章末检测（六） 导数及其应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

章末检测（六）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数f（x）＝x3－f'（2）x2＋x－3，则f'（2）＝（　　） A.－1 B.1 C.－5 D.5 2.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A.∪ B.[0，π） C. D.∪ 3.建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示. 下列叙述中正确的是（　　） A.在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B.在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C.甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 D.乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率 4.函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极值，则a＝（　　） A.2 B.3 C.5 D.6 5.函数f（x）＝－e3x＋2e2x的图象大致为（　　） 6.已知a＝，b＝log42，c＝e2，设曲线y＝ln x3－x3在x＝k（k＞0）处的切线斜率为f（k），则（　　） A.f（b）＜f（a）＜f（c） B.f（a）＜f（c）＜f（b） C.f（c）＜f（a）＜f（b） D.f（a）＜f（b）＜f（c） 7.已知直线y＝ax＋b与曲线y＝ln x相切于点（x0，ln x0），若x0∈[e，e3]，则ab的最小值为（　　） A.－1 B.0 C. D. 8.已知可导函数f（x）的定义域为（－∞，0），其导函数f'（x）满足xf'（x）＋2f（x）＞0，则不等式（x＋2 024）2·f（x＋2 024）－f（－1）＜0的解集为（　　） A.（－2 025，－2 024） B.（－2 024，－2 023） C.（－∞，－2 024） D.（－∞，－2 023） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知定义在[m，n]上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　） A.f（x）的值域为[f（d），f（n）] B.f'（x）在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减 C.f（x）的极大值点为x＝c，极小值点为x＝e D.f（x）一定有两个零点10.已知函数f（x）＝ln x－1－，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）在定义域上是增函数 B.f（x）的值域为R C.f（log2 0252 026）＋f（log2 0262 025）＝1 D.若f（a）＝－b，a∈（0，1），b∈（0，＋∞），则aeb＝1 11.若函数f（x）＝ln x＋a（x2－2x＋1）（a∈R）存在两个极值点x1，x2 （x1＜x2），则（　　） A.函数f（x）至少有一个零点 B.a＜0或a＞2 C.0＜x1＜ D.f（x1）＋f（x2）＞1－2ln 2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若函数f（x）＝sin 2x＋sin x，则f'（x）的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 13.若直线y＝2x＋b与函数f（x）＝ex＋x－a的图象相切，则a＋b＝　　　　. 14.已知函数f（x）＝ln x－ax2＋x，a∈R.当a＝0时，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程是　　　　；若f（x）有两个零点，则a的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分13分）已知函数f（x）＝－ln x＋2x－2. （1）求曲线y＝f（x）的斜率等于1的切线方程； （2）求函数f（x）的极值. 　　 16.（本题满分15分）已知函数f（x）＝ax3＋bx＋2在x＝2处取得极值－14. （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）在[－3，3]上的最值. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x－ax2. （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围. 18.（本小题满分17分）请你设计一个包装盒.如图①所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图②中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设｜AE｜＝｜FB｜＝x cm. （1）若广告商要求包装盒的侧面积S（单位：cm2）最大，试问x应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V（单位：cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ax－1－ln x（a∈R）. （1）若a＝2，求f（x）在［，e］上的最大值和最小值； （2）若a＝1，当x＞1时，证明：xln x＞f（x）恒成立； （3）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线与直线l：x＝1垂直，且对∀x∈（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（六）　导数及其应用 1.B　2.D　3.D　4.C　5.A　6.C　 7.B　8.A　9.BC　 10.BD　对于A，函数f（x）＝ln x－1－的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝＋＞0，则f（x）在（0，1），（1，＋∞）上均单调递增，但f（x）在定义域上不是增函数，A错误；对于B，结合函数的单调性，作出函数f（x）＝ln x－1－的大致图象，结合图象可知f（x）的值域为R，B正确；对于C，由于f（x）＝ln x－1－，故f（）＝ln －1－＝－ln x－1＋，故f（x）＋f（）＝－2－＋＝－2＋＝0，故f（log2 0252 026）＋f（log2 0262 025）＝f（log2 0252 026）＋f（）＝0，C错误；对于D，由题意知f（a）＝ln a－1－，又f（a）＝－b＝1＋－ln eb＝ln －1－，即f（a）＝f（），而a∈（0，1），b∈（0，＋∞），故∈（0，1），结合f（x）在（0，1）上单调递增，可得a＝，∴aeb＝1，D正确.故选B、D. 11.ACD　对于A，f（x）＝ln x＋a（x2－2x＋1）＝ln x＋a（x－1）2，f（1）＝ln 1＋a（1－1）2＝0，∴x＝1是f（x） 的一个零点，故A正确；对于B，f'（x）＝＋a（2x－2）＝，∵f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴2ax2－2ax＋1＝0有两个不相等的实数根，即f'（x） 有两个变号零点x1＞0，x2＞0，∴Δ＞0，即（－2a）2－4×2a×1＝4a2－8a＝4a（a－2）＞0，∴a＞2或a＜0，又x1＞0，x2＞0，∴解得a＞0，综上，a＞2，故B错误；对于C，由B选项可得，x1＋x2＝1，∴x2＝1－x1，∴1－x1＞x1，∴0＜x1＜，故C正确；对于D，f（x1）＋f（x2）＝ln x1＋a（－2x1＋1）＋ln x2＋a（－2x2＋1）＝ln x1x2＋a[＋－2（x1＋x2）＋2]，将x1＋x2＝1，x1x2＝ 代入上式，得f（x1）＋f（x2）＝ln ＋a（12－2×－2×1＋2）＝－ln 2a＋a（1－）＝－ln 2－ln a＋a－1＝a－ln a－ln 2－1，令h（a）＝a－ln a－ln 2－1（a＞2），h'（a）＝1－＝＞0，有h（a） 在（2，＋∞） 上单调递增，∴h（a）＞h（2）＝2－ln 2－ln 2－1＝1－2ln 2，故D正确，故选A、C、D. 12.2　－　解析：∵函数f（x）＝sin 2x＋sin x，∴f'（x）＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2－（x∈R）.当cos x＝－时，f'（x）取得最小值－；当cos x＝1时，f'（x）取得最大值2. 13.1　解析：由f（x）＝ex＋x－a，可得f'（x）＝ex＋1.因为直线y＝2x＋b与函数f（x）＝ex＋x－a的图象相切，故设切点为（x0，y0），则＋1＝2，故x0＝0，则f（0）＝1－a＝b，故a＋b＝1. 14.y＝（＋1）x　（0，1）　解析：当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，f（e）＝ln e＋e＝e＋1，所以f'（x）＝＋1，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率k＝f'（e）＝＋1，所以切线方程为y－（e＋1）＝（＋1）（x－e），化简得y＝（＋1）x；函数f（x）有两个零点，等价于方程a＝有两解，即y＝与y＝a有两个交点，令g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝，令g'（x）＝0，得1－2ln x－x＝0，解得x＝1，因为φ（x）＝1－2ln x－x为减函数，故g'（x）＝0有唯一解，所以当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，＋∞），g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，＋∞）单调递减，又g（1）＝＝1，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→－∞，作出函数y＝g（x）的图象如图所示，所以当a∈（0，1）时，f（x）有两个零点.　 15.解：（1）设切点为（x0，y0），因为f'（x）＝－＋2， 所以－＋2＝1，解得x0＝1，y0＝－ln 1＋2－2＝0， 所以切线方程为y－0＝1×（x－1），即y＝x－1. （2）f（x）的定义域为（0，＋∞）. 令f'（x）＝0，即－＋2＝0，x＝， 令f'（x）＞0，得x＞， 令f'（x）＜0，得0＜x＜， 故f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 所以f（x）的极小值为f（）＝ln 2＋1－2＝ln 2－1，无极大值. 16.解：（1）因为f（x）＝ax3＋bx＋2，故f'（x）＝3ax2＋b， 由于f（x）在x＝2处取得极值， 故有 即 解得 当a＝1，b＝－12时，f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）（x－2）， 令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞2，令f'（x）＜0，解得－2＜x＜2， 所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增， 所以f（x）在x＝2处取得极值， 符合题意，所以a＝1，b＝－12. 所以f（x）＝x3－12x＋2，f'（x）＝3x2－12， 故f（1）＝－9，f'（1）＝－9. 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（－9）＝－9（x－1），即9x＋y＝0. （2）由（1）知f（x）＝x3－12x＋2，f'（x）＝3x2－12. 令f'（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2. 在x∈[－3，3]时，随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x －3 （－3，－2） －2 （－2，2） 2 （2，3） 3 f'（x） 正 0 负 0 正 f（x） 11 单调递增 18 单调递减 －14 单调递增 －7 当x＝－2时，f（x）有极大值f（－2）＝18，当x＝2时，f（x）有极小值f（2）＝－14. 因为f（－2）＝18＞f（3）＝－7，f（2）＝－14＜f（－3）＝11. 因此f（x）在[－3，3]上的最小值为f（2）＝－14，最大值为f（－2）＝18. 17.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝， 当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，＋∞）上单调递增， 当a＞0时，f'（x）＞0⇒0＜x＜，f'（x）＜0⇒x＞， 即f（x）在上单调递增，在上单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，f（x）max＝f＝ln －a＝－（ln a＋1）， 当a≥时，f（x）max＝f＝－（ln a＋1）≤0， 函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 当0＜a＜时，f（x）max＝f＝－（ln a＋1）＞0， 由于1∈，且f（1）＝ln 1－·a·12＝－a＜0， 由零点存在定理知f（x）在上存在唯一零点， 由于＞，且f＝ln －a＝ln －＜－＝0， 由零点存在定理知f（x）在（，＋∞）上存在唯一零点，所以当0＜a＜时，f（x）有两个零点. 综上，实数a的取值范围是. 18.解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝x，h＝＝（30－x），0＜x＜30. （1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1 800，0＜x＜30，所以当x＝15时，S取得最大值. （2）V＝a2h＝2（－x3＋30x2），V'＝6x（20－x）. 令V'＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. 当x∈（0，20）时，V'＞0；当x∈（20，30）时，V'＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值，此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为. 19.解：（1）当a＝2时，f（x）＝2x－1－ln x，f'（x）＝， 令f'（x）＝0可得x＝，故当x∈［，）时，f'（x）＜0，f（x）在［，）上单调递减； 当x∈（，e］时，f'（x）＞0，f（x）在（，e］上单调递增. 函数f（x）的极小值为f（）＝ln 2，无极大值. 又f（）＝，f（e）＝2e－2＞f（）， 所以f（x）在［，e］上的最大值是2e－2，最小值是ln 2. （2）证明：因为a＝1，所以令h（x）＝xln x－f（x）＝xln x－x＋ln x＋1， h'（x）＝ln x＋. 当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，所以xln x＞f（x）恒成立. （3）f'（x）＝a－，因为函数f（x）的图象在x＝1处的切线与直线l：x＝1垂直， 所以f'（1）＝0，即a－1＝0，解得a＝1， 所以f（x）＝x－1－ln x. 因为对∀x∈（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立， 即对∀x∈（0，＋∞），b－1≤恒成立. 令g（x）＝，则g'（x）＝， 令g'（x）＞0，解得x＞e2；令g'（x）＜0，解得0＜x＜e2， 所以函数g（x）＝在区间（0，e2）上单调递减，在区间（e2，＋∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（e2）＝－，则b－1≤－，解得b≤1－. 所以实数b的取值范围为（－∞，1－］. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $