 本质：利用公式间的内在联系，简化求值过程，避免重复计算 解题方法 1.观察式子结构，寻找和差公式与二倍角公式的联系 2.利用和差公式展开，合并同类项，或逆用公式化简 3.结合同角公式，将式子化为单一三角函数，再求值 4.若已知多个角的三角函数值，先拼凑角，再代入计算 名师点睛 此类题是高考中档题，考查公式的灵活运用，一轮复习需多练 常见结论：，，可直接用于化简 先化简再求值，避免直接代入计算，减少运算量 （2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·福建泉州·一模）已知，，成等差数列，，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．1 （2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀1 A． B．3 C． D．2 【多选题】（25-26高三上·山西晋城·月考）已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·河北·一模）已知 且 则________.小试牛刀3 【题型7：正余弦正切两角和差公式给值求角】 【解题策略】 知识梳理 核心：已知、或的值，求或其三角函数值 本质：已知三角函数值求角，需结合角的范围确定唯一解 解题方法 1.利用和差公式，将已知条件转化为、或 2.确定的范围（由的范围推导） 3.根据三角函数值和角的范围，求出的值（或用反三角函数表示） 4.若求或，再进一步拆分求解 名师点睛 求角必须“先定范围，再定函数值”，避免多解，这是高考高频易错点 若、等特殊值，直接写出对应角度 注意或其他限制范围，避免超出定义域的解 优先用余弦函数求角，因为余弦在上单调，不易多解 （2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为__________.小试牛刀3 【题型8：和差化积+积化和差公式的应用】 【解题策略】 知识梳理 和差化积公式： 积化和差公式（和差化积的逆用）： 解题方法 1.识别结构：和差化积用于“正弦±正弦”“余弦±余弦”；积化和差用于“正弦×余弦”“余弦×余弦”“正弦×正弦” 2.套用公式，将和差化为乘积，或将乘积化为和差 3.化简为更简单的三角式，再求值或求最值 4.结合其他公式（如二倍角、辅助角）进一步化简 名师点睛 新高考卷中此类题考查较少，一轮复习只需了解，重点掌握和差公式与二倍角公式 记忆口诀：“正和正在先，正差正后迁，余和余弦连，余差负正弦” 若题目未明确要求，优先用和差公式+二倍角公式，避免复杂记忆 （2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______．经典例题1例题 （2025·云南·一模）在中，若，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三上·内蒙古包头·专题练习）已知函数．若有两个零点和，则 ___________．小试牛刀1 （2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ）小试牛刀2 A．6 B．7 C．8 D．9 （2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀3 A． B． C．3 D． 【题型9：三角恒等变换的综合应用】 【解题策略】 知识梳理 场景：结合和差公式、二倍角公式、辅助角公式、同角公式、诱导公式等，解决化简、求值、求角、证明等问题 核心：将复杂三角式通过恒等变换，化为单一三角函数或简单代数形式，是高考解答题的基础 解题方法 1.统一角：用诱导公式、和差公式、角的拼凑，将所有角化为同一角 2.统一函数名：用同角公式、二倍角公式，将正弦、余弦、正切化为同一函数 3.降次：用降幂公式，将二次式化为一次式 4.辅助角：将同角正弦和余弦化为形式 5.代入求值或分析性质（周期、最值、单调性等） 名师点睛 综合题是高考解答题的核心，一轮复习需重点训练“化同角、化同名、降次、辅助角”四步走 口诀：“先看角，再看名，降次辅助角” 注意符号和定义域，避免漏解或错解 常见考法：化简后求周期、最值、单调区间，或结合解三角形、向量等知识 （25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（2026·江西·一模）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·福建泉州·二模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若，求的值． （2026·江苏·一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·陕西西安·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有.小试牛刀3 (1)求角A； (2)若D为BC中点，且，求面积的最大值. 【题型10：三角恒等变换中的最值问题】 【解题策略】 知识梳理 核心：将三角恒等变换与函数最值结合，通过化简为或二次函数等形式，求最值 常见模型： ：最值为 ：换元为二次函数（） ：用辅助角公式化为 解题方法 1.三角恒等变换：将目标函数化简为或二次函数形式 2.确定定义域：的范围，或换元后的范围 3.求最值： 若为：最值为，注意的范围 若为二次函数：配方求顶点最值，结合定义域判断 若为分式函数：用分离常数或基本不等式求最值 4.验证等号成立条件，确保最值可取到 名师点睛 最值问题是高考压轴题的常见类型，一轮复习需重点掌握 核心思路：“先变换，再函数，后最值”，将三角问题转化为函数问题 注意定义域限制，避免忽略的范围导致最值错误 辅助角公式是求最值的最常用工具，必须熟练掌握 （2026·江苏·一模）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．3 （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·福建漳州·模拟预测）已知，则的最大值是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·陕西西安·三模）函数的最大值为________.小试牛刀2 （2025·河南·一模）已知，则角的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（25-26高三上·广东·月考）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·一模）在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁辽阳·一模）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（　　） A． B． C． D． 6．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 7．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 9．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河北衡水·一模）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 13．（2026·四川内江·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若，则（    ） A． B．0 C． D． 二、多选题 15．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·广东·模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 三、填空题 17．（2026·辽宁辽阳·一模）已知，，则________． 18．（2026·广西河池·二模）___________． 19．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 20．（24-25高三上·河北·月考）若，则________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考二轮复习强化讲义 【第2讲：三角恒等变换】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正余弦正切两角和差公式的直接应用】 【解题策略】 知识梳理 核心公式： 记忆要点：正弦“正余余正，和同差异”；余弦“余余正正，和差异号”；正切“分子同号，分母异号” 解题方法 1.识别目标角，直接套用对应公式 2.代入已知等三角函数值 3.先确定各三角函数符号，再计算结果 4.若已知，优先用正切和差公式 名师点睛 符号是高频丢分点，正切公式分母符号与分子相反，务必牢记 若已知等，需先判断象限，避免符号错误 直接应用是基础，一轮复习需熟练到“见角就套公式”的程度 （2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标可求出圆的半径和，再根据点在圆上移动的距离可求出的大小，然后由结合两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点， 所以圆半径， 所以， 因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点， 所以， 所以 . 故选：B （2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______．经典例题2例题 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线． 由题意可知，，，． 故． 所以点的横坐标为． 故答案为： （2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【详解】由已知得，则， 所以 ， 故选：D． （2025·河南·三模）已知，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，进而可得，进而可求. 【详解】因为， 即，可得， 即，． 因为，则， 可得， 又因为， 可得． 所以． 故选：D. （2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方关系求出，根据两角和的正弦公式求解. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 又由题意可知， 所以， 故选：C. 【题型2：正余弦正切两角和差公式的逆用】 【解题策略】 知识梳理 逆用场景：将合并为；将合并为；将合并为 核心：识别公式结构，逆向构造和差角，简化复杂三角式 解题方法 1.观察式子结构，匹配“正余±余正”“余余∓正正”“正切分式”形式 2.提取公因子，使系数匹配公式（如） 3.合并为单一三角函数、或 4.进一步化简或求值 名师点睛 逆用是高考高频考点，常用于化简、求周期、求最值 口诀：“正余余正同号和角正弦，余余正正异号和角余弦，正切分式看符号” 若系数不匹配，先提取公因子，再逆用公式，避免强行计算 （2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，判断结果. 【详解】A、利用二倍角公式， 可得：，A错误. B、利用余弦和角公式， 得：因此原式为：，B错误. C、利用正切和角公式，令， 则，C正确. D、利用递推积化和差公式，结合，得：. D错误. 故选：C. （2025·江西·二模）已知，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由有，由有，由①+②即可求解. 【详解】由有，，即， 由有，，即②， ①+②得，， 即，则，解得. 故选：B. （2025·安徽·模拟预测）已知，，则_______，_______.小试牛刀1 【答案】 【分析】将已知式子平方结合两角和的余弦公式与差的余弦公式计算即得. 【详解】因为，， 所以，将两个等式分别平方可得： ①， ②. ① + ②， 得 ， 则 ， ② - ①，得： ， 则 . 将 代入上式，可得   . 故答案为：； （2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 【多选题】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式化简，即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；先求出，再根据两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的关系即可判断C；由C选项即可判断D. 【详解】对于A，由， 得，即， 所以， 所以， 所以或（舍去），故A正确； 对于B，由， 得， 即， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得， 所以， 即，又， 所以（舍去），故C错误； 对于D，由C选项知，，故D正确. 故选：ABD. 【题型3：正余弦正切两角和差公式中角的拼凑】 【解题策略】 知识梳理 核心技巧：将未知角拆为已知角的和或差，如、、 本质：利用角的和差关系，将未知角转化为可套用和差公式的形式 解题方法 1.分析角的关系，将目标角拼凑为已知角的和或差 2.代入两角和差公式展开 3.代入已知三角函数值，计算目标角的三角函数值 4.结合角的范围，确定符号，避免多解 名师点睛 角的拼凑是三角恒等变换的核心技巧，一轮复习必须重点掌握 常见拼凑模型：、、 先定角的范围，再算函数值，防止符号错误，这是高考易错点 （2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以， 故选：C. （2026·河北·一模）已知，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦公式，展开整理，可得的值，代入二倍角的正切公式，即可得答案. 【详解】由题意 所以，则， 所以. 故选：A （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． （2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系式求出，，再由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， 则 ， 所以，， . 【多选题】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知为锐角，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】选项A：由二倍角公式求解判断；选项B，由二倍角公式求解判断；选项C：由求解判断；选项D：由求解判断. 【详解】因为为锐角，所以，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B:，正确； 选项C：，因为，所以， 因为，所以 ， ，所以选项C正确； 选项D：因为，所以，所以，D错误， 故选：ABC. 【题型4：正余弦正切二倍角公式的应用】 【解题策略】 知识梳理 核心公式： 降幂公式：，（由余弦二倍角变形得到） 解题方法 1.识别二倍角结构：是的二倍，或是的二倍 2.直接套用二倍角公式，或用降幂公式降次 3.若已知或，先求，再求 4.化简求值时，优先用降幂公式将二次式化为一次式 名师点睛 余弦二倍角有三种形式，根据已知条件选择最合适的一个 降幂公式是高考高频考点，常用于化简、求周期、求最值 注意的定义域：且 （2026·江西·一模）已知，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得 ，所以， 所以． （2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. （2026·江苏·一模）求值：___________．小试牛刀1 【答案】 【详解】 . （2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解. 【详解】因为， 化简得， 即，又，， 所以. （2026·陕西西安·一模）已知，则___________.小试牛刀3 【答案】 【分析】先化简，把 当成一个整体，然后用二倍角公式展开，最后代入计算. 【详解】因为， 所以 即 故答案为： 【题型5：辅助角公式的应用】 【解题策略】 知识梳理 公式：，其中（），或， 本质：将同角的正弦和余弦线性组合，化为单一三角函数，便于求周期、最值、单调区间 解题方法 1.提取系数，将式子化为 2.令，，则原式 3.化简为或形式 4.求周期、最值、单调区间等 名师点睛 辅助角公式是高考解答题的核心工具，必须熟练掌握 注意，若，先提取负号，再用公式 的象限由决定，，不要只看比值 一轮复习重点：将复杂三角式化为形式，为后续三角函数图像性质打基础 （2026·辽宁抚顺·一模）当时，函数取得最大值，则的最小值是（   ）经典例题1例题 A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】使用辅助角公式化简，代入，利用最大值条件并给赋值即可求解. 【详解】， 取，则， 由题意得,即， 整理得，因为，令，则， 即的最小值为1. （2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______．经典例题2例题 【答案】 【分析】由辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】 ， 其中，故的最大值为． （2026·江西萍乡·一模）已知，，当取得最大值时，的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将展开，整理为的形式，利用最大值求出，再根据取最大值时的三角函数关系求出. 【详解】 其最大值为. 所以，化简可得 ，因为，所以. 将代入，得 ，其中，， 当取最大值时，有，即，. 故： ，. 因此：，所以的值为. 故选：B （2026·四川遂宁·一模）已知，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B （2025·云南昆明·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．-1 D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简得，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的值. 【详解】函数. 令，则，则. 故选：D. 【题型6：正余弦正切两角和差公式的联系与求值】 【解题策略】 知识梳理 核心：和差公式、二倍角公式、同角公式之间的相互转化，如， 本质：利用公式间的内在联系，简化求值过程，避免重复计算 解题方法 1.观察式子结构，寻找和差公式与二倍角公式的联系 2.利用和差公式展开，合并同类项，或逆用公式化简 3.结合同角公式，将式子化为单一三角函数，再求值 4.若已知多个角的三角函数值，先拼凑角，再代入计算 名师点睛 此类题是高考中档题，考查公式的灵活运用，一轮复习需多练 常见结论：，，可直接用于化简 先化简再求值，避免直接代入计算，减少运算量 （2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由 ， 所以. （2026·福建泉州·一模）已知，，成等差数列，，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据等差数列转化角的关系，再联立方程组求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以，则. 设，，则，，. 又，， 所以， 整理得，即， 所以，即. （2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀1 A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】，， ①， ②， ①+②化简得：， ①-②化简得：， 两式相除得． 【多选题】（25-26高三上·山西晋城·月考）已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. （2026·河北·一模）已知 且 则________.小试牛刀3 【答案】 【分析】令，结合商数关系和两角和的余弦展开式以及平方关系计算可得. 【详解】令，则，且，， 由可得，即，① 又，即，② 由①②两式可得， 所以， 所以. 故答案为：. 【题型7：正余弦正切两角和差公式给值求角】 【解题策略】 知识梳理 核心：已知、或的值，求或其三角函数值 本质：已知三角函数值求角，需结合角的范围确定唯一解 解题方法 1.利用和差公式，将已知条件转化为、或 2.确定的范围（由的范围推导） 3.根据三角函数值和角的范围，求出的值（或用反三角函数表示） 4.若求或，再进一步拆分求解 名师点睛 求角必须“先定范围，再定函数值”，避免多解，这是高考高频易错点 若、等特殊值，直接写出对应角度 注意或其他限制范围，避免超出定义域的解 优先用余弦函数求角，因为余弦在上单调，不易多解 （2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D （2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即 ， 所以，所以． 又，所以． 故选：D （2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. （2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可. 【详解】因为，， 所以， 解得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A （2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为__________.小试牛刀3 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题目条件得到和，从而求出，进而求出角的值. 【详解】， 故， ，即， 故， 故，即， 则， 则 ， 可取. 故答案为： 【题型8：和差化积+积化和差公式的应用】 【解题策略】 知识梳理 和差化积公式： 积化和差公式（和差化积的逆用）： 解题方法 1.识别结构：和差化积用于“正弦±正弦”“余弦±余弦”；积化和差用于“正弦×余弦”“余弦×余弦”“正弦×正弦” 2.套用公式，将和差化为乘积，或将乘积化为和差 3.化简为更简单的三角式，再求值或求最值 4.结合其他公式（如二倍角、辅助角）进一步化简 名师点睛 新高考卷中此类题考查较少，一轮复习只需了解，重点掌握和差公式与二倍角公式 记忆口诀：“正和正在先，正差正后迁，余和余弦连，余差负正弦” 若题目未明确要求，优先用和差公式+二倍角公式，避免复杂记忆 （2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用，根据和差化积公式得，即可由万能公式求解. 【详解】．∵ ∴ ∴, 由于，故，则， ∴ ∴. （2025·云南·一模）在中，若，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A （2025高三上·内蒙古包头·专题练习）已知函数．若有两个零点和，则 ___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可求出的值，代入可得，并求出，从而得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 令， 当时，，则，此时无解， 当时，，则，则或，解得或， ， ， 设，即，两边取余弦，得 ， 其中 ， 所以， 整理方程，得， 故， ， ，，， ，解得， ，， . 故答案为：. （2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ）小试牛刀2 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. （2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀3 A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 【题型9：三角恒等变换的综合应用】 【解题策略】 知识梳理 场景：结合和差公式、二倍角公式、辅助角公式、同角公式、诱导公式等，解决化简、求值、求角、证明等问题 核心：将复杂三角式通过恒等变换，化为单一三角函数或简单代数形式，是高考解答题的基础 解题方法 1.统一角：用诱导公式、和差公式、角的拼凑，将所有角化为同一角 2.统一函数名：用同角公式、二倍角公式，将正弦、余弦、正切化为同一函数 3.降次：用降幂公式，将二次式化为一次式 4.辅助角：将同角正弦和余弦化为形式 5.代入求值或分析性质（周期、最值、单调性等） 名师点睛 综合题是高考解答题的核心，一轮复习需重点训练“化同角、化同名、降次、辅助角”四步走 口诀：“先看角，再看名，降次辅助角” 注意符号和定义域，避免漏解或错解 常见考法：化简后求周期、最值、单调区间，或结合解三角形、向量等知识 （25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得 ，进而根据诱导公式以及辅助角公式得 ，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为 ， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以 ，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积 ． 故选:C 【多选题】（2026·江西·一模）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. （2026·福建泉州·二模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合可得，再结合余弦定理求解即可； （2）解法一：由结合两角和与差的余弦公式可得，进而得到，再利用正弦定理可得，代入即可求解； 解法二：由结合余弦函数的性质可得，再利用余弦定理得到，与相加，再结合即可求解； 解法三：由，结合三角恒等变换公式先得到，过作，垂足为，可得，进而结合即可求解. 【详解】（1）由，可得， 则， 因为，故. （2）解法一：由，可得， 则， 因为，所以，， 则，即，所以， 由正弦定理， 可得， 得， 代入，可得， 解得，即. 解法二：由，可得， 则或， 即或， 因为，所以， 由余弦定理可得，则， 又，两式相加可得， 即，得. 解法三：由，可得， 得， 即， 因为，所以， 则，即，即， 则，所以， 如图，过作，垂足为，可得， 故， 所以. （2026·江苏·一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得，，，进而结合选项分析求解即可. 【详解】由 ， 则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子； 当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，. 故选：C （2026·陕西西安·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有.小试牛刀3 (1)求角A； (2)若D为BC中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换对题目所给等式进行化简，即可得解； （2）运用中线向量定理得，两边平方后，再运用基本不等式以及三角形的面积公式，即可得解. 【详解】（1）， ， 又因为， 故 ， 整理得， ，，， ，. （2）由题意知， 则， ，， （当且仅当时等号成立），， 面积的最大值为. 【题型10：三角恒等变换中的最值问题】 【解题策略】 知识梳理 核心：将三角恒等变换与函数最值结合，通过化简为或二次函数等形式，求最值 常见模型： ：最值为 ：换元为二次函数（） ：用辅助角公式化为 解题方法 1.三角恒等变换：将目标函数化简为或二次函数形式 2.确定定义域：的范围，或换元后的范围 3.求最值： 若为：最值为，注意的范围 若为二次函数：配方求顶点最值，结合定义域判断 若为分式函数：用分离常数或基本不等式求最值 4.验证等号成立条件，确保最值可取到 名师点睛 最值问题是高考压轴题的常见类型，一轮复习需重点掌握 核心思路：“先变换，再函数，后最值”，将三角问题转化为函数问题 注意定义域限制，避免忽略的范围导致最值错误 辅助角公式是求最值的最常用工具，必须熟练掌握 （2026·江苏·一模）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角整理可得，然后结合和差公式、基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，整理得， 由正弦定理边化角得， 若，则，不满足题意，故. 又， 所以， 整理得， 则 ， 易知，若，则，不合题意； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2026·福建漳州·模拟预测）已知，则的最大值是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式，结合的取值范围，及不等式的性质求得的取值范围，从而得到的最大值. 【详解】当时，，得到. 由题意得. 由，得，所以. 故的最大值为. 故选：A. （2026·陕西西安·三模）函数的最大值为________.小试牛刀2 【答案】 【分析】设，代入计算结合辅助角公式计算可得结论. 【详解】设， 则， 故当时，即时，取得最大值. 故答案为：. （2025·河南·一模）已知，则角的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，代入得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 可得， . 令， 则，当且仅当，即时，等号成立. 而是锐角，则. 故选：B. 真题模拟检测 一、单选题 1．（25-26高三上·广东·月考）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以 ， 故选：C. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 3．（2026·河南开封·一模）在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两角和差的余弦公式经过拆角变形为，再由正弦定理边化角得到，然后由两角和差的余弦公式再拆角，结合二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ， ， 由正弦定理可知， 即， 因为，故， 所以， 所以. 故选：D. 4．（2026·辽宁辽阳·一模）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和及是锐角求出，利用二倍角的余弦公式求出，利用二倍角的余弦公式求出，利用公式求出，利用两角差的正切公式得到，代入数值求出，从而得到的值. 【详解】，，， ，， 是锐角，，， ， ， ，，， ， . 故选：C. 5．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ， 又， 所以， 所以． 故选：B. 6．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】计算出,再根据,两边平方化简即可求解. 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即， 得到. 故选：B. 7．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 8．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用三角恒等变换及平方关系得，再应用齐次式及化弦为切求. 【详解】由， 所以，可得， 所以，则， 所以或，经验证，均满足题设. 9．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由 . 11．（2026·河北衡水·一模）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因此， 所以， ； 所以的取值范围是. 12．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 13．（2026·四川内江·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以. 14．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可． 【详解】根据题意可知，， ， 即． 二、多选题 15．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 16．（2025·广东·模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】当时，验证是否成立，即可判断A；根据平面向量数量积的坐标表示，验证是否成立，即可判断B；取，验证是否成立，即可判断C；验证是否成立，即可判断D. 【详解】若，则 ，所以，故A正确； 因为，而， 所以，故B正确； 取，则，此时， ，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 17．（2026·辽宁辽阳·一模）已知，，则________． 【答案】/ 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，， 则，所以， 故. 18．（2026·广西河池·二模）___________． 【答案】/ 【详解】， 又 ， 所以， 所以 ． 19．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 【答案】/ 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得. 【详解】由，则， 所以. 20．（24-25高三上·河北·月考）若，则________. 【答案】 【分析】先求出之间的关系式，然后将其代入原式中进行化简，然后根据求出，最后求得原式的值. 【详解】因为，所以，所以. 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $