第1讲：三角函数的概念与诱导公式【9个题型归纳】讲义-2026年高考数学二轮复习

2026年高考二轮复习强化讲义 【第1讲：三角函数的概念与诱导公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：任意角与弧度制】 【解题策略】 知识梳理 任意角：按旋转方向分为正角、负角、零角；按终边位置分为象限角、轴线角 弧度制：，角度与弧度互化：， 终边相同的角：与角终边相同的角可表示为 解题方法 1.角度与弧度互化：直接代入换算公式 2.判断象限角：将角化为（），看所在象限 3.求终边相同的角：用构造，解不等式求 名师点睛 弧度制是高考必考基础，注意rad=180°，不要漏写单位 终边相同的角相差，不是，避免半角/倍角混淆 轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限，要单独判断 【多选题】（2025·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（　　）经典例题1例题 A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确. 故选：ABD （25-26高一上·北京朝阳·期末）设集合，集合，则与的关系为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案. 【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合； 由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合； 所以. 故选：A. 【多选题】（25-26高一上·山西长治·期末）下列结论正确的有（   ）小试牛刀1 A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．与角终边相同的最小正角是90° D．若，则角的终边在第一象限或第四象限 【答案】ABD 【分析】根据终边相同的角可判断A项与C项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；利用三角函数在各象限的符号判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C，与角终边相同的角为，故当时，取得最小正角为，故C错误； 对于D，由可知的值同号，当时，角的终边在第一象限； 当时，角的终边在第四象限，故角的终边在第一象限或第四象限，即D正确. （25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 【多选题】（25-26高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A． B．若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C．函数的定义域为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BCD 【分析】A选项，根据三角函数在各个象限的符号判断；B选项，先表示出第二象限角的范围，得到的范围，进而判断；C选项，根据正切函数的定义域计算；D选项，根据终边相同的角进行表达. 【详解】A选项，都是第二象限角， 则，，A选项错误； B选项，若是第二象限角，则， 则， 取可知，是第一或第三象限角，B选项正确； C选项，根据正切函数的定义域，定义域满足， 可得，C选项正确； D选项，终边落在直线上的角的集合是， 可表示为，D选项正确. 故选：BCD 【题型2：扇形的弧长与面积】 【解题策略】 知识梳理 弧长公式：（为弧度制圆心角，为半径） 面积公式： 核心关系：，，三个量中知二求一 解题方法 1.统一单位：角度必须先化为弧度制 2.代入公式：已知求用；已知求用 3.最值问题：固定周长时，用，将表示为或的函数求最值 名师点睛 弧度制是扇形公式的前提，角度制不能直接代入 扇形面积公式与三角形面积公式结构相似，可类比记忆 高考常结合最值考查，注意且的实际约束 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若 ，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得，再逐项验证即可得. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径， 因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以，即， 因为，所以，又，即， 逐个验证各选项可知，当时符合题意． （2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ）经典例题2例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用弧长公式和面积公式求出弧长，再结合题意取舍即可. 【详解】设扇形的弧长为，扇形的半径为，圆心角为， 因为扇形的周长为6，面积为2， 所以，解得或， 当时，，不是锐角，故排除， 当时，，符合题意，故B正确. 故选：B （2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用弧长公式求出的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. （2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. （24-25高一上·四川内江·期末）中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合扇形面积公式运算求解即可. 【详解】设圆的半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 【题型3：三角函数的定义】 【解题策略】 知识梳理 单位圆定义：设角终边与单位圆交于，则，， 坐标定义：终边上任一点，，则，， 三角函数符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 解题方法 1.取终边上一点：若已知终边过点，先算 2.代入定义：，， 3.判断符号：根据角所在象限，用“一全正二正弦三正切四余弦”判断符号 名师点睛 三角函数定义是所有三角公式的源头，必须熟练掌握 符号判断是高频易错点，尤其注意第二象限，第三象限 终边在坐标轴上时，可能不存在（） （2025·四川成都·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若角与角关于轴对称，则__________.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由对称性确定角终边上的点，再结合三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角终边过点，又角与角关于轴对称， 所以角终边过点， 所以， 故答案为： （2026·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义可得，再根据正切二倍角公式计算即可. 【详解】因为角终边经过点，所以， 则. 故选：A （2025·山东济宁·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，进而可求得，，利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】由题意可得，，所以， ， . 故选：A. （2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】已知角 的终边过点，则 ， .计算半径 . 利用三角函数定义:      因此，      故答案为： （2025·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边相同的角表示出，根据三角函数的诱导公式化简，根据求最值即可. 【详解】因为角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，所以， 由诱导公式知，, 又，所以，所以，即的最大值为. 故选：A. 【题型4：同角三角函数的化简求值】 【解题策略】 知识梳理 核心公式： 平方关系： 商数关系： 用途：已知一个三角函数值，求另外两个；化简三角式 解题方法 1.已知求：用，符号由象限决定 2.已知求：联立求解 3.化简：利用平方关系降次，商数关系化切 名师点睛 平方关系开方时，必须先判断角的象限，确定符号 若未给象限，需分类讨论（如，可能在第一或第二象限） 化简时优先用消去常数项 （2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以，. 所以. （25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知的面积为1，，，则_______．经典例题2例题 【答案】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出， 最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径，即可求解. 【详解】，，，. ，，，. ， 设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，， ， 即，化简得，. . （2026·河南南阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的终边上的点和二倍角正弦公式计算，然后得到关于的一元二次方程，进而求得结果. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，所以， 即，解得. 所以或（舍去） 故选：B. （2026·湖北宜昌·模拟预测）已知，为第二象限角，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用，解出的值，再利用倍角公式可得答案. 【详解】已知，且为第二象限角， 设，，则有方程组， 消元得，解得或， 当时，；当时，， 由于为第二象限角，需满足，，故舍去的解， 因此，， 利用倍角公式计算. 故选：D （2026·广西南宁·一模）若，则＝（   ）小试牛刀3 A．3 B． C． D．－3 【答案】A 【分析】由题设及同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【详解】因， 则，. 从而. 故选：A 【题型5：同角三角函数中的弦化切】 【解题策略】 知识梳理 核心技巧：将的齐次式转化为的表达式 适用场景：已知，求或 解题方法 1.分式型：分子分母同除以（或），化为的分式 2.二次型：分母补，再同除以，化为的二次式 3.代入的值计算 名师点睛 弦化切是高考高频技巧，关键是构造齐次式 二次型必须补分母为，否则无法化切 若，则不存在，需单独处理 （2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． （2026·贵州·模拟预测）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：C （2026·陕西榆林·二模）已知，则___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】法1：由已知等式整理得到，法2：应用齐次式法有，进而求得，再应用和角正切公式求值. 【详解】法1：因为，所以，即， 所以； 法2：因为，所以，即， 所以； 故答案为： （2025·云南·三模）已知角的终边过点，则__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由三角函数的定义求出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为的终边过点，根据三角函数的定义，可得， . 故答案为：. （2026·河北沧州·一模）已知直线的倾斜角为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】由直线倾斜角得到，根据齐次式化弦为切，代入求值即可. 【详解】由已知得，则. 故选：C 【题型6：同角公式中的和差积】 【解题策略】 知识梳理 核心关系： 知一求二：已知、、中任意一个，可求另外两个 解题方法 1.平方展开：， 2.联立求解：已知一个量，代入求另外两个 3.符号判断：根据或的符号，判断所在象限 名师点睛 平方后开方时，必须结合角的范围判断的符号 常见结论：时，且 高考常结合的符号判断的象限 （2026·四川成都·二模）已知，，则__________经典例题1例题 【答案】/ 【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解. 【详解】由题知①， ②， 得， 即 ， 所以，所以. （2026·陕西延安·一模）已知，，则________．经典例题2例题 【答案】 【分析】先对已知条件两边平方，再利用三角函数的平方关系和二倍角公式，即可求解. 【详解】由已知，， 两边平方可得，， 又，所以， 所以. 故答案为： （2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系式，结合已知条件求得，根据二倍角的正切公式，结合的取值范围，求得. 【详解】由，得，所以. ，所以，所以. 所以，，所以. 所以，所以. 所以，化简得：，解得：，或. 因为，所以，所以 故选：B. （2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. （2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及角的范围变形得到，从而得到. 【详解】， 又，所以， 所以， 又，所以，， 所以， 故． 故选：B 【题型7：诱导公式的化简求值】 【解题策略】 知识梳理 核心口诀：奇变偶不变，符号看象限 奇变偶不变：中，为奇数则函数名改变（），为偶数则函数名不变 符号看象限：把看作锐角，判断所在象限，确定原函数的符号 常用诱导公式： ， ， ， 解题方法 1.拆角：将大角化为（为锐角） 2.用口诀：判断的奇偶性，确定函数名是否改变；判断象限，确定符号 3.化简为锐角三角函数，再代入求值 名师点睛 诱导公式的核心是“符号”和“函数名”，口诀必须背熟 把看作锐角是关键，不管实际是多少度，都按锐角判断象限 化简时优先将负角化为正角，大角化为小角（） （2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. （2025·山东烟台·一模）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. （2025·广东·模拟预测）函数的值域为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简函数，然后利用函数的奇偶性和基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以； 因为为奇函数，当时，，所以； 当时，，所以，当且仅当时，等号成立； 故，所以的值域为. 故答案为：. （2025·四川凉山·一模）已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角正弦公式和诱导公式化简等式，结合角的范围求解. 【详解】原等式可化为，即， 因为，所以，所以， ， . 故选：A. （2025·云南楚雄·模拟预测）若，则__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】要解决这个问题，我们需要利用三角函数的诱导公式对已知等式进行化简，再结合三角函数的基本关系求出 【详解】易知 ， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为: 【题型8：诱导公式中角的拼凑】 【解题策略】 知识梳理 核心：将未知角拼凑为的形式，利用诱导公式转化为已知角的三角函数 常见拼凑：、、、、 解题方法 1.分析角的关系：将目标角表示为 2.用诱导公式：将目标角的三角函数转化为的三角函数 3.代入已知的三角函数值，计算结果 4.注意符号和函数名的变化 名师点睛 角的拼凑是诱导公式的核心应用，常见于“已知，求”等题型 拼凑时优先凑成或，便于套用公式 注意与的诱导公式等价， （2026·广西·模拟预测）已知，则______.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式和辅助角公式化简已知得，再利用诱导公式求值. 【详解】根据题意， ， 所以， 所以. （2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 【多选题】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知，且，则下列正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】使用三角函数同角关系与诱导公式进行计算即可. 【详解】对于A，， 因为，则有，故，A正确； 对于B，因为，则有，则， 则，故B错误； 对于C，， ， 则，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：AC. （2026·四川雅安·一模）若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关系结合诱导公式及条件求结论. 【详解】因为， 所以. 故选：A. （2026·四川攀枝花·一模）若，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】由，结合诱导公式和二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 【题型9：诱导公式与同角公式的综合】 【解题策略】 知识梳理 场景：先利用诱导公式将大角/负角化为锐角，再用同角公式化简求值 核心：诱导公式+同角公式的组合应用，是高考基础题的常见考法 解题方法 1.先用诱导公式：将所有角化为锐角或的形式 2.再用同角公式：化简、弦化切、平方关系等 3.代入已知条件求值 4.注意符号和函数名的一致性 名师点睛 综合题的关键是“先诱导，后同角”，顺序不能颠倒 诱导公式处理角的大小和符号，同角公式处理函数间的关系 高考一轮复习重点，必须熟练掌握诱导公式和同角公式的基本应用 （25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方关系和商数关系求出，再由二倍角公式求解，利用诱导公式化简求值. 【详解】因为，，所以， 由，解得， 因为，所以，， 由，即解得， 所以. 故选：B. （2026·辽宁抚顺·一模）若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出，最后结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】由题意得 ，所以·. 因为，所以，所以，且， 所以，可得. （2026·河南南阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（   ）小试牛刀1 A．7 B． C．17 D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义得，再结合二倍角公式得，，最后根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为角的终边经过点，， 所以， 所以， ， 所以. 故选：B （2026·浙江·一模）已知，满足，则__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】. 因为，所以， 所以. 故答案为：. （25-26高三上·河北承德·期末）若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式，将原式化简为，等式两边平方，由同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦公式可得. 【详解】由，得， 两边平方，得，即. 所以 . 故选：D. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2026·黑龙江大庆·二模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出，再根据诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：B 2．（2025·四川德阳·一模）若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解. 【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为， 圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为， 所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是. 故选：A 3．（2026·广西河池·二模）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质，可得的关系，根据扇形的性质，可得的关系，即可得答案. 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 由题意得，侧面展开图为扇形，对应的弧长为， 所以. 4．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合诱导公式判断即可得出结论. 【详解】若，则， 所以， 则， 所以“”“”， 另一方面，若，则或， 即或， 所以“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，分析充分性与必要性，即可得解. 【详解】若，又，故，即， 则或，故甲无法推出乙，充分性不成立； 若，则，两边平方得， 所以，故乙可以推出甲，必要性成立. 综上，甲是乙的必要不充分条件， 故选：B. 6．（2025·四川自贡·一模）若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦和同角的三角函数基本关系式结合齐次化可求三角函数的值. 【详解】因为，故 ， 故选：C. 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知△ABC内角A，B，C满足，，则（       ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】 ， 所以. 故选：A 8．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 9．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 10．（2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 11．（2026·山东·一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义可得，进而可求正切， 【详解】因为，所以， 由三角函数定义得， 两边平方解得，又，故 ， ∴ ．即． 故选：D. 12．（2026·广东佛山·一模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合三角函数定义求，再根据二倍角公式求结论. 【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为， 所以， 所以. 13．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有即可得，再求高，进而得圆锥的体积即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有， 又，所以， 故选：B. 14．（2026·新疆·模拟预测）如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到上底面半径，下底面半径，高，从而得到阴影部分所围成的圆台体积. 【详解】，，故扇形的面积为， 阴影部分的面积为，， 故扇形的面积为，解得，故， 故，， 设阴影部分所围成的圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，，解得，， 故， 阴影部分所围成的圆台的上底面面积为，下底面面积为， 所以阴影部分所围成的圆台体积为. 故选：A 15．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 16．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 【答案】B 【分析】根据整个圆周为，利用两地的弧长占地球周长的比例求解即可. 【详解】由平行线内错角相等，得， 由题意可知，两地距离大约800km则弧长， 所以圆周长， 所以估算得出的地球周长最接近的为41000km． 二、填空题 17．（2026·北京延庆·一模）已知是任意角，且满足，则常数k的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】满足， ，得，， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） 18．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，则_________． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正余弦公式化简已知等式，求得，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由可得，即， 也即，因，则，， 故得，即，故. 故答案为：. 19．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知点在角的终边上，若，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据三角函数的定义解出，再求，最后利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 20．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 【答案】弧度 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考二轮复习强化讲义 【第1讲：三角函数的概念与诱导公式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：任意角与弧度制】 【解题策略】 知识梳理 任意角：按旋转方向分为正角、负角、零角；按终边位置分为象限角、轴线角 弧度制：，角度与弧度互化：， 终边相同的角：与角终边相同的角可表示为 解题方法 1.角度与弧度互化：直接代入换算公式 2.判断象限角：将角化为（），看所在象限 3.求终边相同的角：用构造，解不等式求 名师点睛 弧度制是高考必考基础，注意rad=180°，不要漏写单位 终边相同的角相差，不是，避免半角/倍角混淆 轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限，要单独判断 【多选题】（2025·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（　　）经典例题1例题 A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 （25-26高一上·北京朝阳·期末）设集合，集合，则与的关系为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·山西长治·期末）下列结论正确的有（   ）小试牛刀1 A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．与角终边相同的最小正角是90° D．若，则角的终边在第一象限或第四象限 （25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【多选题】（25-26高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A． B．若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C．函数的定义域为 D．终边落在直线上的角的集合是 【题型2：扇形的弧长与面积】 【解题策略】 知识梳理 弧长公式：（为弧度制圆心角，为半径） 面积公式： 核心关系：，，三个量中知二求一 解题方法 1.统一单位：角度必须先化为弧度制 2.代入公式：已知求用；已知求用 3.最值问题：固定周长时，用，将表示为或的函数求最值 名师点睛 弧度制是扇形公式的前提，角度制不能直接代入 扇形面积公式与三角形面积公式结构相似，可类比记忆 高考常结合最值考查，注意且的实际约束 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若 ，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ）经典例题2例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______．小试牛刀1 （2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·四川内江·期末）中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：三角函数的定义】 【解题策略】 知识梳理 单位圆定义：设角终边与单位圆交于，则，， 坐标定义：终边上任一点，，则，， 三角函数符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 解题方法 1.取终边上一点：若已知终边过点，先算 2.代入定义：，， 3.判断符号：根据角所在象限，用“一全正二正弦三正切四余弦”判断符号 名师点睛 三角函数定义是所有三角公式的源头，必须熟练掌握 符号判断是高频易错点，尤其注意第二象限，第三象限 终边在坐标轴上时，可能不存在（） （2025·四川成都·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若角与角关于轴对称，则__________.经典例题1例题 （2026·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·山东济宁·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.小试牛刀2 （2025·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：同角三角函数的化简求值】 【解题策略】 知识梳理 核心公式： 平方关系： 商数关系： 用途：已知一个三角函数值，求另外两个；化简三角式 解题方法 1.已知求：用，符号由象限决定 2.已知求：联立求解 3.化简：利用平方关系降次，商数关系化切 名师点睛 平方关系开方时，必须先判断角的象限，确定符号 若未给象限，需分类讨论（如，可能在第一或第二象限） 化简时优先用消去常数项 （2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知的面积为1，，，则_______．经典例题2例题 （2026·河南南阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·湖北宜昌·模拟预测）已知，为第二象限角，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 （2026·广西南宁·一模）若，则＝（   ）小试牛刀3 A．3 B． C． D．－3 【题型5：同角三角函数中的弦化切】 【解题策略】 知识梳理 核心技巧：将的齐次式转化为的表达式 适用场景：已知，求或 解题方法 1.分式型：分子分母同除以（或），化为的分式 2.二次型：分母补，再同除以，化为的二次式 3.代入的值计算 名师点睛 弦化切是高考高频技巧，关键是构造齐次式 二次型必须补分母为，否则无法化切 若，则不存在，需单独处理 （2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·贵州·模拟预测）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·陕西榆林·二模）已知，则___________．小试牛刀1 （2025·云南·三模）已知角的终边过点，则__________．小试牛刀2 （2026·河北沧州·一模）已知直线的倾斜角为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．7 【题型6：同角公式中的和差积】 【解题策略】 知识梳理 核心关系： 知一求二：已知、、中任意一个，可求另外两个 解题方法 1.平方展开：， 2.联立求解：已知一个量，代入求另外两个 3.符号判断：根据或的符号，判断所在象限 名师点睛 平方后开方时，必须结合角的范围判断的符号 常见结论：时，且 高考常结合的符号判断的象限 （2026·四川成都·二模）已知，，则__________经典例题1例题 （2026·陕西延安·一模）已知，，则________．经典例题2例题 （2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：诱导公式的化简求值】 【解题策略】 知识梳理 核心口诀：奇变偶不变，符号看象限 奇变偶不变：中，为奇数则函数名改变（），为偶数则函数名不变 符号看象限：把看作锐角，判断所在象限，确定原函数的符号 常用诱导公式： ， ， ， 解题方法 1.拆角：将大角化为（为锐角） 2.用口诀：判断的奇偶性，确定函数名是否改变；判断象限，确定符号 3.化简为锐角三角函数，再代入求值 名师点睛 诱导公式的核心是“符号”和“函数名”，口诀必须背熟 把看作锐角是关键，不管实际是多少度，都按锐角判断象限 化简时优先将负角化为正角，大角化为小角（） （2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ）经典例题1例题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2025·山东烟台·一模）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·广东·模拟预测）函数的值域为______.小试牛刀1 （2025·四川凉山·一模）已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·云南楚雄·模拟预测）若，则__________.小试牛刀3 【题型8：诱导公式中角的拼凑】 【解题策略】 知识梳理 核心：将未知角拼凑为的形式，利用诱导公式转化为已知角的三角函数 常见拼凑：、、、、 解题方法 1.分析角的关系：将目标角表示为 2.用诱导公式：将目标角的三角函数转化为的三角函数 3.代入已知的三角函数值，计算结果 4.注意符号和函数名的变化 名师点睛 角的拼凑是诱导公式的核心应用，常见于“已知，求”等题型 拼凑时优先凑成或，便于套用公式 注意与的诱导公式等价， （2026·广西·模拟预测）已知，则______.经典例题1例题 （2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知，且，则下列正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·四川雅安·一模）若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·四川攀枝花·一模）若，则______．小试牛刀3 【题型9：诱导公式与同角公式的综合】 【解题策略】 知识梳理 场景：先利用诱导公式将大角/负角化为锐角，再用同角公式化简求值 核心：诱导公式+同角公式的组合应用，是高考基础题的常见考法 解题方法 1.先用诱导公式：将所有角化为锐角或的形式 2.再用同角公式：化简、弦化切、平方关系等 3.代入已知条件求值 4.注意符号和函数名的一致性 名师点睛 综合题的关键是“先诱导，后同角”，顺序不能颠倒 诱导公式处理角的大小和符号，同角公式处理函数间的关系 高考一轮复习重点，必须熟练掌握诱导公式和同角公式的基本应用 （25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·辽宁抚顺·一模）若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·河南南阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（   ）小试牛刀1 A．7 B． C．17 D． （2026·浙江·一模）已知，满足，则__________.小试牛刀2 （25-26高三上·河北承德·期末）若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2026·黑龙江大庆·二模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·一模）若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2026·广西河池·二模）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·四川自贡·一模）若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知△ABC内角A，B，C满足，，则（       ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东·一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·广东佛山·一模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B．1 C． D．2 14．（2026·新疆·模拟预测）如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 16．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 二、填空题 17．（2026·北京延庆·一模）已知是任意角，且满足，则常数k的一个取值为______． 18．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，则_________． 19．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知点在角的终边上，若，则__________. 20．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $