第五章 一元函数的导数及应用 章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第五章 一元函数的导数及应用 章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·河南周口·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】由导数的定义可知， ， 又，所以， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导得，对进行分类讨论可知不符合题意；时，，研究的符号可得的单调性及符号，进而可求得在上单调递增的充要条件，即可求解. 【详解】，. 当时，若，则，此时， 在上单调递减，不符合题意； 当时，， 当时，在上恒成立， 在上单调递增，且， 在上恒成立， 在上单调递增，符合题意. 当时，令的解为. 当时，， 在上单调递减，且， 在上恒成立， 在上单调递减，不符合题意. 综上，在上单调递增的充要条件为. 在上单调递增的一个必要不充分条件是. 故选：A. 5．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 6．（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】由，得在上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，故，即. 故选：D 7．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 8．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过其单调性可判断，进而可求解. 【详解】易知，， 构造函数， 求导，易知当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高三下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 10．（2025高二·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A．当时， B．，都有 C．的解集为 D．的单调递增区间是， 【答案】BD 【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案. 【详解】对于A，当时，，则， 函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误； 对于B，当时，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 当时，； 当时，，，则， 综上，当时，， 因为函数是奇函数，所以， 当时，，故B正确； 对于C，由B可知，当时，，， 则； 当时，，，则， 因为函数是奇函数，所以当时，；当时，， 因为函数是奇函数，所以， 综上，不等式，其解集为，故C错误； 对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减， 因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减； 当时， 单调递增，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数的图象，相应的双曲正弦函数为.则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数的值域为， D．当直线与和共有3个交点时， 【答案】AC 【分析】利用指数运算即可判断A选项；利用函数的奇偶性即可判断B选项；利用指数函数的值域即可判断C选项；利用导数求出双曲余弦函数的单调区间，结合函数的单调性即可判断D选项. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由于双曲余弦函数为偶函数， 双曲正弦函数为奇函数， 则为奇函数，故B错误； C选项，由， 又，所以， 则，故C正确； D选项，，令得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得最小值1. 在上单调递增，且当，； 当，. 所以，当直线与和共有3个交点时，，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间. 【详解】函由数，得， 因为单调递增，单调递减，所以单调递增， 当时，，所以当时，， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 13．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率关系可得切线斜率为，再由导数的几何意义可得，解不等式可得结果. 【详解】设， 由倾斜角的取值范围为可得切线斜率为， 又由可得， 因此可得，解得， 因此点横坐标的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，按的不同取值讨论在时的单调性，进而可得最值，解出的值即可. 【详解】由题意可得，， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时， 当时，，单调递减， 此时，解得，不满足； 综上所述， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，无极大值. 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【详解】（1）因为，. 所以，. 由题意. （2）因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 16．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【详解】（1）， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 17．（24-25高二上·山西·期末）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三次函数在上不单调，只需导函数判别式大于0即可.（2）先判断单调性，再结合端点值即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为在上不单调，所以方程有两个不同的根， 则，解得或， 即实数的取值范围是. （2）因为，所以. 由，得或，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以在上的值域为. 18．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)无极小值点；理由见解析 (2) 【分析】（1）求导，确定单调性即可判断； （2）参编分类得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解； 【详解】（1）依题意可得， ，故， 设，则， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增，无极小值点； （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，；当时，， 的取值范围是 19．（24-25高二上·云南昆明·期末）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452-1519）画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出异样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，为悬链线系数．近现代，悬链线广泛运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．称为双曲余弦函数，，相应地双曲正弦函数，双曲正切函数．    (1)证明：，点在等轴双曲线上； (2)已知时，，求实数的取值范围； (3)求函数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)1. 【分析】（1）代入，利用指数运算计算得证. （2）构造函数，求出导数，再按导数值正负情况分类讨论求解. （3）判断函数的奇偶性，利用导数探讨函数在上的单调性，进而求出最小值. 【详解】（1），， 所以点在等轴双曲线上. （2）当时，， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上递增，， 则当时，，函数在上递增，，符合题意，因此； 当时，，， 则，使得，当时，，函数在上递减， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）函数定义域为R， ，即函数是偶函数， 当时，求导得，令， 求导得，令， 求导得，当且仅当时取等号， 而恒成立，因此，，函数在上递增， 则，函数在上递增，， 于是函数在上递增，而函数是偶函数，则在上递减， 所以当时，函数取得最小值 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及应用 章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南周口·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 6．（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高三下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 10．（2025高二·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A．当时， B．，都有 C．的解集为 D．的单调递增区间是， 11．（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数的图象，相应的双曲正弦函数为.则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数的值域为， D．当直线与和共有3个交点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为 . 13．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 . 14．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 16．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 17．（24-25高二上·山西·期末）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 18．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 19．（24-25高二上·云南昆明·期末）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452-1519）画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出异样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，为悬链线系数．近现代，悬链线广泛运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．称为双曲余弦函数，，相应地双曲正弦函数，双曲正切函数．    (1)证明：，点在等轴双曲线上； (2)已知时，，求实数的取值范围； (3)求函数的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$